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第 2 节 等差数列及其前 n 项和
考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相
应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：a －a ＝d(n∈N*，d为常数).
n＋1 n
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{a }的首项是a ，公差是d，则其通项公式为a ＝a ＋ ( n － 1 ) d.
n 1 n 1
(2)前n项和公式：S ＝na ＋＝.
n 1
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：a ＝a ＋ ( n － m ) d (n，m∈N*).
n m
(2)若{a }为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a ＋ a ＝ a ＋ a .
n k l m n
(3)若{a }是等差数列，公差为 d，则a ，a ，a ，…(k，m∈N*)是公差为md
n k k＋m k＋2m
的等差数列.
(4)若S 为等差数列{a }的前n项和，则数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差
n n m 2m m 3m 2m
数列.
(5)若S 为等差数列{a }的前n项和，则数列也为等差数列.
n n
1.已知数列{a }的通项公式是a ＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a }一定是等
n n n
差数列，且公差为p.
2.在等差数列{a }中，a ＞0，d＜0，则S 存在最大值；若a ＜0，d＞0，则S 存
n 1 n 1 n
在最小值.3.等差数列{a }的单调性：当d＞0时，{a }是递增数列；当d＜0时，{a }是递减
n n n
数列；当d＝0时，{a }是常数列.
n
4.数列{a }是等差数列⇔S ＝An2＋Bn(A，B为常数).
n n
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列{a }为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a ＝a ＋a .( )
n n＋1 n n＋2
(2)等差数列{a }的单调性是由公差d决定的.( )
n
(3)数列{a }为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( )
n
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
解析 (3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.
(4)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数.
2.(2022·南宁一模)记S 为等差数列{a }的前n项和，若a ＝1，S ＝，则数列{a }
n n 1 3 n
的通项公式a ＝( )
n
A.n B.
C.2n－1 D.
答案 B
解析 设等差数列{a }的公差为d，则S ＝3a ＋d＝3＋3d＝，解得d＝，∴a ＝1
n 3 1 n
＋(n－1)×＝.
3.(2021·宝鸡二模)已知{a }是等差数列，满足3(a ＋a )＋2(a ＋a ＋a )＝18，则该
n 1 5 3 6 9
数列的前8项和为( )
A.36 B.24 C.16 D.12
答案 D
解析 由等差数列性质可得a ＋a ＝2a ，a ＋a ＋a ＝3a ，所以3×2a ＋2×3a
1 5 3 3 6 9 6 3 6
＝18，即a ＋a ＝3，所以S ＝＝＝12.
3 6 8
4.在等差数列{a }中，若a ＋a ＝5，a ＋a ＝15，则a ＋a ＝( )
n 1 2 3 4 5 6
A.10 B.20 C.25 D.30
答案 C
解析 等差数列{a }中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为 d，若
n
a ＋a ＝5，a ＋a ＝15，则d＝15－5＝10，因此a ＋a ＝(a ＋a )＋d＝15＋10＝
1 2 3 4 5 6 3 425.
5.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多
降落9.80 m，那么经过________秒落到地面.
答案 20
解析 设物体经过t秒降落到地面.
物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为 4.90，公差为9.80的等差数
列.
所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960，
即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
6.(易错题)在等差数列{a }中，|a |＝|a |，公差d＜0，则使数列{a }的前n项和S
n 3 9 n n
取最大值的正整数n的值是________.
答案 5或6
解析 ∵|a |＝|a |，
3 9
∴|a ＋2d|＝|a ＋8d|，
1 1
可得a ＝－5d，∴a ＝a ＋5d＝0，
1 6 1
且a ＞0，∴a ＞0，
1 5
故S 取最大值时n的值为5或6.
n
考点一 等差数列的基本运算
1.记S 为等差数列{a }的前n项和.已知S ＝0，a ＝5，则( )
n n 4 5
A.a ＝2n－5 B.a ＝3n－10
n n
C.S ＝2n2－8n D.S ＝n2－2n
n n
答案 A
解析 设首项为a ，公差为d.
1
由S ＝0，a ＝5可得
4 5
解得
所以a ＝－3＋2(n－1)＝2n－5，
n
S ＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.
n
2.(2022·太原调研)已知等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝a ＝8，则公差d＝(
n n 8 8
)A. B. C.1 D.2
答案 D
解析 ∵S ＝a ＝8，
8 8
∴a ＋a ＋…＋a ＝a ，
1 2 8 8
∴S ＝7a ＝0，则a ＝0.
7 4 4
∴d＝＝2.
3.(2020·全国Ⅱ卷)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a ＝－2，a ＋a ＝2，则S
n n 1 2 6 10
＝________.
答案 25
解析 设等差数列{a }的公差为d，
n
则a ＋a ＝2a ＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.
2 6 1
解得d＝1.
所以S ＝10×(－2)＋×1＝25.
10
4.(2019·全国Ⅰ卷)记S 为等差数列{a }的前n项和.已知S ＝－a .
n n 9 5
(1)若 a ＝4，求{a }的通项公式；
3 n
(2)若a >0，求使得S ≥a 的n的取值范围.
1 n n
解 (1)设{a }的公差为d.
n
由S ＝－a 可知9a ＝－a ，所以a ＝0.
9 5 5 5 5
因为a ＝4，所以d＝＝＝－2，
3
所以a ＝a ＋(n－3)×(－2)＝10－2n，
n 3
因此{a }的通项公式为a ＝10－2n.
n n
(2)由(1)得a ＝0，
5
因为a >0，所以等差数列{a }单调递减，
1 n
即d<0，
a ＝a －4d＝－4d，S ＝，
1 5 n
a ＝－4d＋d(n－1)＝dn－5d，
n
因为S ≥a ，
n n
所以≥dn－5d，
又因为d<0，所以1≤n≤10.
感悟提升 1.等差数列的通项公式及前 n项和公式共涉及五个量 a ，a ，d，n，
1 nS ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
n
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a 和d是等差
1
数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
考点二 等差数列的判定与证明
例1 (2021·全国甲卷)已知数列{a }的各项均为正数，记S 为{a }的前n项和，从
n n n
下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{a }是等差数列；②数列{}是等差数列；③a ＝3a .
n 2 1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
解 ①③⇒②.
已知{a }是等差数列，a ＝3a .
n 2 1
设数列{a }的公差为d，
n
则a ＝3a ＝a ＋d，得d＝2a ，
2 1 1 1
所以S ＝na ＋d＝n2a .
n 1 1
因为数列{a }的各项均为正数，
n
所以＝n，
所以－＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列.
①② ③.
已知{a }是等差数列，{}是等差数列.
⇒n
设数列{a }的公差为d，
n
则S ＝na ＋d
n 1
＝n2d＋n.
因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，
则a －＝0，即d＝2a ，
1 1
所以a ＝a ＋d＝3a .
2 1 1
②③ ①.
已知数列{}是等差数列，a ＝3a ，所以S ＝a ，S ＝a ＋a ＝4a .设数列{}的公差
⇒ 2 1 1 1 2 1 2 1
为d，d＞0，则－＝－＝d，得a ＝d2，所以＝＋(n－1)d＝nd，所以S ＝n2d2，
1 n
所以n≥2时，a ＝S －S ＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以a
n n n－1 n
＝2d2n－d2，所以a －a ＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a }
n＋1 n n
是等差数列.感悟提升 1.证明数列是等差数列的主要方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a －a 为同一常数.即作差法，将关
n n－1
于a 的a 代入a －a ，再化简得到定值.
n－1 n n n－1
(2)等差中项法：验证2a ＝a ＋a (n≥3，n∈N*)都成立.
n－1 n n－2
2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：
(1)通项公式：a ＝pn＋q(p，q为常数) {a }是等差数列.
n n
(2)前n项和公式：S ＝An2＋Bn(A，B为常数) {a }是等差数列.问题的最终判定
n ⇔ n
还是利用定义.
⇔
训练1 (2021·全国乙卷)设S 为数列{a }的前n项和，b 为数列{S }的前n项积，
n n n n
已知＋＝2.
(1)证明：数列{b }是等差数列；
n
(2)求{a }的通项公式.
n
(1)证明 因为b 是数列{S }的前n项积，
n n
所以n≥2时，S ＝，
n
代入＋＝2可得，＋＝2，
整理可得2b ＋1＝2b ，
n－1 n
即b －b ＝(n≥2).
n n－1
又＋＝＝2，所以b ＝，
1
故{b }是以为首项，为公差的等差数列.
n
(2)解 由(1)可知，b ＝＋(n－1)＝，则＋＝2，所以S ＝，
n n
当n＝1时，a ＝S ＝，
1 1
当n≥2时，a ＝S －S ＝－
n n n－1
＝－.
故a ＝
n
考点三 等差数列的性质及应用
角度1 等差数列项的性质
例2 (1)设S 为等差数列{a }的前n项和，且4＋a ＝a ＋a ，则S 等于( )
n n 5 6 4 9
A.72 B.36 C.18 D.9
(2)在等差数列{a }中，若a ＋a ＝4，则log (2a ·2a ·…·2a )＝( )
n 5 6 2 1 2 10A.10 B.20
C.40 D.2＋log 5
2
答案 (1)B (2)B
解析 (1)∵a ＋a ＝2a ，∴a ＝4，
6 4 5 5
∴S ＝＝9a ＝36.
9 5
(2)由等差数列的性质知 a ＋a ＝a ＋a ＝a ＋a ＝a ＋a ＝a ＋a ＝a 4，则
1 10 2 9 3 8 4 7 5 6
2a ···2a ＝2a ＋a2＋…＋a ＝25(a ＋a )＝25×4，所以log (2a ·2a ·…·2a )＝log 25×4＝
1 10 1 10 5 6 2 1 2 10 2
20.
角度2 等差数列前n项和的性质
例3 (1)已知等差数列{a }的前n项和为S .若S ＝7，S ＝21，则S 等于( )
n n 5 10 15
A.35 B.42 C.49 D.63
(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上
层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，
向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多 9块.向外每环依
次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多 729块，则三层共有扇面形
石板(不含天心石)( )
A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
答案 (1)B (2)C
解析 (1)在等差数列{a }中，S ，S －S ，S －S 成等差数列，即7，14，S －
n 5 10 5 15 10 15
21成等差数列，所以7＋(S －21)＝2×14，解得S ＝42.
15 15
(2)设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差 d＝9，a ＝9的等差数
1
列.由等差数列的性质知S ，S －S ，S －S 成等差数列，且(S －S )－(S －S )
n 2n n 3n 2n 3n 2n 2n n
＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S ＝S ＝27×9＋×9＝3
3n 27
402(块).角度3 等差数列前n项和的最值
例4 等差数列{a }中，设S 为其前n项和，且a ＞0，S ＝S ，则当n为多少时，
n n 1 3 11
S 最大？
n
解 法一 设公差为d.由S ＝S ，可得3a ＋d＝11a ＋d，
3 11 1 1
即d＝－a .
1
从而S ＝n2＋n＝－(n－7)2＋a ，
n 1
因为a ＞0，所以－＜0.
1
故当n＝7时，S 最大.
n
法二 易知S ＝An2＋Bn是关于n的二次函数，
n
由S ＝S ，可知S ＝An2＋Bn的图象关于直线n＝＝7对称.
3 11 n
由解法一可知A＝－＜0，
故当n＝7时，S 最大.
n
法三 设公差为d.
由解法一可知d＝－a .
1
要使S 最大，则有
n
即
解得6.5≤n≤7.5，
故当n＝7时，S 最大.
n
法四 设公差为d.由S ＝S ，可得2a ＋13d＝0，
3 11 1
即(a ＋6d)＋(a ＋7d)＝0，故a ＋a ＝0，
1 1 7 8
又由a ＞0，S ＝S 可知d＜0，
1 3 11
所以a ＞0，a ＜0，所以当n＝7时，S 最大.
7 8 n
感悟提升 1.项的性质：在等差数列{a }中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
n
则a ＋a ＝a ＋a .
m n p q
2.和的性质：在等差数列{a }中，S 为其前n项和，则
n n
(1)S ＝n(a ＋a )＝…＝n(a ＋a )；
2n 1 2n n n＋1
(2)S ＝(2n－1)a .
2n－1 n
(3)依次k项和成等差数列，即S ，S －S ，S －S ，…成等差数列.
k 2k k 3k 2k
3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其
正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和S ＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通
n
过二次函数的性质求最值.
训练2 (1)(2021·洛阳质检)记等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝272，则a ＋
n n 17 3
a ＋a ＝( )
9 15
A.24 B.36 C.48 D.64
(2)已知S 是等差数列{a }的前n项和，若a ＝－2 020，－＝6，则S 等于(
n n 1 2 023
)
A.2 023 B.－2 023
C.4 046 D.－4 046
(3)设等差数列{a }满足a ＝1，a ＞0(n∈N*)，其前n项和为S ，若数列{}也为等
n 1 n n
差数列，则的最大值是________.
答案 (1)C (2)C (3)121
解析 (1)因为数列{a }是等差数列，其前n项和为S ，
n n
所以S ＝272＝×17＝×17
17
＝17a ，
9
∴a ＝16，所以a ＋a ＋a ＝3a ＝48.
9 3 9 15 9
(2)∵为等差数列，设公差为d′，
则－＝6d′＝6，∴d′＝1，
首项为＝－2 020，
∴＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，
∴S ＝2 023×2＝4 046，故选C.
2 023
(3)设数列{a }的公差为d，
n
依题意得2＝＋，
∴2＝＋，
把a ＝1代入求得d＝2，
1
∴a ＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
n
S ＝n＋×2＝n2，
n
∴＝＝
＝
＝≤121.∴的最大值是121.
1.在等差数列{a }中，3a ＝2a ，则此数列中一定为0的是( )
n 5 7
A.a B.a C.a D.a
1 3 8 10
答案 A
解析 设{a }的公差为d(d≠0)，
n
∵3a ＝2a ，
5 7
∴3(a ＋4d)＝2(a ＋6d)，得a ＝0.
1 1 1
2.(2021·重庆二模)已知公差不为0的等差数列{a }中，a ＋a ＝a ，a ＝a，则a
n 2 4 6 9 10
＝( )
A. B.5 C.10 D.40
答案 A
解析 设公差为d，
由已知得
由于d≠0，故a ＝d＝，
1
所以a ＝＋×9＝.
10
3.已知数列{a }满足5an＋1＝25·5an，且a ＋a ＋a ＝9，则log(a ＋a ＋a )＝( )
n 2 4 6 5 7 9
A.－3 B.3 C.－ D.
答案 A
解析 数列{a }满足5an＋1＝25·5an，
n
∴a ＝a ＋2，即a －a ＝2，
n＋1 n n＋1 n
∴数列{a }是等差数列，公差为2.
n
∵a ＋a ＋a ＝9，∴3a ＝9，a ＝3.
2 4 6 4 4
∴a ＋3×2＝3，解得a ＝－3.
1 1
∴a ＋a ＋a ＝3a ＝3×(－3＋6×2)＝27，
5 7 9 7
则log(a ＋a ＋a )＝log33＝－3.故选A.
5 7 9
4.(2022·太原一模)在数列{a }中，a ＝3，a ＝a ＋a (m，n∈N*)，若a ＋a ＋a
n 1 m＋n m n 1 2 3
＋…＋a ＝135，则k＝( )
kA.10 B.9 C.8 D.7
答案 B
解析 令m＝1，由a ＝a ＋a 可得a ＝a ＋a ，所以a －a ＝3，
m＋n m n n＋1 1 n n＋1 n
所以{a }是首项为a ＝3，公差为3的等差数列，a ＝3＋3(n－1)＝3n，
n 1 n
所以a ＋a ＋a ＋…＋a ＝
1 2 3 k
＝＝135.
整理可得k2＋k－90＝0，解得k＝9或k＝－10(舍).
5.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多
十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，
分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八
个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分
得斤数为( )
A.65 B.176 C.183 D.184
答案 D
解析 根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a }，其中d＝
n
17，n＝8，S ＝996.
8
由等差数列前n项和公式可得8a ＋×17＝996，解得a ＝65.
1 1
由等差数列通项公式得a ＝65＋(8－1)×17＝184.
8
则第八个孩子分得斤数为184.
6.(2021·全国大联考)在等差数列{a }中，若<－1，且它的前n项和S 有最大值，
n n
则使S >0成立的正整数n的最大值是( )
n
A.15 B.16 C.17 D.14
答案 C
解析 ∵等差数列{a }的前n项和有最大值，∴等差数列{a }为递减数列，
n n
又<－1，∴a >0，a <0，
9 10
∴a ＋a <0，
9 10
又S ＝＝9(a ＋a )<0，
18 9 10
且S ＝＝17a >0.
17 9
故使得S >0成立的正整数n的最大值为17.
n
7.设S 为等差数列{a }的前n项和，若S ＝1，S ＝4，则S ＝________.
n n 6 12 18答案 9
解析 在等差数列中，S ，S －S ，S －S 成等差数列，∵S ＝1，S ＝4，
6 12 6 18 12 6 12
∴1，3，S －4成公差为2的等差数列，即S －4＝5，S ＝9.
18 18 18
8.等差数列{a }与{b }的前n项和分别为S 和T ，若＝，则等于________.
n n n n
答案
解析 ＝＝＝
＝＝＝.
9.(2021·西安一模)已知数列{a }的前n项和为S ，满足a ＝，a ＝2，2(S ＋S )
n n 1 2 n＋2 n
＝4S ＋1，则数列{a }的前16项和S ＝________.
n＋1 n 16
答案 84
解析 将2(S ＋S )＝4S ＋1变形为(S －S )－(S －S )＝，即a －a
n＋2 n n＋1 n＋2 n＋1 n＋1 n n＋2 n＋1
＝，又a ＝，a ＝2，∴a －a ＝符合上式，∴{a }是首项a ＝，公差d＝的等差
1 2 2 1 n 1
数列，∴S ＝16×＋×＝84.
16
10.已知公差大于零的等差数列{a }的前n项和为S ，且满足a a ＝65，a ＋a ＝
n n 2 4 1 5
18.
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)是否存在常数k，使得数列{}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，
请说明理由.
解 (1)设公差为d.∵{a }为等差数列，
n
∴a ＋a ＝a ＋a ＝18，又a a ＝65，
1 5 2 4 2 4
∴a ，a 是方程x2－18x＋65＝0的两个根，
2 4
又公差d＞0，∴a ＜a ，∴a ＝5，a ＝13.
2 4 2 4
∴∴∴a ＝4n－3.
n
(2)由(1)知，S ＝n＋×4＝2n2－n，
n
假设存在常数k，使数列{}为等差数列.
由＋＝2，
得＋＝2，解得k＝1.
∴＝＝n，
当n≥2时，n－(n－1)＝，为常数，
∴数列{}为等差数列.故存在常数k＝1，使得数列{}为等差数列.
11.设数列{a }的各项都为正数，其前n项和为S ，已知对任意n∈N*，S 是a和
n n n
a 的等差中项.
n
(1)证明：数列{a }为等差数列；
n
(2)若b ＝－n＋5，求{a ·b }的最大项的值并求出取最大值时n的值.
n n n
(1)证明 由已知可得2S ＝a＋a ，
n n
且a >0，
n
当n＝1时，2a ＝a＋a ，解得a ＝1.
1 1 1
当n≥2时，有2S ＝a＋a ，
n－1 n－1
所以2a ＝2S －2S
n n n－1
＝a－a＋a －a ，
n n－1
所以a－a＝a ＋a ，
n n－1
即(a ＋a )(a －a )＝a ＋a ，
n n－1 n n－1 n n－1
因为a ＋a >0，
n n－1
所以a －a ＝1(n≥2).
n n－1
故数列{a }是首项为1，公差为1的等差数列.
n
(2)解 由(1)可知a ＝n，设c ＝a ·b ，
n n n n
则c ＝n(－n＋5)＝－n2＋5n
n
＝－＋，
因为n∈N*，所以n＝2或3，c ＝c ＝6，
2 3
因此当n＝2或n＝3时，{a ·b }取最大项，且最大项的值为6.
n n
12.(2020·新高考山东卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数
列{a }，则{a }的前n项和为__________.
n n
答案 3n2－2n
解析 法一(观察归纳法) 数列的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n
－2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项为 1，
7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，
则a ＝1＋6(n－1)＝6n－5.
n
故其前n项和为S ＝
n＝＝3n2－2n.
法二(引入参变量法) 令b ＝2n－1，c ＝3m－2，b ＝c ，则2n－1＝3m－2，即
n m n m
3m＝2n＋1，m必为奇数.
令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1，2，3，…).
a＝b ＝c ＝6t－5，即a ＝6n－5.
t 3t－2 2t－1 n
以下同法一.
13.(2022·衡水模拟)已知在数列{a }中，a ＝11，且na －(n－1)a ＝1，则a ＝
n 6 n n＋1 n
______；的最小值为________.
答案 2n－1 44
解析 na －(n－1)a ＝1，
n n＋1
∴(n＋1)a －na ＝1，
n＋1 n＋2
两式相减得na －2na ＋na ＝0，
n n＋1 n＋2
∴a ＋a ＝2a ，
n n＋2 n＋1
∴数列{a }为等差数列.
n
当n＝1时，
由na －(n－1)a ＝1得a ＝1，
n n＋1 1
由a ＝11，得公差d＝2，
6
∴a ＝1＋2(n－1)＝2n－1，
n
∴＝
＝4n＋－4≥2－4＝44，
当且仅当4n＝，即n＝6时等号成立.
14.等差数列{a }中，公差d＜0，a ＋a ＝－8，a a ＝7.
n 2 6 3 5
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)记T 为数列{b }前n项的和，其中b ＝|a |，n∈N*，若T ≥1 464，求n的最小
n n n n n
值.
解 (1)∵等差数列{a }中，公差d＜0，a ＋a ＝－8，
n 2 6
∴a ＋a ＝a ＋a ＝－8，又∵a a ＝7，
2 6 3 5 3 5
∴a ，a 是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a ＞a ，
3 5 3 5
解方程x2＋8x＋7＝0，得a ＝－1，a ＝－7，
3 5
∴解得a ＝5，d＝－3.
1∴a ＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8.
n
(2)由(1)知{a }的前n项和S ＝5n＋×(－3)＝－n2＋n.
n n
∵b ＝|a |，∴b ＝5，b ＝2，b ＝|－1|＝1，b ＝|－4|＝4，
n n 1 2 3 4
当n≥3时，b ＝|a |＝3n－8.
n n
当n＜3时，T ＝5，T ＝7；
1 2
当n≥3时，
T ＝－S ＋2S ＝－＋14.
n n 2
∵T ≥1 464，
n
∴T ＝－＋14≥1 464，
n
即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥，
∴n的最小值为34.
