文档内容
第 3 讲 利用导数研究函数的单调性、极值、最值
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：导数的几何意义
突破二：利用导数研究函数的单调性
角度1：利用导数求函数的单调区间（不含参）
角度2：已知函数 在区间 上单调
角度3：已知函数 在区间 上存在单调区间
角度4：已知函数 在区间 上不单调
角度5：已知函数 有三个单调区间
突破三：利用导数研究函数的极值与最值
角度1：求已知函数的极值（点）、最值
角度2：根据函数的极值（点）、最值，求参数
突破四：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
角度2:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
角度3:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、导数的几何意义
函数 在点 处的导数的几何意义，就是曲线 在点 处的切线的斜率 ，即
，相应的切线方程为 .
（1）在型求切线方程
已知：函数 的解析式.计算：函数 在 或者 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标 （方法：把 代入原函数 中），切点 .
第二步：计算切线斜率 .
第三步：计算切线方程.切线过切点 ，切线斜率 。
根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
（2）过型求切线方程
已知：函数 的解析式.计算：过点 （无论该点是否在 上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；计算切线斜率 ；
第三步：令： ，解出 ，代入 求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
2、利用导数研究函数的单调性
（1）求已知函数（不含参）的单调区间
①求 的定义域
②求
③令 ，解不等式，求单调增区间
④令 ，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令 （或 ）不跟等号.
（2）已知函数 在区间 上单调
①已知 在区间 上单调递增 ， 恒成立.
②已知 在区间 上单调递减 ， 恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（3）已知函数 在区间 上存在单调区间
①已知 在区间 上存在单调增区间 ， 有解.
②已知 在区间 上存在单调减区间 ， 有解.
（4）已知函数 在区间 上不单调 ，使得 （ 是变号零点）
3、函数的极值
一般地，对于函数 ，（1）若在点 处有 ，且在点 附近的左侧有 ，右侧有 ，则称
为 的极小值点， 叫做函数 的极小值.
（2）若在点 处有 ，且在点 附近的左侧有 ，右侧有 ，则称
为 的极大值点， 叫做函数 的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
4、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小
值.
设函数 在 上连续，在 内可导，求 在 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求 在 内的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值.
5、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 的整体而言；
（2）在函数的定义区间 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个
（或者没有）；
（3）函数 的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：重难点题型突破
突破一：导数的几何意义
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，则过点 可作曲线 的切线的条数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：因为 ，所以 ，
设切点为 ，
所以在切点 处的切线方程为 ，
又 在切线上，所以 ，
即 ，整理得 ，解得 或 ，
所以过点 可作曲线 的切线的条数为2.
故选：C．
2．（2022·河南河南·模拟预测（理））已知 是奇函数，则过点 向曲线
可作的切线条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
【答案】C
【详解】因函数 是奇函数，则由 得 恒成立，则 ，
即有 ， ，
设过点 向曲线 所作切线与曲线 相切的切点为 ，
而点 不在曲线 上，则 ，整理得 ，
即 ，解得 或 ，即符合条件的切点有3个，
所以过点 向曲线 可作的切线条数是3.
故选：C
3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知过点 作曲线 的切线有且仅有 条，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】设切点为 ，
由已知得 ，则切线斜率 ，切线方程为
直线过点 ，则 ，化简得
切线有且仅有 条，即 ，化简得 ，即 ，解得 或
故选：C
4．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知 ，过原点作曲线 的切线，则切
点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 得： ；设切点坐标为 ， ，
则切线方程为： ，
切线过原点， ，解得： ，
即切点横坐标为 .
故选：C.
5．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））若直线 是曲线 的切线，也是曲线
的切线，则 __________.
【答案】1或
【详解】设 与 和 的切点分别为 ；
由导数的几何意义可得 ，
即 ，
∴ ，
∴
∴
当 时， ，当 时，
∴ 或 .
故答案为：1或 .
6．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知直线 是曲线 的切线，则
___________.
【答案】【详解】设切点为 ，由 ，可得 ，
， 直线 是切线，
，解得 ，
当 时， ，切点 代入切线方程 ，可得 ，
当 时， ，切点 代入切线方程 ，可得 ，
综上可知， .
故答案为：
7．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数 ，若存在一条直线同时与两个函数
图象相切，则实数a的取值范围__________．
【答案】
【详解】数形结合可得：当 ，存在一条直线同时与两函数图象相切；
当 ，若存在一条直线同时与两函数图象相切，
则 时， 有解，
所以 ，
令 ，因为 ，
则当 时， ， 为单调递增函数；当 时， ， 为单调递减函数；
所以 在 处取得极大值，也是最大值，
最大值为 ，且 在 上恒成立，
所以 ，即 ．
故答案为：
8．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数 ，函数在 处的切线方程为
____________．若该切线与 的图象有三个公共点，则 的取值范围是____________．
【答案】 ## ##
【详解】切点坐标为 ， ， ，
所以切线l方程为 ．
函数 ，即 过点 ，
当切线l过点 时，切线l与函数 的图象有三个公共点，
将其代入切线l方程得 ；
当切线l与 （ ）相切时直线与函数 的图象只有两个公共点，
设切线l： 与 （ ）在 处相切， ， ，
所以切点坐标为 ，代入切线方程解得 ，
因此直线与曲线有三个交点时， ．故答案为： ；
突破二：利用导数研究函数的单调性
角度1：利用导数求函数的单调区间（不含参）
1．（2022·福建·莆田一中高二期中）若函数 ，则 的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 可得 ，
令 ，解得 ，
所以 的单调递增区间是 ，
故选：B
2．（多选）（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）下列区间中能使函数 单调递增的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】由 ，得 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 .
令 ，则 ，
由 ，得 ，
令 即 ，解得 ，或 ，当 或 时， ；
所以 在 和 上单调递增；
所以 在定义域内是单调递增函数,
所以函数 在 和 上单调递增.
故选：BD.
3．（2022·辽宁省实验中学东戴河分校高三阶段练习）已知函数 ，则 的单调减区间
为______.
【答案】
【详解】函数 的定义域为 ，
，
令 ，即 ，解得： ，
∴函数 的单调递减区间为 .
故答案为： .
4．（2022·全国·高二单元测试）已知函数 的单调减区间为 ，若 ，
则 的最大值为______．
【答案】
【详解】由 ，得 ．
令 即 ，解得 ，
所以函数 的单调减区间为 ，
所以 ，解得 ，
所以m的最大值为 ．
故答案为： .
角度2：已知函数 在区间 上单调1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 在 上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题知， ，即 ；
由 得
只需保证 在 上恒成立，则 在 上恒成立，即 ；
又函数 在 上单调递增，则需满足 ，
综上，实数 的取值范围是 .
故选：C.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 在 上为增函数，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可得， 恒成立，
当 时，显然满足题意，
当 时，则根据二次函数的性质可得， ，
解可得， ，
综上可得， ．
故选： ．
3．（2022·全国·高二学业考试）函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，则 ，因为函数 在区间 上单调递减，
可得 在 上恒成立，
即 ，
令 ，
不妨设 ，则 ，
即 在 上单调递增，
所以 ，所以 .
故选：B
4．（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）已知函数 在 上单调递增,则实数 的取
值范围是_____.
【答案】
【详解】 ,解得 在 上恒成立,构造函数
,解得x=1, 在 上单调递增,在 上单调递
减,g(x)的最大值为g(1)=1, , ,故填 .
5．（2022·江苏·常熟外国语学校高二阶段练习）若函数 的单调减区间是 ,则实数
的值为__________．
【答案】
【详解】 由题意得 是方程 的根，
，解得： ．
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是______
【答案】【详解】函数 的导数为： ，
由于 在 上单调递增，则 恒成立，
则 ，即有 ，
由于 ，则 ，则 的取值范围是 ，
故答案为 ．
角度3：已知函数 在区间 上存在单调区间
1．（2022·河南信阳·高二期中（理））已知函数 ，在其定义域内的子区间
上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： 在其定义域内 的子区间 上不单调，
函数 在区间 上有极值，
由 得 或 （舍去）
，
解得： ，
故选： ．
2．（2022·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数 在区间 存在
单调递减区间,则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题, ,
因为 ,则若函数 在区间 存在单调递减区间,
即 在 上有解,
即存在 ,使得 成立,设 ,则 ,
当 时, ,
所以 ,即 ,
故选:B
角度4：已知函数 在区间 上不单调
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在区间 上不是单调函数，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为函数 在区间 上不是单调函数，
所以 在区间 上有解，且不是重解.
即 可得 ，
令 ， ，
则 ，
当 时， ，函数 单调递增.
故 的值域为 .
故选：A.
2．（多选）（2022·全国·高二单元测试）已知函数 ，则 在 上不单调的一个
充分不必要条件有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】 ，
若 在 上不单调，令 ，
则函数 与 轴在 上有交点，
当 时，显然不成立；
当 时，则 ，解得 或 ，
结合选项易知 在 上不单调的一个充分不必要条件是
， ，
故选：AC.
3．（2022·天津市武清区杨村第三中学高三阶段练习）函数 在 上不单调，则实数a
的取值范围是_____．
【答案】
【详解】 ，令 得 ，
由于 ，
分离常数 得 .
构造函数 ， ，所以 在 上递减，在 上递增，
.
下证 ：
构造函数 ， ，当 时， ①，
而 ，即 ，所以 ，所以由①可得 .
所以当 时， 单调递增.
由于 ，所以当 时， ，故 ，也即 .
由于 ，所以 .
所以 的取值范围是故答案为：
角度5：已知函数 有三个单调区间
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 存在三个单调区间，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意，函数 ，可得 ，
因为函数 存在三个单调区间，可得 有两个不相等的实数根，
则满足 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：C.
2．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若函数 在定义域 上恰有三个单调区间，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数 在定义域 上恰有三个单调区间，
所以其导函数在定义域 上有两个不同的零点，
由 可得 ，即 ，
所以只需 ，方程 在 上有两个不同的实数根.
故选：A.
突破三：利用导数研究函数的极值与最值
角度1：求已知函数的极值（点）、最值
1．（2022·广西河池·模拟预测（理））已知函数 有两个极值点 ，且
，则 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】解：因为 ，
，所以 有两个不同的实数解 ，
且由根与系数的关系得 ， ，
由题意可得 ，
解得 ，
此时 ， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故当 时， 取得极大值 ．
故选：B．
2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））设函数 ，则下列不是函
数 极大值点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题可得 ，
令 ，得 或 ， ，
则当 时， ，
当 时， ，
所以函数 在 ， ， 上单调递增，在 ， ， 上单
调递减，
故不是函数 极大值点的是 .
故选：D.
3．（2022·江西南昌·一模（理））已知函数 ，若不等式 的解集为 ，且 ，则函数 的极大值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【详解】 为三次函数，其图象可能情况有如下5种：
不等式 的解集为 ，且 ，故其具体图象为图1类，如下图：
，由于 为 的二重根，故可设，
，
令 ，解得： ，或 ，且当 或 上， ，当
， ，故 是 的极大值点，故极大值为
.
故选：B
4．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））已知函数 的零点为 ，
零点为 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，可得 ，所以
则 ，所以 .
，得 ，
则 ，
对于函数 ， ，
所以 在区间 上 ，函数 单调递增，所以 ，
所以 ，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ．
故选：B
5．（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））已知函数 ，方程 恰有两
个不同的实数根 、 ，则 的最小值与最大值的和（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】作出函数 的图象如下图所示：
由图象可知，当 时，直线 与函数 的图象有两个交点 、 ，
，则 ，可得 ，则 ，
构造函数 ，其中 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递减；
当 时， ，此时函数 单调递增.
所以， ，
， ，显然 ， .
因此， 的最大值和最小值之和为 .
故选：C.
6．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知函数 存在两个极值点 .
(1)求 的取值范围；
(2)求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知： 定义域为 ， ；
令 ，则 有两个不等正根 ，，解得： ， 实数 的取值范围为 .
（2）由（1）知： ， 是 的两根，则 ；
；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增；
，
即 的最小值为 .
7．（2022·四川成都·模拟预测（理）） ( 且 )．
(1)当 时，求经过 且与曲线 相切的直线；
(2)记 的极小值为 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)1
（1）
函数 的定义域为 ， ，
当 时， ，设切点为 ，则 ，解得 ，故 ，
切线方程为 ．
（2）
由 有极小值，故 存在零点，令 得 的极值点 ，故 ，
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，因此 的极小值
，
令 ，则 ， ，，令 ，则 ，
当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，故 在 处取极大值，同时也
是最大值， ，所以 的最大值为1．
8．（2022·湖南省临澧县第一中学二模）已知函数 .
(1)当 时，若 在 上存在最大值，求m的取值范围；
(2)讨论 极值点的个数.
【答案】(1) ；
(2)当 时，函数有一个极值点；当 时，函数有两个极值点；
当 时，函数没有极值点.
(1)
因为 ，
所以 ，
因为函数 的定义域为： ，
所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以当 时，函数有最大值，
因此要想 在 上存在最大值，只需 ，
所以m的取值范围为 ；
(2)
，
方程 的判别式为 .
（1）当 时，即 ，此时方程 没有实数根，
所以 ，函数单调递减，故函数 没有极值点；
（2）当 时，即 ，
此时 ，（当 时取等号），所以函数单调递减，故函数 没有极值点；（3）当 时，即 ，此时方程 有两个不相等的实数根，
设两个实数根为 ，设 ，则 ，
函数 的定义域为： ，显然
当 时，此时方程有两个不相等的正实数根，
此时当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，当
时， ，函数 单调递减，
因此当 时，函数有极小值点，当 时，函数有极大值点，
所以当 时，函数有两个极值点，
当 时，方程有一个正实数根和一个负根，或是一个正实数和零根，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，所以
当 时，函数有极大值点，
因此当 时，函数有一个极值点，
综上所述：当 时，函数有一个极值点；
当 时，函数有两个极值点；
当 时，函数没有极值点.
9．（2022·全国·模拟预测）设函数 ， .
(1)当 时，证明： 在 上无极值；
(2)设 ， ，证明： 在 上只有一个极大值点.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
（1）
由已知得，当 时， ，
，
当 时， ， ，因为 ，所以 ， .
所以 在 上单调递减，故 在 上无极值；
（2）
，
，
其中 ， .
因为 ，所以 是第一象限角，不妨设 .
因为 ，所以 .
由 得， ，由 得 ，
所以 在 上单调递增.由 得 ，
所以 在 上单调递减.可得 在 处取极大值，
所以 在 上只有一个极大值点.
角度2：根据函数的极值（点）、最值，求参数
1．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数 有三个极值点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数 有三个极值点，则
有三个零点，即方程 有三个根，
不妨令 ,则 ，故 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减，
，且当 时， 恒成立．
当 趋近于负无穷时， 趋近于正无穷； 趋近于正无穷时， 趋近于 ，
故当 时，满足题意，则
故选：B．
2．（2022·江西赣州·高三期中（理））已知函数 存在唯一的极值点，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 的定义域为 且 存在唯一的极值点，所以 存在唯一
的变号正实根．
因为 ，所以 只有唯一变号正实根．
当 时， 恒成立，方程 只有唯一变号正实根 ，符合题意；
当 时，要使 存在唯一极值点 ，则需 恒成立，即 在 上恒成立，
因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
综上所述， ．
故选：A.
3．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））等比数列 中的项 ， 是函数 的
极值点，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为 ，所以 ，
当 或 时 ，当 时 ，
所以 、 为函数的极值点，即 或 ，又 ，
所以 且 ；
故选：D
4．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））已知函数 在 上的最小值为
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当 时， 在 单调递减，
且最小值为 ，满足条件，故可排除A，B；
当 时， ， ，
时， ， 在 单调递减，
所以最小值为 ，满足条件，故可排除C；
故选：D
5．（2022·天津市瑞景中学高三期中）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【详解】由 可得 ，
因为当 时，函数 取得最大值 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
因此当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减，
故当 时取最大值，满足题意，
所以
故选：B
6．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数 ， ．(1)求 在 上的极小值点；
(2)若 的最大值大于 的最大值，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）
，
令 ，得 或 ，
因为 ，所以 或 或 ．
易知 为锐角， 为钝角，当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上的极小值点为 ．
（2）
令 ，
则 ， ，
则 ， ．
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ．
因为 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ．
7．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数 .(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 在区间 上存在极值点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(2) .
（1）
当 时， ，故其定义域为 ，且 ，
令 ，即 ，解得 ，即 的单调递增区间为 ；
令 ，即 ，解得 ，即 的单调递减区间为 .
（2）
因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；又 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ， ， .
若 在 上存在极值点，则 或 ，解得 或 ，
所以实数a的取值范围为 .
8．（2022·北京海淀·高三期中）已知函数 ．
①当 时， 的极值点个数为__________；
②若 恰有两个极值点，则 的取值范围是__________．
【答案】
【详解】①当 时， ；， 为连续函数；
在 上单调递增，在 上单调递减，
和 是 的极值点，即 的极值点个数为 ；
② ， 为连续函数，
为单调函数， 在 上无极值点；
又 在 上至多有一个极值点，
和 必为 的两个极值点， ，解得： ，
又 在 上单调递减， 在 上单调递增， ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故答案为： .
突破四：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知函数
(1)请讨论函数 的单调性
【答案】(1)答案见解析
(1)
当 时， 在 上递增
当 时，在 ， 单调递减
在 上 ， 单调递增
2．（2022·河南河南·一模（文））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1） ，
若 ， ，即 ，此时 在R上单调递减．
若 ，解 得 ，解 得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增．
3．（2022·吉林·长春市实验中学二模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
【答案】(1)答案见解析
（1）解：由题意得函数 的定义域为 ，
当 时，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增；
令 ，得 ，
所以 在 上单调递减；
当 时，因为 恒成立，
所以 在 上单调递增；
4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校模拟预测（文））已知函数
(1)若 ，求 的极小值
(2)讨论函数 的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当 时， ， 的定义域为 ，
，
所以 在区间 递减；在区间 递增.
所以当 时， 取得极小值 .
（2） 的定义域为 ，
.
令 ，
当 时， 恒成立，所以 即 在 上递增.当 时， 在区间 即 递减；
在区间 即 递增.
角度2:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
1．（2022·四川绵阳·一模（理））已知函数 （ ）．
(1)讨论函数 的单调性；
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
【详解】（1）由题意得 ．
当 时，由 ，函数 在 上单调递增．
当 时，令 ,令 或
故函数 在 上单调递减，在 和 上单调递增．
当 时，令 ，令 或
函数 在(k，4)上单调递减，在 ， 上单调递增．
2．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数 ， 为函数 的导函
数．
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1)详见解析；
（1）由题可得 ，
①当 时， 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；
②当 时， 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；
③当 时， 时， ， 单调递增；
④当 时， 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增.
3．（2022·天津·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；(2)求函数 的单调区间；
【答案】(1)
(2)答案见解析
(1)当 时，
，
故切线方程为：
(2)
，
① 当 时， ， 仅有单调递增区间，其为：
② 当 时， ， 当 时， ；当 时，
的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
③ 当 时， ， 当 时 ；当 时
的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
综上所述：当 时， 仅有单调递增区间，单调递增区间为：
当 时， 的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
当 时， 的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
角度3:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
1．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；
当 或 时， 在 上单调递减，
在 和 上单调递增.
【详解】（1）由 ，求导得 ，
易知 恒成立，故看 的正负，即由判别式 进行判断，
①当 时，即 ， ，则 在 上单调递增；
②当 时，即 或 ，
令 时，解得 或 ，
当 时， ，
则 在 上单调递减；
当 或 ， ，
则 在 和 上单调递增；
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 或 时， 在 上单调递减，
在 和 上单调递增.
2．（2022·江西·模拟预测（理））已知函数 ，
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
(1)函数 的定义域为 ，
当 时， 恒成立，即 在 上为增函数；
当 时，由 得 ，
此时 恒成立，即 在 上为增函数，
由 得 ，由 得 或
由 得 ，又 ，∴ 在 ， 上为增函数，
在 上为减函数.
当 时， 恒成立，
由 得 ，
由 得
∴ 在 上为增函数，在 上为减函数.
综上所述：
当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数；
当 时， 在 上为增函数：
当 时，∴ 在 ， 上为增函数，
在 上为减函数.
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·全国·高二专题练习） ， 在 处切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由已知， ，令 ，
∴ ＝ ，解 ，
∴ 在 处切线方程为 ，即 ．
故选：B．2．（2022·福建·高三阶段练习）已知 ， ，直线 与曲线 相切，则 的
最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【详解】解：设直线 与曲线 的切点为 ，
因为 ，所以 ，
切线方程为 ，
所以 ， ，
所以 ，又 ， ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
故 的最小值是4.
故选：D.
3．（2022·河南·濮阳油田实验学校高三阶段练习（文））“过点 可以作两条与曲线 相切的直
线”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设切点为 ，因为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，又过点 ，
所以 ，即 ，
因为过点 可以作两条切线，所以方程 有两个解.
设 ，则 有两个零点.
,
令 ，则 ，解得 ，
当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， 取得极大值，也是最大值为 ，要使 有两个零点.需满足 ，解得 ，
所以过点 可以作两条与曲线 相切的直线”的充要条件是 .
故选：C.
4．（2022·上海市行知中学高三阶段练习）“ ”是“函数 在 上是严格
增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解： ，
令 得 ，
所以，①当 时， 和 时， ， 为单调递增函数，此时要使函数 在
上是严格增函数，则 ，即 ；
②当 时， 恒成立， 在 上单调递增，故满足函数 在 上是严格增函数；
③当 时， 和 时， ， 为单调递增函数，此时要使函数 在
上是严格增函数，则满足 ，即 ；，
综上，要使“函数 在 上是严格增函数”，则 .
因为 是 的真子集，
所以，“ ”是“函数 在 上是严格增函数”的充分不必要条件.
故选：A
5．（2022·海南昌茂花园学校高三阶段练习）若函数 在 上单调递减，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．因为
（当且仅当 ，即 时等号成立），
所以 ．
故选：B.
6．（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）已知函数 ，若 在区间上 单
调递增，则实数的a的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意得 在 上恒成立，则 ，
设 ， ，
又 在 上为单调递减函数， ，
即 .
故选：A.
7．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数 在 处有极值，则
的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【详解】由 ，得 ，
所以 ，即 ，
由题意，得 ，
当且仅当 ，即 ， 时，取等号.
故选：B.
8．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））函数 ， 的极值点为，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令 ，
的极值点为 ， ， ，
，
故选：A
9．（2022·贵州·盘州市聚道高中有限责任公司高三阶段练习（文））已知函数 ，若对
任意的 ，都有 ，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：令
根据题意，不妨设 且 ，
则不等式 等价于 ，即 ，
所以， 函数 在 上单调递减，
所以， 在 上恒成立，
因为 ，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
所以，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以 ，
所以 ，即 .
所以，实数a的最小值为 .故选：A
10．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数 是定义域为 的奇函数，且当
时， ．若函数 在 上的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】因为 是定义域为 的奇函数，且当 时， ．
当 时， ，则 ，
所以当 时， ，此时
当 时， 在 ， 上恒成立，函数 在 ， 上单调递增，当 时，函数取
得最小值 ，解得 （舍 ，
当 时， ， ，函数单调递减； ， ，函数单调递增，
时，函数取得最小值 ，解得 ，
综上， ．
故选：D．
二、多选题
11．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数 有两个极值点 与 ，且 ，则下列结
论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】函数 有两个极值点，只需 有两个变号零点，
即方程 有两个根.
构造函数 ，则 ，
当 且 时， ，当 时，
所以 在 和 上递减，在 上递增，
所以函数 的极小值为 ，且当 时， ，所以，当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，即函数 有两个极值点， 错；
对于 选项， 为直线 与函数 图象两个交点的横坐标，因为函数 在 上递减，在
上递增，且 ，故 B正确；
对于 选项，由 ，从而 代入得 ，令 ，则
，故 在 上递减，故 对；
对于 选项，因为 ，由 可得 对.
故选：BCD.
12．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数 ，则下列判断正确的是（ ）
A．直线 与曲线 相切
B．函数 只有极大值，无极小值
C．若 与 互为相反数，则 的极值与 的极值互为相反数
D．若 与 互为倒数，则 的极值与 的极值互为倒数
【答案】AC
【详解】 ， ，
因为 ， ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，故A正确；
令 ，得 ，所以 ，当 时，存在 使 ，且当 时，
；当 时， ，即 有极小值，无极大值，故B错误；
设 为 的极值点，则 ，且 ，
所以 ， ，当 时，
；当 时， ，
故C正确，D错误.
故选：AC
三、填空题
13．（2022·上海·上外附中高三阶段练习） ，若 在 上存在单调递增
区间，则 的取值范围是_______
【答案】
【详解】因为 ，则 ，
有已知条件可得： ，使得 ，即 ，
当 ，所以 .
故答案为： .
14．（2022·四川省高县中学校高三阶段练习（文））已知函数
，若函数 在区间 上不单调，则 的取值范围为_____________.
【答案】
【详解】易得 .
由 ，得 或 .
当 ，即 时， ，不符合题意，故 ，
此时应该满足 或 ，即 且 .
故答案为： .15．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））若函数 在 上存在单调递增区
间，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】试题分析：∵函数f（x）=x2﹣ex﹣ax，∴f′（x）=2x﹣ex﹣a，
∵函数f（x）=x2﹣ex﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣ex﹣a＞0，即a＜2x﹣ex有解，
令g′（x）=2﹣ex，g′（x）=2﹣ex=0，x=ln2，g′（x）=2﹣ex＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣ex＜0，x＞ln2
∴当x=ln2时，g（x） =2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．
max
四、解答题
16．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数 在 及 时取得极值．
(1)求 的值；
(2)若对于任意的 ，都有 成立，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)
【详解】（1） ，由题意，
的两根分别为 和 ，
由韦达定理得， ，解得
经检验，符合题意
所以
（2）对于任意的 ，都有 成立，
只需当 时， ，
由（1）知， ，
或 ，当 时， 或 ，
当 时， ，
所以 在 和 上是增函数，在 上是减函数，
所以函数 的极大值为 ，
又 ，
所以函数 在 上的最大值为 .所以 ，即 的取值范围为 .
17．（2022·山东·潍坊瀚声学校高三期中）已知函数
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间.
【答案】(1)
(2) 时，函数 单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； 时，函数
的单调递增区间为 ，无单调递减区间； 时，函数 单调递增区间为 和 ，则单
调递减区间为
【详解】（1）当 时， ，则 ，
则函数 在点 处的切线方程为 .
故切线方程为： .
（2）函数 ，其中定义域为 .
.
令 ，得 或 .
当 ，即 时，令 ，解得 ，即函数 单调递增区间为 和
，则单调递减区间为 .
当 ，即 时, ,则函数 在 上单调递增.
当 ，即 时，令 ，解得 ，即函数 单调递增区间为 和 ，
则单调递减区间为 .综上： 时，函数 单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； 时，函数
的单调递增区间为 ，无单调递减区间； 时，函数 单调递增区间为 和 ，
则单调递减区间为 ..
18．（2022·河南·濮阳南乐一高高三阶段练习（文）） ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在 上为单调递减，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时， 得 ，
所以 ，
又 ，
所以切线方程为 ，即 ；
（2）由 ，得 ，
又 在 上为单调递减，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
设 ， ，
又 ，当 即 时 取最大值为 ，
所以 .
19．（2022·陕西咸阳中学高三阶段练习（理））已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，求 .
【答案】(1)答案详见解析(2)
【详解】（1）因为 ，
所以 .
①当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
②当 时，在区间 上， ， 递增；
在区间 上， ， 递减.
（2）由（1）可知：
①当 时， 在 上单调递增， ；
②当 ，即 时， 在 上单调递减， ；
③当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
，
故当 时， ；
当 时， ；
综上可得: .
20．（2022·四川·石室中学高三阶段练习（文））已知函数 ．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)当 时， ， 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）
由已知可得， ，，则 ，
所以 在 处的切线方程为 ．
（2）
若 ，则 时， 在 上单调递减，所以 ，符合题意；
若 ，由 ，得 或
若 ，有 ，则 时， 在 上单调递减，所以 ，符合题
意；
若 ，有 ，则 时， 在 上单调递减，所以 ，符合题
意；
若 ，有 ，则 时， 在 上单调递增，所以
，不符合题意．
若 ，有 ，则 时， 在 上单调递增，所以 ，不符合题
意．
综上所述， 的取值范围是 ．
