文档文本内容
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
（全国甲卷）
理科数学
一、选择题
1.设集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
由图知，
.
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的
调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（ ）
A.该地农户家庭年收入低于
万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于
万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过
万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于
万元至
万元之间
答案：
C
解析：
A.低于
万元的比率估计为
，正确.
B.不低于
万元的比率估计为
，正确.
C.平均值为
万元，不正确.
D.
万到
万的比率为
，正确.
3.已知
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
.
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和
小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据
和小数记录法的数据
满足
.
已知某同学视力的五分记录法的数据为
，则其视力的小数记录法的数据约为（
）（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
代入
，知
，故
.
5. 已知
，
是双曲线
的两个焦点，
为
上一点，且
，
，则
的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
记
，
，由
及
，得
，
，又由余弦定理
知
，得
，从而
.
6.在一个正方体中，过顶点
的三条棱的中点分别为
，
，
，该正方体截去三棱锥
后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
由题可得直观图，如下图.
故选D.
7.等比数列
的公比为
，前
项和为
，设甲：
，乙：
是递增数列，则（
）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：
B
解析：
若
，则
.①
，则
单调递增；②
，则
单调递减，∴甲
乙，又若
单调递增，则
恒成立，∴
恒成立，∴
，
，∴甲
乙.综上：甲
乙，选B.
8.2020 年12 月8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为
（单位:
)，
三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有
，
，
三点，且
，
，
在同一水平面上的投影
，
，
满足
，
.由
点测得
点的仰角为
，
与
的差为
:由
点测得
点
的仰角为
, 则
，
两点到水平面
的高度差
约为（ ）（
）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
过C 作
的垂线交
于点M，过B 作
的垂线交
于点N，
由题意得
，
，
，即
.
所以
，
所以
. 得A ，C 两点到水平面
的高度差
约为
，故选B。
9.若
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
.
∴
∴
∴
.
又∵
.如图，
.
10.将
个和
个
随机排成一行，则
个
不相邻的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
把位置依次标为到
.
总数：先排
个
，有
种，再排
个，有一种，故共有
种.
满足题设的排法：先排
个
，有
种.其间有
个空，选
个空插入有
种.故
.
满足题设排法的另一种解释：
的位置有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共
种.
11.已知
是半径为的球
的球面上的三个点，且
，
，则
三棱锥
的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
记
为
所在圆面的圆心，则
.
又
，所以
.
所以
.故选A.
12.设函数
的定义域为
，
为奇函数，
为偶函数，当
时，
.若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
∵
为奇函数，∴
关于
中心对称，∴
.
因
为偶函数，故
关于
轴对称，周期为
.
∴
，
.即
，
.
，
.
故
.
故选D.
二、填空题
13.曲线
在点
处的切线方程为 .
答案：
.
解析：
，
，
.
切线：
.
14.已知向量
，
，
.若
，则
.
答案：
解析：
，
.所以
.
15.已知
，
为椭圆
的两个焦点，
，
为
上关于坐标原点对称的两点，
且
，则四边形
的面积为
.
答案：
解析：
如图，由
及椭圆对称性可知，四边形
为矩形.
设
，
，则
，
得
.所以，四边形
面积为
.
16.已知函数
的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数
为
.
答案：
解析：
由图可知，
的最小正周期
，∴
.
∵
，∴
，∴
，
.
∴
，∴
，
.
∴
或
.
结合图像可知，满足
的离
轴最近的正数区间
，无正数；
的离
轴最近的正数区间为
，最小正整数
.
三、解答题
（1）必考题
17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产
品的质量，分別用两台机床各生产了
件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有
的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：
，
答案：
见解析
解析：
（1）由表格数据得：
甲机床生产的产品中一级品的频率为
；
乙机床生产的产品中一级品的频率为
；
（2）由题意
.
所以有
的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
18.已知数列
的各项均为正数，记
为
的前
项和，从下面①②③中选取两个作为
条件，证明另外一个成立.
①数列
是等差数列：②数列
是等差数列：③
.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分，①，
答案：
见解析
解析：
①，
,证明：设等差数列
的公差为
.因为
，所以
，
则
.所以
，所以
.所以
是首项为
，公差为
的等差数列.
19.已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，
，
分别
为
和
的中点，
为棱
上的点，
.
（1）证明：
；
（2）当
为何值时，面
与面
所成的二面角的正弦值最小？
答案：
见解析；
解析:
（1）
连
，取
中点
连
，
，
由
为
，
的中点，则
，
又
，
，则
共面，故
面
.
又在侧面
中
，则
又
，则
.
（2）
，则
.
又
则
.
如图以
为原点建立坐标轴，则
，
，
，
，
.
设
则
.
则面
法向量为
，对面
设法向量为
，则
，
则
.
要求最小正弦值则求最大余弦值.
当
时二面角余弦值最大，则
时二面角正弦值最小.
20.抛物线
的顶点为坐标原点
，焦点在
轴上，直线
交
于
，
两点，且
，已知点
，且
与相切.
（1）求
，
的方程；
（2）设
，
，
是
上的三个点，直线
，
均与
相切，判断直线
，
与
的位置关系，并说明理由.
答案：
见解析；
解析：
（1）
，
.
（2）设
，
，
.
，所以
①.
，所以
②.
所以
，
是方程
的两根.
又
，所以
.
所以
，即直线
与
相切.
21.已知
且
，函数
.
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若曲线
与直线
有且仅有两个交点，求
的取值范围.
答案：
见解析；
解析：
（1）
时，
，
.
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.
故
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由题知
在
有两个不等根；
.
令
，
，
在
单调递增，在
单调递减.
又
，
，
.
所以
且
.
四、选考题（2 选1）
22.在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）将
的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点
的直角坐标为
，
为
上的动点，点
满足
，写出
的
轨迹
的参数方程，并判断
与
是否有公共点.
答案：
见解析
解析：
（1）
.
（2）设
，
，由
.
又
在
上，所以
.
则
为
为圆心，半径为
的圆，所以
所以，两圆为内含关系，所以，圆
与圆
无公共点.
23.已知函数
，
.
（1）画出
和
的图象；
（2）若
，求
的取值范围.
答案：
见解析；
解析：
（1）
；
（2）当
时，恒不满足，此时
；
当
时，
恒成立，必有
.
当
时，
时，
，
，所以
.
时
，
，
，
令
，所以
.
时，
，
.
，所以
.
所以，
.
