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第一篇 热点、难点突破篇
专题04 导数的基本应用（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·贵州·凯里一中高三阶段练习（文））曲线 在 点处的切线方程是 ，则
（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义求解即可.
【详解】 ， ，切点为 ，切线方程为 ，∴ .
故选：A.
2．（2022·新疆·伊宁县第二中学高三期中（文））设函数 的导函数为 ，且函数 的部分图像如
图所示，则（ ）
A．函数 在 上单调递增 B．函数 在 处取得极大值
C．函数 在 处取得极小值 D．函数 在 上单调递增
【答案】D
【分析】由导函数的正负可得函数 的单调性，再逐项判断可得答案.
【详解】由 的图象可得
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；对于A，函数 在 先递减，再递增，故不正确；
对于B，函数 在 处取得极小值，故不正确；
对于C，函数 在 处取不到极值，故不正确；
对于D，函数 在 上单调递增，故正确；
故选：D
3．（2022·湖北·枣阳一中高三期中）已知函数 的图像在 处的切线过点 ，则
（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】结合导数求出切线方程，将 代入即可求出参数 .
【详解】由 ， ， ，
则函数在 处的切线方程为 ，
将 代入切线方程可得 .
故选：B
4．（2022·浙江·嘉兴一中高三期中）若函数 在 处取得极值2，则 （ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】求导，根据 处的极值为2，列方程解方程得到 ， ，即可得到 .
【详解】解： ，
，
又函数 在 处取得极值2，
则 ，且 ，
所以 ， ，经检验满足要求，所以 ．
故选：A．5．（2020·河南·高三阶段练习（文））函数 在区间 上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 在 上单调性求出最值即可
【详解】由 可得 ，
令 ，解得 ，
当 ， ， 单调递减；当 ， ， 单调递增，
所以 的极小值，也为最小值为 ，
故选：C
6．（2023·广西·模拟预测（文））已知函数 存在最大值0，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】讨论 与0的大小关系确定 的单调性，求出 的最大值.
【详解】因为 ， ，
所以当 时， 恒成立，故函数 单调递增，不存在最大值；
当 时，令 ，得出 ，
所以当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减，
所以 ，解得： .
故选：B.二、多选题
7．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）已知函数 有两个极值点 , ,则( )
A． 是 的极小值点 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】求导，转化为研究二次函数即可
【详解】
因为 存在两个极值点 ,所以 ,即
当 和 时, 单调递增
当 时, 单调递减
故 是 的极大值点,且
故选：BCD
8．（2022·江苏苏州·高三期中）已知函数 的图象关于直线 对称，则（ ）
A． B． 的最小值是
C． 图象与直线 相切 D． 图象与直线 相切
【答案】AD
【分析】根据函数的对称性代入特殊值，求 ，即可判断A;
利用换元，转化为二次函数求最值，即可判断B；
联立函数与直线方程，利用方程组的解，判断交点处的导数，判断是否相切，即可判断C；
利用导数求函数在 处的切线方程，即可判断D.
【详解】因为 图象关于直线 对称，当 时， ，于是 ，当 时，，于是 ，于是 ， ，所以 ，故A正确；
，令
， ，则 ， ，因为 图象开口向上，对称轴是 ，所
以 的最小值为 ，故B错误；
联立方程 ，解得： 或 或 ，
， ， ，
，
所以 与直线 不能相切，故C不正确；
， ， ，所以函数 在 处的切线方程为
，故D正确.
故选：AD
三、填空题
9.（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）函数 的图象在点 处的切线方程为
_________.
【答案】
【分析】根据题意，先求出函数的导数，利用导数的几何意义，求出切线方程的斜率即可求解.
【详解】因为函数 ，所以 ，又因为点 在函数图象上，由导数的几何意义可知：
切线的斜率 ，所以所求切线方程为 ，即 或 ，
故答案为： 或 .
10．（2022·山东烟台·高三期中）若函数 ，则 的最小值是______．
【答案】
【分析】因为三角函数具有周期性，令 ，对函数求导数，研究导函数在区间内的符号，得到函数的
单调性，求出最小值.
【详解】不妨设 ，
则 在 上的单调性如下表：
x 0
+ 0 - 0 +
极大 极小
， ，因为 ，
所以函数的最小值为 .
故答案为： .
【冲刺提升】
一、单选题
1．（2022·河南·模拟预测（理））如图是函数 的图象，则函数 的解析式可以为（ ）．A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数说明函数的单调性，即可判断.
【详解】解：对于A： 定义域为 ，
当 时 ，则 ，即函数在 上单调递增，故A错误；
对于B： 定义域为 ，且 ， ，所以 ，故B错误；
对于C： 定义域为 ，
又 ，所以当 时 ，
当 或 时 ，即函数在 ， 上单调递减，在 上单调递增，故C错
误；
对于D： 定义域为 ，所以当 或 时 ，当 时 ，
即函数在 ， 上单调递增，在 上单调递减，符合题意；
故选：D
2．（2007·陕西·高考真题（理）） 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ．对任
意正数a，b，若 ，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，再分类讨论即可求解.
【详解】解：令 ， ，
所以 在 上为常函数或递减,
若 在 上为单调递减，所以 ，
即 ①， ②
①②两式相乘得：
所以 ，
若 在 上为常函数，且 ，则 ，
即 ③， ④，
③④两式相乘得：
所以 ，
综上所述，故选：A
3．（2022·湖北·高三期中）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ， ，结合函数的单调性分别得出 ， ，从而得出答
案．
【详解】令 ，
则 ， ，
∵ ，
∴当 时， ， 单调递增，
∴ ，即 ，
令 ，则 ，
∴当 时， ， 单调递增，
∴ ，即 ，
所以 ，即 ．
综上， ．
故选：D．
4．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在给出的① ；② ；③ 三个不等式中，
正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】构造函数 ，分析其单调性可判断①和②，构造函数 ，分析其单调性可判断③.
【详解】令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ,
即 在 上单调递增，在 上单调递减,
可得 ，即 ，故①正确；
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，故②错误；
再令 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
所以 ，则 ，即 ．
又 ， ，所以 ，即 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，即 ，故③错误，
故选：B．
5．（2022·浙江·模拟预测）已知函数 ，对于任意的 、 ，当
时，总有 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，可知函数 为 上的增函数，可知，对任意的 ，，利用导数求出函数 在 上的最小值，即可得出实数
的取值范围.
【详解】不妨设 ，由 可得出 ，
即 ，
令 ，其中 ，
则 ，所以，函数 在 上为增函数，
则 ，则 ，
令 ，其中 ， ，
令 ，其中 ，所以， ，
所以，函数 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以，存在 ，使得 ，则 ，
令 ，其中 ，则 ，故函数 在 上为增函数，
因为 ， ，所以， ，
由 可得 ，所以， ，可得 ，且当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，
所以， .
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题关键点在处理函数 的极值点时，根据零点存在定理得出其
极值点 满足 ，通过利用指对同构结合函数 的单调性转化为 ， ，
利用整体代换法可求得 的取值范围.
二、多选题
6．（2022·江苏连云港·高三期中）已知曲线 在点 处的切线为 ，则（ ）
A．当 时， 的极大值为
B．若 ， 的斜率为2，则
C．若 在 上单调递增，则
D．若存在过点P的直线 与曲线 相切于点 ，则
【答案】AB
【分析】当 时，求出函数的导数，判断函数单调性，求得极值，判断A;根据导数的几何意义可求得参数
的值，判断B;利用导数与函数单调性的关系可得不等式，求得a的范围，判断C;根据导数的几何意义，利用
斜率关系，列出相应等式，化简可得 ，判断D.
【详解】当 时, ,则 ，当 或 时， ， 递增，当 时， ， 递减，
故 时，取得极大值 ，A正确；
由 可知，若 ， 的斜率为2，
则 ，故B正确；
若 在 上单调递增，则 恒成立，
即 ，当 时 ， 在 上单调递增，
故 ，C错误；
若存在过点P的直线 与曲线 相切于点 ，则 ，
则 的斜率为 ，则 ，
即 ，
即 ，即 ，
故 ，D错误，
故选：AB.
7．（2022·山东·青岛超银高级中学高三阶段练习）已知 ，则（ ）
A．设 是 图象上的任意一点， 是 图象上任一点，则
B．
C． 与 的图象有且仅有两条公切线
D． 是增函数
【答案】ABC【分析】由导数的几何意义可判断A，由 得单调性可判断BD，由方程 有两个解可判
断C.
【详解】在同一坐标系上作出 的图象如图所示：
易知 和 的图像关于直线 对称，
作与直线 平行且与 相切的直线 ，
设切点 ， ，
所以有 ，解得 ，即切点为 ，
到直线 的距离 ，
即曲线 上的动点到直线 的距离的最小值为 ，
由对称性可知: ，A正确；
设 ，
，设 ， ，
所以 在 上单调递增，， ，
所以存在 ，使得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，而 ，
故 ，而 ，
设 ， ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
即 ，B正确，D错误.
设 与 的公切线为 ，切点分别为
， ，则有 ，
化简得： ，即 ，
画出 与 的图像可知：与 的图像有两个交点，
所以方程 有两个解，
即 与 的图象有且仅有两条公切线，C正确；
故选：ABC.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问
题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理．
三、填空题
8．（2022·江苏泰州·高三期中）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则
的最小值为_____．
【答案】
【分析】由两条曲线的公切线斜率分别等于各曲线上切点处的导数值，以及各曲线上切点分别满足切线方程来
列方程组，得到 与 满足的关系式，将原式中的 替换，再利用基本不等式求最小值即可.
【详解】曲线 在点A处的切线可写作
设该切线在曲线 上的切点为 ，则有 ，消去t得
则
当且仅当 ，即 时取得该最小值.
故答案为： .
9．（2022·辽宁·沈阳市第四十中学高三期中）已知等比数列 的公比 ，若 ， 是函数
的极值点，则 ______．
【答案】 ## .
【分析】先求出函数 的极值点，从而可得 ， ，再求出公比 ，进而可求出 .
【详解】由 ，得 ，
由 时， 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以2 和3为 的极值点，
因为 ， ， 是函数 的极值点，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，故答案为： .
10．（2022·北京大兴·高三期中）已知函数 若 的值域为R，则a的一个取值为
____________；若 是R上的增函数，则实数a的取值范围是____________．
【答案】 0（ ）；
【分析】① 的值域为R等价于 的值域包含 ，即 ，由导数法，对
分别讨论 、 、 下 的最大值即可；
② 是R上的增函数，则等价于 单调递增且 ， 单调递增等价于
在 恒大于等于0，分别讨论 、 即可
【详解】① 值域为R等价于 的值域包含 ，即 ，由
，
当 时， ， 单调递增，即有 ，故有 ，
解得 或 ；
当 时，由 得 ，由 得 ，
故当 ， ， 单调递增，即有 ，故有 ，
解得 ；
当 ， 时， ， 单调递增， ， ， 单调递减，
即有 ，故有 恒成立，故 ；综上， 的值域为R时，
②若 是R上的增函数，等价于 单调递增且 ，解得 或 ，
由 单调递增即 在 恒大于等于0得，
当 ， ，得 或 ；
当 ，
综上， 或 .
故答案为：0（ ）；
四、解答题
11．（2022·北京·北师大二附中高三期中）已知函数 的图象过点 ，且在点P处
的切线恰好与直线 垂直．
(1)求函数 的解析式；
(2)若函数 在区间 上单调递增，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】(1)将点 坐标代入函数解析式得到关于 的方程，再根据函数在切点处的导数等于切线的斜率再建
立关于 的另一个方程，即可求出 ，即可确定函数 的解析式; (2)求出函数的单调区间，利用
可求解.
【详解】（1）因为函数 的图象过点 ,所以 ,
又因为 ,且 点P处的切线恰好与直线 垂直,
所以 ,由 解得 ,所以 .
（2）由(1)知 ，
令 ，即 ，解得 或 ，
令 ，即 ，解得 ，
所以 在 单调递增， 单调递减，
单调递增，
根据函数 在区间 上单调递增，
则有 或 ，解得 或 .
12．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求 在 上的最大值与最小值．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2)最大值为1，最小值为 ．
【分析】（1）对参数 分类讨论，结合导数研究每一种情况下对应的单调性即可；
（2）根据（1）中所求函数的单调性，即可求得函数的最值.
【详解】（1）因为 ．
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，若 ， ；若 ， ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；当 时，若 ， ；若 ， ．
所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减.
（2）当 时，由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上的最大值为 ．
因为 ， ，所以 在 上的最小值为 ．
综上所述： 的最大值为 ，最小值为 .
