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2021 年上海市夏季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12 题，满分54 分，第1～6 题每题4 分，第7～12 题每题5 分）
1、已知
（其中为虚数单位），则
．
2、已知
则
3、若
,则圆心坐标为
4、如图边长为3 的正方形
则
5、已知
则
6.已知二项式
的展开式中，
的系数为
，则
________．
7、已知
,目标函数
，则z 的最大
值
为
8、已知无穷递缩等比数列
的各项和为
则数列
的各项和为
9、在圆柱底面半径为,高为
,
为上底底面的直径,点
是下底底面圆弧上的一个动点，点
绕着
下底底面旋转一周，则
面积的范围
10.甲、乙两人在花博会的A、B、C、D 不同展馆中各选
个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同的
概率为________．
11、已知抛物线
,若第一象限的点
在抛物线上，抛物线焦点为
则直线
的斜率为
12.已知
，且对任意
都有
或
中有且仅
有一个成立，
，
，则
的最小值为________．
二、选择题（本大题共有4 题，每题5 分，满分20 分）
13、以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ）
A.
B.
C.
D.
14、已知参数方程
,以下哪个图像是该方程的图像 （ ）
15. 已
知
，对于任意的
，都存在
，使得
成立，则下列选项中，
可能的值是（ ）
16、已知两两不同的
满足
，
且
，
，
，
，则下列选项中恒成立的是（ ）
三、解答题（本大题共有5 题，满分76 分,解答下列各题必须写出必要
的步骤)
17、如图，在长方体
中，
（1)若
是边
的动点，求三棱锥
的体积；
2
（2)求
与平面
所成的角的大小.
18、在Δ
中，已知
（1)若
求Δ
的面积；（2)若
,求Δ
的周长.
19.已知某企业今年（2021 年）第一季度的营业额为
亿元，以后每个季度（一年有四个季度）营业
额都比前一季度多
亿元，该企业第一季度是利润为
亿元，以后每一季度的利润都比前一季
度增长
.
（1）求2021 第一季度起20 季度的营业额总和；
（2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的
？
20、已知
是其左右焦点，
,直线过点
交
于
两点，
且
在线段
上.
（1)若
是上顶点，
求
的值；
（2)若
且原点
到直线的距离为
，求直线的方程；
（3)证明：证明：对于任意
总存在唯一一条直线使得
.
21、如果对任意
使得
都有
,则称
是
关联的.
（1)判断并证明
是否是
关联？是否是
关联？
（2)
是
关联的，在
上有
,解不等式
；
（3)“
是
关联的，且是
关联”当且仅当“
是
关联的”．
2021 年上海市夏季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12 题，满分54 分，第1～6 题每题4 分，第7～12 题每题5 分）
1.已知
（其中为虚数单位），则
．
【思路分析】复数实部和虚部分别相加
【解析】：
【归纳总结】本题主要考查了复数的加法运算，属于基础题．
2、已知
则
【思路分析】求出集合A，再求出
3
【解析】：
，所以
【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
3、若
,则圆心坐标为
【思路分析】将圆一般方程化为标准方程，直接读取圆心坐标
【解析】：
可以化为
所以圆心为
【归纳总结】本题主要考查了圆的方程，属于基础题．
4、如图边长为3 的正方形
则
【思路分析】利用向量投影转化到边上.
【解析】方法一：
方法二：由已知
，
，
，
则
；
【归纳总结】本题考查了平面向量的数量积的定义、正方形的几何性质；基础题；
5、已知
则
【思路分析】利用反函数定义求解.
【解析】由题意，得原函数的定义域为：
，结合反函数的定义，得
，
解得
，所以，
；
【归纳总结】本题主要考查了反函数的定义的应用，属于基础题．
6.已知二项式
的展开式中，
的系数为
，则
________．
【思路分析】利用二项式展开式通项公式求解.
【解析】
【归纳总结】本题考查了二项式定理的通项公式、组合数公式与指数幂
运算；基础题。
7、已知
,目标函数
，则z 的最大
值为
【思路分析】作出不等式表示的平面区域，根据z 的几何意义求最值.
【解析】如图，可行域的三个顶点为：
、
，
，
结合直线方程与
的几何意义，得
，
，则
；
当
【归纳总结】本题主要考查线性规划的规范、准确作图与直线方程中“参数”的几何意义与数形结合
思想；
8、已知无穷递缩等比数列
的各项和为
则数列
的各项和为
【思路分析】利用无穷递缩等比数列求和公式建立方程求出公比，再得到
通项公式，根据特点求和.
【解析】
，
【归纳总结】本题考查了数列的基本问题：等比数列与无穷递缩等比数列的
各项和的概念与公式；同时考查了学生的数学阅读与计算能力。
9、在圆柱底面半径为,高为
,
为上底底面的直径,点
是下底底面圆
4
弧上的一个动点，点
绕着下底底面旋转一周，则
面积的范围
【思路分析】注意几何题设与几何性质选择求
面积的的方法；
【解析】由题意，当点
在下底底面圆弧上的运动时，
的底边
，
所以，
面积的取值与高
相关；
当
时，
最大为：
，
面积的最大值为：
；
当
时，
最小为：
，
面积的最大值为：
；
所以，
面积的取值范围为：
；
【归纳总结】本题主要考查了圆柱的几何性质，简单的数学建模（选择求三角形面积的方案），等价转
化思想。
10.甲、乙两人在花博会的A、B、C、D 不同展馆中各选
个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同的
概率为________．
【思路分析】注意“阅读，理解”，等价为“两个”排列组合题；
【解析】由题意
、
、
、
四个不同的场馆，每人可选择的参观方法有：
种，则甲、乙两个人每
人选
个场馆的参观方法有：
种；
由此，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：
种；
（或等价方法1：甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：
种）；
（或等价方法2【补集法】：甲、乙两人参观两个不同一个场馆的参观方法有：
种；
甲、乙两人参观两个相同场馆的参观方法有：
种；
所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：
种）；
所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的概率为：
；
【归纳总结】本题主要考查考生的“数学阅读理解”，然后将古典概型问题等价转化为：两个排列、组
合题解之；有点“区分度”；
11、已知抛物线
,若第一象限的点
在抛物线上，抛物线焦点为
则直线
的斜率为
【思路分析】注意理解与应用抛物线的定义以及直线斜率公式的特征；
【解析】方法一：如图，设
，
，再由抛物线的定义结合题设得
，
，则
，
又
，解得
，
则直线
的斜率为：
；
方法二：过
、
分别向准线引垂线，垂足为
、
，
直线
与
轴的交点为
，
由抛物线定义，得
，
，
于
，
则
，又由已知
，则
，
结合平面几何中，“内错角相等”，所以，直线
的斜率为：
)
方法三：：结合本题是填充题的特点，数形结合并利用“二级结论”，弦长公式
，
即
，解得
，结合题设与图像
，所以
）
H
5
【归纳总结】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于解析几何的基本计算，甚至都不需要利
用几何关系。定义、弦长、斜率都是解析几何的基本概念与公式；而用好抛物线的定义、数形结合与平
面几何的性质，则可减少计算量； 考查了学生直观想象核心素养，通过几何意义容易求出斜率来；
12.已知
，且对任意
都有
或
中有且仅
有一个成立，
，
，则
的最小值为________．
【思路分析】注意阅读与等价转化题设中的递推关系；
【答案】31；
【解析】方法一：由题设，知：
；
或
中恰有一个成立；
或
中恰有一个成立；
…
或
中恰有一个成立；
则①
，
，
，
，
则
，当
时，
的和为最小值为：
31；
②
，
，
，
，
则
，当
时，
的和为最小值为：
32；
因此，
的最小值为：31）；
方法二：：
或
中恰有一个成立；等价为：
或
中恰有一个成
立；
或
中恰有一个成立；等价为：
或
中恰有一个成立；
…
或
中恰有一个成立；等价为：
或
中恰有一个成立；
又要求
的和为最小，所以，希望尽量出现1 和2，
则有数列：6，1，2，1，2，1，2，8，9 或6，7，1，2，1，2，1，2，9；
因此，
的最小值为：31；）
方法三：：设
，
或
恰好只有一个为1；
①
②
的最小值为
）
方法四：：由题设，知：
；由题设，得：
6
再结合题设，要使
的和为最小，
①考虑按
：
当且仅当
时，等号成立；
②考虑按
：
当且仅当
时，等号成立；）
【归纳总结】本题的核心点在对于两个递推关系的理解与等价转化，然后，结合题设要求“和最小”；
进行枚举或递推分析；对于考试的分析问题、解决问题能力有一定要求；主要考察了学生逻辑推理核
心素养，根据题设推理出1，2 连续造型值最小，从而判断出整体的最小值，虽然较为简单但容易出错；
二、选择题（本大题共有4 题，每题5 分，满分20 分）
13、以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ）
A.
B.
C.
D.
【思路分析】注意研究函数性质的方法；
【解析】排除法：B、C、D 涉及函数都是增函数；
【归纳总结】本题主要考查函数性质的研究方法；基础题；
14、已知参数方程
,以下哪个图像是该方程的图像 （ ）
【思路分
析】注意利用集合观点，根据方程研究曲线的方法；
【解析】方法一（特值法）：令
，解得
，代入参数方程，得
，
所以，方程对应的曲线一定过
、
、
，故选B；
方法二：在方程对应的曲线上任取一点
，对应的参数为：
，
由题意，得
；
当
时，代入已知的参数方程 ，得
，
7
所以，点
也在方程对应的曲线上，
所以，方程对应的曲线关于原点成中心对称；
取
，代入参数方程，则
，
，即点
在曲线上； ）
验证点
、
都不在曲线上；
因为，当
时，
或
，
当
时，
或
，所以，点
不在方程对应的曲线上；
故，方程对应的曲线不关于
轴成对称；
因为，当
时，
或
，
当
时，
或
，所以，点
不在方程对应的曲线上；
故，方程对应的曲线不关于
轴成对称；故选B；
【归纳总结】本题主要通过参数方程这个载体，考查了根据方程研究曲线的方法与过程；方法1：结合
选择题的特点，使用了“特值法”；方法2：从参数方程视角实践根据方程研究曲线。
15.已知
，对于任意的
，都存在
，使得
成立，则下列选项中，
可能的值是（ ）
【思路分析】注意仔细审题，关注关键词“任意的”、“都存在”；
【解析】方法一：由题设
，变形得
，
又由题设“
对任意的
，都存在
使得
成
立”，
若设函数
对任意的
的值域为
，
设函数
，
的值域为
，则
，
又因为
；而
，当
时，
，
，而
符合题意；
方法二：由题意，得
，解得
，
又对于任意的
时，
，
原问题，等价为：当
时，即
时，
取遍
能所有的数；
所以，一定存在整数
，
8
使得：
或者
，
解得
或者
，所以选D；）
方法三：
的可能值是
选D
【归纳总结】本题本质就是求三角函数的值域，通过关键词“任意”、“存在”与方程，构建了以集合
间关系为解题的“切入点”，同时考查了：函数与方程、数形结合、等价转化思想；主要考查了学生数
学抽象核心素养，通过整体代入法解决三角函数问题。
16、已知两两不同的
满足
，
且
，
，
，
，则下列选项中恒成立的是（ ）
【思路分析】注意通过审题与理解，进行合理的转化
【解析】方法一：
方法二：举特例去选择，
代入
方法三：令
，则由已知
，
又由
（*），构造函数
，
（*） 即为
，结合函数图像，
，又函数在
递增，所以
）
【归纳总结】本题主要考察了考学生数学数据处理与数学建模核心素养，通过换元、引入参数或根据
条件结构转化为二次函数问题，再通过函数的凹凸性确定出答案，难度较大；
三、解答题（本大题共有5 题，满分76 分,解答下列各题必须写出必要的步骤)
17、如图，在长方体
中，
（1)若
是边
的动点，求三棱锥
的体积；（2)求
与平面
所成的角的大小.
【思路分析】（1)利用体积计算公式计算；（2）证明
，找到线面角度，再计算
【解析】（1)如图1，
；
（2）如图2，
与平面
所成的角；在
中
9
图1 图2
【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角的求法，理解线面角的定义，考查学生的空间立体感、逻辑
推理能力和运算能力，属于基础题．
18、在Δ
中，已知
（1)若
求Δ
的面积；（2)若
,求Δ
的周长.
【思路分析】（1）由已知利用余弦定理即可求解
的值；再利用面积公式求Δ
的面积．
（2）根据
与
建立关于角度的三角方程，求解
的值，在求
，则根
据正弦定理以及
，则三边可求．
【解析】（1)
；
（2）
【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式在解三角形中的应用，考查了计
算能力和转化思想，属于中档题．
19.已知某企业今年（2021 年）第一季度的营业额为
亿元，以后每个季度（一年有四个季度）营业
额都比前一季度多
亿元，该企业第一季度是利润为
亿元，以后每一季度的利润都比前一季
度增长
.
（1）求2021 第一季度起20 季度的营业额总和；
（2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的
？
【思路分析】（1）根据每个季度比上个季度营业额增加
亿元可以知道数列为一个等差数列，求解
20 季度营业收入总额为即为等差数列前20 项的和；（2）通过数列通项公式建立数列不等式，利用计
算器计算求解不等式即可。
【解析】（1）设
为第
季度的营业额，
为利润，由题意得，
的首项为
亿元，
公差为
亿元,所以2021 到2025 年，
20 季度营业收入总额为：
（亿元）
（2）由已知得，
由已知的，
的首项为
亿元，公比为
,即
所以
，利用计算器991 可得，
所以2027 年第二季度该公司的利润首次超过该季度营业收入的
【归纳总结】本题主要考查了等差、比数列的通项公式与前n 项和公式的应用，考查了阅读理解能力、
计算能力，属于中档题．
20、已知
是其左右焦点，
,直线
过点
交
于
两点，且
在线段
上.
（1)若
是上顶点，
求
的值；
（2)若
且原点
到直线的距离为
，求直线的方程；
（3)证明：对于任意
总存在唯一一条直线使得
.
10
【思路分析】（1）根据椭圆的定义以及
建立关于
的方程；（2）通过原点
到直线的距
离建立关于直线斜率的方程，求解斜率；（3）找到直线斜率与m 的函数关系，结合函数关系式判断
是否是唯一解使得
；
【解析】（1)
；
（2）设
；
设
，原点
到直线的距离为
（
在线段
上，
（3）设
，直线
，则
，
联立直线与椭圆得
即
所
以
代入
，
所以
，
，
即对于任意
，使得
的直线有且仅有一条；
【归纳总结】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及根与系数的关系的应用，属于难题．
21、如果对任意
使得
都有
,则称
是
关联的.
（1)判断并证明
是否是
关联？是否是
关联？
11
（2)
是
关联的，在
上有
,解不等式
；
（3)“
是
关联的，且是
关联”当且仅当“
是
关联的”．
【思路分析】（1）根据“关联”定义进行判断；
（2）根据“
是
关联”有：
；以及函数解析式作出函数图像，利用图像解
不等式；
（3）分为充分性、必要性两个方面证明；
【解析】
是
关联；
不是
关联；
（2)
是以3 为周期的函数，然后就是要在
里面，
可以看出只有
两个周期中可以找到解,答案是
（3）充分性：
，且
递增，所
以对于
成立。
必要性：
，
，
可以得到
故对
，我们对
用
关联的条件得到
于是
.对于正整数
，
则有
.也成立.
方法二：（1）①设
，
且为
，
且满足
，
是
关联的.
②设
，
，
故
不是
关联的.
（2）因为
是
关联的，所以当任意的
时，
，
又
时，
，函数图像如下图：
易知，
，∴原不等式的解为
即为
.
（3）证明：
是
关联，可知对任意的
有
，
12
是
关联，可知对任意的
有
，为不减函数；
可以设
，
当
时，
，
当
时，
，
因为当
确定时，
是关于
的不减函数，所以
，
有
是
关联.
②当
是
关联，有
，∴
，
当
，
时，
假设
，有
.
，
又∵
，矛盾.
故只有
，易得
.
利用
，得
是
关联，
依次可得
，
，
即当
，有
，
当在
时，
，
.
【归纳总结】本题主要考查了新定义以及函数性质的综合应用，体现了数形结合思想的应用，同时考
查了学生分析理解能力、推理能力、计算能力，属于难题．
