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专题 1 数列中的证明问题
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现
的概率变大,证明一个数列是等差数列、等比数列或证明数列满足某些条件是数列中的一种重要题型,对
逻辑推理能力要求较高,对式子变形能力要求较高,常出现在解答题第1小题,本专题总结等差数列与等比
数列及其他数列的证明常用方法及技巧.
(一)利用等差数列定义证明数列是等差数列
利用定义法证明 是等差数列,就是证明对任意n∈N*,a －a 是同一常数．
n＋1 n
【例1】（2024届四川省自贡市高三第三次诊断）已知数列 的前项和为 ,且 ．
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)若 , , 成等比数列,求 的最大值．
【解析】（1）数列 满足 ①,
当 时,有 ②,
① ②可得： ,
即 ,变形可得 ,
故数列 是以 为等差的等差数列；
（2）由（1）可知数列 是以 为等差的等差数列,
学科网（北京）股份有限公司若 , , 成等比数列,则有 ,
即 ,解得 ,所以 ,
所以 单调递减,又当 时, ,当 时, ,当 时, ,
故当 或 时, 取得最大值,
且 ．
【例2】（2024届河北省沧州市泊头市第一中学等校高三下学期5月高考模拟）已知数列 满足
.
(1)证明：数列 为等差数列,并求 ；
(2)令 ,求数列 的前 项和 .
【解析】（1）由 ,知 ,
所以 ,
所以数列 是以 为首项,-1为公差的等差数列,
所以 ,
所以 .
（2）因为 ,
学科网（北京）股份有限公司所以 .
(二)利用 证明数列是等差数列
若对任意n∈N*,数列 满足2a ＝a ＋a,则 是等差数列.
n+1 n＋2 n
【例3】已知数列 有 , （常数 ）,对任意的正整数n, ,并有 满足
．
(1)求a的值；
(2)证明数列 是等差数列．
【解析】（1）由已知,得 ,
所以 .
（2）由 得 ,则 ,
所以 ,
即 ,
于是有 ,并且有 ,
所以 ,
即 ,
而 是正整数, ,即 ,
所以数列 是等差数列.
(三)证明数列不是等差数列
证明数列不是等差数列,一般只需要证明该数列的连续3项不成等差数列,通常利用反证法证明.
学科网（北京）股份有限公司【例4】给定数列 ,若首项 且 ,对任意的 ,都有 ,则称数列 为“指数型
数列”.
(1)已知数列 为“指数型数列”,若 ,求 ；
(2)已知数列 满足 ,判断数列 是不是“指数型数列”？若是,请
给出证明；若不是,请说明理由；
(3)若数列 是“指数型数列”,且 ,证明：数列 中任意三项都不能构成等差数列.
【证明】（1）因为数列 是“指数型数列”,所以对于任意的 ,
都有 .因为 ,
所以 , .
（2）数列 是“指数型数列”.
证明:由 ,得 ,即 ,
所以数列 是等比数列,且 ,
则 ,
,
所以数列 是“指数型数列”.
（3）因为数列 是“指数型数列”,故对任意的 ,
学科网（北京）股份有限公司有 ,则 ,所以 ,
适合该式.
假设数列 中存在三项 构成等差数列,不妨设 ,
则由 ,得 ,
所以 ,
当 为偶数且 时, 是偶数,而 是奇数, 是偶数,
故 不能成立；
当 为奇数且 时, 是偶数,而 是偶数, 是奇数,
故 不能成立；
所以,对任意的 , 不能成立,
即数列 中任意三项都不能构成等差数列.
(四)利用等比数列的定义证明数列是等比数列
利用定义法证明 是等比数列,就是证明对任意n∈N*, 是同一常数．
【例5】（2024届浙江省北斗星盟高三下学期适应性联考）在直角坐标平面内有线段 ,已知点 是线段
上靠近 的三等分点,点 是线段 上靠近 的三等分点,……,点 是线段 （ ,
）上靠近 的三等分点,设点 的横坐标为 .
(1)求证：数列 为等比数列；
学科网（北京）股份有限公司(2)若 , ,求 的通项公式.
【解析】（1）解：由题意得 所以 ,可得 ,
又由 ,所以
所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列.
（2）解：因为 , ,所以 ,
因为数列 是公比为 的等比数列,所以 时, .
由累加法可得 时,
,即当 时, ,
经检验, 满足上式,所以数列 的通项公式 .
【例6】（2024届湖南师范大学附属中学高三下学期模拟）记 为数列 的前 项和,已知
.
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求最小的正整数 ,使得 对一切 都成立.
【解析】（1）由题知 ,
学科网（北京）股份有限公司用 替换上式的 ,得 .
两式作差, ,即 .
而由 ,可得 .
从而 是首项为 ,公比为 的等比数列.
（2）由（1）得 ,于是 ,
设 ,则 ,
当 时, ,故 ,
两式作差,得 .
整理可得 .
故 ,又 ,因此满足条件的最小正整数 为 .
(五)利用 证明数列是等比数列
若对任意正整数n,都有 ,且 ,则数列 是等比数列.
【例7】（2024届贵州省毕节市高三第三次诊断性）在无穷数列 中,若对任意的 ,都存在 ,
使得 ,则称 为m阶等差数列.在正项无穷数列 中,若对任意的 ,都存在 ,
使得 ,则称 为m阶等比数列．
(1)若数列 为1阶等比数列, , ,求 的通项公式及前n项的和；
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