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第 5 讲 素养提升之函数与导数新情境、新考法专项冲刺
目录
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
角度2：关注经济发展
角度3：聚焦科技前沿
角度4：结合生产实践
角度5：渗透数学文化
角度6：强调五育并举
二、新考法
角度1：以高观点为背景
角度2：以给定定义、热点信息为背景
角度3：考查开放、探究精神
角度4：考查数学运算、数据分析得核心素养
角度5：相近学科融合
一、新情境
角度1：紧跟社会热点1．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））某容量为 万立方米的小型湖，由于周边商业过度
开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗，假设每天流进和
流出的水均为 万立方米，下雨和蒸发正好平衡.用函数 表示经过 天后的湖水污染质量分数，已知
，其中 表示初始湖水污染质量分数.如果 ，要使湖水的污染水平下降到
开始时污染水平的 以下，至少需要经过（ ）天（参考数据： ）
A．113 B．116 C．119 D．120
2．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理）） 年 月 日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀
鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同时，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某
种植物生长面积 （单位： ）与时间 （单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型 （
， ， 且 ）．已知第一个月该植物的生长面积为 ，第 个月该植物的生长而积为
，给出下列结论：
①第 个月该植物的生长面积超过 ；
②若该植物的生长面积达到 ，则至少要经过 个月；
③若 ，则 成等差数列；
④若 成等差数列， ， ，则 ．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川绵阳·高二期末（文））酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL
血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒
后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的
速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）
（参考数据： ， ）
A．12 B．11 C．10 D．9
4．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱
好，某地为响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场.该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点A，B
分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20 .两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看
作某三次函数图象的一部分.综合滑行的安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹
角约为44°.若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A，B两点在水平方向的距离约为（ ）A．23 B．25 C．27 D．29
5．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三阶段练习）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参
数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎
疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数 随时间t（单位：天）的变化规律，指
数增长率r与 ，T近似满足 ．有学者基于已有数据估计出 ．据此，在新冠肺炎
疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为 （ ）
A．3.6天 B．3.0天 C．2.4天 D．1.8天
角度2：关注经济发展
1．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研
究热潮．某公司研发的 ， 两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准
备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产 芯片的毛收入 （千万元）与投入的资金 （千万元）
成正比，已知投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产 芯片的毛收入 （千万元）与投入的资
金 （千万元）的函数关系为 ，其图象如图所示．现在公司准备投入40千万元资金同时生产
， 两种芯片，则可以获得的最大利润是______千万元．（毛收入＝营业收入－营业成本）
2．（2022·山东枣庄·高二期末）某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是
分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大
半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为______cm．
3．（2022·北京丰台·高二期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P（单位：
1
元）、瓶内饮料的获利P（单位：元）分别与瓶子的半径r（单位：cm， ）之间的关系如图甲、乙所
2
示.设制造商的利润为 ，给出下列四个结论：① 当 时， ；
② 在区间 上单调递减；
③ 在区间 上存在极小值；
④ 在区间 上存在极小值.
其中所有正确结论的序号是_________.
4．（2022·全国·高一）端午节来临之际，商家推出了两种礼盒进行售卖．A类礼盒中有4个甜味粽，4个
肉馅粽；B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，两种礼盒的成本分别为盒中食品的成本之
和，包装费用忽略不计．其中，每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的 ，每个甜味粽的成本比每个肉馅
粽的成本少，且每个甜味粽和每个肉馅粽的成本均为整数．已知A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．
端午节当天一共卖出了两类礼盒共计128盒，且卖出的B类礼盒至少50盒．后续工作人员在核算总成本的
过程中，把每个甜味粽和每个肉馅粽的成本看反了，并用看反的每个肉馅粽的成本的 去计算每个成鸭蛋
的成本，结果算出来的总成本比实际总成本少了480元，则当日实际卖出的两种礼盒的总成本为______
元．
角度3：聚焦科技前沿
1．（2022·北京朝阳·高二期末）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中
的函数． 函数是常用的激活函数之一，其解析式为 ．关于 函数的以下结论
① 函数是增函数；
② 函数是奇函数；
③对于任意实数a，函数 至少有一个零点；
④曲线 不存在与直线 垂直的切线．其中所有正确结论的序号是___________．
2．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题．由神
经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界．从AlphaGo到自动驾驶汽车，这些大家耳熟
能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的．在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，
Sigmoid函数 即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为： ．下列关于Sigmoid
函数的表述正确的是：______．
①Sigmoid函数是单调递增函数；
②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为 ；
③对于任意正实数a，方程 有且只有一个解；
④Sigmoid函数的导数满足： ．
3．（2022·北京朝阳·高三阶段练习）2022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号F遥十四运载火箭的
托举下点火升空，成功进入预定轨道．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技
术．根据火箭理想速度公式 ，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位： ），其中
（单位： ）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进
剂与火箭质量的总和， 应称为总质比．己知A型火箭喷流相对速度为 ，根据以上信息：
（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为___________ ；
（2）若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的 ，
若要使火箭的最大速度至少增加 ，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为___________．
（所有结果保留整数，参考数据： ）角度4：结合生产实践
1．（2022·云南昆明·高一期末）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值 （单位：万元）
的小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随企业年产值x的增加而增加，且奖金不低于7
万元，同时奖金不超过企业年产值的15%．若函数 ，则m的取值范围为__________．
2．（2022·河北·承德市双滦区实验中学高一期中）某公司生产防疫器材，生产固定成本为20000元，若每
生产一台该器材需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量 （单位：台）满足函数：
，当该公司月生产量为______________台，公司利润最大，最大利润是
____________________元（总收入=总成本+利润）
3．（2022·河南·安阳37中高一期中）某蔬菜仓库供应甲、乙两个大型超市．蔬菜仓库的设计容量为 万
吨，去年年底时该仓库的蔬菜存储量为 万吨，从今年开始，每个月购进蔬菜 万吨，再按照需求量向两
个超市调出蔬菜．已知甲超市每月的蔬菜需求量为 万吨，乙超市前 个月的蔬菜总需求量为 万吨，
其中 且 ，且前 个月，乙超市的蔬菜总需求量为 万吨．
(1)求第 个月月底时，该仓库的蔬菜存储量 （万吨）与 的函数关系式；
(2)若要今年每月按计划购进蔬菜之后，仓库总能满足两个超市的需求，且每月调出蔬菜后，仓库的蔬菜剩
余量不超过设计容量，试确定 的取值范围．4．（2022·上海市南洋模范中学高一期中）2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法
案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它
将激发中国自主创新更强的爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元 ，
现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工x名（
且 ），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为
万元．
(1)求调整后企业对全部技术人员的年总投入 和对全部研发人员的年总投入 的表达式：
(2)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人
数最少为多少人?
(3)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个
条件，①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不低于调整
前的水平．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理
由．
角度5：渗透数学文化
1．（2022·重庆市第十一中学校高一阶段练习）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用
其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例
如： ， ､已知函数 ，则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年
笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发
明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数 （ 且
）的反函数为 （ 且 ）．已知函数 ， ，则对于任意的
，有 恒成立，则实数k的取值范围为（ ）A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）太极图被称为“中华第一图”，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称
阴阳鱼．太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．现定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成
两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”．设圆 ，下列说法正确的是( )
①函数 是圆O的一个“太极函数”；
②若函数 是圆O的“太极函数”，则 ；
③函数 的图像关于原点中心对称是 为圆O的“太极函数”的充要条件；
④圆O的所有非常值函数的太极函数都不能为偶函数．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
4．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（文））中国魏晋期间伟大的数学家刘徽在运用“割圆术”求圆的
周长时，在圆内作正多边形，用多边形的周长近似代替圆的周长，随着边数的增加，正多边形的周长也越
来越接近于圆的周长．这是世界上最早出现的“以直代曲”的例子．“以直代曲”的思想，在几何上，就
是用直线或者直线段来近似代替曲线或者曲线段．利用“切线近似代替曲线”的思想方法计算 ，所得
的结果用分数表示为__________．
角度6：强调五育并举
1．（2022·内蒙古赤峰·高三阶段练习（理））体育运动是增强体质的最积极有效的方法，经常进行体育运
动能增强身体机能，提高抗病能力.对于 岁的青少年，每天进行中等强度的运动有助于提高睡眠质
量，使第二天精神充足，学习效率更高.是否达到中等强度运动，简单测量方法为 ，其中 为运
动后心率（单位：次/分）与正常时心率的比值， 为每个个体的体质健康系数.若 介于 之间，
则达到了中等强度运动；若低于25，则运动不足；若高于28，则运动过量.已知某同学正常时心率为78，
体质健康系数 ，他经过慢跑后心率（单位：次/分）满足 为慢跑里程（单位：
米）.已知学校运动场每圈400米，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的慢跑圈数为（ ）（e为自
然对数的底数， ）
A．3 B．4 C．5 D．62．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知
识设计 的比赛，其中某位同学利用函数图象设计了如图的 ，那么该同学所选的函数最有可能是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（2022·吉林·长春市第五中学高二期中）意大利画家列奥纳多·达・芬奇的画作《抱银鼠的女
子》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达・芬奇提出：固定项链的
两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给
出了悬链线的函数解析式： ，其中 为曲线顶点到横坐标轴的距离， 称为双曲
余弦函数，其函数表达式为 ，相应地，双曲正弦函数的表达式为 ．若直线
与双曲余弦函数 双曲正弦函数 的图象分别相交于点 ， ，曲线 在点 处的切线 与曲线
在点 处的切线 相交于点 ，则下列结论正确的为（ ）
A．
B． 是偶函数
C．
D．若 是以 为直角顶点的直角三角形，则实数二、新考法
角度1：以高观点为背景
1．（2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习（理））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈
德·黎曼发现并提出，在高等数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在 上，其解析式如下：
．若函数 是定义在 上的奇函数，且对任意 都有
，当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京朝阳·高三阶段练习）对于二元函数 ，若 存在，则
称 为 在点 处对x的偏导数，记为 ；若
存在，则称 为 在点 处对y的偏
导数，记为 ．已知二元函数 ，则下列命题为假命题的是
（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D． 的最小值为
3．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）若 ，关于 的一元二次方程 的两个
根分别为 ，则方程可写成 ，即 ，容易发现根与系数的关
系： 若 ，设关于 的一元三次方程 的三个非零
实数根分别为 ，则 ___________.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 和 的定义域分别为 和 ，若对任意的 ，都恰
好存在 个不同的实数 ，使得 （其中 ，则称 为 的“ 重覆盖函数”，如 ， 是 ， 的“4重覆盖函数”．
(1)试判断 ， 是否为 ， 的“2重覆盖函数”，并说明理由；
(2)若 为 , 的“3重覆盖函数”，求实数 的取值范
围；
(3)若 ， 为 ， 的“9重覆盖函数”，求 的最大
值．
5．（2022·广东深圳·高三阶段练习）记 为函数 的 阶导数且 ，
若 存在，则称 阶可导．英国数学家泰勒发现：若 在
附近 阶可导，则可构造 （称
为 次泰勒多项式）来逼近 在 附近的函数值．据此计算 在 处的3次泰勒多项式为
=_________； 在 处的10次泰勒多项式中 的系数为_________
角度2：以给定定义、热点信息为背景
1．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高三阶段练习）国内首个百万千瓦级海上风电场－三峡阳江沙扒海上
风电项目宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力．风速预测是风电出力大小评
估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：
，其中k为形状参数，x为风速．已知风速为1m/s时，F≈0.221，则风速为4m/s时，
（参考数据： ， ）（ ）
A．0.920 B．0.964 C．0.975 D．0.982
2．（多选）（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，
一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为 （其中常数 是距震中100公里处接收到的0
级地震的地震波的最大振幅， 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振
幅）．地震的能量 （单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知
，其中 为地震震级．下列说法正确的是（ ）．A．若地震震级 增加1级，则最大振幅 增加到原来的10倍
B．若地震震级 增加1级，则放出的能量 增加到原来的10倍
C．若最大振幅 增加到原来的10倍，则放出的能量 也增加到原来的 倍
D．若最大振幅 增加到原来的10倍，则放出的能量 增加到原来的1000倍
3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））若 可以作为一个三角
形的三条边长，`则称函数 是区间D上的“稳定函数”．已知函数 是区间 上的
“稳定函数”，则实数m的取值范围为___________．
4．（2022·重庆·西南大学附中高一阶段练习）2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法
案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它
将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入 万元 ，
现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名（
且 ），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为
万元．
(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人
数最少为多少人？
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个
条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请
问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围；若不存在，说明理由．角度3：考查开放、探究精神
1．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值
的公式.如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数
值做系数构建一个多项式来近似函数在一点的邻域中的值，常见的公式有：
； .
则利用泰勒公式估计 的近似值为（ ）（精确到 ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南湘潭·高三开学考试）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义
是函数零点近似解的初始值，在点 的切线为 ，切线与 轴交
点的横坐标为 ，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，X满足精度的初始值即为函数零点近
似解．设函数 ，满足 ．应用上述方法，则 （ ）
A．3 B． C． D．
3．（2022·湖北孝感·高三阶段练习）对于问题“求证方程 只有一个解”，可采用如下方法进行
证明“将方程 化为 ，设 ，因为 在 上单调递减，且
，所以原方程只有一个解 ”.类比上述解题思路，则不等式 的解集
是（ ）
A． B．
C． D．角度4：考查数学运算、数据分析得核心素养
1．（2022·江苏省射阳中学高一期中）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算面发明对数；
1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系，对数源于指数，对数的发
明先于指数，这已成为历史珍闻. ， ， ，估计 的值约为（ ）
A．0.1654 B．0.2314 C．0.3055 D．0.4897
2．（2022·江苏·宿迁中学高一期中）空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围
棋状态空间复杂度的上限 约为 ，而中国象棋空间复杂度的上限 约为 （参考数据：
，则下列各数中与 最接近的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）我们知道，任何一个正实数 可以表示成 （
， ），此时 （ ）．当 时， 是 位数．试用上述方法，判断 是
（ ）位数．（ ）．
A．607 B．608 C．609 D．610
角度5：相近学科融合
1．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，
它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮
优化时使用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已
知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 ，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰
减为 ，则学习率衰减到 以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：
）
A．72 B．74 C．76 D．78
2．（2022·浙江大学附属中学高一期中）声强级Li（单位：dB）为声强I（单位： ）之间的关系是：
，其中 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为
，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项
中错误的是（ ）
A．闻阈的声强级为0dB
B．此歌唱家唱歌时的声强范围 （单位： ）C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍
D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍
3．（2022·全国·高一单元测试）其类蓄电池的容量 （单位： ），放电时间 （单位： ）与放电电流
（单位： ）之间关系的经验公式为 ，其中 为Peukert常数．为了测算该类蓄电池的Peukert
常数 ，在电池容量不变的条件下，当放电电流 时，放电时间 ；当放电电流 时，放
电时间 ．则该蓄电池的Peukert常数 大约为（参考数据： ， ）（ ）
A． B． C． D．2
4．（2022·全国·高一课时练习）纯音数学模型是函数 音有四要素：音调、响度、音长和音色，
它们都与函数 中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越
小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利 像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而
是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是 .下列说法中正
确的是（ ）
A．函数 不具有奇偶性
B．函数 在区间 上单调递增
C．若甲对应函数为 ，则甲响度一定比纯音 响度大
D．若甲对应函数为 ，则声音甲一定比纯音 更低沉
5．（多选）（2022·全国·高一课时练习）某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过
0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 ，若使这种溶液的
杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为（参考数据： ， ）（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
