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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）
理科数学
一、选择题
1．已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N 等于( )
A．{x|－4<x<3}
B．{x|－4<x<－2}
C．{x|－2<x<2}
D．{x|2<x<3}
答案 C
解析 ∵N＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}，
∴M∩N＝{x|－2<x<2}，故选C.
2．设复数z 满足|z－i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
答案 C
解析 ∵z 在复平面内对应的点为(x，y)，
∴z＝x＋yi(x，y∈R)．
∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
3．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<a<b
D．b<c<a
答案 B
解析 ∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b.故选B.
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人
体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
.若某人满足上述两个黄金分割比
例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( )
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
答案 B
解析 若头顶至咽喉的长度为26 cm ，则身高为26 ＋26÷0.618 ＋(26 ＋
26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，此人头顶至脖子下端的长度为26 cm，即头顶至咽喉的长度小
于26 cm，所以其身高小于178 cm，同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm)，故其身高可
能是175 cm，故选B.
5．函数f(x)＝
在[－π，π]上的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 ∵f(－x)＝＝－
＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A；
∵f(π)＝
＝
>0，∴排除C；
∵f(1)＝
，且sin 1>cos 1，∴f(1)>1，∴排除B，故选D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6 个
爻组成，爻分为阳爻“
”和阴爻“— —”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机
取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由6 个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3 个
阳爻的种数为
＝
＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝
＝
.故选A.
7．已知非零向量a，b 满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a 与b 的夹角为( )
A. B. C.
D.
答案 B
解析 设a 与b 的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|
a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.
8．如图是求
的程序框图，图中空白框中应填入( )
A．A＝
B．A＝2＋
C．A＝
D．A＝1＋
答案 A
解析 A＝，k＝1,1≤2 成立，执行循环体；A＝
，k＝2,2≤2 成立，执行循环体；A＝
，k＝3,3≤2 不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝
.故选A.
9．记Sn为等差数列{an}的前n 项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5
B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n
D．Sn＝n2－2n
答案 A
解析 设等差数列{an}的公差为d，
∵
∴
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，
Sn＝na1＋
d＝n2－4n.故选A.
10．已知椭圆C 的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C 交于A，B 两点．若|AF2|＝2|
F2B|，|AB|＝|BF1|，则C 的方程为( )
A.
＋y2＝1
B.
＋
＝1
C.
＋
＝1
D.
＋
＝1
答案 B
解析 由题意设椭圆的方程为
＋
＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|
BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A 为椭圆C 的上顶
点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝
＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－2
2，得a2＝3.又c2＝1，所以
b2＝a2－c2＝2，椭圆C 的方程为
＋
＝1，故选B.
11．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)在区间
上单调递增；
③f(x)在[－π，π]上有4 个零点；
④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
答案 C
解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当
<x<π 时，
f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在
上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图
象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3 个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|
sin x|的最大值都为1 且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结
论的编号是①④.故选C.
12．已知三棱锥P－ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC 是边长为2
的正三角形，E，F 分别是PA，AB 的中点，∠CEF＝90°，则球O 的体积为( )
A．8
π B．4
π C．2
π D.
π
答案 D
解析 因为点E，F 分别为PA，AB 的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以
EF⊥CE，所以PB⊥CE.
取AC 的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，
所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，
PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC 为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC 两两垂直，
将三棱锥P－ABC 放在正方体中如图所示．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为
，所以
该正方体的体对角线长为
，所以三棱锥P－ABC 的外接球的半径R＝
，所以球O 的体
积V＝πR3＝π
3＝
π，故选D.
二、填空题
13．曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
答案 y＝3x
解析 因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜
率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.
14．记Sn为等比数列{an}的前n 项和．若a1＝，
＝a6，则S5＝________.
答案
解析 设等比数列{an}的公比为q，因为
＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝
，所以q＝3，所以S5＝
＝
＝
.
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛
结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取
胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1 获胜的
概率是________．
答案 0.18
解析 记事件M 为甲队以4∶1 获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲
队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.
16．已知双曲线C：
－
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C 的
两条渐近线分别交于A，B 两点．若
＝
，
·
＝0，则C 的离心率为________．
答案 2
解析 因为F1B·F2B＝0，所以F1B⊥F2B，如图．
因为
＝
，所以点A 为F1B 的中点，又点O 为F1F2 的中点，所以OA∥BF2，所以
F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，
OB 为双曲线C 的两条渐近线，
所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.
因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，
所以＝
，所以b2＝3a2，
所以c2－a2＝3a2，
即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.
三、解答题
17．△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若
a＋b＝2c，求sin C.
解 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝
＝，
因为0°<A<180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，
由题设及正弦定理得
sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，
即
＋
cos C＋sin C＝2sinC，
可得cos(C＋60°)＝－
.
由于0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝
，
故sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°
＝
.
18．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，
M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求二面角A－MA1－N 的正弦值．
(1)证明 连接B1C，ME.因为M，E 分别为BB1，BC 的中点，所以ME∥B1C，且ME＝
B1C.又因为N 为A1D 的中点，所以ND＝A1D.
由题设知A1B1∥DC 且A1B1＝DC，可得B1C∥A1D 且B1C＝A1D，故ME∥ND 且ME＝ND，
因此四边形MNDE 为平行四边形，MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以
MN∥平面C1DE.
(2)解 由已知可得DE⊥DA，以D 为坐标原点，
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系D－xyz，
则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，
，2)，N(1,0,2)，
＝(0,0，－4)，
＝(－1，
，－
2)，
＝(－1,0，－2)，
＝(0，－
，0)．
设m＝(x，y，z)为平面A1MA 的一个法向量，则
所以
可得m＝(
，1,0)．
设n＝(p，q，r)为平面A1MN 的一个法向量，则
所以
可取n＝(2,0，－1)．
于是cos〈m，n〉＝
＝
＝
，
所以二面角A－MA1－N 的正弦值为
.
19．已知抛物线C：y2＝3x 的焦点为F，斜率为的直线l 与C 的交点为A，B，与x 轴的交
点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l 的方程；
(2)若
＝3
，求|AB|.
解 设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F
，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.
由
可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
令Δ>0，得t< ，
则x1＋x2＝－
.
从而－
＝，得t＝－.
所以l 的方程为y＝x－.
(2)由
＝3
可得y1＝－3y2，
由
可得y2－2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，
代入C 的方程得x1＝3，x2＝，
即A(3,3)，B
，
故|AB|＝
.
20．已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明：
(1)f′(x)的区间
上存在唯一极大值点；
(2)f(x)有且仅有2 个零点．
证明 (1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x－
，g′(x)＝－sin x＋
.
当x∈
时，g′(x)单调递减，而g′(0)>0，
g′
<0，可得g′(x)在
有唯一零点，设为α.
则当x∈(－1，α)时，g′(x)>0；当x∈
时，g′(x)<0.
所以g(x)在(－1，α)上单调递增，在
上单调递减，故g(x)在
上存在唯一极大值
点，即f′(x)在
上存在唯一极大值点．
(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．
①当x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)上单调递增．而f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)
时，f′(x)<0，故f(x)在(－1,0)上单调递减．又f(0)＝0，从而x＝0 是f(x)在(－1,0]上的唯一
零点；
②当x∈
时，由(1)知，f′(x)在(0，α)上单调递增，在
上单调递减，而f′(0)＝
0，f′
<0，所以存在β∈
，使得f′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，f′(x)>0；当x∈
时，f′(x)<0.故f(x)在(0，β)上单调递增，在
上单调递减．
又f(0)＝0，f
＝1－ln
>0，所以当x∈
时，f(x)>0.
从而，f(x)在
上没有零点；
③当x∈
时，f′(x)<0，所以f(x)在
上单调递减．而f
>0，f(π)<0，所以f(x)在
上有唯一零点；
④当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>1，所以f(x)<0，从而f(x)在(π，＋∞)上没有零点．
综上，f(x)有且仅有2 个零点．
21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物
试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选
一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一
种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更
有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白
鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得－1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈
则乙药得1 分，甲药得－1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分．甲、乙两种药的治
愈率分别记为α 和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X 的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i 时，
最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，
7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
(ⅰ)证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
(1)解 X 的所有可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)．
所以X 的分布列为
(2)(ⅰ)证明 由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.
因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．
又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．
(ⅱ)解 由(ⅰ)可得
p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0
＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)
＝
p1.
由于p8＝1，故p1＝
，所以
p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)
＝
p1
＝
.
p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈
率为0.5，乙药治愈率为0.8 时，认为甲药更有效的概率为p4＝
≈0.003 9，此时得出错误
结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋
ρsin θ＋11＝0.
(1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)求C 上的点到l 距离的最小值．
解 (1)因为－1<
≤1，且x2＋
2＝
2＋
＝1，所以C 的直角坐标方程为x2＋
＝1(x≠－1)．
l 的直角坐标方程为2x＋
y＋11＝0.
(2)由(1)可设C 的参数方程为
(α 为参数，－π<α<π)．
C 上的点到l 的距离为
＝
.
当α＝－
时，4cos
＋11 取得最小值7，
故C 上的点到l 距离的最小值为
.
23．[选修4－5：不等式选讲]
已知a，b，c 为正数，且满足abc＝1.证明：
(1) ＋＋≤a2＋b2＋c2；
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
证明 (1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝
＝＋＋.
所以＋＋≤a2＋b2＋c2.
(2)因为a，b，c 为正数且abc＝1，故有
(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3
＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)
≥3×(2
)×(2
)×(2
)
＝24.
所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
