文档内容
押上海高考 18 题
函数、数列、不等式、解三角形
考点 4年考题 考情分析
函数 2023年 函数奇偶性的性质与判断
数列 2022年、2022年 数列的极限、等差数列与等比数列的综合
不等式 2022年 不等式恒成立的问题
解三角形 2021年、2023年 正弦定理、解三角形
一．函数奇偶性的性质与判断（共1小题）
1．（2023•上海）已知 ， ，函数 ．
（1）若 ，求函数的定义域，并判断是否存在 使得 是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点 ，且函数 与 轴负半轴有两个不同交点，求此时 的值和 的取值范围．
二．数列的极限（共1小题）
2．（2022•上海）已知在数列 中， ，其前 项和为 ．
（1）若 是等比数列， ，求 ；
（2）若 是等差数列， ，求其公差 的取值范围．三．等差数列与等比数列的综合（共1小题）
3．（2020•上海）已知各项均为正数的数列 ，其前 项和为 ， ．
（1）若数列 为等差数列， ，求数列 的通项公式；
（2）若数列 为等比数列， ，求满足 时 的最小值．
四．不等式恒成立的问题（共1小题）
4．（2022•上海） ．
（1）若将函数 图像向下移 后，图像经过 ， ，求实数 ， 的值．
（2）若 且 ，求解不等式 ．
五．正弦定理（共2小题）
5．（2021•上海）在 中，已知 ， ．
（1）若 ，求 ．
（2）若 ，求 ．6．（2021•上海）已知 、 、 为 的三个内角， 、 、 是其三条边， ， ．
（1）若 ，求 、 ；
（2）若 ，求 ．
六．解三角形（共1小题）
7．（2023•上海）在 中，角 、 、 所对应的边分别为 、 、 ，其中 ．
（1）若 ， ，求边长 ；
（2）若 ， ，求 的面积．
一．函数奇偶性的性质与判断
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确
率．
二．数列的极限
1、数列极限的定义：对于数列 ，如果存在一个常数 ，无论预先指定多么小的正数 ，都能在数列
找到一项 ，使得 时， 恒成立，则 ；
2、三个最基本的极限：（1）常数数列的极限就是其本身，即： ；（2） ；（3）当
时， ；当 时，若 ，则 ；若 ，则 不存在；
当 时， 不存在。这三个最基本的极限是求复杂数列极限的基础和化归方向。
【注意】：它们是极限运算的基础，但是要区别，如果 是收敛的等比数列的公比时， 。
lim
3 、 极 限 的 运 算 法 则 ： 如 果 ， n→∞b
n
＝ B ， 那 么 ，
，
；
推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况；例如，若 ， ， 有极限，
则： ；特别地，如果 是常数，那么
三．等差数列与等比数列的综合
(1)等差、等比数列{a}的常用性质
n
等差数列 等比数列
①若m，n，p，q∈N*，且m
①若m，n，s，t∈N*，且m＋n＝
＋n＝p＋q，则a ＋ a ＝ a＋
m n p
s＋t，则a · a ＝ a · a ；
m n s t
a；
q
性质 ②a＝a · q n － m ；
n m
②a＝a ＋ ( n － m ) d；
n m
③S ，S －S ，S －S ，…仍成
m 2m m 3m 2m
③S ，S －S ，S －S ，…
m 2m m 3m 2m
等比数列(S ≠0)
m
仍成等差数列
(2)判断等差数列的常用方法
①定义法
a
n＋1
－a
n
＝d(常数)(n∈N*)⇔{a
n
}是等差数列；
②通项公式法
a＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a}是等差数列；
n n
③中项公式法
2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋2
(n∈N*)⇔{a
n
}是等差数列；
④前n项和公式法
S＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a}是等差数列．
n n
(3)判断等比数列的常用方法
①定义法
＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{a}是等比数列；
n
②通项公式法
a＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{a}是等比数列；
n n
③中项公式法
a＝a
n
·a
n＋2
(a
n
≠0，n∈N*)⇔{a
n
}是等比数列．
四．不等式恒成立的问题
在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一段取值范围内所有值都成立的情形，
我们将这样的情形称为不等式恒成立问题．
【解题方法点拨】
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常需要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值；从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新
函数能直接求出最值点的情况．若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成
立问题与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒成立，可根据以下原则进行求解：
（1） x D，m≤f（x） m≤f（x） ；
min
（2）∀x∈D，m≥f（x）⇔m≥f（x） ．
max
【命题∀方∈向】 ⇔
不等式恒成立问题涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类
讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．不等式恒成立问题基本命题角度有：证明不等式恒成
立、由不等式恒（能）成立求参数的范围、不等式存在性问题．基本上都采取分参法，求什么就把什么分
离出来，转换成恒成立问题求解．
五．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2+c2﹣2bccos A，
（ R是△ABC外接圆半径） b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 （1）a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； cos A＝；
形式 (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； cos B＝；
(3)a∶b∶c＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C cos C＝
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝
csin A
解决 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条 ①已知三边，求各角；
边；
三角 ②已知两边和它们的夹角，求第三边和
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和 其他两角
形的
其他两角
问题
一．函数奇偶性的性质与判断（共2小题）
1．（2024•黄浦区二模）设 ，函数 ．
（1）求 的值，使得 为奇函数；（2）若 （2） ，求满足 的实数 的取值范围．
2．（2024•徐汇区模拟）已知函数 ，其中 ．
（1）求证： 是奇函数；
（2）若关于 的方程 在区间 ， 上有解，求实数 的取值范围．
二．等差数列与等比数列的综合（共3小题）
3．（2024春•宝山区校级期中）已知等差数列 满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设等比数列 各项均为正数，其前 项和 ，若 ， ，求 ．
4．（2024春•宝山区校级月考）已知各项均为正数的数列 ，其前 项和为 ， ．
（1）若数列 为等差数列， ，求数列 的通项公式；
（2）若数列 为等比数列， ，求满足 时 的最小值．5．（2024春•宝山区校级月考）已知等差数列 的公差不为零， ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式；
（2）计算 ．
三．不等式恒成立的问题（共1小题）
6．（2024•袁州区校级开学）已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
四．解三角形（共7小题）
7．（2024•闵行区二模）在锐角 中，角 、 、 所对边的边长分别为 、 、 ，且
．
（1）求角 ；
（2）求 的取值范围．8．（2024•普陀区模拟）设函数 ， ， ，它的最小正周期为 ．
（1）若函数 是偶函数，求 的值；
（2）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，求 的值．
9 ． （ 2024• 宝 山 区 二 模 ） 在 中 ， 角 、 、 的 对 边 分 别 为 、 、 ， 已 知
．
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 的最小值，并判断此时 的形状．
10．（2024•崇明区二模）在锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 在
方向上的投影向量，且满足 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的周长．11．（2024•杨浦区二模）已知 ．
（1）若 的最小正周期为 ，判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）已知 ， 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，若 ， ， ，
求 的值．
12．（2024•嘉定区二模）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ．
（1）求角 ，并计算 的值；
（2）若 ，且 是锐角三角形，求 的最大值．
13 ． （ 2024• 黄 浦 区 校 级 模 拟 ） 在 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ，
．（1）求角 ；
（2）若 为钝角三角形，且 ，求 的取值范围．
