文档内容
第 4 讲 素养提升之数列新情境、新考法专项冲刺
目录
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
角度2：关注经济发展
角度3：聚焦科技前沿
角度4：结合生产实践
角度5：渗透数学文化
角度6：强调五育并举
二、新考法
角度1：以高观点为背景
角度2：以给定定义、热点信息为背景
角度3：考查开放、探究精神
角度4：考查数学运算、数据分析得核心素养
角度5：相近学科融合
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
1．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运
行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加
0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有（ ）
A．18 B．19 C．21 D．22
【答案】B
【详解】由题意设前两站的距离为 千米，
第二站与第三站之间的距离为 千米，…，
第n站与第 站之间的距离为 千米，
则 是等差数列，首项是 ，公差 ，
则 ，解得 ，
则站点数一共有19个.
故选：B.
2．（2022·江苏连云港·高二期末）图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME7）的会徽图案，会徽的主
体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中 ，如果把图2
中的直角三角形继续作下去，记 的长度构成的数列为 ，由此数列的通项公式为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知， ，且 都是直角三角形，所
以 ，且 ，
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 ，由 .
故选：B．
3．（2022·浙江衢州·高三阶段练习）衢州市某中学开展做数学题猜 密码益智活动.已知数列 的通
项 ， ，数列 的通项 ，现将数列 和 中所有的项混在一起，按照从小到大的顺序排成数列 ，若满足 成立的 的最小值为 ，若该中学 密
码为 计算结果小数点的后6位，则该中学的WiFi的密码为（ ）
A．461538 B．255815 C．037036 D．255813
【答案】D
【详解】由题意，数列 的通项 ，可得数列 由数字 ，
数列 的通项 ，可得数列 由数字 ，
当 时， ，此时数列 为 ，此时 ；
当 时， ，此时数列 为 ，此时 ；
当 时， ，
此时数列 前38项中有 的前32项和数列 的前6项构成，
此时 ，
此时 ，经验证：
，
此时 ，不符合题意，
当
，
此时首次满足 ，即 ，又由 ，所以该中学的 的
密码为255813.
故选：D.
4．（2022·广西桂林·高三开学考试（理））在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，
与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算
经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的
量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变
化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为（ ）A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺
【答案】B
【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为 ，则立冬到大雪增加 ，大雪到雨水先增加一个
再减少 ,设大雪的晷长为 ,则 ,解得 ,
故选：B.
角度2：关注经济发展
1．（2022·山东烟台·高三期中）为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初
购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万
元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设 为第n年的维修费用， 为前n年的平均维修费
用，若 万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为
（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
【答案】C
【详解】设前n年的总维修费用为 ，
， ，
则 ，
即前6年可继续使用.
当 时，
所以 ，则
计算得 ，
故从第9年起需对设备进行更新，更新的年份为 .
故选：C.
2．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中）冰墩墩作为北京冬奥会的吉祥物特别受欢迎，官方旗舰店
售卖冰墩墩运动造型多功能徽章，若每天售出件数成递增的等差数列，其中第1天售出10000件，第21天
售出15000件；价格每天成递减的等差数列，第1天每件100元，第21天每件60元，则该店第
__________天收入达到最高.
【答案】6
【详解】设第n天售出件数为 ,设第n天价格为 .
由题意, 均为等差数列,设公差分别为 .
所以
所以 .
假设第n天的收入为 ,则
，
所以当 时, 取最大值,即第6天收入达到最高.
故答案为：6
角度3：聚焦科技前沿
1．（2022·陕西·虢镇中学高二阶段练习）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国
第一颗环绕太阳飞行的人造卫星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛bn｝：
， ， ……依次类推，其中 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】由题意可得 ， ， ，
因为 ，所以 ，故A错误；
因为 ，所以 ，即 ，故B错误；
因为 ，所以 ，故C错误；
因为 ，所以 ， ，
，即 ，
故D正确；
故选：D
角度4：结合生产实践1．（2022·山西吕梁·高三阶段练习）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教
育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体
化．某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生
赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社
临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为 ，在数列
的任意相邻两项 与 （ ，2， ）之间插入 个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列
．按新数列 的各项依次派遣支教学生．记 为派遣了70批学生后支教学生的总数，则 的值为
（ ）
A．387 B．388 C．389 D．390
【答案】A
【详解】∵数列 满足 ，
∴ ， ， ， ， ， ，
∵在任意相邻两项 与 （ ，2， ）之间插入 个3，
∴其中 ， 之间插入2个3， ， 之间插入4个3， ， 之间插入8个3， ， 之间插入16个
3， ， 之间插入32个3， ， 之间插入64个3，
又 ， ，
∴数列 的前70项含有 前6项和64个3，
故 ．
故选：A.
角度5：渗透数学文化
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时
期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108
座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（
）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】A
【详解】设成为等差数列的其中10层的塔数为： ，由已知得，该等差数列为递增数列，因为
剩下两层的塔数之和为8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为 ；故 ， ①；
又由 ②， ，且 ，所以，
①+②得， ，得 ，
由 知 ，
又因为 观察答案，当且仅当 时， 满足条件，所以， ；
组成等差数列的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；
剩下两层的塔数之和为8，只能为2，6.
所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：
1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足题意，
则第11层的塔数为17.
故答案选：A
2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在2022年北京冬残奥会闭幕式上，出现了天干地支时辰钟表盘.
天干地支纪法源于中国，不仅用于纪时纪日，也可用于纪年.天干地支具体分为十天干与十二地支，十天干
即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、
戌、亥，天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由
“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”， ，以
此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重
新开始，即“丙子”.橙子辅导创立于1933年（癸酉），以此类推即将迎来的九十周年校庆的2023年为（
）
A．壬寅 B．壬卯 C．癸寅 D．癸卯
【答案】D
【详解】天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，
从1933年到2023年经过90年，且1933年为癸酉，
以1933年的天干和地支分别为首项，
又 ，则2023年的天干是癸
又 ，则2023年的地支是卯
所以即将迎来的九十周年校庆的2023年为癸卯
故选：D
3．（2022·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在
20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是
按照 ， 的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是（ ）A．89 B．55 C．34 D．144
【答案】C
【详解】设第 行实心圆点的个数为 ，
由题图可得， ， ， ， ， ， ，……，
则 ，
故 ， ， ， ．
故选：C．
4．（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9
间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从
明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为 .若设明间的宽度为
，则该大殿9间的总宽度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意, 设明间的宽度 为等比数列的首项,从明间向右共5间,宽度成等比数列, 公比为 ,
同理从明间向左共5间,宽度成等比数列,公比为 ,
则由 可得
所以总宽度为故选:
5．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二阶段练习）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：
“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算
相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一
半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（ ）
A．63里 B．126里 C．192里 D．228里
【答案】C
【详解】由已知，设等比数列首项为 ，前n项和为 ， 公比为 , ，
则 ，等比数列首项 .
故选：C.
6．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二阶段练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发
现有这样一列数： ，从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即 ，
后来人们把这样的一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”.记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故选：B.
7．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由
波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形
各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形
代表挖去的面积，那么黑色三角形为剩下的面积（我们称黑色部分为谢尔宾斯基三角形）.用上面的方法可
以无限操作下去，操作1次得到第2个图案，操作2次得到第3个图案……，若最大的三角形边长为2，则
操作4次后得到的第5个图案中挖去的白色三角形个数为___________，挖去的面积为___________.【答案】 ##
【详解】观察图中黑色三角形以及白色三角形的个数，
设白色三角形个数为 ，黑色三角形个数为 ，
可以知道 ， ， ， ，
故 ，则 ，
即操作4次后得到的第5个图案中挖去的白色三角形个数为40；
由题意可知，设图中黑色三角形面积为 ，则 ，
每次挖去的白色三角形面积都是上一个图形中对应的黑色三角形面积的 ，
故每次操作后图中剩余黑色三角形的面积都是上一个图中黑色部分面积的 ，
故图中黑色三角形面积构成首项为 ，公比为 的等比数列，
故操作4次后得到的第5个图案中黑色三角形面积为 ，
则挖去的面积为 ，
故答案为：40；
8．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界近代三大数学难
题之一．地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的．四色定理的内容是：“任何一张地
图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”某同学在横格纸上研究填涂蓝、红、黄、
绿4种颜色问题，如图，第1行有1个格子，第2行有2个格子，…，第n行有n个格子，将4种颜色在每
行中分别进行涂色，每行相邻的格子颜色不同，记 为第k行不同涂色种数，则 _____，
________．【答案】 324
【详解】由分步计数原理知每行的第一个格子有4重涂法，其余每个格子均有3种涂法，故
种， ，
则 ①，
所以 ②，
①-②得 ，即 ．
故答案为：324，
角度6：强调五育并举
1．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二期中）图1是中国古代建筑中的举架结构， ， ， ，
是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中 ，
， ， 是举， ， ， ， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ，
， ， ，已知 ， ， 成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则
（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】B
【详解】设 ，则 ，
依题意，有 ，且 ，
所以 ，故 ，
故选：B2．（2022·福建三明·高二阶段练习）定义各项为正数的数列 的“美数”为 .若
各项为正数的数列 的“美数”为 ，且 ，则 ______.
【答案】
【详解】因为各项为正数的数列 的“美数”为 ，
所以 .
设数列 的前 项和为 ，
则 ，
所以 .
当 时， ，
所以 ，满足式子 ，
所以 .
又 ，所以 ，
所以
.
故答案为： .
3．（2022·全国·高三专题练习）在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小
的正三角形，然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，得到如
图所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形的面积为（ ）A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】设第n个正三角形的边长为 ，则 ，
由勾股定理知 ，
所以 ，又 ，则 ，
所以 是首项为243，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ，
所以 ，故最小的正三角形的面积为 .
故选：A
4．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）如图， 是一块半径为 的半圆形纸板，在 的左下
端剪去一个半径为 的半圆后得到图形 ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的
半径）得图形 ， ，…， ，…，记第 块纸板 的面积为 ，则 ______，如果 ，
恒成立，那么 的取值范围是______．
【答案】
【详解】第一块纸板的面积为 ，
第二块纸板的面积为 ，第三块纸板的面积为 ，……，
第 块纸板的面积为
，
要使得 ， 恒成立，只需 ，解得 ，故 ．
故答案为： ， .
5．（2022·江苏无锡·模拟预测）“刺绣”是一门传统手工艺术，我国已有多种刺绣列入世界非遗文化遗产
名录．有一种刺绣的图案由一笔画构成，很像汉字“回”，称为“回纹图”（如图）． 某刺绣工在方格
形布料上用单线针法绣回纹图，共进行了 次操作，每次操作在前一次基础上向外多绣一圈(前三次操作之
后的图案分别如下图) ． 若第 次操作之后图案所占面积为 （即最外围不封口的矩形面积，如
），则至少操作_______次， 不少于 ；若每横向或纵向一个单位长度绣一针，称
为“走一针”，如图①共走了 针，如图②共走了 针，如图③共走了 针，则其第 次操作之后的回纹
图共走了______________针（用 表示）．
【答案】
【详解】由题意得： ，
令 ，解得： 或 （舍去），
故至少操作5次；
由图形可以看出，第1次操作之后的回纹图共走的针数为 ，
第2次操作之后的回纹图共走的针数为 ，
第3次操作之后的回纹图共走的针数为 ，第n次操作之后的回纹图共走的针数为
故答案为：5，
6．（2022·全国·高三专题练习（文））某校在研究民间剪纸艺术时，经常会沿着纸的某条对称轴把纸对
折，规格为 的长方形纸，对折一次可以得到 和 两种规格的图形，他们的
周长之和为 ，对折二次可以得到 ， ， 三种规格的图形，他们的周
长之和为 ，以此类推，则折叠 次后能得到的所有不同图形的周长和 为___________ ，如
果对折 次后，能得到的所有图形的周长和记为 ，则 ___________ .
【答案】
【详解】对折三次可以得到 ， ， ， 四种规格的图形，
对折四次可得到 ， ， ， ， 五种规格的图形，
对折五次可得到 ， ， ， ， ， 六种规
格的图形，周长和 为：
，
因为 ，
，
所以 ， ， ， ， ，所以当 时，
，且 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ， ，
由累加法可得： ，
所以 .故答案为： ， .
二、新考法
角度1：以高观点为背景
1．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，
给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数
列，如果 ，数列 为牛顿数列，设 且 ， ，数列 的前 项和
为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意 ， ，
， ，
依题意 ，
即 ，
则 ，
（由于 ，所以 ），
则 ，
两边取对数得 ，即 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 .
所以 ，所以 .
故选：A
2．（2022·广东广州·高二期中）对于数列 定义： ， ，，…， （其中 ），称数列 为数列 的 阶差分数列.如果 （常数）
（ ），那么称数列 是 阶等差数列.现在设数列 是2阶等差数列，且 ， ，
，则数列 的通项公式为_________.
【答案】
【详解】根据题意： ， ， ，
故 ，故 ，
，
故 .
故答案为：
3．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二阶段练习）对给定的数列 ，记 ，则称数列
为数列 的一阶商数列；记 ，则称数列 为数列 的二阶商数列；以此类推，可得数列
的P阶商数列 ，已知数列 的二阶商数列的各项均为 ，且 ，则
___________．
【答案】
【详解】解：由数列 的二阶商数列的各项均为 ，可知 ，
而 ，
故数列 是以1为首项， 为公比的等比数列，
即 ，
即 ，
即 ．
所以 ，
故 ．
故答案为：
4．（2022·上海·高二期中）定义:对于任意数列 ,假如存在一个常数 使得对任意的正整数 都有 ,且 ,则称 为数列 的“上渐近值”．已知数列 有 （ 为常数,且 ）,它的
前 项和为 ,并且满足 ,令 ,记数列 的“上渐近值”为
,则 的值为 _____．
【答案】 ##-0.5
【详解】解:当 时, ,
当 时, ,
得到 ,
根据累乘法: ;满足n=1情况，
故而数列 是首项为0,公差为 的等差数列,
,
,
,
,
,
.
故答案为:
5．（2022·四川资阳·高一期末）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，通常是一个粗
糙或零碎的几何形状，并可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状，即具有自相似的特征．如图，有一列曲线 ， ，…， ，…，且 是边长为1的等边三角形， 是对
进行如下操作而得到：将曲线 的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向
外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉 记曲线 的周长依次为 ， ，…， ，…，
则 ______．
【答案】 .
【详解】由题意可知，第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的 ，第3个图形的边
长又是第2个图形边长的 ，……，
所以各个图形的边长构成首项为1，公比为 的等比数列，
所以第 个图形的边长为 ，
由图可知，各个图形的边数构成首项为3，公比为4的等比数列，
所以第 个图形的边数为 ，
所以第 个图形的周长为 ，
所以 ，
令 ，
所以，
故答案为：
角度2：以给定定义、热点信息为背景
1．（2022·山东聊城·高三期中）若函数 使得数列 ， 为递增数列，则称函数 为
“数列保增函数”．已知函数 为“数列保增函数”，则a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意，对 ， ，
即 ，
即 ，对 恒成立，
由于 在 上单调递增，故 ，
故 .
即 .
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）对于数列 ，定义 为数列 的“好数”，已
知某数列 的“好数” ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意， ，则 ，
当 时， ，
两式相减得 ，
所以 ， ，
当 时， 对上式也成立，
故 ，则 ，则数列 为等差数列，故 对任意的 恒成立可化为
， ；
即 ，解得 .
故选：D．
3．（2022·河南三门峡·高三阶段练习（文））定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的和构成
一个等比数列，则称该数列为“和等比”数列。已知“和等比数列 的前三项分别为 ，
，则数列 的前11项和 ________．
【答案】1365
【详解】依题意， ， ，因此等比数列 的首项是2，公比为2，有
，
所以
.
故答案为：1365
4．（2022·福建宁德·高三期中）对于数列{ }，若对任意 ，都有 ，则称该数列{ }为
“凸数列”．设 ，若 是凸数列，则实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】数列 ， ， ， 是“上凸数列”，得 ， ，
即 ，
即 ，
化简得 ，
当 时， ，若 恒成立，
则 恒成立，令 则 单调递增，当 时，取最小值
故
又当 时， 的最大值为 ，所以
则 的取值范围是 ，
故选：D
5．（2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提
出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数中前后两项之差并不相
等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，
26，37，则该数列的第19项为（ ）
A．290 B．325 C．362 D．399
【答案】B
【详解】设该数列为 ，则由 ， ， ，
，…
可知该数列逐项差数之差 成等差数列，首项为1，公差为2，故 ，
故 ，
则 ， ， ，…， ，
上式相加，得 ，
即 ，故 .
故选：B.
角度3：考查开放、探究精神
1．（2022·上海·高二专题练习）如图，在边长为1的正三角形 中， ， ，
，可得正三角形 ，以此类推可得正三角形 正三角形 ，记
，则 __．【答案】
【详解】因为正三角形 的边长为1，所以 ，
在边长为1的正三角形 中， ， ，
所以 , ，由余弦定理得： ，同理可求： ．
所以 与 相似，相似比为 ，所以 ．
同理可求： ， ， ．
所以 ， ， 构成一个首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ．
故答案为： ．
2．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）如果数列1，6，15，28，45， 中的每一项都可用如图
所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第9个六边形数为______．
【答案】153
【详解】解：因为：1，
，
，
，；
即这些六边形数是由首项为1，公差为4的等差数列的和组成的；
所以： ；
第9个六边形数为： ．
故答案为：153．
3．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）将正整数 分解为两个正整数 的积，即 ，当 两数
差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如 即为6的最优分解，当 是 的最优分
解时，定义 ，则数列 的前100项和为___________.
【答案】
【详解】当 时，由于 ，此时 ，
当 时，由于 ，此时 ，
所以 的前100项和为 .
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）中国古代数学史有许多光辉灿烂的篇章，“杨辉三角”就是其中十分精彩
的一页．如图所示，在“杨辉三角”中，斜线 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，
3，6，4，10，…，记这个数列的前 项和为 ，则 __________．
【答案】285
【详解】 为偶数时， ，
为奇数时， ， ， ，
，
，
，
，上面各式相加可得 ．
所以
，
故答案为：285．
5．（2022·上海·华师大二附中高一期末）如图，在边长为1的正三角形ABC中， ，
， ，可得正三角形 ，以此类推可得正三角形 、…、正三角形 ，记
，则 ______．
【答案】
【详解】因为正三角形ABC的边长为1，所以 .
在边长为1的正三角形ABC中， ， ， ，
所以 ，由余弦定理得：
同理可求： .
所以 ，相似比为 ,所以 .
同理可求： ,……， .
所以 构成一个首项为 ，公比为 的等比数列，所以 .
故答案为： .
角度4：考查数学运算、数据分析得核心素养
1．（2022·山东青岛·高二期中）集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数
学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，
去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续
下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况
下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前 次操作中共去掉的线段长度之和不小于 ，则 的
最小值为（ ）
（参考数据： ， ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【详解】第一次操作去掉的线段长度为 ，第二次操作去掉的线段长度和为 ，第三次操作去掉的线段
长度和为 ，…，第 操作去掉的线段长度和为 ，
由此得 ，
所以 ， ，
， ，
所以 的最小值是9.
故选：A．
2．（2022·北京师大附中高三阶段练习）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，
取一条长度为 的线段，第 次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第 次操作，将留下的
两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过 次这样的操作后，
去掉的所有线段的长度总和大于 ，则 的最小值为（ ）
（参考数据： ， ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】第 次操作，去掉的线段长度为 ；第 次操作，去掉的线段长度为 ；第 次操作，去掉的线段
长度为 ，依次类推，可知第 次操作去掉的线段长度为 ，
即每次去掉的线段长度成等比数列，
第 次后，去掉的线段长度总和为 ，
由 得： ， ，
的最小值为 .
故选：D.
3．（2022·江西省丰城中学高三阶段练习（理））杨辉是南宋杰出的数学家，他曾担任过南宋地方行政官
员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带．杨辉一生留下了大量的著述，他给出了著名的三角垛公式：
．若正项数列 的前 项和为 ，且满足
，数列 的通项公式为 ，则根据三角垛公式，可得数列 的前20项和
（ ）
A．2620 B．2660 C．2870 D．2980
【答案】C
【详解】由 ，得 ，两式相减，得
，整理，得 ，
即 ．因为 各项为正，所以 ，
所以数列 是公差为1的等差数列．
又当 时， ，即 ，
所以 或 （舍去），所以 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
即 ．
又 ，所以 ，
故 ．
故选：C．
4．（2022·湖南·长沙市同升湖高级中学有限公司高三阶段练习）若 是函数
的极值点，数列 满足 ， ，设 ，记 表示不超过
的最大整数，设 ，若不等式 ，对任意 属于正整数都成立，则实数
的最大值为（ ）．
A．1011 B．1012 C．2022 D．1010
【答案】B
【详解】解： ，
是函数 的极值点，
，所以 ，
，
，
数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ．
，
．
，
所以
，
单调递增， ，，
对 ，不等式 恒成立，所以 ，即 ，
则实数 的最大值为 ．
故选：B．
角度5：相近学科融合
1．（2022·黑龙江·哈九中高三阶段练习）中国公民身份号码编排规定，女性公民的顺序码为偶数，男性为
奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字简谱以1，2，3，4，5，6，7代表音阶中的7个基本音阶，反
映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与数字之间建立联系.如
图1，我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形，在图2中，第1行
有1个正方形和1个三角形，第2行有2个正方形和1个三角形，则在第9行中的正方形的个数为（ ）
A．53 B．55 C．57 D．59
【答案】B
【详解】设 为第n行中正方形的个数， 为第n行中三角形的个数，由于每个正方形产生下一行的1个
三角形和1个正方形，
每个三角形产生下一行的1个正方形，则有 ， ，
整理得 ，且 ， ，
则 ， ， ， ，
， ， .
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和
音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间
的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 ，第n根弦（ ，从左数第1根弦在y轴上，称为第0根
弦）分别与雁柱曲线和直线 交于点 （ ， ）和 （ ， ），则 ( )
参考数据：取 .A．814 B．900 C．914 D．1000
【答案】C
【详解】由条件可得 ①，
所以 ②，
－②得：
，
，
所以 .
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年
(公元1584年)，他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插
入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后
这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是（ ）
A．插入的第8个数为 B．插入的第5个数是插入的第1个数的 倍
C． D．
【答案】D
【详解】设该等比数列为 ,公比为q,则 ,故 .
对于A：插入的第8个数为 .故A正确；
对于B：插入的第5个数为 ，插入的第1个数为 ，所以 .故B正
确；对于C： .
要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，即证 ，
而 成立，故C正确；
对于D： .
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，所以
故D错误.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）提丟斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它
是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即
数列 ：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以
天文单位A．U.为单位）.现将数列 的各项乘以10后再减4得数列 ，可以发现 从第3项起，每
一项是前一项的2倍，则 ______， ______.
【答案】
【详解】数列 各项乘10再减4得到数列 ：0，3，6，12，24，48，96，192，…，
故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：； ；
