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2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）
数学
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是正确的．
1.已知z=-1-i,则|z|=( )
A.0
B.1
C.√2
D.2
【答案】 C
【解析】 |z|=|-1-i|=√(-1)
2+(-1)
2=√2.故选C.
2.已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x,则( )
A.p 和q 都是真命题
B.p 和q 都是真命题
C.p 和q 都是真命题
D.p 和q 都是真命题
【答案】 B
【解析】 解法一:因为∀x∈R,|x+1|≥0,所以命题p 为假命题,所以p 为真命题.因为x3=x,所以x3-x=0,所以
x(x2-1)=0,即x(x+1)(x-1)=0,解得x=-1 或x=0 或x=1,所以∃x>0,使得x3=x,所以命题q 为真命题,所以q 为假命题,
所以p 和q 都是真命题.故选B.
解法二(特殊值法):在命题p 中,当x=-1 时,|x+1|=0,所以命题p 为假命题,p 为真命题.在命题q 中,因为立方根
等于本身的实数有-1,0,1,所以∃x>0,使得x3=x,所以命题q 为真命题,q 为假命题,所以p 和q 都是真命题.故
选B.
3.已知向量a,b 满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=( )
A.1
2
B.√2
2
C.√3
2
D.1
【答案】 B
【解析】 由(b-2a)⊥b, 得(b-2a)·b=b2-2a·b=0, 所以b2=2a·b. 将|a+2b|=2 的两边同时平方, 得
a2+4a·b+4b2=4,即1+2b2+4b2=1+6|b|2=4,解得|b|2=1
2
,所以|b|=√2
2
.故选B.
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4.某农业研究部门在面积相等的100 块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得
下表:
亩产量
[900,
950)
[950,
1 000)
[1 000,
1 050)
[1 050,
1 100)
[1 100,
1 150)
[1 150,
1 200)
频数
6
12
18
30
24
10
根据表中数据,下列结论中正确的是( )
A.100 块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100 块稻田中亩产量低于1 100 kg 的稻田所占比例超过80%
C.100 块稻田亩产量的极差介于200 kg 至300 kg 之间
D.100 块稻田亩产量的平均值介于900 kg 至1 000 kg 之间
【答案】 C
【解析】 对于A,因为前3 组的频率之和0.06+0.12+0.18=0.36<0.5,前4 组的频率之和0.36+0.30=0.66>0.5,
所以100 块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1 050,1 100),故A 不正确;对于B,100 块稻田中亩产量低于1
100 kg 的稻田所占比例为6+12+18+30
100
×100%=66%,故B 不正确;对于C,因为1 200-900=300,1 150-
950=200,所以100 块稻田亩产量的极差介于200 kg 至300 kg 之间,故C 正确;对于D,100 块稻田亩产量的平
均值为1
100
×(925×6+975×12+1 025×18+1 075×30+1 125×24+1 175×10)=1 067(kg),故D 不正确.综上所述,故
选C.
5.已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M 的轨迹方
程为( )
A. x
2
16
+ y
2
4
=1(y>0)
B. x
2
16
+ y
2
8
=1(y>0)
C. y
2
16
+ x
2
4
=1(y>0)
D. y
2
16
+ x
2
8
=1(y>0)
【答案】 A
【解析】 解法一(代入法):设M(x0,y0),则P(x0,2y0),因为点P 在曲线C 上,所以x0
2+(2y0)2=16(y0>0),即x0
2
16
+ y0
2
4
=1(y0>0),所以线段PP'的中点M 的轨迹方程为x
2
16
+ y
2
4
=1(y>0).故选A.
解法二(数形结合法):由题意可知把曲线C 上所有点的纵坐标缩短至原来的一半,横坐标不变,即可得到点M
的轨迹.曲线C 为半圆,则点M 的轨迹为椭圆(x 轴上方部分),其中长半轴长为4,短半轴长为2,故选A.
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6.设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax,当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a=( )
A.-1
B.1
2
C.1
D.2
【答案】 D
【解析】 由题意知f(x)=g(x),则a(x+1)2-1=cos x+2ax,即cos x=a(x2+1)-1.令h(x)=cos x-a(x2+1)+1.易知h(x)为
偶函数,由题意知h(x)在(-1,1)上有唯一零点,所以h(0)=0,即cos 0-a(0+1)+1=0,得a=2.故选D.
7.已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为 52
3
,AB=6,A1B1=2,则A1A 与平面ABC 所成角的正切值为( )
A.1
2
B.1
C.2
D.3
【答案】 B
【解析】 设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h,三条侧棱延长后交于一点P,作PO⊥平面ABC 于点O,PO 交平
面A1B1C1 于点O1,连接OA,O1A1,如图所示.由AB=3A1B1,可得PO1=1
2h,PO=3
2h,又S△A1B1C1=1
2×22×√3
2
=√3
,S△ABC=1
2
×62×√3
2
=9√3,所以正三棱台ABC-A1B1C1 的体积V=VP-ABC-V P- A1B1C1=1
3
×9√3×3
2
h-1
3
×√3×1
2
h=52
3
,解
得h=4√3
3
,故PO=3
2h=2√3.由正三棱台的性质可知,O 为底面ABC 的中心,则OA=2
3×√6
2-3
2=2√3,因为
PO⊥平面ABC,所以∠PAO 是A1A 与平面ABC 所成的角,在Rt△PAO 中,tan∠PAO=PO
OA
=1.故选B.
8.设函数f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为( )
A.1
8
B.1
4
C.1
2
D.1
【答案】 C
【解析】 由f(x)≥0 及y=x+a,y=ln(x+b)单调递增,可得x+a 与ln(x+b)同正、同负或同为零,所以当ln(x+b)=0
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时,x+a=0,即{
x +b=1,
x +a=0,
所以b=a+1,则a2+b2=a2+(a+1)2=2(a+ 1
2)
2+1
2 ≥1
2
,故选C.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0 分.
9.对于函数f(x)=sin 2x 和g(x)=sin(2 x - π
4)
,下列说法中正确的有( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
【答案】 BC
【解析】 对于A,令f(x)=0,则x=k π
2
,k∈Z,又g(
k π
2 )
≠0,故A 错误;对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1,故B 正
确;对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π,故C 正确;对于D,f(x)图象的对称轴方程为2x=π
2
+kπ,k∈Z,即x=π
4
+
k π
2
,k∈Z,g(x)图象的对称轴方程为2x-π
4
=π
2
+kπ,k∈Z,即3 π
8
+k π
2
,k∈Z,故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,
故D 错误.故选BC.
10.抛物线C:y2=4x 的准线为l,P 为C 上的动点,过P 作☉A:x2+(y-4)2=1 的一条切线,Q 为切点,对P 作l 的垂线,
垂足为B,则( )
A.l 与☉A 相切
B.当P,A,B 三点共线时,|PQ|=√15
C.当|PB|=2 时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P 有且仅有2 个
【答案】 ABD
【解析】 对于A，易知l：x=-1，故l 与☉A 相切，A 正确;对于B,A(0,4),☉A 的半径r=1,当P,A,B 三点共线
时,P(4,4),所以|PA|=4,|PQ|=√| PA |
2-r
2=√4
2-1
2=√15,故B 正确;对于C,当|PB|=2 时,P(1,2),B(-1,2)或P(1,-
2),B(-1,-2),易知PA 与AB 不垂直,故C 错误;对于D,记抛物线C 的焦点为F,连接AF,PF,易知F(1,0),由抛物线定
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义可知|PF|=|PB|,因为|PA|=|PB|,所以|PA|=|PF|,所以点P 在线段AF 的中垂线上,线段AF 的中垂线方程为y=1
4
x+15
8
,即x=4y-15
2
,代入y2=4x 可得y2-16y+30=0,解得y=8±√34,易知满足条件的点P 有且仅有两个,故D 正确.
故选ABD.
11.设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则( )
A.当a>1 时,f(x)有三个零点
B.当a<0 时,x=0 是f(x)的极大值点
C.存在a,b 使得x=b 为曲线y=f(x)的对称轴
D.存在a 使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
【答案】 AD
【解析】 由题可知,f'(x)=6x(x-a).对于A,当a>1 时,由f'(x)<0 得0<x<a,由f'(x)>0 得x<0 或x>a,则f(x)在(-∞,0)
上单调递增,在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,且当x→-∞时,f(x)→-∞,f(0)=1,f(a)=-a3+1<0,当x→+∞时,
f(x)→+∞,故f(x)有三个零点,A 正确;对于B,当a<0 时,由f'(x)<0 得a<x<0,由f'(x)>0 得x>0 或x<a,则f(x)在(-∞,a)
上单调递增,在(a,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故x=0 是f(x)的极小值点,B 错误;对于C,当x→+∞时,
f(x)→+∞,当x→-∞时,f(x)→-∞,故曲线y=f(x)必不存在对称轴,C 错误;对于D,解法一(配方、平移):f(x)=2x3-
3ax2+1=2(x - a
2)
3-3
2
a2(x - a
2)
+1-a
3
2
,令t=x-a
2
,则f(x)可转化为g(t)=2t3-3
2
a2t+1-a
3
2
,由y=2t3-3
2
a2t 为奇函数,且
其图象关于原点对称,可知g(t)的图象关于点(0,1- a
3
2 )
对称,则f(x)的图象关于点(
a
2 ,1- a
3
2 )
对称,故存在
a=2,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心,D 正确.故选AD.
解法二(二级结论):任意三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象均关于点(- b
3a ,f(- b
3a))
成中心对称,D 正
确.故选AD.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.记Sn为等差数列{an}的前n 项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=________.
【答案】 95
【解析】 解法一( 基本量法): 设{an} 的公差为d, 由a3+a4=a1+2d+a1+3d=2a1+5d=7,3a2+a5=3(a1+d)
+a1+4d=4a1+7d=5,解得a1=-4,d=3,则S10=10a1+45d=95.
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解法二(利用下标和性质):设{an}的公差为d,由a3+a4=a2+a5=7,3a2+a5=5,得a2=-1, a5=8,故d=a5-a2
5-2
=3,a6=11,则
S10=a1+a10
2
×10=5(a5+a6)=5×19=95.
13.已知α 为第一象限角,β 为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=√2+1,则sin(α+β)=________.
【答案】 -2√2
3
【解析】 由题知tan(α+β)=
tan α + tan β
1- tan α·tan β =
4
1-√2-1
=-2√2, 即sin(α+β)=-2√2cos(α+β), 又sin2(α+β)
+cos2(α+β)=1,
可
得
sin(α+β)=±2√2
3
.
由
2kπ<α<2kπ+π
2 ,k∈
Z,2mπ+π<β<2mπ+3 π
2 ,m∈
Z,
得
2(k+m)π+π<α+β<2(k+m)π+2π,k+m∈Z.又tan(α+β)<0,所以α+β 是第四象限角,故sin(α+β)=-2√2
3
.
14.在下图的4×4 方格表中选4 个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有________种选法,在所
有符合上述要求的选法中,选中方格中的4 个数之和的最大值是________.
11
21
31
40
12
22
33
42
13
22
33
43
15
24
34
44
【答案】 24 112
【解析】 第一步,从第一行任选一个数,共有4 种不同的选法;第二步,从第二行选一个与第一个数不同列的
数,共有3 种不同的选法;第三步,从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数,共有2 种不同的选法;第四步,
从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数,只有1 种选法.由分步乘法计数原理知,不同的选法种数
为4×3×2×1=24.先按列分析,每列必选出一个数,故所选4 个数的十位上的数字分别为1,2,3,4.再按行分析,第
一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1,3,3,5,故从第一行选21,从第二行选33,从第三行选43,从
第4 行选15,此时个位上的数字之和最大.故选中方格中的4 个数之和的最大值为21+33+43+15=112.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13 分）记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin A+√3cos A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,√2bsin C=csin 2B,求△ABC 的周长.
【解】 (1)解法一(辅助角法):由sin A+√3cos A=2,得1
2
sin A+√3
2
cos A=1,所以sin(A + π
3)
=1.因为0<A<π,
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所以π
3
<A+π
3
<4 π
3
,所以A+π
3
=π
2
,故A=π
6
.
解法二:(同角三角函数的基本关系法)由sin A+√3cos A=2,得√3cos A=2-sin A,两边同时平方,得3cos2A=4-
4sin A+sin2A,则3(1-sin2A)=4-4sin A+sin2A,整理,得1-4sin A+4sin2A=0,所以(1-2sin A)2=0,则sin A=1
2
.因为
0<A<π,所以A=π
6
或A=5 π
6
.当A=π
6
时,sin A+√3cos A=2 成立,符合条件;当A=5 π
6
时,sin A+√3cos A=2 不成
立,不符合条件.故A=π
6
.
解法三:(同角三角函数的基本关系法)由sin A+√3cos A=2,得sin A=2-√3cos A,两边同时平方,得sin2A=4-4
√3cos A+3cos2A,则1-cos2A=4-4√3cos A+3cos2A,整理,得3-4√3cos A+4cos2A=0,所以(√3-2cos A)2=0,则cos
A=√3
2
.因为0<A<π,所以A=π
6
.
(2)由√2bsin C=csin 2B,得√2bsin C=2csin Bcos B,由正弦定理,得√2bc=2cbcos B,所以cos B=√2
2
,因为
0<B<π,所以B=π
4
.C=π-(A+B)=7 π
12
,所以sin C=sin7 π
12
=sin(
π
3 + π
4)
=sinπ
3
cosπ
4
+cosπ
3
sinπ
4
=√3
2
×√2
2
+1
2
×√2
2
=
√6+√2
4
.
解法一( 基本量法): 由正弦定理
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
, 得b=asin B
sin A
=
2sin π
4
sin π
6
=2√2,c=asin C
sin A
=
2sin 7 π
12
sin π
6
=√6+√2.所以△ABC 的周长为a+b+c=2+√6+3√2.
解法二(整体思想法):由正弦定理
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
,得
a
sin A
=
a+b+c
sin A +sin B+sin C
=
2
sin π
6
=4,
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所以a+b+c=4(sin A+sin B+sin C)=4×(
1
2 + √2
2 + √6+√2
4 )
=2+√6+3√2,所以△ABC 的周长为2+√6+3√2.
16. （15 分）已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1 时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a 的取值范围.
【解】 (1)当a=1 时,f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1,则f'(1)=e-1.f(1)=e-2,所以切点坐标为(1,e-2),所以切线方程为y-
(e-2)=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y-1=0.
(2)易知函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-a.当a≤0 时,f'(x)>0,函数f(x)在R 上单调递增,无极值;当a>0 时,由
f'(x)>0,得x>ln a,由f'(x)<0,得x<ln a,所以函数f(x)在区间(-∞,ln a)上单调递减,在区间(ln a,+∞)上单调递增,所
以f(x)的极小值为f(ln a)=a-aln a-a3.由题意知a-aln a-a3<0(a>0),等价于1-ln a-a2<0(a>0).
解法一(导数法):令g(a)=1-ln a-a2(a>0),则g'(a)=1-1
a-2a=-2a
2+a-1
a
=-2(a- 1
4)
2
+ 7
8
a
<0,所以函数g(a)在
(0,+∞)上单调递减,又g(1)=0,故当0<a<1 时,g(a)>0;当a>1 时,g(a)<0.故实数a 的取值范围为(1,+∞).
解法二(图象法):由1-ln a-a2<0(a>0),得ln a>-a2+1(a>0).如图为函数y=ln a 与y=-a2+1 在区间(0,+∞)上的大致
图象.由图易知当a>1 时,ln a>-a2+1,即1-ln a-a2<0.所以实数a 的取值范围为(1,+∞).
17. （15 分）如图,平面四边形ABCD 中,AB=8,CD=3,AD=5√3,∠APC=90°,∠BAD=30°,点E,F 满足⃗AE=
2
5⃗AD,⃗AF=1
2⃗AB,将△AEF 沿EF 翻折至△PEF,使得PC=4√3.
(1)证明:EF⊥PD;
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值.
【解】 (1)由题,AE=2
5
AD=2√3,AF=1
2
AB=4,又∠BAD=30°,所以由余弦定理得EF2=AE2+AF2-2AE·AF·cos
30°=4, 故EF=2. 又EF2+AE2=AF2, 所以EF⊥AE. 由EF⊥AE 及翻折的性质知EF⊥PE,EF⊥ED, 又
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ED∩PE=E,ED,PE⊂面PED,所以EF⊥面PED.又PD⊂面PED,所以EF⊥PD.
(2)如图,连接CE,由题,DE=3√3,CD=3,∠CDE=90°,故CE=√D E
2+C D
2=6.又PE=AE=2√3,PC=4√3,所以
PE2+CE2=PC2,故PE⊥CE.又PE⊥EF,CE∩EF=E,CE,EF⊂面ABCD,所以PE⊥面ABCD.EF,ED,PE 两两垂直,故
以E 为原点,EF,ED,PE 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,2√3),D(0,3√3,0),F(2,0,0),A(0,-2
√3,0),C(3,3√3,0),连接PA,则⃗PD=(0,3√3,-2√3),⃗DC=(3,0,0),⃗AP=(0,2√3,2√3),⃗AF=(2,2√3,0).设面PCD 的法
向量为n1=(x1,y1,z1), 则{
n1·⃗PD =3√3 y1-2√3 z1=0,
n1·⃗DC =3 x1=0,
可取n1=(0,2,3). 设面PBF 即面PAF 的法向量为
n2=(x2,y2,z2).则{
n2·⃗AP =2√3 y2+2√3 z2=0,
n2·⃗AF =2 x2+2√3 y2=0,
可取n2=(√3,-1,1).|cos<n1,n2>|=|n1·n2|
|n1|·|n2|
= 1
√65
.故面PCD 与
面PBF 所成二面角的正弦值为√1- 1
65
=8√65
65
.
18. （17 分）某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队
中一名队员投篮3 次,若3 次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0 分,若至少投中一次,则该队进入第二阶段,
第二阶段由该队的另一名队员投篮3 次,每次投篮投中得5 分,未投中得0 分,该队的比赛成绩为第二阶段的
得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分的概率;
(2)假设0<p<q.
(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率最大,应该由谁参加第一阶段的比赛?
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?
【解】 (1)设A1=“甲、乙所在队进入第二阶段”,则P(A1)=1-(1-0.4)3=0.784.设A2=“乙在第二阶段至少得5
分”,则P(A2)=1-(1-0.5)3=0.875.设A3=“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分”,则P(A3)=P(A1)·P(A2)=0.686.
(2)(ⅰ)设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15 分的概率为P 甲,则P 甲=[1-(1-p)3]·q3=pq3·(3-3p+p2).设
乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15 分的概率为P 乙,则P 乙=[1-(1-q)3]·p3=qp3·(3-3q+q2).则P 甲-P 乙
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=pq(3q2-3pq2+p2q2-3p2+3p2q-p2q2)=3pq(q-p)·(p+q-pq),由0<p<q≤1,得q-p>0,p+q-pq=p+q(1-p)>0,所以P 甲-P 乙
>0,即P 甲>P 乙.故应该由甲参加第一阶段比赛.
( ⅱ)若甲参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩X 的所有可能取值为0,5,10,15.
P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3,
P(X=5)=[1-(1-p)3]·C3
1·q·(1-q)2,
P(X=10)=[1-(1-p)3]·C3
2·q2·(1-q),
P(X=15)=[1-(1-p)3]·C3
3q3,
所以E(X)=[1-(1-p)3]·[15q(1-q)2+30q2(1-q)+15q3]=[1-(1-p)3]·15q=15pq(p2-3p+3).
若乙参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩Y 的所有可能取值为0,5,10,15.同理,可得E(Y)=15pq(q2-
3q+3).E(X)-E(Y)=15pq(p2-3p-q2+3q)=15pq·(q-p)·(3-p-q), 由0<p<q≤1, 得q-p>0,3-p-q=3-(p+q)>0, 所以E(X)-
E(Y)>0,即E(X)>E(Y).故应该由甲参加第一阶段比赛.
19. （17 分）已知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C 上,k 为常数,0<k<1,按照如下方式依次构造点
Pn(n=2,3,…)：过Pn-1斜率为k 的直线与C 的左支交于点Qn-1,令Pn为Qn-1关于y 轴的对称点,记Pn的坐标为
(xn,yn).
(1)若k=1
2
,求x2,y2;
(2)证明:数列{xn-yn}是公比为1+k
1-k
的等比数列;
(3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积,证明:对任意正整数n,Sn=Sn+1.
【解】 将点P1(5,4)的坐标代入C 的方程得52-42=m,解得m=9,所以C:x2-y2=9.
(1)过点P1(5,4)且斜率k=1
2
的直线方程为y=1
2
(x-5)+4,与C 的方程联立,消去y 化简可得x2-2x-15=0,即(x-5)
(x+3)=0,所以点Q1的横坐标为-3,将x=-3 代入直线方程,得y=0,因此Q1(-3,0),从而P2(3,0),即x2=3,y2=0.
(2)解法一:由题意,Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1),Qn(-xn+1,yn+1).设过点Pn(xn,yn)且斜率为k 的直线为ln:y=k(x-xn)+yn,将ln的
方程与C 的方程联立,消去y 化简可得(1-k2)x2+(2k2xn-2kyn)x-(kxn-yn)2-9=0,由根与系数的关系得-xn+1+xn=-
2k
2 xn-2k yn
1-k
2
,所以xn+1=2k
2 xn-2k yn
1-k
2
+xn=k
2 xn+ xn-2k yn
1-k
2
.又Qn(-xn+1,yn+1)在直线ln上,所以yn+1=k(-xn+1-xn)
+yn=-kxn+1-kxn+yn. 从而xn+1-yn+1=xn+1+kxn+1+kxn-yn=(1+k)xn+1+kxn-yn=(1+k)·k
2 xn+ xn-2k yn
1-k
2
+kxn-yn=1+k
1-k
·(xn-
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yn),易知xn-yn≠0,所以数列{xn-yn}是公比为1+ k
1-k
的等比数列.
解法二:由题意,Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1),Qn(-xn+1,yn+1).由点Pn,Qn所在直线的斜率为k,可知k= yn- yn+1
xn+ xn+1
.又点Pn,Qn
都在C 上, 所以{
xn
2- yn
2=9,
xn+1
2
- yn+1
2
=9,
即{
( xn- yn)( xn+ yn)=9,
( xn+1- yn+1)( xn+1+ yn+1)=9,
易知xn-yn≠0, 则1+k
1-k
=
1+ yn- yn+1
xn+ xn+1
1- yn- yn+1
xn+ xn+1
=
xn+ xn+1+ yn- yn+1
xn+ xn+1- yn+ yn+1
=
xn+1- yn+1+
9
xn- yn
xn- yn+
9
xn+1- yn+1
=
1
xn- yn
[( xn+1- yn+1)( xn- yn)+9]
1
xn+1- yn+1
[( xn- yn)( xn+1- yn+1)+9]
= xn+1- yn+1
xn- yn
,即数列{xn-
yn}是公比为1+ k
1-k
的等比数列.
(3)解法一:由(2)知,数列{xn-yn}是首项为x1-y1=5-4=1,公比为1+k
1-k
的等比数列.令t=1+k
1-k
,由0<k<1 可知t>1,则
xn-yn=tn-1,又xn
2-yn
2=9,所以xn+yn=
9
xn- yn
= 9
t
n-1,可得xn=9+t
2n-2
2t
n-1
,yn=9-t
2n-2
2t
n-1
.所以Pn(
9+t
2n-2
2t
n-1 , 9-t
2n-2
2t
n-1 )
,Pn+1
(
9+t
2n
2t
n , 9-t
2n
2t
n )
,Pn+2(
9+t
2n+2
2t
n+1 , 9-t
2n+2
2t
n+1 )
. 所以直线PnPn+1 的方程为x-xn= xn+1- xn
yn+1- yn
(y-yn), 即(9+t2n-1)x-(9-
t2n-1)y-9tn-1(1+t)=0.
易
知
点
Pn+2
到
直
线
PnPn+1
的
距
离
d=
|(9+t
2n-1)· 9+t
2n+2
2t
n+1 -(9-t
2n-1)· 9-t
2n+2
2t
n+1 -9t
n-1(1+t )|
√(9+t
2n-1)
2+(9-t
2n-1)
2
=|9t
n-2(t -1)
2(t +1)|
√(9+t
2n-1)
2+(9-t
2n-1)
2
.
又
|PnPn+1|=
√(
9+t
2n
2t
n - 9+t
2n-2
2t
n-1 )
2
+(
9-t
2n
2t
n - 9-t
2n-2
2t
n-1 )
2=√(t -1)
2[(9-t
2n-1)
2+(9+t
2n-1)
2]
2t
n
,
则
Sn=1
2
·|PnPn+1|·d=
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9(t -1)
3(t +1)
4t
2
= 36k
3
(1-k
2)
2
,即Sn为定值,所以Sn=Sn+1.
解法二:由(2)知,数列{xn-yn}是首项为x1-y1=5-4=1,公比为1+ k
1-k
的等比数列.令t=1+k
1-k
,由0<k<1 可知t>1,则xn-
yn=tn-1,又xn
2-yn
2=9,所以xn+yn=
9
xn- yn
= 9
t
n-1,可得xn=9+t
2n-2
2t
n-1
,yn=9-t
2n-2
2t
n-1
. 所以Pn(
9+t
2n-2
2t
n-1 , 9-t
2n-2
2t
n-1 )
,Pn+1
(
9+t
2n
2t
n , 9-t
2n
2t
n )
,Pn+2(
9+t
2n+2
2t
n+1 , 9-t
2n+2
2t
n+1 )
,Pn+3(
9+t
2n+ 4
2t
n+2 , 9-t
2n+ 4
2t
n+2 )
. 所以xn+3- xn
yn+3- yn
=
9+t
2n+ 4
2t
n+2 - 9+t
2n-2
2t
n-1
9-t
2n+ 4
2t
n+2 - 9-t
2n-2
2t
n-1
=
9-t
2n+1
9+t
2n+2
, xn+2- xn+1
yn+2- yn+1
=
9+t
2n+2
2t
n+1 - 9+t
2n
2t
n
9-t
2n+2
2t
n+1 - 9-t
2n
2t
n
=9-t
2n+1
9+t
2n+1
,即xn+2- xn+1
yn+2- yn+1
= xn+3- xn
yn+3- yn
,所以PnPn+3∥Pn+1Pn+2,所以点Pn
和点Pn+3到直线Pn+1Pn+2的距离相等,因此△PnPn+1Pn+2和△Pn+1Pn+2Pn+3的面积相等,即Sn=Sn+1.
