文档内容
微专题09 导数解答题之恒成立与能成立问题
【秒杀总结】
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构
造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和
放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ， .
（1）若 ， ，有 成立，则 ；
（2）若 ， ，有 成立，则 ；
（3）若 ， ，有 成立，则 ；
（4）若 ， ，有 成立，则 的值域是 的值域的子集.
【典型例题】
例1．（2023春·浙江·高三开学考试）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ,
所以 .
所以 , ，
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）由题易得 ，由 ，得:
，
令 ， 则 ，所以 在 上单调递增，
式等价于 ，即 ．
所以 ， ，
令 ，则有 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ；
所以只需 ，即 ．
综上，实数m的取值范围是 ．
例2．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知函数(1)若 ，求f(x)在（ ，0）上的极值；
(2)若 在 上恒成立，求实数a的取值范围
【解析】（1）若 x，则 ，令 ，
，
则 ，令
则
,
所以 在 上恒成立， 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上恒成立，即g(x)在 上单调递减，所以f'(x)在
上单调递减，
又 所以f(x)在（ ， ）上单调递增，在（ ，0）上单调递减．
又 ，所以f(x)的极大值是
（2）由（1）可知函数 ，在 上单调递减，即 在 上单调递
减，
易知 为偶函数．
所以f'(x)在 上单调递增，又当 ，即 时， ，所以f(x)在 上单调递增，所以 ，符合
题意;
当 ，即 时， ，又 ，
存在 ，使得 ，所以存在 ，使得 ，所以f(x)在 上单调递减，
在 单调递增，故 ，不合题意．
综上，实数a的取值范围是 ．
例3．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）已知函数 .
(1)若 的导函数为 ，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 , ，所以 .
当 时， ，所以 在 上为减函数，
当 时， ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数.
（2） 恒成立，即 恒成立.
令 ，则 .
当 时， 在 上单调递增，
因为 ，所以 不满足条件.当 时， 恒成立， 满足条件.
当 时，令 ，存在 ，使得 ，
因为 在 上单调递增，所以当 时， ，当 时，
，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
解得 .
综上，实数 的取值范围为 .
例4．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 为正整数， ，
.
(1)求 的最大值；
(2)若 恒成立，求正整数 的取值的集合.
（参考数据： ）
【解析】（1）
令 可得： ；令 可得： .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.故 的最大值为 .
（2）因为 恒成立，所以 ，
即 恒成立，所以 .
，
当 或 时，因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增.
因为 ，此时满足 ，
故 或 满足条件.
当 时，令 可得 ；令 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，令 ，
令 ，
，因为 在 上单调递增，
， ，
所以 在 上存在唯一的零点 .
令 可得： ；令 可得： .所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，即 .
因为 ，所以 .
综上，正整数 的取值的集合为
例5．（2023·全国·高三专题练习）设函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，记 ，是否存在整数t，使得关于x的不等式 有解?若存在，请求
出t的最小值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意得函数的定义域为 ，
，
①当 时， 时， ， 在 单调递增，
时， ， 在 单调递减；
②当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
③当 时， 时， ， 在 单调递增，
时， ， 在 单调递减；综上，当 时， 在 单调递增，在 单调递减；
当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
当 时， 在 单调递增，在 单调递减.
（2）当 时， ，
∴ ，∴ 单调递增，
又 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
且当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以 ，
设 ， ，则 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
若关于x的不等式 有解，则 ，又t为整数，所以 ，
所以存在整数t满足题意，且t的最小值为0.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 设 .
(1)若 在 上单调递增,求实数 的取值范围;
(2)求证: ;对 ,使得 总成立.
【解析】（1）解:由题可知因为 在 上单调递增,
所以 在 上恒成立,
因为 时, ,
故只要 在 上恒成立,
令 , ,
因为 , ,
令 ,
即 ,
解得 ,
故 在 上单增,
在 上单减,
所以 ,
即实数 的取值范围为 ;
（2）由题意, 因为 ,所以只要找出 ,使得 时, ;
时, 即可,
当 时,显然成立;
现证 ,满足题意,
即证当 时,若 时, 成立,
若 时, 也成立,
当 时,
若 ,则 ,
所以 ,
因为 ,故 ,
即 恒成立,
所以 在 上单增,
故 ,
即 时, 成立;
当 时,
若 , ,
由(1)知当 时,
在 上单调递增,因为 等价于 ,
即等价于 ,
所以 在 上单调递增,
故当 时, ,
因为当 时,
,且 ,
因为 等价于 ,
所以 ,
即当 时,也有 ．
综上, ,对 , ,使得 总成立．
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 ，当 时，对任意 ，存在 ，使 ，求实
数m的取值范围．
【解析】（1） 定义域为 ，
，令 ，得 或 ．
当 即 时：
， ，函数 在 上单调递减；
， ，函数 在 单调递增；
当 ，即 时：
， ，函数 在 单调递增；
， ，函数 在 上单调递减；
， ，函数 在 上单调递增；
当 即 时： ， ，函数 在 单调递增；
当 即 时：
， ，函数 在 单调递增；
， ，函数 在 上单调递减；
， ，函数 在 上单调递增；
综上：当 时，单调递减区间有 ，单调递增区间有 ；
当 时，单调递减区间有 ，单调递增区间有 ， ；
当 时，单调递增区间有 ，无单调递减区间；
当 时，单调递减区间有 ，单调递增区间有 ， ．
（2）当 时，
由（1）得函数 在区间 上单调递减，在区间 ， 上单调递增，
从而函数 在区间 上的最小值为 ．即存在 ，使 ，
即存在 ，使得 ，
即 ，令 ， ，则 ，
由 ，当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减，
所以 ，所以 ．
例8．（2023·全国·高三专题练习）函数 ， ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)对 ， ，使 成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ， 单调递增，
等号仅在 时取得，
综上， 的单调递增区间是 .
（2） ，即 ，
设 ，
则问题等价于 ， ，
由（1）可知，当 时， ，故 在 递增，∴ ，
， ，
∵ 时， ， ，
故当 时， ， 在 递增， ，
故 ，即 ，
即实数 的取值范围是 ；
【过关测试】
1．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知函数 .
(1)若 在 处的切线与 轴垂直，求 的极值；
(2)若 有两个不同的极值点 ，且 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1） ， 的定义域为 ，
，
若 在 处的切线与 轴垂直，
则 ，
所以 ， ，
所以 在区间 递增；
在区间 递减.所以 的极大值为 ，
极小值为 .
（2）若 有两个不同的极值点 ，
则 有两个不同的正根 ，
即 有两个不同的正根 ，
所以 ，解得 .
，
，
依题意， 恒成立，
恒成立，
恒成立，即 恒成立，
所以 ，
解得 .
故 的取值范围为2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)证明：存在 ，使得 恒成立，且方程 有唯一的实根．
【解析】（1）由题意， 的定义域为 ，
，
设 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）由 ，解得 ，
令 ，
则 ， ，
所以存在 ，使得 ，
令 ，其中 ，
由 ，可得函数 在 上为增函数，
所以 ，即 ，
当 时，有 ， ，
再由（1）可知， 在 上为增函数，
当 时， ，所以 在 上为减函数，所以 ，
当 时， ，所以 在 上为增函数，所以 ，
又当 时， ，故当 时， 恒成立.
综上所述：存在 ，使得 恒成立，且方程 有唯一的实根．
3．（2023秋·湖北·高三统考期末）设函数 .
(1)当 时，求 在 上的最值；
(2)对 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）当 时， ， ，
设 ， ，即 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ， ，
即 ， .
（2）由 ，
即 ，
即 ，对于 恒成立，
设 ， ，
当 时， ，
由（1）知 时， ，所以 ，当 时， .
当 时， ， 时， ，不符合题意.
当 时， ，
即 ，
设 ，
则 ，
当 时， ，即 在 单调递增，
又 ， ，
所以存在 使得 ，当 时， ，
所以 在 单调递减，此时 ，不合题意
综上所述，a的取值范围为 .
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)求函数 的最值；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数k的取值范围．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
令 解得 ，令 解得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以当 时， 有最小值为 ，无最大值.（2）由 的定义域可得 ，
即 ，
等价于 恒成立，
令 ，所以 ，
令 ，
所以 在 恒成立，
所以 单调递增，
，
所以存在唯一 ，使得 ，即 ，
所以当 时， ，即 ， 单调递减，
时， ，即 ， 单调递增，
所以
由 得 ，也即 ，
即 ，由(1)知 在 单调递增，
所以 ， ，
所以 ，
所以 .5．（2023·浙江·统考一模）设函数 , ．
(1)当 时,证明: ;
(2)若 ,求a的取值范围．
【解析】（1）解:由题知 ,
故 ,
记 ,所以 ,
所以 时, , 单调递增,
上, , 单调递减,所以 ,即 ,
故 ,得证;
（2）由题,不妨记 ,
因为 ,故 ;
当 时, ,
令 ,取 ,
因为 ,所以
故 , ,
故 有小于零的函数值,
因为 ,所以存在 使得 ,故不符合题意舍,
下证 符合题意:①若 , ;
②若 ,令 ,所以 ,
当 时, ,所以 单调递增,
当 时, ,所以 单调递减,
故 ,即 ,
将 替换 代入上不等式可有: ,
当 时,
,
记 ,
,故 单调递增,
则 时, ,又有 ,
故 成立,
当 时,因为 ,
所以 ,
记 ,所以 ,
所以 在 单调递增,则 ,
因为 , ,所以 ,故 ,
即 ,综上所述: .
6．（2023·四川凉山·统考一模）已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)已知 ，证明： ；
(3)若 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）因 ，
则 ，
令 ，得 ，
又 时， ，函数 在 上单调递减；
时 ，，函数 在 上单调递增；
即函数 在 处取最小值，即
所以 的最小值为0．
（2）由（1）小题结论可知 ，当且仅当 时等号成立，
则 时 ，即
所以
所以不等式成立.
（3）由题可知 ， 恒成立
等价于不等式 恒成立，令 ，则命题等价于 ，
由（1）知， ，即有 ，当且仅当 时等号成立，
所以
当 ，即 时能取等号，所以 ，即
的取值范围为 ．
7．（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知 ， ， ， 为 的导函
数.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在 使得 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ，则 ，
当 时，方程 的根为 ，
当 ，即 时，当 和 时， ，
单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 ，即 ，当 和 时， ，
单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 ，即 时， 恒成立，函数在 上单调递增，
综上所述，当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；当
时， 在 上单调递增，当 时， 在 ， 上单调递增，在上单调递减；
（2）存在实数 使得 对任意 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，
因为 ，当 时， 恒成立；当 时， ，函数
在 上单调递增，且 ， ，
所以，存在 ，使得 ，且 在 上单调递减，
在 上单调递增，所以 ，
于是，原命题可转化为存在 使得 在 上成立，
又因为 ，所以 ，
所以存在 ，使得 成立，
令 ， ，则 ，所以当 时， ， 单
调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 .
8．（2023·广东广州·统考二模）已知定义在 上的函数 .
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 ，且当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）函数 ， ，求导得： ，当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时，由 得 ，由 得 ，则 在 上递增，在
上递减，
所以当 时，函数 的递增区间是 ；
当 时，函数 的递增区间是 ，递减区间是 .
（2）因为 ，且当 时，不等式 恒成立，
当 时， ， 恒成立，因此 ，
当 时， ，
令 ，原不等式等价于 恒成立，
而 ，即函数 在 上单调递增，因此 ，
即 ，令 ， ，
当 时， ，当 时， ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，因此 ，
综上得 ，
所以实数 的取值范围是 .
9．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，证明：对于任意 ， 恒成立.（参考数据： ）【解析】（1）由题意可得 定义域为R， .
当 时， ，则 在R上单调递增；
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上：当 时， 在R上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调
递增.
（2）证明:因为 ，且 ，所以 ，故 ，
则要证 对于任意 恒成立，
即证 对于任意 恒成立，
即证 对于任意 恒成立，
即证 对一切 恒成立.
设 ，则 .
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减.
故 在 处取得极大值，也是最大值，
故 .
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，则 .故 对一切 恒成立，
即 对一切 恒成立.
10．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知函数 ，其中 是非零实数.
(1)讨论函数 在定义域上的单调性;
(2)若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时， 的定义域为 ，当 时， 的定义域为 .
①当 时， ， 在 上单调递增；
②当 时， ， 在 上单调递减.
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减.
（2）令 .由题 恒成立.
①当 时， .
因为 ，故不合题意.
②当 时，则不等式恒成立的必要条件为： .
令 ，
则 ，故 在 上单调递增.
注意到 ，故由 可知 .
下证充分性：当 时，令 ，则 .
故 在 上单调递增.
所以 .
令 ，
则 ，
令
则 .
故 在 单调递减.
因为 ，故当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.
所以 ，即
综上所述： .
11．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知函数 .（注： …是自然对数的
底数）
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 只有一个极值点，求实数m的取值范围；
(3)若存在 ，对与任意的 ，使得 恒成立，求 的最小值.
【解析】（1）（1）当 时， ，
故 ，故在点 处的切线方程为 ；
（2）由题意知 有且只有一个根且 有正有负，
构建 ，则 .
①当 时， 当 时恒成立， 在 上单调递增，
因为 ，
所以 有一个零点，即为 的一个极值点；
②当 时， 在 上恒成立，即 无极值点；
③当 时，当 ；当 ，
所以 在 单调递减，在 上单调递增，
故 ，
若 ，则 ，即 .
因为 ，所以当 时， ，
当 时， ，
令 ，则 ，故 ，
故 在 上为增函数.
故 ，
故 ，
故当 时， 有两个零点，此时 有两个极值点，当 时， 当 时恒成立，即 无极值点；
综上所述： .
（3）由题意知，对于任意的 ，使得 恒成立，
则当 取最大值时， 取到最小值.
当 时，因为 ，故当 时， 的最小值为 ；
当 时，当 时， ，
所以 无最小值，即 无最小值；
当 时，由（2）得 只有一个零点 ，即 且 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
此时 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，
令 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
，此时 ，
所以 的最小值为 .12．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数 ，其中 为
自然对数的底， .
(1)求证： ；
(2)是否存在实数 ，使得 恒成立？若存在，求 的取值集合，若不存在请说明理由.
【解析】（1）证明：令 ，其中 ，则 ， .
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，即 ，
故对任意的 ， .
（2）令 ，其中 ，
若存在实数 ，使得 恒成立，则 ，其中 ，
令 ，令 .
令 .
①当 时，由（1）可知， 且 不恒为零，、
此时，函数 在 上为增函数，
因为 ，所以，当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，合乎题意；②当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
所以，函数 在 上为增函数，
因为 ， ，
所以，存在 ，使得 ，
当 时， ，则函数 在 上单调递减，
则当 时， ，则函数 在 上单调递减，
当 时， ，则函数 在 上单调递减，
故当 时， ，不合乎题意；
③当 时，若 ，则存在 ，使得 ，
且当 时， ；
若 时，可取 ，当 时， .
因此，当 时，函数 在 上为增函数，
当 时， ，所以，函数 在 上为增函数，
当 时， ，所以，函数 在 上为增函数，
故当 时， ，不合乎题意.
综上所述，存在 ，使得 恒成立，故实数 的取值集合为 .
13．（2023·全国·高三专题练习）已知当 ，总有 ，当且仅当 时，“=”成立．设
．
(1)当 时，总有 ，求实数m的取值范围；
(2)当 时，证明：存在 ，使得 ．
【解析】（1）令 ，其中 ，由题意可得，当 时，总有 ，当且仅当 时等
号成立，则 ，要使 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
则 ，所以实数m的取值范围 ；
（2）令 ，其中 ，
，当且仅当 时等号成立，则 在 时单调递减，
当 时 ，即 在 上恒成立，即
在 上恒成立，
由于 ，则 恒成立，
令 ，
其中 ， ，当且仅当 时等号成立，
则 在 上单调递减，当 时， ，即 在 上恒成立，即
在 上恒成立，
由于 ，则 恒成立，
函数 在 上单调递增，
则存在 ，使得 ，由于 ，则存在 ，使
得 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，其中 ，
．
(1)试讨论函数 的极值；
(2)当 时，若对任意的 ， ，总有 成立，试求b的最大值．
【解析】（1）由题意得 的定义域为 ， ．
当 时， 在区间 内恒成立，
在区间 内单调递增， 无极值．
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ．
在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，
在 处取得极大值，且极大值为 ，无极小值．
综上，当 时， 无极值；当 时， 的极大值为 ，无极小值．
（2）由 知当 时， 的最大值为 ．由题意得 ，且 在区间 内单调递增．
又 ， ，根据零点存在定理可得，
存在 ，使得 ，
且当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
．
， ，两边取对数可得
，
．
令 ，则当 时， ，
即函数 在区间 内单调递减，故 ，
，即 ，即 ．对任意的
， ，总有 成立， ，即
， ，即 ．
又 ，故 的最大值为0．
15．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数 ．
(1)若函数 图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数 的极值；
(2)若不等式 有解，求 的取值范围．【解析】（1）由于 图像上各点切线斜率的最大值为2，
即 取得最大值为2，
由题可知 的定义域为 ，
则 ，
即 是关于 的二次函数，
， 当 时， 取得最大值为 ，
，
而 ， ，
此时 ，
在 上 ， 单调递减，
在 上 ， 单调递增，
的极小值为 ，无极大值．
（2） ，其中 且 ，
在 上， ，则 单调递减，
在 上， ，则 单调递增，
，
关于 的不等式 有解，
，， ，
设 ，则 ，
在 上， ，则 单调递增，
在 上， ，则 单调递减，
，即 在 内恒成立，
要求 ，即 ，
则只需 即可，即 ，等价于 ，
解得： 且 ，
的取值范围是： 且 .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)曲线 上是否存在不同两点 、 ，使得直线AB与曲线 在点
处的切线平行？若存在，求出A、B坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1） 定义域为 ，
则 ，
当 ，即 时， ，
此时 在 上单调递增，当 时，此时 ，令 得： ，
令 时，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，此时 ，令 得： ，
令 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ，令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ，舍去，
此时，令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上：当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增.
（2） ，在点 处的切线斜率为 ，
因为 、 为函数曲线上的不同两点，故 ，
直线AB的斜率为 ，
令 ，
整理得： ，
接下来证明 ， ，恒成立，
不妨设 ， 变形为 ，
即 ，令 ，则
构造 ， ，
则 恒成立，
故 在 上单调递增，
则 ，故 ， ，恒成立，
从而不存在不同两点 、 ，使得直线AB与曲线 在点 处的切
线平行.17．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
【解析】（I） ，则 ，
又 ，则切线方程为 ；
（II）令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像如下：
所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且 ，
当 时， ，则 ， 单调递增，
当 时， ，则 ， 单调递减，
为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；（III）由（II）知 ，此时 ，
所以 ，
令 ，
若存在a，使得 对任意 成立，等价于存在 ，使得 ，即 ，
， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，故 ，
所以实数b的取值范围 .
