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专题4.2等差数列（B 卷提升篇）（人教A版第二册,浙江专用）
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（2020·黑龙江大庆实验中学高三期中（理））在等差数列 中，首项 ，公差 ， 是其
前 项和，若 ，则 （ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【解析】
由 得 ，
将 代入得 ，
因为 ，所以 ，得 .
故选：B
2．（2020·河南高二期中（理））已知递减的等差数列 满足 ，则数列 的前n项和取最大
值时n=（ ）
A．4或5 B．5或6 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
设递减的等差数列 的公差为 （ ），
因为 ，所以 ，化简得 ，
所以 ，
对称轴为 ，因为 ， ，
所以当 或 时， 取最大值，
故选：A
3.（2020·河北保定市·高碑店一中高一月考）已知数列 中， ， ，若 为等差数列，
则 （ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】A
【解析】
因为， ， ，故
所以 ，故 .
故选：A.
4．（2020·浙江其他）已知数列 是公差不为零的等差数列，前 项和为 ，则“ ， ”
是“数列 是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
∵ 恒成立，∴ ，∴ 递增；
反之，可取 ，则 递增，但 ，所以“ ， ”是“数列 是递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2020·武汉外国语学校其他（文））已知数列 满足 且 ，设 的n项和为 ，
则使得 取得最大值的序号n的值为（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．6或7
【答案】C
【解析】
由已知得， ，故 是公差为 得等差数列，
又 ，所以 ，
令 ，故 或6时， 取得最大值．
故选:C
6．（2020·云南保山·其他（文））已知 是公差为2的等差数列， 为 的前n项和，若
，则 （ ）
A．10 B．12 C．15 D．16
【答案】D
【解析】
由题意得： ，且 ，
∴ ，
将 代入得： ，
所以 .
故选：D.7．（2020·云南楚雄彝族自治州·高二期中）在等差数列 中， ， ，则
（ ）
A．12 B．22 C．24 D．34
【答案】B
【解析】
设数列 的公差为
则
故 .
故选：B
8.（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高一期末）中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十
六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘
缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是
（ ）
A．174斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤
【答案】B
【解析】
用 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，
由题意得数列 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，
∴ ，
解得 ．
∴ ．选B．
9.（2020·黑龙江南岗·哈师大附中开学考试（文））设等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则 取最大值时 的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．13
【答案】B
【解析】
根据 ， ，可以确定 ，所以可以得到 ，
所以则 取最大值时 的值为7，故选B.
10．（2020·广西田阳高中高二月考（理））已知等差数列 ， 的前 项和分别为 和 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为等差数列 ， 的前 项和分别为 和 ，且 ，
所以可设 ， ，
所以 ， ，所以 .
故选：A
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）
11．（2020·江西昌江·景德镇一中高三月考（理））已知数列 是公差 的等差数列， 的前
项和为 ， ， ，则 ______________.
【答案】【解析】
已知数列 是公差 的等差数列，则 ，
由等差数列的求和公式可得 ，所以， ，
则有 ，解得 ， ， ，
因此， .
故答案为： .
12．（2020·河南信阳·其他（文））设数列 为等差数列，其前 项和为 ，已知 ，
，若对任意 都有 成立，则 的值为__________．
【答案】
【解析】
设等差数列 的公差为 ，由 ，解得 ，
.
所以，当 时， 取得最大值，
对任意 都有 成立，则 为数列 的最大值，因此， .
故答案为： .
13．（2020·江苏相城·南京师大苏州实验学校月考）已知等差数列 的前n项和为 ，若1≤ ≤3，3≤≤6，则 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
在等差数列 中， ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
由 得 ．
∴ ，即 ，
∴ ．
即 的取值范围是 ．
故答案为 ．
14．（2020·江苏镇江市·高三期中）数列 的前 项和为 ，定义 的“优值”为
，现已知 的“优值” ，则 ______， ______．
【答案】【解析】
由题意 ，
∴ 时， ，
两式相减得： ， ，
又 ，满足 ，
∴ ，
．
故答案为： ； ．
15．（2020·乐清市知临中学高一期末）已知数列 的前 项的和为 ，
，则数列 的通项公式为______；数列 的前 项和为______.
【答案】
【解析】
由于数列 的前 项的和为 .
当 时， ；
当 时， .
不适合 ，因此， .
当 时， ，
设数列 的前 项和为 .当 且 ，则 ，
因此，数列 的前 项的和为 .
故答案为： ； .
16.（2020·全国高二（文））已知数列 的前 项和为 ，数列 是首项为 ，公差为 的等差数
列，则 的通项公式为_________；若 表示不超过 的最大整数，如 ， ，则数
列 的前 项的和为_________．
【答案】
【解析】
∵数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
∴ ，得到 ，
当 时， ，
当 时， ，又 ，∴ ，
∴ ，当 时， ，
当 时， 、 、…、 ，当 时， 、 、…、 ，
当 时， 、 、…、 ，当 时， ，
故数列 的前 项的和为：．
故答案为： ， .
17．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中高三其他（文））等差数列 中 ，且
，则 ______；若集合 中有2个元素，则实数 的取值范围是
______.
【答案】12
【解析】
空1：设等差数列 的公差为 ，
因为 ，且 ，
所以有： ，
因此 ；
空2：由（1）知：
由 ，设 ，
，
显然当 时， ，
当 时， ，因此从第2项起，数列是递减数列，
，所以数列 的最大项为 ，因为 中有2个元素，
所以不等式 只有两个不同正整数根，
而数列 的最大项为 ，因此 一定是不等式 的解，
因此一定有： .
故答案为：
三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）
18．（2020·上海高二课时练习）在项数为 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末
项与首项之差为27，求n．
【答案】
【解析】
在等差数列中， 项数为 .
- ，
偶 奇
由题意可知， - ，又 ，
偶 奇
，解得： ，
故 的值为5.
19．（2020·安徽省舒城中学高一月考（理））等差数列 中， 且 ，求数列 的前10
项的和 ．
【答案】 或 .
【解析】设等差数列 的公差为 ，
因为 且 ，
所以 ，
即 ，
解得 或 ，
当 时数列 的前10项的和 ，
当 时数列 的前10项的和 .
20．（2020·广西南宁三中开学考试）数列 是等差数列， ， ， ，其
中 ，求通项公式 以及前 项和 .
【答案】当 时， ， ；当 时， ，
.
【解析】
，
，
，
数列 是等差数列， ，
即 ，解得 或 ，
当 时， ，数列 的通项公式为 ，
；
当 时， ，
数列 的通项公式为 ，
.
综上所述，当 时， ， ；当 时， ，
.
21．（2020·邵东县第一中学月考）已知公差小于零的等差数列{a}的前n项和为S，且满足aa＝117，
n n 3 4
a+a＝22．
2 5
（1）求数列{a}的通项公式；
n
（2）求S 的最大值．
n
【答案】（1）a＝-4n＋25；（2）66.
n
【解析】
（1）因为数列 为等差数列，所以 ，
所以 ，解得 或 ，
又数列 的公差 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）知 ， ，所以 ，
所以当 时， 最大，最大值为 ．
22．（2020·贵州高一期末）在数列 中， ， .
（1）证明，数列 是等差数列.
（2）设 ，是否存在正整数 ，使得对任意 ， 恒成立？若存在，
求出 的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1.
【解析】
（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故数列 是首项为1，公差为2的等差数列.
（2）由（1）得 ，则 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，即数列 是递减数列.故要使 恒成立，只需 ，
因为 ，
所以 ，
解得 .
故存在最小正整数 ，使得对任意 ， 恒成立.
