4.10数列在高考中的考法（高考版）（原卷）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_数列（包含一个合集）

4.10 数列在高考中的考法（高考版）
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：必记6 个知识点.............................................................2
考点二：必明2 个常用结论..........................................................2
考点三：分组求和两种技巧.......................................................... 3
考点四：数列新定义考法............................................................. 3
考点五：放缩法在数列中应用知识点...............................................3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：由定义法求解数列.......................................................... 4
题型二：由递推关系求数列的通项公式............................................5
题型三：等差、等比数列综合....................................................... 6
题型四：构造法.........................................................................7
题型五：放缩法.........................................................................8
题型六：数列与导数................................................................... 9
题型七：新定义题型................................................................. 10
题型八：不等式的证明.............................................................. 11
题型九：数列取值范围问题........................................................ 12
题型十：数列中的最值问题........................................................ 13
题型十一：数列的综合应用........................................................ 14
4.10 数列在高考中的考法（高考版）
模块一：基础知识
考点一：必记6 个知识点
1．公式法求和
(1)等差数列求和公式：Sn＝
n a1+an
2
＝____________．
(2)等比数列求和公式：Sn＝
na1，q = 1，
a1−anq
1−q = ________，q ≠1.
2．裂项相消法求和
把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法．
3．错位相减法求和
(1)适用的数列：{anbn}，其中数列{an}是公差为d 的等差数列，{bn}是公比为q≠1 的等比数列．
(2)方法：设Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(*)，
则qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1(**)，
(*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就转化为根据公式可求的和．
4．倒序相加法求和
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和等于首末两项之和，可把正着写与倒着写的两个
式子相加，就得到一个常数列的和，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，例如等差数列的前n
项和公式即是用此法推导的．
5．分组求和法求和
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化
求和法，分别求和而后相加减．例如已知an＝2n＋(2n－1)，求Sn.
6．并项求和法求和
把数列中的若干项结合到一起，形成一个新的可求和的数列，此时，数列中的项可能正、负相间出现
或呈现周期性．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两个项合并求解．例如：Sn＝1002－992＋982－972＋…＋
22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
考点二：必明2 个常用结论
1．一些常见数列的前n 项和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝
n n+1
2
；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n
2．三种常见的拆项公式
(1)
1
n n+1 ＝
1
n −
1
n+1；
(2)
1
2n−1
2n+1 ＝
1
2 (
1
2n−1 −
1
2n+1)；
(3)
1
n+ n+1＝n + 1 −
n.
考点三：分组求和两种技巧
1.分组转化法求和的常见类型
1 若an = bn ± cn，且bn ，cn 为等差或等比数列，可采用分组求和法求an 的前n 项和．
2 通项公式为an = bn，n 为奇数，
cn，n 为偶数
的数列，其中数列bn ，cn 是等比数列或等差数列，可采用分
组求和法求和．
2.并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an =( −1)n f(n)类型，可采用
两项合并求解．例如Sn
=1002 - 992 + 982 -972 +…+22 -12 =(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.
考点四：数列新定义考法
1.数列的新定义问题的特点是：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来
创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实
现信息的迁移，达到灵活解题的目的．
2.破解此类数列中的新定义问题的关键：一是盯题眼，即需认真审题，读懂新定义的含义，如本题，题眼
{an}的“优值”Hn＝2
n的含义为
a1+2a2+…+2n−1an
n
＝2
n；二是想“减法”，如本题，欲由等式a1＋2a2＋…＋2
n－1an
＝n·2
n求通项，只需写出a1＋2a2＋…＋2
n－2an－1＝(n－1)·2
n－1，通过相减，即可得通项公式．
考点五：放缩法在数列中应用知识点
放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一.在高考命题的热点一一数列不等式的证明一一中有广
泛的应用,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考量.
常用的放缩法有增项,减项、利用分式的性质、利用不等式的基本性质,利用已知不等式(如均值不等式,
柯西不等式、排序不等式等)、利用函数的性质、利用三角函数的有界性进行放缩等,适当放缩是解决不等
式问题的重点也是难点所在.虽然各版教材关于不等式放缩的技巧要求并不高,但高考中和全国数学联赛中
经常把对这种方法的考查作为命题的热点,特别是在压轴题中,数列不等式的证明是常考题型.
放缩法主要有直接放缩、裂项放缩,并项放缩,加强放缩等几种类型.
(1)直接放缩:为了证明不等式A
B

,可找一个(或多个)中间量C 作比较,若能确定A
C

与C
B

同时
成立,则A
B

显然正确(实质就是运用不等式基本性质中的传递性).所谓“放”即把A 放大到C ,再把C 放大
到B ;反之,由B 缩小经过C 而变到A ,则称为“缩”,统称为放缩法,放缩法是一种技巧性较强的不等变形,关键
是放,缩适当,跨度合理,放不能过头,缩不能不及.
(2)裂项放缩:在证明数列不等式中涉及数列求和时,经常出现这类技巧.放缩法常用的结论如下：
①1
2
2
2(
1
)
1
k
k
k
k
k
k
k






;


*
1
2
1
2(
1)
N ,
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k










②
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
;
(
1)
1
(
1)
1
k
k k
k
k k
k k
k
k










;
③
2
2
1
1
1
1
1
1
1
(
1)(
1)
2
1
1
k
k
k
k
k
k















(4)绝对值不等式:||
|
|
||
|
|
|
|
|
|
a
b
a
b
a
b



-
-
.
(3)并项放缩:有些不等式问题,直接放缩无法办到,如果对原不等式中的项进行适当重组,可使原问题出
现“柳暗花明又一村”的境地,并项放缩是局部调整法最为简单的一种.G ・波利亚也说过“局部提示整体”,局
部调整,分段逼近是导致不等式证明,特别是数列不等式证明得以解决的重要分析.
(4)加强放缩:有些数列不等式问题若直接证明命题比证明其某个加强命题更困难.这时,我们不妨“欲擒
故纵",先通过证明原命题的某个“更强的命题”,从而“顺手牵羊”地解决原命题,这种证明方法称为加强命题法,
这是证明数列不等式问题的一种有效方法.
总之,有关不等式的证明,在对问题作细致观察的基础上,展开丰富的联想,开启创造性思维的大门,将待
处理的问题变化(转化)为目标模式或规范问题,从而使原问题得到解决,是化归思想的体现,运用放缩法证明
不等式,其实质是化归思想的运用.
模块二：题型分类
题型一：由定义法求解数列
1.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足


2
1
n
n
S
a
n



*
N
．
(1)求数列
na
的通项公式
na 及
n
S ；
(2)若数列
nb
满足
31
n
n
b
S


，求数列
nb
的前10 项的和
10
T ．
2.已知数列
na
中，
1
1
a ，


1
1
2
3 2 n
n
n
a
a
n




N
.
(1)判断数列2
n
n
a





是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S
3.已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
2
1
n
n
a
a

．
(1)证明：数列

1
na 
是等比数列；
(2)设
1
n
n
n
b
a

，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
4.已知数列

na
n 
*
N
满足
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n








．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
cos π
n
n
b
a
n


，求数列
nb
前2n 项和
2n
T ．
题型二：由递推关系求数列的通项公式
1.数列
na
的首项
1
1
2
a 
，
3
1
4
a 
且对任意
*
nΝ ，
2
1
1
1
2
n
n
n
a
a
a




恒成立，则
10
a

．
2.有穷数列
na
共有k 项，其满足
1
2
1
n
n
n
n
a
a
a

，


1,
1
n
k


，n

N ，若k 的最大值为4，则
1a 
.
3.数列{
}
na
中，
1
1
3
a 
，
2
2
2
*
1
1
2
2
3,
(
1) ,
N
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
b
a
n









，设{ }
nb
的前n 项和为
n
S ，则
1
2
3
1
1
1
1
n
S
S
S
S





……
题型三：等差、等比数列综合
1.已知等差数列
na
和正项等比数列
1
1
7
5
1
4
，
，
nb
a
b
a
b




.
(1)求
n
n
a
b
，
；
(2)设
2
log
5
n
n
n
c
b
a


，记数列
nc
的前n 项和为
n
S ，求
n
S 的最小值：
(3)设
nb
的前n 项和为
nT ，是否存在常数p ､c ，使


2
log
n
n
a
p
T
c



恒成立？若存在，求出p c
､的值；
若不存在，说明理由.
2.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
2
4
3
25
a
a
a



，且
3
2
a 
，
4a ，
5
2
a 
成等比数列．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
3 n
a
n
n
b
a



，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
3.在数列
na
中，
1
2
a 
，
2
8
a 
，且对任意的
*
N
n
，都有
2
1
4
4
n
n
n
a
a
a




.
(1)证明：

1
2
n
n
a
a

是等比数列，并求出
na
的通项公式；
(2)若
*
*
2
,
2
1,
N
log
,
2 ,
N
n
n
n
n n
k
k
a
b
n n
k k
a










，求数列
nb
的前n项和
nT .
4.已知数列
na
的前n 项和为
2
3
5
n
S
n
n


，数列
nb
满足
1
8
b 
，
1
64
n
n
b
b 

．
(1)证明
na
是等差数列；
(2)是否存在常数a、b，使得对一切正整数n 都有
log
n
a
n
a
b
b


成立．若存在，求出a、b 的值；若不存在，
说明理由．
题型四：构造法
1.数列
na
中，
1
5
6
a 
，




1
2
5
10
5
6
5
15
n
n
n
n
a
a
n
n
a
n







，则
99
a
（
）
A．
1
2019
B．2018
2019
C．
1
2020
D．2019
2020
2.已知数列
na
各项均不为零，且
1
1
1
1
3,
1
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a








（
2
n 
且
*
N
n
），若
21
43
a 
，则
9a （
）
A．19
B．20
C．22
D．23
3.已知函数
( )
y
f x

的定义域为(0,
)
，当
1
x 时，( )
0
f x 
；对任意的,
(0,
)
x y
，( )
( )
(
)
f x
f y
f x y



成立.若数列{
}
na
满足
1
(1)
a
f

，且
*
1
(
)
(2
1)(
)
n
n
f a
f
a
n
N




，则
2020
a
的值为（
）
A．
1009
1
a

B．
1010
1
a

C．
2019
2
1

D．
2020
2
1

题型五：放缩法
1．已知数列
na
满足
0
na 
，
1
2
a 
，且

2
2
1
1
n
n
n
n
a
na
a




，
*
n N ，则下列说法中错误的是（
）
A．
2
2
2
n
n
a
n


B．
2
2
2
2
3
2
4
2
3
2
2
2
2
3
4
n
a
a
a
a
n






C．
1
1
n
n
a
a



D．
1
2
n
n
a
a 


2．已知数列
na
中，
1
1
a ，若


*
1
1
2,
N
n
n
n
na
a
n
n
n
a






，则下列结论中错误的是（
）
A．
4
12
25
a 
B．
1
1
1
1
2
n
n
a
a



C．
ln(
1)
1
na
n



D．
2
1
1
1
2
n
n
a
a


3．已知数列
na
中，
1
5
2
a 
，
2
1
2
n
n
a
a 


，记
1024
2
N 
，
10
1
2
10
T
a a
a



，则（
）
A．
10
1
1
,
4
2
N
N
T






B．
10
1
2
,
2
3
T
N
N






C．
10
2
3
,
3
4
T
N
N






D．
10
3
,
4
T
N N






4．已知各项均为正数的数列
na
满足
1
1
a ，


1
1
e
cos
n
a
n
n
a
a
n





Ν
，其前n 项和为
n
S ，则下列关于数列
na
的叙述错误的是(
)
A．


1
n
n
a
a
n



Ν
B．


2
1
1
n
n
n
a
a
a
n





Ν
C．


1
na
n
n


Ν
D．


2
n
S
n n


Ν
5．设数列
na
满足
1
1
0
2
a


，


1
ln 2
n
n
n
a
a
a



对任意的
N
n


恒成立，则下列说法不正确的是（
）
A．
2
1
1
2
a


B．
na
是递增数列
C．
2020
3
1
2
a


D．
2020
3
1
4
a


6．设数列
na
满足
1
0
a 
，
3
1
2
8 ,
N
n
n
a
ca
c n





其中c 为实数，数列

2
na
的前n 项和是
n
S ，下列说法不
正确的是（
）
A．当
1
c 时，
na
一定是递减数列
B．当
0
c 
时，不存在c 使
na
是周期数列
C．当
1
0, 4
c





时，


0,2
na 
D．当
1
7
c 
时，
5
2
n
S
n


题型六：数列与导数
1.已知等比数列
na
单调递增，且
1
2
3
,
,
1
a a a 成等差数列，则当
11
a 取最小值时，集合


*
N
n
n
A
a
a


∣
中的
元素之和为（
）
A．36
B．42
C．54
D．61
2．在数列
na
中给定
1a ，且函数



3
1
1
sin
2
1
3
n
n
f x
x
a
x
a
x






的导函数有唯一零点，函数





3
1
12
sin π
cos π
2
2
g x
x
x
x



且





1
2
9
18
g a
g a
g a





，则
5a （
）．
A．1
4
B．1
3
C．1
6
D．1
9
3．已知数列
na
满足


3
1
1
6
6(
1,2,3,
)
4
n
n
a
a
n




，则（
）
A．当
1
3
a 
时，
na
为递减数列，且存在常数
0
M ≤，使得
n
a
M

恒成立
B．当
1
5
a 
时，
na
为递增数列，且存在常数
6
M 
，使得
na
M

恒成立
C．当
1
7
a 
时，
na
为递减数列，且存在常数
6
M 
，使得
n
a
M

恒成立
D．当
1
9
a 
时，
na
为递增数列，且存在常数
0
M 
，使得
na
M

恒成立
题型七：新定义题型
1.若数列
nb
、
nc
均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得


1
,
m
n
n
b
c c 

，则称数列
nb
为数列
nc
的“M 数列”．已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，则下列选项中为假命题的是（
）
A．存在等差数列
na
，使得
na
是
n
S
的“M 数列”
B．存在等比数列
na
，使得
na
是
n
S
的“M 数列”
C．存在等差数列
na
，使得
n
S
是
na
的“M 数列”
D．存在等比数列
na
，使得
n
S
是
na
的“M 数列”
2.设数列
na
的前n 项的和为
n
S ，若对任意的
*
nN ，都有
1
n
n
S
a 

，则称数列
na
为“K 数列”．关于命题：
①存在等差数列
na
，使得它是“K 数列”；②若
na
是首项为正数、公比为q 的等比数列，则
[2,
)
q

是
na
为“K 数列”的充要条件．下列判断正确的是（
）
A．①和②都为真命题
B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题
D．①和②都为假命题
3.艾萨克牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”
的方法求函数

f
x 零点时给出一个数列
nx
：




1
n
n
n
n
f
x
x
x
f
x



，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数



2
0
f
x
ax
bx
c a




有两个零点1，2，数列
nx
为牛顿数列．设
2
ln
1
n
n
n
x
a
x



，已知
1
1
a ，
na
的前
n 项和为
n
S ，则
2022
1
S
等于（
）
A．2022
B．2023
C．
2023
2
D．
2022
2
4.数列{an}的前n 项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝
a1+2a2+…+2n−1an
n
，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，
则Sn＝________．
题型八：不等式的证明
1.在数列
nq
中
1
2
q 
，
1
1
2
n
n
q
q


，在数列
na
中
1
1
a ，
2
2
1
2
1
2
n
n
n
n
n
a
a
q
a
a




.
(1)求证数列
1
1
nq







成等差数列并求
nq ；
(2)求证：
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
3
(
1)
1
n
n
n
a
a
a
a
n
n











.
2.已知数列
na
的前n项和为
n
S ，若
2
3
1
2
3
4
5
2
n
S
S
S
S
n
n
n








，
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)证明：
1
2
3
1
1
1
1
3
8
n
S
S
S
S






.
3.已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a


（其中
*
N
n
）
(1)判断并证明数列
na
的单调性；
(2)记数列
na
的前n 项和为
n
S ，证明：
2022
3
5
2
2
S


．
4.数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，
*
nN ，满足
1
n
n
S
a

，设


1
2
n
n
n
b
S
a 


，数列{ }
nb
的前n项和为
nT ．
(1)求
na 和
nb 的通项公式；
(2)设
n
n
n
c
S
T


，数列
nc
的前n 项和为
n
R ，求证：
1
2
2
2
2
1
2
1
1
1
......
1
n
n
T
T
T
R
R
R






.
题型九：数列取值范围问题
1.已知单调递增的等比数列
na
满足
2
3
4
39
a
a
a



，且
3
6
a 
是
2a ，
4a 的等差中项．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
3
log
n
n
n
b
a
a

，
1
2
n
n
S
b
b
b





，对任意正整数n，
1
0
2
n
n
n
m
S
a 



恒成立，试求m 的取值范围．
2.记数列
na
的前n 项和为
1
1
1
,
2,
3
4
n
n
n
n
S
a
S
S
a





.
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
2
log
n
n
n
b
a
a

，记
nb
的前n 项和为
nT .若
2
(
1)
2
n
t n
T



对于
2
n 
且
*
N
n
恒成立，求实数t 的取值范
围.
3.已知数列
na
满足
1
14
a 
，
1
3
4
n
n
a
a


.
(1)证明数列

2
na 
为等比数列，并求
na
的通项公式；
(2)设





1
1
3
1 3
1
n
n
n
n
n
a
b





，数列
nb
的前n 项和为
nT ，若存在
*
nN ，使
n
m
T

，求m 的取值范围.
4.已知递增数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
2
n
n
S
a
n


，数列{ }
nb
满足
1
1
4
2
,
4
b
a b
a


，
2
2
1 ,
.
n
n
n
b b
b
n
N 




(1)求数列{
}
na
和{ }
nb
的通项公式；
(2)记
2
1
(6
7)
,
8
3
log
,
n
n
n
n
n
b
n
S
c
b
n







为奇数
为偶数
，数列{ }
nc
的前2n 项和为
2n
T ，若不等式
2
4
( 1)
4
1
n
n
n
T
n





对一切n
N 

恒成
立，求的取值范围．
题型十：数列中的最值问题
1.已知等差数列
na
的前n项为
n
S ，满足
2
3
a 
，
5
25
S 
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若对任意
*
N
n
，不等式
1
2
3
1
2
3
1
1
1
1
3
3
3
3
































n
a
a
a
a
n
a
a
a
a
m 恒成立，求m 的最小值.
2．已知数列
na
是公差不为0 的等差数列，1
1
a ，且
1a ，
2a ，
4a 成等比数列；数列
nb
的前n 项和是
n
S ，
且
2
1
n
n
S
b

，
*
nN ．
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)设
1
1
n
n
n
n
n
a
a
c
a a




，是否存在正整数m，使得


2
2
2
2
1
2
3
2
31
3
n
m
n
n
a
c
c
c
c
x
b 







对任意
*
nN 恒成立？若
存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由．
题型十一：数列的综合应用
1．在递增的等差数列
na
中，已知
2
3
1
4
10,
16
a
a
a a




．
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）若数列
nb
满足
3
1
2
2
3
3 1
3
1
3
1
3
1
n
n
n
b
b
b
b
a









，求数列
nb
的通项公式；
（3）令
4
n
n
n
a b
c 
，求数列
nc
的前n 项和
nT .
2．函数

y
f x

的图象为自原点出发的一条折线，当


*
1
N
n
y
n n



时，该函数图象是斜率为


0
n
b
b 
的一条线段.已知数列
na
由




*
N
n
f a
n n


定义.
(1)用b 表示
1
2
,
a a ；
(2)若
2
b 
，记
1
2
2
n
n
T
a
a
na





，求证：
2
4
2
n
n
n
T



.
3．已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且


2
2
n
n
S
a
n
N 



（1）求数列
na
的通项公式；
（2 ）若数列
nb
满足


1
3
1
2
2
3
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
b
b
b
b
a











，求数列
nb
的通项公式；
（3）在（2 ）的条件下，设
2n
n
n
c
b



，问是否存在实数使得数列

nc
n
N 

是单调递增数列？若存
在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.