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第04章 章末复习课
重点练
一、单选题
1．已知 是一个等差数列的前 项和，对于函数 ，若数列 的前
项和为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知数列 的前 项和为 ， ， ， 成等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．如果数列 成等差数列，则 ， ， 成等比数列
B．如果数列 不成等差数列，则 ， ， 不成等比数列
C．如果数列 成等比数列，则 ， ， 成等差数列
D．如果数列 不成等比数列，则 ， ， 不成等差数列
4．已知 是等差数列 ( )的前 项和，且 ,以下有四个命题：
①数列 中的最大项为 ②数列 的公差
③ ④
其中正确的序号是（ ）
A．②③ B．②③④ C．②④ D．①③④二、填空题
5．下表给出一个“直角三角形数阵”：
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数
为 （i，j∈N*)，则 _____.
6．设数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 等于______.
三、解答题
7．设数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）设数列 的前 项和为 ，求证： 为定值；
（3）判断数列 中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.参考答案
1．【答案】D
【解析】 是一个等差数列的前 项和，则 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的前 项和为
，
则 .
故选D
2．【答案】B
【解析】当 时， ，即 ；
当 时， ，则 .
满足 ，所以，对任意的 ， .
设 ，
则 ，
下式 上式得 ，因此， .
故选B.
3．【答案】C
【解析】若 成等差数列，由 ， ， 成等差数列，得 ，
所以 ，所以
所以 ， ， ，
当 时 ， ， 成等差数列，当 时， ， ， 不成等差数列且不成等比数列；
若 成等比数列，由 ， ， 成等差数列，得 ，
若 ，则 ， ，
由 得 ，与题意不符，所以 ．
由 ，得 ．
整理，得 ，由 ，1，
设 ，则 ，解得 （舍去）或 ，
所以 ；
所以 ，
则 ，
所以 ， ， 成等差数列．故C正确；
故选C4．【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，∴
∴数列 中的最大项为 ，
，
∴正确的序号是②③④
故选B
5．【答案】
【解析】设第一列形成的数列为 ，则 是首项为 ，公差为 的等差数列，故 ， .
设第20行形成的数列为 ， 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 .
即 .
故填 .
6．【答案】1010
【解析】因为 ， ，因为
所以 ，由此可得 ， ， ，所以 ，周期为4，
所以 .
故填1010
7．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）不存在【解析】（1）当 时， ，解得 .
当 时， ，即 .
因为 ，所以 ，从而数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 .
（2）因为 ，所以 ，
故数列 是以4为首项，4为公比的等比数列，
从而 ， ，
所以 .
（3）假设 中存在第 项成等差数列，
则 ，即 .
因为 ，且 ，所以 .
因为 ，
所以 ，故矛盾，
所以数列 中不存在三项成等差数列.
