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4.2.1 等差数列（2）
一、单选题
1．在等差数列 中，若 =4， =2，则 =（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．6
【答案】B
【解析】在等差数列 中，若 ，则 ，解得 ，
故选B.
2．在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，即 ，
设等差数列 的公差为 ，
又 ，所以 ，故 ，
所以
故选B．
3．在数列{a}中，若 ，a＝8，则数列{a}的通项公式为（ ）
n 1 n
A．a＝2(n+1)2 B．a＝4（n+1） C．a＝8n2 D．a＝4n（n+1）
n n n n
【答案】A
【解析】因为 ,所以 ,
所以 是首项为 ,公差为 的等差数列,
所以 ,
所以 .
故选A.
4．等差数列{a}中，a+a=10，a =6，则公差d等于（ ）
n 4 8 10
A． B． C．2 D．-
【答案】A
【解析】在等差数列{a}中，由a+a=10，得2a=10，a=5．
n 4 8 6 6
又a =6，则 ．
10
故选A．
5．在数列 中， ， ，则 的值为（ ）
A．52 B．51 C．50 D．49
【答案】A
【解析】由题意，数列 满足 ，即 ，
又由 ，所以数列 首项为2，公差为 的等差数列，
所以 ，
故选A．
6．等差数列 中， 是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设公差为d，
显然d=0时，是一个与n无关的常数，等于1；
时，需使 是一个与n 无关的常数；即对于任意 等于同一个常数；则必有
．
故选B
7．下列说法中正确的是（ ）
A．若a，b，c成等差数列，则 成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则 成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则 成等差数列
【答案】C
【解析】对于A选项， 成等差数列，但 不成等差数列；对于B选项， 成等差数列，
但 为 不成等差数列.对于D选项， 成等差数列，但 不成
等差数列.
故选C.
8．一个等差数列的前4项是 ， ， ， ，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵等差数列的前4项是 ， ， ， ，∴ a+2x=x+b ，解得 x=b−a ．
a 1
=
又
b=a+2(x−a)=−a+2x=−a+2(b−a)=2b−3a
．∴
b=3a
，∴
b 3
．
故选C．
9．已知无穷数列 和 都是等差数列，其公差分别为 和 ，若数列 也是等差数列，则
（ ）
A． B．
C． 可以是任何实数 D．不存在满足条件的实数 和
【答案】B
【解析】因为无穷数列 和 都是等差数列，其公差分别为 和 ，且数列 也是等差数列，
所以 ，即 ，
整理得 ，即 ，
故选B．
10．在等差数列 中，如果 ，那么 （ ）
A．95 B．100 C．135 D．80
【答案】B
【解析】由等差数列的性质可知： ， ， 构成新的等差数列，
故选
11．若函数y＝f(x)满足：集合A＝{f(n)|n∈N*}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f(x)是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是（ ）
①y＝2x＋1；②y＝log x；③y＝2x＋1；④y＝sin
2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①y＝2x＋1，n∈N*，是等差源函数；
②因为log 1，log 2，log 4构成等差数列，所以y＝log x是等差源函数；
2 2 2 2
③y＝2x＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p＋1)＝(2m＋1)＋(2n＋1)，则2p＋1＝2m＋2n，所以2p＋1－n
＝2m－n＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y＝2x＋1不是等差源函数；
④y＝sin 是周期函数，显然是等差源函数.
故选C.
12．已知数列 中， ， ， （ 且 ），则数列 的最大
项的值是（ ）
A．225 B．226 C．75 D．76
【答案】B
【解析】 ， ，
数列 是公差为 的等差数列，
， ，
， ，
又 数列 是单调递减数列，
数列 的前 项和最大，
即 最大，
数列 的最大项是第16项 ，又 ， ，
数列 的最大项的值是 ，
故选B．
二、填空题
13． 的三个内角A，B，C的大小成等差数列，则 ______．
【答案】
【解析】因为三角形三内角 成等差数列，所以 ，
故填 .
14．在等差数列 中，已知 ， ，则 =______．
【答案】
【解析】依题意得 ，解得 ，故数列的通项公式为 .
故填
15．设数列 ， 都是等差数列，且 ， ， ，那么数列 的第
2018项为______。
【答案】100
【解析】由于两个等差数列的和还是等差数列，而 ，故 是首项为 ，公差为
的等差数列，即每一项都是 ，故 .
故填10016．已知数列 是等差数列，公差 ，且 ， 为关于 的方程 的两根，则
______.
【答案】
【解析】因为 ， 为关于 的方程 的两根，
所以 即
结合 ，解得 ，所以 .
故填 .
17．在数列{a}中，a ＝ ，对所有正整数n都成立，且a＝2，则a＝______.
n n＋1 1 n
【答案】
【解析】∵a ＝ ，∴ .
n＋1
∴ 是等差数列且公差d＝ .
∴ ＝ ＋(n－1)× ＝ ＋ ＝ ，
∴a＝ .
n
故填
18．有一列向量 ，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列.已知等差向量列 ，满足
，那么这列向量 中模最小的向量的序号 _______
【答案】4或5
【解析】由题意可得： ，
则每一项与前一项的差所得的同一个向量为： ，
结合等差向量列的定义和等差数列通项公式可得：
， ，
即： ，这列向量 的模：
，
考查二次函数 ，当 时，二次函数有最小值，
则这列向量 中模最小的向量的序号 4或5.
故填4或5．
三、解答题
19．数列 的通项公式是 ．
（1）求证： 是等差数列，并求出其公差；
（2）判断 、 是否是数列 中的项，如果是，是第几项？
【解析】（1） ，则 ， ，
所以，数列 是等差数列，且公差为 ；
（2）令 ，即 ，解得 ；令 ，即 ，解得 .
所以， 是该数列的第 项， 不是该数列中的项.
20．在等差数列 中，已知 ， ．
（1）求该数列中 的值；
（2）求该数列的通项公式 ．
【解析】（1）由等差数列性质得： ， ；
（2）设等差数列公差为 ，
，
解得： ， ，即 或
21．已知数列 满足 ， ，数列
（1）求证： 等差数列；
（2）求数列 的通项公式.
【解析】（1）由题可 ，且 ，又因为
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列
（2）由（1）可知 ，
故 .
22．设等差数列 满足 ， ，（1）求数列 的通项公式；
（2）求 的最大项的值；
（3）数列 满足 ，问是否存在正整数k，使得 成等差数列？
若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设等差数列的首项为 ，公差为d，
由题意得 ，解得 ，
数列 的通项公式 ；
（2）令 ，
当 时， 且随n的增大而增大，即有 ；当 时， ；
所以 的最大项的值为1；
（3）假设存在正整数 ，使得 成等差数列，
由 得 ，从而 ， ，由 得，
，
所以 ，两边取倒数整理得： ，
所以 ，即 ，因为k、m均为正整数，
所以 ，不能得出 为整数，故无符合题意的解，
所以不存在正整数k，使得 成等差数列.
