文档文本内容
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
（全国甲卷）
文科数学
一、选择题
1.设集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
依题意可知
，所以
.
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的
调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（
）
A.该地农户家庭年收入低于
万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于
万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过
万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于
万元至
万元之间
答案：
C
解析：
A.低于
万元的比率估计为
，正确.
B.不低于
万元的比率估计为
，正确.
C.平均值为
万元，不正确.
D.
万到
万的比率为
，正确.
3.已知
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
.
4.下列函数中是增函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
∵
，
，在
上单调递减，
在
上单调递减，故A，
B，C 错误；
在
上单调递增，故D 正确.
5.点
到双曲线
的一条渐近线的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
双曲线
的渐近线为
，则点
到双曲线
的一条渐近线
的距离为
.
6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和
小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据
和小数记录法的数据
满足
.
已知某同学视力的五分记录法的数据为
，则其视力的小数记录法的数据约为（
）（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
代入
，知
，故
.
7.在一个正方体中，过顶点
的三条棱的中点分别为
，
，
，该正方体截去三棱锥
后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
由题可得直观图，如下图.故选D.
8.在
中，已知
，
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
由余弦定理可得
，解得
.
9.记
为等比数列
的前
项和.若
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
由等比数列的性质可知：
成等比数列，即
成等比数列，所以
，即
，故选A.
10.将
个和
个
随机排成一行，则
个
不相邻的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
求出所有的排列数，先将
个排成一排，有
个空位，当每个空位排一个
，即从
个空
位中选
个，有
种排法，此时
个
不相邻；当两个
相邻时，即从
个空位中选出一
个来排两个
，有
种选法，从而总的排法数有
个，再根据古典概型概率公式可得概率
，故选C.
11.若
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
.
∴
∴
∴
.
又∵
.如图，
.
12.设
是定义域为
的奇函数，且
.若
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
∵
是定义在
上的奇函数，
∴
，
∴
∴
周期为
的周期函数.
∴
.
二、填空题
13.若向量
满足
，
，
，则
.
答案：
解析：
，∴
，∴
，∴
，
∴
，∴
.
14.已知一个圆锥的底面半径为
，其体积为
，则该圆锥的侧面积为
.
答案：
解析：
圆锥底面半径
，体积
，则圆锥的高
，则母线长
，则圆锥的侧面积
.
15.已知函数
的部分图像如图所示，则
.
答案：
解析：
由图可知
，由
，
所以
.
16.已知
，
为椭圆
的两个焦点，
，
为
上关于坐标原点对称的两
点，且
，则四边形
的面积为
.
答案：
解析：
答案：
解析：
如图，由
及椭圆对称性可知，四边形
为矩形.
设
，
，则
，
得
.所以，四边形
面积为
.
三、解答题
17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产
品的质量，分別用两台机床各生产了
件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有
的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：
，
答案：
见解析
解析：
（1）由表格数据得：
甲机床生产的产品中一级品的频率为
；
乙机床生产的产品中一级品的频率为
；
（2）由题意
.
所以有
的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
18.记
为数列
的前
项和，已知
，
，且数列
是等差数列，证
明：
是等差数列.
答案：
见解析
解析：
∵
为等差数列，设公差为
.∴
，即
.
∴
，∴
.
∴
，∴
，
即
，又
同样满足通项公式，所以
是等差数列.
19．已知直三棱柱ABC −A1B1C1中，侧面A A1B1B为正方形．AB＝BC ＝2，E，F
分别为AC和C C1的中点，BF ⊥A1B1．
(1)求三棱锥F－EBC 的体积；
(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF ⊥DE．
答案：
见解析；
解析；
（1）
，则
.
又
则
.
,
.
（2）连
，取
中点
连
，
，
由
为
，
的中点，则
，
又
，
，则
共面，故
面
.
又在侧面
中
，则
又
，则
.
20.设函数
，其中
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若
的图象与
轴没有公共点，求
的取值范围.
答案：
见解析
解析：
（1）
∵
，
，∴
，∴当
时
函数单调递减，
当
时，
，函数单调递增.
∴
在
上递减，在
上递增，
（2）当
时
，结合函数单调性可知若
与
无交点时
即
.
化简可得
即
.所以参数
的取值范围为
21.抛物线
的顶点为坐标原点
，焦点在
轴上，直线
交
于
，
两点，且
，已知点
，且
与相切.
（1）求
，
的方程；
（2）设
，
，
是
上的三个点，直线
，
均与
相切，判断直线
与
的位置关系，并说明理由.
答案：
见解析
解析：
（1）
，
.
（2）设
，
，
.
，所以
①.
，所以
②.
所以
，
是方程
的两根.
又
，所以
.
所以
，即直线
与
相切.
22.在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）将
的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点
的直角坐标为
，
为
上的动点，点
满足
，写出
的
轨迹
的参数方程，并判断
与
是否有公共点.
答案：
见解析
解析：
（1）
.
（2）设
，
，由
.
又
在
上，所以
.
则
为
为圆心，半径为
的圆，所以
所以，两圆为内含关系，所以，圆
与圆
无公共点.
23.已知函数
，
.
（1）画出
和
的图象；
（2）若
，求
的取值范围.
答案：
见解析；
解析：
（1）
；
（2）当
时，恒不满足，此时
；
当
时，
恒成立，必有
.
当
时，
时，
，
，所以
.
时
，
，
，
令
，所以
.
时，
，
.
，所以
.
所以，
.
