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专题4.2 等差数列
知识储备
知识点一 等差数列的概念
思考1 给出以下三个数列：
(1)0,5,10,15,20.
(2)4,4,4,4，….
(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.
它们有什么共同的特征？
【答案】从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.
思考2 你能从上面几个具体例子中抽象出一般等差数列的定义吗？
【答案】如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零.
知识点二 等差中项的概念
思考1 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.
【答案】插入的数分别为3,2，，0.
思考2 如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，试用x，y表示A.
【答案】∵x，A，y组成等差数列，
∴A－x＝y－A，∴2A＝x＋y，
∴A＝.
知识点三 等差数列的通项公式
思考1 对于等差数列2,4,6,8，…，有a －a ＝2，即a ＝a ＋2；a －a ＝2，即a ＝a ＋d＝a ＋
2 1 2 1 3 2 3 2 1
2×2；a－a＝2，即a＝a＋d＝a＋3×2.
4 3 4 3 1
试猜想a＝a＋( )×2.
n 1
【答案】n－1
思考2 若一个等差数列{a}，首项是a，公差为d，你能用a 和d表示a 吗？
n 1 1 n
【答案】a＝a＋(n－1)d.
n 1
知识点四 等差数列通项公式的推广
思考1 已知等差数列{a}的首项a 和公差d能表示出通项a ＝a ＋(n－1)d，如果已知第m项a 和
n 1 n 1 m
公差d，又如何表示通项a
n?
【答案】设等差数列的首项为a，则a ＝a＋(m－1)d，
1 m 1
变形得a＝a －(m－1)d，
1 m
则a＝a＋(n－1)d＝a －(m－1)d＋(n－1)d
n 1 m
＝a ＋(n－m)d.
m
思考2 由思考1可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
【答案】等差数列通项公式可变形为a ＝dn＋(a －d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，
n 1a)，(n，a)，(m，a )都是这条直线上的点.d为直线的斜率，故两点(1，a)，(n，a)连线的斜率d＝.
1 n m 1 n
当两点为(n，a)，(m，a )时，有d＝.
n m
知识点五 等差数列的性质
思考1 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？
【答案】利用1＋100＝2＋99＝….
思考2 推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
【答案】在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a ＋a ＝a
1 n 2
＋a ＝a＋a ＝….
n－1 3 n－2
注意到上式中的序号1＋n＝2＋(n－1)＝…，
有：在等差数列{a}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a ＋a ＝a ＋a.特别地，若m＋n＝
n m n p q
2p，则a＋a ＝2a.
n m p
知识点六 由等差数列衍生的新数列
思考 利用等差数列的定义，尝试证明下列结论：
若{a}、{b}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
n n
数列 结论
{c＋a} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
n
{c·a} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
n
{a＋a } 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
n n＋k
{pa＋qb} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
n n
此处以{a＋a }为例.
n n＋k
(a ＋a )－(a＋a )＝a －a＋a －a ＝2d.
n＋1 n＋k＋1 n n＋k n＋1 n n＋k＋1 n＋k
∴{a＋a }是公差为2d的等差数列.
n n＋k
能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字
笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(
)
A．9 B．10
C．11 D．12
【答案】B
【解析】∵ ，∴ .∴n＝10，故选B.
2．数列{a }为等差数列，它的前n项和为S ，若S ＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
n n nA．－2 B．－1
C．0 D．1
【答案】B
【解析】等差数列前n项和S 的形式为S ＝an2＋bn，∴λ＝－1.
n n
3．已知等差数列{a }的前n项和为S ，若 ，且A，B，C三点共线(该直线不
n n
过点O)，则S 等于( )
200
A．100 B．101
C．200 D．201
【答案】A
【解析】由A，B，C三点共线得a＋a ＝1，
1 200
∴S ＝ (a＋a )＝100.
200 1 200
4．若数列{a }的前n项和为S ＝n2－4n＋2，则|a|＋|a|＋…＋|a |等于( )
n n 1 2 10
A．15 B．35
C．66 D．100
【答案】C
【解析】易得a ＝
n
|a|＝1，|a|＝1，|a|＝1，
1 2 3
令a ＞0则2n－5＞0，∴n≥3.
n
∴|a|＋|a|＋…＋|a |
1 2 10
＝1＋1＋a＋…＋a
3 10
＝2＋(S －S)
10 2
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.
5．设数列{a }是等差数列，若a ＋a ＋a ＝105，a ＋a ＋a ＝99，以S 表示{a }的前n项和，则使
n 1 3 5 2 4 6 n n
S 达到最大值的n是( )
n
A．18 B．19
C．20 D．21
【答案】C
【解析】∵a＋a＋a＝105＝3a，
1 3 5 3
∴a＝35，
3
∵a＋a＋a＝99＝3a，
2 4 6 4
∴a＝33，
4
∴d＝a－a＝－2，
4 3∴a ＝a＋(n－3)d＝41－2n，
n 3
令a ＞0，∴41－2n＞0，
n
∴n＜ ，
∴n≤20.
6.设等差数列{a }的前n项和为S ，S ＝－2，S ＝0，S ＝3，则m等于( )
n n m－1 m m＋1
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【解析】a ＝S －S ＝2，a ＝S －S ＝3，所以公差d＝a －a ＝1，由S ＝ ＝
m m m－1 m＋1 m＋1 m m＋1 m m
0，得a＝－2，所以a ＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5，故选C.
1 m
7．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢
管的根数为( )
A．9 B．10
C．19 D．29
【答案】B
【解析】钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为 1，逐层
增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝ .
当n＝19时，S ＝190.当n＝20时，S ＝210＞200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
19 20
8．已知命题：“在等差数列{a }中，若4a ＋a ＋a ＝24，则S 为定值”为真命题，由于印刷问
n 2 10 ( ) 11
题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )
A．15 B．24
C．18 D．28
【答案】C
【解析】设括号内的数为n，则4a＋a ＋a ＝24，
2 10 (n)
即6a＋(n＋12)d＝24.
1
又因为S ＝11a＋55d＝11(a＋5d)为定值，
11 1 1
所以a＋5d为定值．
1
所以 ＝5，解得n＝18.
二、多选题
9．设等差数列{a }的前n项和为S ，公差为d.已知a＝12，S >0，a<0，则( )
n n 3 12 7
A．a>0
6B．－ 0，a>0，d<0，A选项正确．
7 6 1
且
解得－ 0，所以S <0时，n的最小值为 13.由上述分析可知，
13 7 12 n
n∈[1,6]时，a >0，n≥7时，a <0；当n∈[1,12]时，S >0，当n≥13时，S <0.所以当n∈[7,12]时，
n n n n
a <0，S >0， <0，且当n∈[7,12]时，|a |为递增数列，S 为正数且为递减数列，所以数列
n n n n
中最小项为第7项．故选A、B、C、D.
10.已知等差数列{a }的前n项和为S ，若S＝a，则( )
n n 7 4
A．a＋a＝0 B．a＋a＝0
1 3 3 5
C．S＝S D．S＝S
3 4 4 5
【答案】BC
【解析】由S＝ ＝7a＝a，得a＝0，所以a＋a＝2a＝0，S＝S，故选B、C.
7 4 4 4 3 5 4 3 4
11．等差数列 是递增数列，满足 ，前 项和为 ，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当 时 最小 D． 时 的最小值为
【答案】ABD【解析】由题意，设等差数列 的公差为 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
又由等差数列 是递增数列，可知 ，则 ，故A、B正确；
因为 ，
由 可知，当 或4时 最小，故C错误，
令 ，解得 或 ，即 时 的最小值为8，故D正确．
故选：ABD．
12．在等差数列 中每相邻两项之间都插入 个数，使它们和原数列的数一起构成一
个新的等差数列 .若 是数列 的项，则k的值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】ABD
【解析】由题意得：插入 个数，则 ， ， ， 所以
等差数列 中的项在新的等差数列 中间隔排列，且角标是以1为首项，k+1为公差的等差数
列，所以 ，
因为 是数列 的项，
所以令 ，
当 时，解得 ，
当 时，解得 ，当 时，解得 ，
故k的值可能为1,3,7，故选：ABD
三、填空题
13．已知等差数列{a }中，S 为其前n项和，已知S＝9，a＋a＋a＝7，则S－S＝________.
n n 3 4 5 6 9 6
【答案】5
【解析】∵S，S－S，S－S 成等差数列，而S＝9，S－S＝a＋a＋a＝7，∴S－S＝5.
3 6 3 9 6 3 6 3 4 5 6 9 6
14．已知数列{a }的前n项和S ＝n2－9n，第k项满足5＜a＜8，则k＝________.
n n k
【答案】8
【解析】∵a ＝
n
∴a ＝2n－10.由5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9，又k∈N*，∴k＝8.
n
15．若数列{a }是等差数列，首项a<0，a ＋a >0，a ·a <0，则使前n项和S <0的最大自然数
n 1 203 204 203 204 n
n是________．
【答案】405
【解析】由a ＋a >0知a ＋a >0，即S >0，又由a<0且a ·a <0，知a <0，a >0，所以公
203 204 1 406 406 1 203 204 203 204
差d>0，则数列{a }的前203项都是负数，那么2a ＝a ＋a <0，所以S <0，所以使前n项和
n 203 1 405 405
S <0的最大自然数n＝405.
n
16. 已知等差数列{a }的公差d>0，前n项和为S ，且aa＝45，S＝28.
n n 2 3 4
(1)则数列{a }的通项公式为a ＝________；
n n
(2)若b ＝ (c为非零常数)，且数列{b }也是等差数列，则c＝________.
n n
【答案】(1)4n－3 (2)－
【解析】(1)∵S＝28，∴ ＝28，a＋a＝14，a＋a＝14，
4 1 4 2 3
又∵aa＝45，公差d>0，
2 3
∴a0，得n< ，
n
∴当n≤17，n∈N*时，a >0；
n
当n≥18，n∈N*时，a <0，
n∴{a }的前17项和最大．
n
(2)当n≤17，n∈N*时，
|a|＋|a|＋…＋|a |＝a＋a＋…＋a ＝na ＋ d＝－ n2＋ n.
1 2 n 1 2 n 1
当n≥18，n∈N*时，
|a|＋|a|＋…＋|a |
1 2 n
＝a＋a＋…＋a －a －a －…－a
1 2 17 18 19 n
＝2(a＋a＋…＋a )－(a＋a＋…＋a )
1 2 17 1 2 n
＝2
＝ n2－ n＋884.
∴S ＝
n
19．已知数列{a }的前n项和为S ，数列{a }为等差数列，a＝12，d＝－2.
n n n 1
(1)求S ，并画出{S }(1≤n≤13)的图象；
n n
(2)分别求{S }单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{S }的最大(或最小)的项；
n n
(3){S }有多少项大于零？
n
【解析】(1)S ＝na ＋ d＝12n＋ ×(－2)＝－n2＋13n.图象如图．
n 1
(2)S ＝－n2＋13n＝－ ＋ ，n∈N*，
n
∴当n＝6或n＝7时，S 最大；当1≤n≤6时，{S }单调递增；当n≥7时，{S }单调递减．{S }有最
n n n n
大值，最大项是S，S，S＝S＝42.
6 7 6 7
(3)由图象得{S } 中有12项大于零．
n
20．已知等差数列{a }的前n项和S ＝n2－2n，求a＋a－a＋a＋a.
n n 2 3 4 5 6
【解析】∵S ＝n2－2n，
n
∴当n≥2时，a ＝S －S
n n n－1＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)]
＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)＝2n－3，
∴a＋a－a＋a＋a
2 3 4 5 6
＝(a＋a)＋(a＋a)－a
2 6 3 5 4
＝2a＋2a－a＝3a
4 4 4 4
＝3×(2×4－3)＝15.
21．设S 是数列{a }的前n项和且n∈N*，所有项a ＞0，且S ＝ a＋ a － .
n n n n n
(1)证明：{a }是等差数列；
n
(2)求数列{a }的通项公式．
n
【解析】(1)证明：当n＝1时，a＝S＝ a＋ a－ ，解得a＝3或a＝－1(舍去)．当n≥2时，
1 1 1 1 1
a ＝S －S ＝ (a＋2a －3)－ (a＋2a －3)．
n n n－1 n n－1
所以4a ＝a－a＋2a －2a ，
n n n－1
即(a ＋a )(a －a －2)＝0，
n n－1 n n－1
因为a ＋a ＞0，所以a －a ＝2(n≥2)．所以数列{a }是以 3为首项，2为公差的等差数列．
n n－1 n n－1 n
(2)由(1)知a ＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
n
22．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．
【解析】由 4n＋1＝6m－3(m，n∈N*且 1≤m≤200,1≤n≤200)，可得 (t∈N*且
≤t≤67)．
则等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)，{6m－3}(1≤m≤200)的公共项按从小到大的顺序组成的数列是等
差数列{4(3t－1)＋1}(t∈N*且 ≤t≤67)，即{12t－3}(t∈N*且 ≤t≤67)，各项之和为 67×9＋
×12＝27 135.
