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2020 年全国高考数学真题试卷及解析（上海卷）
一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1-6 题每题4 分，第7-12 题每题5 分）
1．已知集合
，2，
，集合
，4，
，则
．
2．计算：
．
3．已知复数
为虚数单位），则
．
4．已知函数
，
是
的反函数，则
．
5．已知
、
满足
，则
的最大值为 ．
6．已知行列式
，则
．
7．已知有四个数1，2，
，
，这四个数的中位数是3，平均数是4，则
．
8．已知数列
是公差不为零的等差数列，且
，则
．
9．从6 个人挑选4 个人去值班，每人值班一天，第一天安排1 个人，第二天安排1 个人，
第三天安排2 个人，则共有 种安排情况．
10．已知椭圆
的右焦点为
，直线经过椭圆右焦点
，交椭圆
于
、
两点（点
在第二象限），若点
关于
轴对称点为
，且满足
，求直线的方
程是 ．
11．设
，若存在定义域为
的函数
同时满足下列两个条件：
（1）对任意的
，
的值为
或
；
（2）关于
的方程
无实数解，
则
的取值范围是 ．
12 ．已知
，
，
，
，
，
是平面内两两互不相等的向量，满足
，且
，
（其中
，2，
，2，
，
，则
的最大值是
．
二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，共20 分）
13．下列等式恒成立的是
A．
B．
C．
D．
14．已知直线方程
的一个参数方程可以是
A．
为参数）
B．
为参数）
C．
为参数）
D．
为参数）
15．在棱长为10 的正方体
中，
为左侧面
上一点，已知点
到
的距离为3，
到
的距离为2，则过点
且与
平行的直线相交的面是
A．
B．
C．
D．
16．命题
：存在
且
，对于任意的
，使得
（a）；
命题
单调递减且
恒成立；
命题
单调递增，存在
使得
，
则下列说法正确的是
A．只有
是
的充分条件
B．只有
是
的充分条件
C．
，
都是
的充分条件
D．
，
都不是
的充分条件
三、解答题（本大题共5 题，共14+14+14+16+18＝76 分）
17．（14 分）已知
是边长为1 的正方形，正方形
绕
旋转形成一个圆柱．
（1）求该圆柱的表面积；
（2）正方形
绕
逆时针旋转
至
，求线段
与平面
所成的角．
18．（14 分）已知函数
，
．
（1）
的周期是
，求
，并求
的解集；
（2）已知
，
，
，
，求
的值域．
19．（14 分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数
除以时间，车辆密度是该路段一定
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为
，
为道路密度，
为车
辆密度．
．
（1）若交通流量
，求道路密度
的取值范围；
（2）已知道路密度
，交通流量
，求车辆密度
的最大值．
20．（16 分）已知双曲线
与圆
交于点
，
（第一象限），曲线
为
、
上取满足
的部分．
（1）若
，求
的值；
（2）当
，
与
轴交点记作点
、
，
是曲线
上一点，且在第一象限，且
，求
；
（3）过点
斜率为
的直线与曲线
只有两个交点，记为
、
，用
表示
，并求
的取值范围．
21．（18 分）已知数列
为有限数列，满足
，则称
满足性质
．
（1）判断数列3、2、5、1 和4、3、2、5、1 是否具有性质
，请说明理由；
（2）若
，公比为
的等比数列，项数为10，具有性质
，求
的取值范围；
（3）若
是1，2，3，
，
的一个排列
，
符合
，2，
，
，
、
都具有性质
，求所有满足条件的数列
．
参考答案
1．
，
【解析】因为
，2，
，
，4，
，则
，
．故答案为：
，
．
2．
【解析】
，故答案为：
．
3．
【解析】由
，得
．故答案为：
．
4．
【解析】由
，得
，把
与
互换，可得
的反函数为
．
故答案为：
．
5．-1
【解析】由约束条件
作出可行域如图阴影部分，
化目标函数
为
，由图可知，当直线
过
时，直线在
轴上的
截距最大，联立
，解得
，即
．
有最大值为
．故答案为：
．
6．2
【解析】行列式
，可得
，解得
．
故答案为：2．
7．36
【解析】因为四个数的平均数为4，所以
，
因为中位数是3，所以
，解得
，代入上式得
，
所以
，故答案为：36．
8．
【解析】根据题意，等差数列
满足
，即
，变形可得
，所以
．
故答案为：
．
9．180
【解析】根据题意，可得排法共有
种．
故答案为：180．
10．
【解析】椭圆
的右焦点为
，
直线经过椭圆右焦点
，交椭圆
于
、
两点（点
在第二象限），
若点
关于
轴对称点为
，且满足
，
可知直线的斜率为
，所以直线的方程是：
，
即
．
故答案为：
．
11．
，
，
，
【解析】根据条件（1）可得
或
（1）
，
又因为关于
的方程
无实数解，所以
或1，
故
，
，
，
，
故答案为：
，
，
，
．
12．6
【解析】如图，设
，
，
由
，且
，
，分别以
，
为圆心，以1 和2 为半径画圆，其中任
意两圆的公共点共有6 个．故满足条件的
的最大值为6．故答案为：6．
13．B
【解析】
．显然当
，
时，不等式
不成立，故
错误；
．
，
，
，故
正确；
．显然当
，
时，不等式
不成立，故
错误；
．显然当
，
时，不等式
不成立，故
错误．
故选：
．
14．B
【解析】
为参数）的普通方程为：
，即
，不正确；
为参数）的普通方程为：
，即
，正确；
为参数）的普通方程为：
，即
，不正确；
为参数）的普通方程为：
，即
，不正确；故选：
．
15．D
【解析】如图，
由点
到
的距离为3，
到
的距离为2，
可得
在△
内，过
作
，且
于
，
于
，
在平面
中，过
作
，交
于
，则平面
平面
．
连接
，交
于
，连接
，
平面
平面
，平面
平面
，平面
平面
，
．
在
中，过
作
，且
于
，则
．
线段
在四边形
内，
在线段
上，
在四边形
内．
过点
且与
平行的直线相交的面是
．故选：
．
16．C
【解析】对于命题
：当
单调递减且
恒成立时，
当
时，此时
，又因为
单调递减，所以
又因为
恒成立时，所以
（a），所以
（a），
所以命题
命题
，对于命题
：当
单调递增，存在
使得
，
当
时，此时
，
（a）
，
又因为
单调递增，所以
，所以
（a），
所以命题
命题
，所以
，
都是
的充分条件，故选：
．
17．【解析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1 的圆面和一个长为
、宽为1 的矩
形组成，
．故该圆柱的表面积为
．
（2）
正方形
，
，
又
，
，
，且
、
平面
，
平面
，即
在面
上的投影为
，
连接
，则
即为线段
与平面
所成的角，
而
，
线段
与平面
所成的角为
．
18．【解析】（1）由于
的周期是
，所以
，所以
．
令
，故
或
，整理得
或
．
故解集为
或
，
．
（2）由于
，所以
．所以
由于
，
，所以
．
，故
，故
．
所以函数
的值域为
．
19．【解析】（1）
，
越大，
越小，
是单调递减函数，
，
当
时，
最大为85，
于是只需令
，解得
，
故道路密度
的取值范围为
．
（2）把
，
代入
中，
得
，解得
．
，
当
时，
单调递增，
；
当
时，
是关于
的二次函数，开口向下，对称轴为
，
此时
有最大值，为
．
故车辆密度
的最大值为
．
20．【解析】（1）由
，点
为曲线
与曲线
的交点，联立
，
解得
，
；
（2）由题意可得
，
为曲线
的两个焦点，
由双曲线的定义可得
，又
，
，
所以
，因为
，则
，
所以
，在△
中，由余弦定理可得
，由
，可得
；
（3）设直线
，可得原点
到直线的距离
，
所以直线是圆的切线，设切点为
，
所以
，并设
与圆
联立，可得
，
可得
，
，即
，
注意直线与双曲线的斜率为负的渐近线平行，
所以只有当
时，直线才能与曲线
有两个交点，
由
，可得
，
所以有
，解得
或
（舍去），
因为
为
在
上的投影可得，
，
所以
，则
，
．
21．【解析】（1）对于数列3，2，5，1，有
，
，
，满足题意，
该数列满足性质
；
对于第二个数列4、3、2、5、1，
，
，
．不满足题意，该数列
不满足性质
．
（2）由题意：
，可得：
，
，3，
，
，
两边平方可得：
，
整理可得：
，当
时，得
此时关于
恒成立，
所以等价于
时，
，
所以，
，所以
，或
，所以取
，
当
时，得
，此时关于
恒成立，所以等价于
时，
，
所以
，所以
，所以取
．
当
时：
，
当
为奇数时，得
，恒成立，当
为偶数时，
，不恒成立；
故当
时，矛盾，舍去．
当
时，得
，当
为奇数时，得
，恒成立，
当
为偶数时，
，恒成立；故等价于
时，
，
所以
，所以
或
，所以取
，
综上
，
．
（3）设
，
，4，
，
，
，
因为
，
可以取
，或
，
可以取
，或
，
如果
或
取了
或
，将使
不满足性质
；所以
的前5 项有以下组合：
①
，
；
；
；
；
②
，
；
；
；
；
③
，
；
；
；
；
④
，
；
；
；
；
对于①，
，
，
，与
满足性质
矛盾，舍去；
对于②，
，
，
，
与
满足性质
矛盾，舍去；
对于③，
，
，
，
与
满足性质
矛盾，舍去；
对于④
，
，
，与
满足性质
矛盾，舍去；
所以
，4，
，
，
，均不能同时使
、
都具有性质
．
当
时，有数列
，2，3，
，
，
满足题意．
当
时，有数列
，
，
，3，2，1 满足题意．
当
时，有数列
，1，3，
，
，
满足题意．
当
时，有数列
，
，
，
，
，3，2，1 满足题意．
所以满足题意的数列
只有以上四种。
