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江苏省徐州市铜山区2024-2025学年高一下学期期中学情调研
数学试题
一、单选题
1． 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，其中 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知 与 是两个不共线的向量， ，若 三点共线，则
实数 的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
4．在平行四边形 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．下列函数 的最小正周期为 的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知 ，函数 在 上有且只有一个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知 为锐角， ，则 （ ）A． B． C． D．
8．记 的面积为 ，角 的对边分别为 ，且 ，则 的形状是
（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
二、多选题
9．在复数范围内，下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 为纯虚数 B．若 ，则
C．若 ，则 的最大值为3 D．若 ，则
10．函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的图象关于点为 对称
B． 在区间 单调递增
C． 与 的图象有相同的对称轴
D． 与 的图象在 上有两个不同的交点
11．如图， 为边长为2的等边三角形，以 的中点 为圆心，1为半径作一个半圆，点 为此半圆
弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C． 的最大值为5
D．若 ，则当 三点共线时，
三、填空题
12．已知 是关于 的方程 的一个根，其中 为虚数单位，则 ．
13．若 ，则 ．
14．在等腰 中， ，在 内一点 满足 ，
则 的值为 ．
四、解答题
15．（1）已知 ，若 与 平行，求 ；
（2）已知 与 的夹角为 ，若 与 垂直，求实数 的值．
16．已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的大小．
17．已知 的内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 的周长为9，点 是边 的中点，求线段 的长．18．如图，某学校有一块边长为 的正方形 实验田用地，在此正方形的边 、 上分别取点 、
（均不与正方形的顶点重合），用栅栏连接 、 、 ，设 ， ， .
(1)当 ， 时，求所用栅栏的总长度；
(2)当 时，在 内的区域种植蔬菜，求种植蔬菜的区域面积的最小值；
19．由两角和差公式我们得到倍角公式 ，实际上 也可以表示为 的三次多项式．
(1)试用 表示 ；
(2)求 的值；
(3)已知方程 在 上有三个根，记为 且 ，求证： ．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C C B D C BC ABD
题号 11
答案 ACD
1．D
由两角和的正弦公式求解即可.
【详解】
.
故选：D.
2．A
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，从而得答案．
【详解】 ,
,
则在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
故选A．
3．B
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 三点共线，必存在一个实数 ，使得 ，
所以 ，而 不共线，
所以 ，解得： .
故选：B.
4．C【详解】如下图所示：
在平行四边形 中， ， ，则 ， ，
故 .
故选：C.
5．C
利用三角恒等变换化简各选项中函数的解析式，再结合三角函数的周期公式逐项判断即可.
【详解】对于A选项， ，该函数的最小正周期为 ，A不满足要求；
对于B选项， ，
该函数的最小正周期为 ，B不满足要求；
对于C选项， ，
该函数的最小正周期为 ，C满足要求；
对于D选项， ，
该函数的最小正周期为 ，D不满足要求.
故选：C.
6．B
由 确定 ，根据正弦函数的零点列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由 ，可得 ，
由于函数 在 上有且只有一个零点，
故 ，解得 ，
故选：B
7．D
利用同角三角函数关系求出 ，根据两角和正弦公式结合题意求出 ，继而求得
，再利用二倍角公式即可求得答案.
【详解】由于 为锐角，则
由 ，得 ，
即 ，结合 ，
可得 ，
故 ，
故 ，
故选：D
8．C
由余弦定理和三角形的面积公式可得 ，分别求出两部分的值域知
，即可知 的形状.【详解】由余弦定理可知： ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，当且仅当 时取等，
又因为 的最大值为 ，
所以此时 ，
所以 ，此时 ，
所以 的形状是钝角三角形.
故选：C.
9．BC
取特值可判断AD；设 ， ，由 可得 或 ，由此可判断B；由复数模的几何意
义可判断C.
【详解】对于A，若 ，设 ， ， ，
所以 ，
若 ， ，则 ，不为纯虚数，故A错误；
对于B，设 ， ，则 ，
若 ，则 ， ，解得： ，即 或 ，所以 ，故B正确，
对于C， 表示复数 在复平面上对应的点到 的距离为 ，
即以 为圆心， 为半径的圆， 表示点 到原点的距离，
圆心 到原点的距离为 ，所以 的最大值为 ，故C正确；
对于D，取 ， ， ， ，
满足 ，但 ，故D错误.
故选：BC.
10．ABD
计算 可判断A；求出 的单调递增区间可判断B；求出 与 的对称轴可判断
C；画出画出 与 在 的图象可判断D.
【详解】对于A，因为 ，
故 的图象关于点为 对称，故A正确；
对于B，令 ， ，
所以 ， ，
令 ，则 ，而 ，故B正确；
对于C，令 ，解得： ，
的对称轴为 ，令 ，解得： ，
的对称轴为 ，
令 ，则 ，
则 ，故 与 的图象没有相同的对称轴，故C错误；
对于D，画出 与 在 的图象，如下图，
可知 与 的图象在 上有两个不同的交点，故D正确.
令
故选：ABD.
11．ACD
由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三
角函数的性质可判断C；由共线向量定理求出 可判断D.
【详解】对于A， ，故A正确；
对于B，由A知， ，
，故B错误；
对于C，以 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
， ，设 ，
所以 ，当 时， 的最大值为5，故C正确；
对于D，当 三点共线时， ，
，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
12．1
确定方程的另外一根，根据韦达定理即可求得答案.
【详解】由题意知 是关于 的方程 的一个根，
则 是该方程的另一个根，则 ，
即 ，则 ，
故答案为：1
13．
利用二倍角的正弦、余弦公式结合弦化切可得出所求代数式的值.
【详解】 .
故答案为： .14． /
利用余弦定理求出 ，继而利用三角形相似求出 ,设 ，
，在 和 中，利用余弦定理求出 ，在 中，利用
余弦定理即可求出t的值，即可求得答案.
【详解】在等腰 中， ,
则 ，
即 ，设 ，则 ；
，结合 知 ,
可得 ，则 ∽ ，
故 ，而 ， ，
故 ,
设 ，在 和 中，利用余弦定理可得：
， ,
即 ， ，两式相减，则 ，
在 中，利用余弦定理可得： ,
即 ，
即得 ，则 ，
故答案为：
15．（1） ；（2） ．
（1）先求出 ， ，再由平行向量的坐标表示求出 ，再由模长公式求解即可；
（2）由数量积的定义求出 ，再由数量积的运算律结合 与 垂直即可得出答案.
【详解】（1）因为 ，
且 与 平行，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ．
（2）已知 与 的夹角为 ，所以 ，
因为 与 垂直，
所以
所以 ．
16．(1)
(2) ．
（1）由同角三角函数的基本关系求出 、 ，从而求出 、 ，再由两角和的正弦公式计
算可得；
（2）首先求出 ，再由 及两角和的正弦公式计算可得.
【详解】（1）因为 ，所以 ，解得 （负值舍去）；
所以 ，
所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以，
又因为 ，所以 ．
17．(1) ．
(2) ．
（1）由正弦定理结合两角和的正弦定理可得 ，即可求出答案；
（2）由点 是 的中点可得 ，对其两边平方则 ，再由余弦定理
可得 ，两式联立结合 的周长，即可求出 ，进而求出线段 的长．
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ．
（2）因为点 是 的中点，所以 ，
所以
在 中 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以
又因为 的周长为 ，所以
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ．18．(1) 米
(2) 平方米
（1）在 、 中，分别求出 、 的长，然后在 中利用余弦定理求出 的长，
可求出 的周长，即为所求；
（2）求得 ， ，利用三角形的面积公式得出 ，利用三角恒等变换
结合正弦型函数的基本性质求出 的最大值，即可得出 面积的最小值.
【详解】（1）因为 ， ，则 ，
在 中， ，
因为 ，
在 中， ，
所以在 中由余弦定理得
所以 ，
所以 ，
所以栅栏总长度为 米．（2）在 中， ，在 中， ，
所以 的面积 ，
，
因为 ，所以 ，
当 即 时， 取得最大值 ，
此时 的面积的最小值为 ，
所以植蔬菜的区域面积的最小值为 平方米．
19．(1)
(2) ．
(3)证明见解析
（1）利用二倍角的正弦和余弦公式可证明三倍角公式；
（2）利用（1）的结果可得 ，故可求 的值；
（3）令 ，结合（1）中恒等式对方程变形可得 ，故可求原方程的解，结合三角变换公式
可证 .
【详解】（1）（2）由（1）得 ，
而 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
（3）因为 ，所以
令 ，因为 ，所以 ，取
所以 ，
由（1） ，得
又因为 ，所以
所以 ，
所以
所以.
故 .
