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第 7 讲 比较大小
真题展示
2022 新高考一卷第 7 题
设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解析】
【解法一】(构造法1)构造函数 ， ，则 ， ，
当 时， ，∴ 时， ， 单调递减； 时， ，
单调递增，
在 处取最小值 （1） ， ，
， ， ；
， ， ， ；
，而 ， ，
．故选： ．
【解法二】(构造法 2)：先比较 a 与 b。设 F(x)=(1−x) −1,0<x<1，则 (x)=−x
<0，∴F(x)在 0<x<1 上减，故 F(x)<F(0)=1，即(1−x) <1，0<x<1，∴ < ，
0<x<1，取x=0.1， = ，∴0.1 < ，即a<b；
再比较 a 与 c。易知 ≥x+1，当且仅当 x=0 时取等号，取 x=0.1，得
>1.1,∴a=0.1 >0.11.
设 G(x)=2lnx−x+ ,x>1，则 (x)= <0,∴G(x)在 x>1 上减，故
G(x)<G(1)=0，即 2lnx<x− ,取 x= ，得 ln < ( − )= <0.11<0.1 =a,即
c<a，综上c<a<b.
【解法三】：由不等式 得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ；由 得 ，得 ，所以
所以 .所以 ，综上 .故选项C正确.
【试题评价】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知
识，考查运算求解能力，是难题．
考查目标 试题以三个数值大小的比较为具体情境，通过数值的共性与特点，构
建函数模型，研究导函数的符号，得到函数的单调性，从而得到函数不等式和
所需结论.试题考查了考生分析问题、解决问题的能力.作为新高考试卷的题目，
试题紧扣课程标准，力图引导教学，符合基础性、综合性、应用性、创新性的
考查要求，体现了较好的选拔功能.
试题亮点 以往的试题中，大小比较的问题往往通过差值比较或商值比较，结
合对数函数与指数函数的性质即可得到结论，试题将函数、导数、不等式这三
者通过比较大小的问题有机结合起来，成为一大亮点. 值得注意的是，试题的解
法多样，构造函数的方法也不尽相同，这为不同能力层次的考生提供了发挥的
空间．但有部分考生应用了泰勒公式等大学数学的知识，这是没有任何基础的．
对于泰勒公式的使用条件与结论，很多考生均不清楚，生搬硬套会导致理解不
透彻，甚至得到错误答案．对于高中生而言，不应该使用二级结论，对自己不
清楚的结论更不能随意使用．试题源于教材，紧扣课标，可以对考生的能力进
行很好的区分，具有较好的选拔功能.
知识要点整理
（一）常用技巧和方法
1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：
判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为 和
（1）如果底数和真数均在 中，或者均在 中，那么对数的值为正数
（2）如果底数和真数一个在 中，一个在 中，那么对数的值为负数
例如： 等
2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如 0,1）的大小关系，一作
图，自明了
3、比较大小的两个理念：
（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与
指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，
尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况
例如： ，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变
为相同
，从而只需比较底数的大小即可
（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比
较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数
的值进行估计，例如 ，可知 ，进而可估计 是一
个1点几的数，从而便于比较
4、常用的指对数变换公式：
（1）
（2）
（3）
（4）换底公式：
进而有两个推论： （令 ）
（二）利用函数单调性比较大小
1、函数单调性的作用： 在 单调递增，则
(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）
2、导数运算法则：
（1）（2）
3、常见描述单调性的形式
（1）导数形式：
单调递增； 单调递减
（2）定义形式： 或 ：
表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明
函数单调递减
4、技巧与方法：
（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件
与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要
什么.两者对接通常可以确定入手点
（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能
是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整
（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至
同一单调区间中进行比较
（三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如
“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，
即可得到函数值的大小关系
（1）若 关于 轴对称，且 单调增，则图象可能以下三种情况，可
发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小
（2）若 关于 轴对称，且 单调减，则图象可能以下三种情况，可
发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大
2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两
个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系
下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.
三年真题
1．设 是定义在 上以 为周期的函数， 在 内单调递减，且 的图象关于直线 对
称，则下面正确的结论是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【详解】解：因为 在 上以 为周期，对称轴为 ，且在 内单调递减，
所以 ， ，
，
，即 .
故选：B．
2．如果函数 对于任意实数t都有 ，那么（ ）
A．f(2)<f(1)<f(4) B．f(1)<f(2)<f(4)
C．f(4)<f(2)<f(1) D．f(2)<f(4)<f(1)
【答案】A
【详解】因函数 对于任意实数t都有 ，则其图象对称轴为 ，且
在 上递增，
于是得 ，而 ，
所以 .
故选：A
3．设函数 定义在实数集上，它的图像关于直线 对称，且当 时， ，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，函数 在 上是增函数，再根据函数的图象关于直线 对称，可得函数
在 上是减函数，故离直线 越近的点，函数值越小， ， ， ，∴
，故选：B.
4．已知函数 ，其图象上两点的横坐标 ， 满足 ，且 ，
则有（ ）
A． B．
C． D． ， 的大小不确定
【答案】C
【分析】根据函数 ，作差比较.
【详解】已知函数 ，
所以 ，
，
，
因为 ， ，
所以 .
故选：C
5．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上是增函数，令
则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：注意到 ，， ，从而有
；因为函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上是增函数，
所以有 ，而 ，
，所以有 ，故选Ａ．
考点：１．函数的奇偶性与单调性；２．三角函数的大小．
6．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2﹣|x﹣4|，
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：利用函数的周期性及x∈[3，5]时的表达式f（x）=2-|x-4|，可求得x∈[-1，1]时的表达
式，从而可判断逐个选项的正误．
解：∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数，
又当x∈[3，5]时f（x）=2-|x-4|，∴当-1≤x≤1时，x+4∈[3，5]，∴f（x）=f（x+4）=2-|x|，
∴f(sin ))=f( )= - =f(cos ))，排除A，
f（sin1）=2-sin1＜2-cos1=f（cos1）排除B，
f(sin ))=2- ＜2- =f(cos )，D正确；
f（sin2）=2-sin2＜2-（-cos2）=f（cos2）排除C．
故选：D
7．已知函数 是R上的偶函数，且在区间 上是增函数.令，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，
因为 ，所以 ，所以 ，选A．
8．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则 ．
当 ，即 时，函数 单调递增；
当 ，即 时，函数 单调递减．
由 ，得 ，即 ，则 ，得 ．
当 时， ，即 ．
在上式中，令 ，又 ，则 ，从而 ，即 ，
得 ，
即 ，所以 ，
综上可得， ，即 ．
故选：D．三年模拟
1．已知 ，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，定义域关于原点对称，
，
所以 为 上的偶函数，
当 时, ，设 ，
则 ， ， ，
所以 即 在 上单调递减,所以 ,
所以 在 上单调递减,又因为 为偶函数,
所以 在 上单调递增，
又因为 , ,
又因为 ,
因为 , ，所以 ,
所以 ，即 ,
所以 ,所以 ,
即 .
故选：D.
2．已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由 ，同理 ， ，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
可得函数 的递减区间为 ，递增区间为 ，而2 < e < 3 < 4，
又由 ， ，可得 ， ，
，
又由 及 的单调性，可知 ，
故 ．
故选：C．
3．已知定义在R上的函数 满足 为偶函数， 为奇函数，当 时，
，则下列说法正确的是（ ）．
① ，②函数 为周期函数，③函数 为R上的偶函数，④ ．
A．①② B．②③④ C．②④ D．①②③
【答案】A【详解】因为 为偶函数，所以 是 的一条对称轴，又 关于 轴对称后得
到 ，横坐标伸长为原来的3倍得到 ，向右平移 个单位得到 ，所以 时
的一条对称轴，则 ；
因为 为奇函数，所以 是 的一个对称中心，同理可得 是 的一个对称中心，
则 ，
又 为R上的奇函数，所以 会经过 这个点，代入得 ，因为 是 的
一条对称轴，所以 ，故①正确；
由 和 得 ，则 ， ，所
以 是 的一个周期，故②正确；
由 得 ，又 是 的一个周期，所以 ，则 为奇函
数，故③错；
因为 时， ，则 在 上单调递增，因为 为奇函数，所以 在 上
单调递增，即 在 上单调递增，因为 ，所以 ，所以
，故④错.
故选：A.4．已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，当 时， ，若
，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设 ，则 ，
由题意知当 时， ，即 ，
故 在 时单调递增，
故 ，即 ，
故选：D.
5．己知定义域为 的奇函数 满足 ，且当 时， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由于函数 为定义在 上的奇函数，
所以 ， ，
又 ，
所以 ，所以函数 的图像关于直线 对称.
又 ，
所以 ，
所以函数 是周期4的周期函数，
所以 .
当 时， ，
显然 在 上单调递增.
又 ，
所以
所以根据 在 上单调递增
可得 .
即 .
故选：A.
6．已知函数 的定义域为 ，导函数为 ，若 恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设函数 ，因为 ， ，
所以 ，则 ，所以 在 上单调递减，
从而 ,即 .
所以 ， ， ， .
故选：B
7．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，得 ，于是 ，
同理由 ，可得 .
对于 ，两边同时取对数得 ，于是 .
构造函数 ，则 ， ，
因为 ，
所以当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
即 ，又 ， ， ，
如图所示，所以 .
故选：A.
8．已知 ， ， ，下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设 ，则 在 上恒成立，
所以 在 单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，
又 在 单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ；
设 ，则 在 上恒成立，
所以 在 单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，即所以 ；
综上所述： ，
故选：C
9．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令函数 ， ，求导得： ，令 ， ，
有 ，因此函数 在 上递减，即有 ，即 ，
于是得 在 上递减，而 ，则 ，即 ， ，则
，
又 ，则 ，即 ，有 ，则 ，
所以 .
故选：B
10．已知 是定义在R上的函数， 是 的导函数，且 ，则下列结论一定
成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则 ，则 是增函数，所以 ，即
，所以 .
故选：D．
11．已知 是定义在 上的奇函数，且 ，对于 上任意两个不相等实数 和 ，都满足 ，若 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
所以 ，即函数 为偶函数，
因为对于 上任意两个不相等实数 和 ， 都满足 ，
所以函数 在 上单调递增，
因为 ，
因为 ，
所以， ，即 .
故选：A
12．已知 ，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令 ，则 ，
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，又 递增，
所以 ，即 ；
，
在同一坐标系中作出 与 的图象，如图：
由图象可知在 中恒有 ，
又 ，所以 ，
又 在 上单调递增，且
所以 ，即 ；
综上可知： ，
故选：A
13．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则 .
因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，所以 在 上单调递减.
而 ， ，
所以在 上有 .
所以 在 上单调递减.
所以 ，即 .故 .
故选：D.
14．设 ， ， ，则a，b，c之间的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【答案】A
【详解】构造函数 ， x＞－1，则 ，
当－1＜x＜0时， ， 单调递增，当x＞0时， ， 单调递减，
∴ ，∴ （当x＝0时等号成立），
∴ ，则c＜b，
构造函数 ，0＜x＜1，则 ，
令 ，0＜x＜1，∴ ， 单调递增，
∴ ，∴ ， 单调递增，
从而 ，∴ ，即 ，则a＞b．
∴c＜b＜a．
故选：A．15．设 ， ， ，则 的大小关系正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由 ， ，
令 ，构造函数 ， ，
则 ，因为 ，所以
得 ，
下面说明 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以当 时， ，所以 在 是增函数，
因为 ，所以 ，
即 ，整理可得 ，即 ，
因为 ， ，
令 ，构造函数 ， ，
则 ，令 ，
则 ，故 在 是增函数，
所以 ，所以 在 是增函数，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
综上， .
故选：C.
16．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，故 ，即 ；
又因为 ，所以 ，
综上， ．
故选：D．
17．已知 , , ,则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ,构造函数求导易证
所以
所以
因为 ,构造函数求导易证所以
所以
因为 ,构造函数求导易证
所以
而
所以
综上
故选：B
18．已知定义在R上的奇函数 满足 ，且在区间 上是减函数，令
，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为 是定义在R上的奇函数且满足 ，
，所以 的图象关于直线 对称，
在 上是减函数，则在 上是增函数，
又 是奇函数，所以 在 上是增函数，
所以 在 上是增函数， 在 上是减函数，
结合奇函数得 ，所以 ，， ， ，
所以 ，即 ，
故选：C．
19．已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为减函数，
所以， ，即 ，则 ，
，
因此， .
故选：D.
20．已知 ， ， ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意 ， ，
构造函数 ，定义域为 ，
求导得 ，所以，函数 在 上单调递增，
因为 ， ，又 ，则 ，则 ，即 ，即 ，因为 ， ， ，故 .
故选：A.
