文档文本内容
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答
题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，
，则
中元素的个数为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
2.复数
的虚部是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为
，且
，则下面四种情形
中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地
区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：
，其中K 为最
大确诊病例数．当I(
)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则
约为（ ）（ln19≈3）
A. 60
B. 63
C. 66
D. 69
5.设O 为坐标原点，直线x=2 与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E 两点，若OD⊥OE，则C 的焦点
坐标为（ ）
A. （
，0）
B. （
，0）
C. （1，0）
D. （2，0）
6.已知向量a，b 满足
，
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
7.在△ABC 中，cosC=
，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A.
B.
C.
D.
8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A. 6+4
B. 4+4
C. 6+2
D. 4+2
9.已知2tanθ–tan(θ+
)=7，则tanθ=（ ）
A. –2
B. –1
C. 1
D. 2
10.若直线l 与曲线y=
和x2+y2=
都相切，则l 的方程为（ ）
A. y=2x+1
B. y=2x+
C. y=
x+1
D. y=
x+
11.设双曲线C：
（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为
．P 是C 上一
点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
12.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A. a<b<c
B. b<a<c
C. b<c<a
D. c<a<b
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13.若x，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最大值为_________．
14.
的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
的展开通项公式
，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
16.关于函数f（x）=
有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y 轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=
对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必
考题，每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60 分.
17.设数列{an}满足a1=3，
．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n 项和Sn．
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，
整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4 的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表）；
（3）若某天的空气质量等级为1 或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3 或4，
则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2 列联表，并根据列联表，判断是否
有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
附：
，
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.如图，在长方体
中，点
分别在棱
上，且
，
．
（1）证明：点
在平面
内；
（2）若
，
，
，求二面角
的正弦值．
20.已知椭圆
的离心率为
，
，
分别为
的左、右顶点．
（1）求
的方程；
（2）若点
在
上，点
在直线
上，且
，
，求
的面积．
21.设函数
，曲线
在点(
，f(
))处的切线与y 轴垂直．
（1）求b．
（2）若
有一个绝对值不大于1 的零点，证明：
所有零点的绝对值都不大于1．
（二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的
第一题计分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
（t 为参数且t≠1），C 与坐标轴
交于A、B 两点．
（1）求
；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．
[选修4—5：不等式选讲]（10 分）
23.设a，b，c
R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥
．
