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专题 4.2 数列的通项与求和
一、单选题
1、(2020·浙江镇海中学高三3月模拟)已知公差不为零的等差数列 满足 ， 为数列 的
前 项和，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设公差为 ，由 得到 ，
整理得到 ，因 ，故 ，
，所以 ，故选A.
2、已知等差数列 的前 项之和为 ，前 项和为 ，则它的前 项的和为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于等差数列 中 也成等差数列，即 成等差数列，所
以 ，故选C.
3、设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】 是等差数列又 ，
∴公差 ，
，故选C．
4、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)已知数列 中， ， ( )，则 等于(
)
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
∵ ， ( )，
，
，
，
，
…，∴数列 是以3为周期的周期数列，
，
，
故选：A.
5．(2020·浙江镇海中学高三3月模拟)已知数列 满足 ，则( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由题得 ，则有 ，
，故选C．
6、(2020·浙江高三)等差数列{a }的公差为d，a ≠0，S 为数列{a }的前n项和，则“d＝0”是“ Z”的(
n 1 n n
)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】等差数列{a }的公差为d，a ≠0，S 为数列{a }的前n项和，
n 1 n n
若d＝0，则{a }为常数列，故a = ，
n n
即 ⇒“ Z”，当 Z时，d不一定为0，
例如，数列1，3，5，7，9，11中， 4，d＝2，
故d＝0是 Z的充分不必要条件．
故选：A．
7、(2020届山东省德州市高三上期末)对于数列 ，规定 为数列 的一阶差分数列，其中
，对自然数 ，规定 为数列 的 阶差分数列，其中
.若 ，且 ，则数列 的通项公式为
( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题中定义可得 ，
即 ，即 ，
等式两边同时除以 ，得 ， 且 ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， ，
因此， .
故选：B.8、(2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟)已知数列 ，满足 且 设
是数列 的前 项和，若 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 且 ，
得 ， ，
所以， ，
，
又 ，所以 ，解得 ，
故选：C.
9、在数列 中，已知 ， ，则“ ”是“ 是单调递增数列”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若在数列 中，已知 ， ， ，则 ，解得 ．
若数列 是单调递增数列，则对任意的 都满足：，
，即 .
因此，“ ”是“ 是单调递增数列”的充分必要条件.
故选：C.
二、多选题
10、已知 是等差数列 的前 项和，且 ，有下列四个命题，其中是真命题的是
A．公差 B．在所有 中， 最大
C． D．满足 的 的个数有15个
【答案】
【解析】 ，且 ，
，即 ，
又 ， ，
，即 ，
，故选项 ， 为真命题；
， ，
，即 ，
又 ，
，
又 ，，
又 ，
，
故选项 为真命题，选项 为假命题；
故选： ．
11、(2019秋•济宁期末)若S 为数列{a}的前n项和，且S＝2a+1，(n∈N*)，则下列说法正确的是( )
n n n n
A．a＝﹣16 B．S＝﹣63
5 5
C．数列{a}是等比数列 D．数列{S+1}是等比数列
n n
【答案】AC
【解析】：∵S＝2a+1，(n∈N*)，
n n
∴①当n＝1时，a＝S＝2a+1，∴a＝﹣1，
1 1 1 1
②当n≥2时，a＝S﹣S ＝2a+1﹣2a ﹣1，∴2a ＝a，∴ a ，
n n n﹣1 n n﹣1 n﹣1 n n =2
a
n−1
∴数列{a}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，故选项C正确，
n
−(1−2n
)
∴a =−2n−1，S = =1−2n
n n 1−2
−(1−25
)
∴a =−24=−16，S = =−31，故选项A正确，选项B错误，
5 5 1−2
又∵ ，∴数列{S+1}不是等比数列，故选项D错误，
S +1=2−2n n
n
故选：AC．
12、(2019秋•宁阳县校级月考)设 是数列 的前 项和，且 ， ，则
A． B．
C．数列 为等差数列 D．
【答案】【解析】： 是数列 的前 项和，且 ， ，则 ，
整理得 (常数)，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．故 正确
所以 ，
故： ．
所以当 时，
(首项不符合通项)，
故 故 正确
所以 ，故 正确．
故选： ．
三、填空题
13、(2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟)已知数列 是等差数列， 是其
前n项和.若 ，则 的通项公式 _______
【答案】
【解析】设数列 公差为 ，由已知得 ，解得 ．
∴ ．
故答案为： ．14、(2020届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三12月联考)设 为数列 的前n项和，若
( )，且 ，则 的值为______.
【答案】1240
【解析】当 时， ， ，可得 ，
当 时，由 ，得 ，
∴ ，即 ，
∴数列 是首项 ，公差为6的等差数列，
∴ ，
故答案为：1240.
15、(江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考)设等比数列 的公比为 ，前
项和为 .若存在 ，使得 ，且 ，则正整数 的值为______.
【答案】
【解析】 ， ，得 ， ，解得 .
由 ，可得 ，所以， ，
即 ， ， ， ，解得 ，
故答案为 .16、(2020届山东师范大学附中高三月考)设等差数列 前n项和为 ．若 ， ，则
________， 的最大值为________．
【答案】4 42
【解析】
∵数列 是等差数列，∵ ，∴ ， ，
又 ， ， ，
，
,
∴当 或 时， 有最大值42.
故答案为：(1)4；(2)42.
17、(2020届山东省九校高三上学期联考)已知数列 中， ，其前 项和 满足
，则 __________； __________.
【答案】
【解析】
(1)由题： ，令 ，
，
得： ，所以 ；(2)由题 ，
，化简得：
，
，
是一个以2为首项，1为公差的等差数列，
， ，
故答案为：(1). (2).
18、(2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考)数列 的前 项和为 ， ， ，
则 __________；若 时， 的最大值为__________.
【答案】26 807
【解析】∵ ， ，
∴ ， ， ， ， ，……
∴ ；
由 可知 ， ，故 时， 的最大值为807；
故答案为：26；807．
四、解答题
19、(2020年高考全国Ⅰ卷理数)设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
(1)求 的公比；
(2)若 ，求数列 的前 项和．
【解析】(1)设 的公比为 ，由题设得 即 .
所以 解得 (舍去)， .
故 的公比为 .
(2)设 为 的前n项和.由(1)及题设可得， .所以
，
.
可得
所以 .
20、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知各项均不相等的等差数列 的前 项和为 ，且 是
等比数列 的前 项.(1)求 ;
(2)设 ，求 的前 项和 .
【解析】 (1)设数列 的公差为 ，
由题意知: ①
又因为 成等比数列，
所以 ，
，
，
又因为 ，
所以 . ②
由①②得 ，
所以 ，
， ， ，
.
(2)因为 ，
所以所以数列 的前 项和
21、(2020年高考全国III卷理数)设数列{a }满足a =3， ．
n 1
(1)计算a ，a ，猜想{a }的通项公式并加以证明；
2 3 n
(2)求数列{2na }的前n项和S ．
n n
【解析】(1) 猜想 由已知可得
，
，
……
.
因为 ，所以
(2)由(1)得 ，所以
. ①
从而
.②
得
，
所以22、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知等差数列 的前n项和为 ．
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 为数列 的前n项和，是否存在正整数m， ，使得
?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)设等差数列 的公差为d，
由 得 ，解得 ，
；
(2) ，
，
，
若 ，则 ，整理得 ，
又 ， ，整理得 ，
解得 ，
又 ， ， ，∴存在 满足题意．
23、(2020届山东省九校高三上学期联考)已知数列 是等比数列， 且 ， ， 成等差
数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】(1)设数列 的公比为 ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即： ，
解得： .
∴ ，
∴ .
(2) ，
∴.
24、(2020届山东省烟台市高三上期末)已知数列 的前 项和 满足 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】(1)因为 , ,
所以 , ,
两式相减得 ,
整理得 ,
即 , ,所以 为常数列,
所以 ,
所以
(2)由(1), ,
所以两式相减得：
，
，
化简得
25、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)已知等比数列 满足 成等差数列，且
；等差数列 的前n项和 .求：
(1) ；
(2)数列 的前项和 .
【解析】(1)设 的公比为q.
因为 成等差数列，
所以 ，即 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
因此 .
由题意， .所以 ，
，从而 .
所以 的公差 .
所以 .
(2)令 ，则 .
因此 .
又
两式相减得
.
所以 .
