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第39讲 2023 届高三数学新高考一卷考前模拟四
一、单选题
1．已知 为实数集，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求出集合 ，再根据集合的并集运算即可求出．
【详解】因为 ， ，所以 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于容易题．
2．已知 是虚数单位，若复数 为纯虚数（ ， ），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，根据复数的乘法和除法，明确实部与虚部，结合纯虚数的定义，可得答案.
【详解】因为 为纯虚数，所以 ， ，则 ，
所以 .
故选：C.
3．某学校开设 类选修课 门， 类选修课 门，一位同学从中共选 门，若要求两类课程各至少选一门，
则不同的选法共有．
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】A
【详解】由题意，7门课程选3门有 种方法，
若选择的课程均为A课程，有 种方法，选择的课程均为B课程，有 种方法，
满足题意的选择方法有： 种.
本题选择A选项.
4．如图，ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，S－ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，
C1，D1在同一个球面上，则该球的体积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 与 交于 ,根据已知条件可得,球心 在 上,在 中利用勾股定理,求出球 半
径 ,即可求得答案.
【详解】如图所示，设 与 交于 ,球心 在 上,设 ,
则球 的半径 ，
同时由正方体的性质可知 ，
则在 中，
即 解得 ，所以球的半径 ，
所以球的表面积 .
故选:C.【点睛】本题考查多面体外接球的体积,关键在于如何确定球心,求出半径,找几何体外接球球心的一般方法:
过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.
5．已知事件A与事件 相互独立，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意两个相互独立事件的和事件的概率应该为两事件概率之和减去这两事件同时发生的概率，
可得答案.
【详解】由题意事件A与事件 相互独立，
,
故选：B．
6．心理学家有时使用函数 来测定在时间 内能够记忆的量 ，其中A表示需要记忆的
量， 表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min内该学生记忆20个单词．
则记忆率 所在区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据题意解方程，解出 ，在和端点值比较大小，由函数单调性和函数连续得到结果.
【详解】将 代入 ，解得： ，其中 单调递减，而， ，而 在 上单调递减，所以 ，结合单调性可知
，即 ，而 ，其中 为连续函数，故记忆率
所在区间为 .
故选：A
7．已知 的外接圆的圆心为O， ， ， 为钝角，M是线段BC的中点，则
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】将 表示出来，代入运算即可， 的夹角用半径表示出来即可．
【详解】∵M为BC的中点，∴ ，设外接圆的半径为R，∠C与∠BAO互余，
故cos∠BAO=sin∠C，
.
【点睛】此题考查基本向量运算，关键的在与半径形成的两向量的夹角余弦值用半径和边长表示出来即可，
属于较易题目．
8．若函数 为R上的奇函数，当 时， ，则 的值为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．1
【答案】D【分析】由当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．可得f（1），再由函数f（x）是R上的奇函数，可得f（﹣1）的
值；
【详解】解：∵当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．
∴f（1）＝12﹣2×1＝﹣1
∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝1．
故选：D
【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．
二、多选题
9．下列命题表述正确的是（ ）
A．方程 表示一个圆；
B．若 ，则方程 表示焦点在 轴上的椭圆；
C．已知点 、 ，若 ，则动点 的轨迹是双曲线的右支；
D．以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切．
【答案】BD
【分析】由配方法整理方程，结合圆的标准方程，判断A；根据椭圆的标准方程，判断B；根据双曲线的
定义，判断C；根据抛物线的定义，结合圆与直线的位置关系，判断D.
【详解】对于A：方程 可化为 不表示圆，故A错；
对于B：方程 可化为 ，所以表示焦点在y轴上的椭圆，故B对；
对于C：因为点 、 ，所以 ，所以动点P的轨迹是一条射线，故C错；
对于D：如图：建立平面直角坐标系，设过抛物线焦点 的直线与抛物线的交点为A,B，线段AB的中点为
M，直线 为抛物线的准线， ， ， ，由抛物线的定义可得 ， ，所以 ，又 ，所以 ，故以AB为直径的圆的圆心 到直
线 的距离等于该圆的半径，即以AB为直径的圆与准线相切，故D对；
故选：BD.
10．已知函数 的部分图象如图所示，则下列关于函数
的结论中，正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的单调递增区间为
C．当 时， 的最大值为1D． 在区间 上有且仅有7个零点
【答案】BC
【分析】根据图像求出函数 的解析式，从而可得三角函数 的解析式，根据三角函数的性质对各
个选项逐一验证即可.
【详解】由题可知 ， ， ，
，即 ，
， ，故 ，
， ， 的最小正周期为 ，故A错误；
，即 ，
故B正确；
，当 时， ，故C正确；
，当 时， ，故C正确；
令 ， ， 零点可取值为：当 时， ；当 时，
；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时，
；当 时， ，符合题意；当 时， ，不符合题意；故 在区间
上有且仅有8个零点，故D错误；
故选：BC.
11．已知 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据指数与对数的互化，求出 ，再根据指数的运算，结合换底公式与基本不等式逐个选项判
断即可.
【详解】由题意， .
对A， ，成立，故A正确；
对B， ，不成立，故B错误；
对C， ，成立，故C正确；
对D，因为 ，故 ，当且仅当 时取等号，但 ，故 ，成立，
故D正确；
故选：ACD
12．已知互不相等的三个实数a，b，c都大于1，且满足 ，则a，b，c的大小关系可能
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】化简 ，构造关于x的方程 ，考虑判别式大于等于零；
再构造函数 讨论零点和对称轴位置，判断a，b，c的大小关系.
【详解】由已知， ，
即 ．
则关于x的方程 有正实根，
所以 ．
因为 ，则 ，所以 ．设 ，
则二次函数 的关于直线 对称，且 ，
．
若 是 的一个较小零点，则 ，即 ；
若 是 的一个较大零点，则 ，即 .
故选：AB．
三、填空题
13．过抛物线 的焦点F作两条相互垂直的弦AB，CD，分别交M于A，B，C，D则
的最小值为______
【答案】16
【分析】设直线 的方程 ，与抛物线方程联立，利用韦达定理法结合焦点弦公式求出
弦 和 ，从而利用基本不等式求 的最小值.
【详解】由抛物线 ： 可知 ，
由题可知直线 的斜率存在且不为 ，可设直线 的方程为 ， ， ，
直线 的方程与抛物线方程 联立，得： ，
∴ ， ，
同理 ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
即 的最小值为16.
故答案为：16.14．已知集合 ，其中 ， .且 ，则集合 中所有
元素的和为_________.
【答案】2889
【分析】先计算集合中最小的数为 ，最大的数 ，可得 ，求和即得解.
【详解】当 时，集合中最小数 ；
当 时，得到集合中最大的数 ；
故答案为：2889
【点睛】本题考查了数列与集合综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的
圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，
垂足为C，tan∠ODC= ， ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径
为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】
【分析】利用 求出圆弧 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形 的面积，求出
直角 的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
【详解】设 ，由题意 ， ，所以 ，因为 ,所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 与圆弧 相切于 点，所以 ，
即 为等腰直角三角形；
在直角 中， ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ；
等腰直角 的面积为 ；
扇形 的面积 ，
所以阴影部分的面积为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，
体现了五育并举的育人方针.
16．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为
3π，则球O的表面积等于 .
【答案】【详解】
∵圆M的面积为3π,
∴圆M的半径r= .
设球的半径为R,
则R2= R2+3,∴ R2=3,∴R2=4.
∴S =4πR2=16π.
球
四、解答题
17．已知在 中，角 所对的边分别为 ， ，且 的外接圆
的直径为2.
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）由三角形内角和定理与三角恒等变换求解即可；
（2）由正弦定理、余弦定理与三角形面积公式求解即可
（1）
由题意知 ，所以 ，
即 ，
解得 （舍去）或 ，
又 ，
所以 .
（2）
由题意及正弦定理得 ，
所以 ，
因为 的面积 ，
所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
18．设数列 , ，已知 ， ，
（1)求数列 的通项公式；
（2)设 为数列 的前 项和,对任意 .
（i）求证： ；
（ii)若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) （i）见证明；（ii)
【分析】（1)计算 可知数列 为等比数列；（2）（i）要证 即证{ }恒为0；
（ii)由前两问求出 再求出 ，带入式子，再解不等式.
【详解】(1) ，
又 ，
是以2为首项， 为公比的等比数列，
；
（2）（i） ，
又 恒成立，即
（ii)由 , ，
两式相加即得： ，
，
， ，当n为奇数时， 随n的增大而递增，且 ；
当n为偶数时， 随n的增大而递减，且 ；
的最大值为 ， 的最小值为2，
解得 ，所以实数p的取值范围为 ．
【点睛】本类试题，注意看问题，一般情况，问题都会指明解题方向
19．2020年12月29日至30日，全国扶贫开发工作会议在北京召开，会议指出经过各方面的共同努力，中
国现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部退出，脱贫攻坚目标任务如期全面完
成.2021年是“十四五”规划开局之年，是巩固拓展脱贫攻坚成果、实现同乡村振兴有效衔接的起步之年．
要按照中共中央国务院新决策新部署，把巩固拓展脱贫攻坚成果摆在头等重要位置来抓，推动脱贫攻坚政
策举措和工作体系逐步向乡村振兴平稳过渡，用乡村振兴巩固拓展脱贫攻坚成果，坚决守住脱贫攻坚胜利
果实，确保不出现规模性返贫，确保实现同乡村振兴有效衔接，确保乡村振兴有序推进．北方某刚脱贫的
贫困地区积极响应，根据本地区土地贫瘠，沙地较多的特点，准备大面积种植一种叫做欧李的奇特的沙漠
果树，进行了广泛的宣传．经过一段时间的宣传以后，为了解本地区广大农民对引进这种沙漠水果的理解
程度、种植态度及思想观念的转变情况，某机构进行了调查研究，该机构随机在该地区相关人群中抽取了
600人做调查，其中45岁及以下的350人中有200人认为这种水果适合本地区，赞成种植，45岁以上的人
中赞成种植的占 ．
（1）完成如下的2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“赞成种植与年龄有关”？
赞成种植 不赞成种植 合计
45岁及以下
45岁以上
合计（2）为了解45岁以上的人的想法态度，需要在已抽取45岁以上的人中按种植态度（是否赞成种植）采用
分层抽样的方法选取5位45岁以上的人做调查，再从选取的5人中随机抽取2人做深度调查，求2人中恰
有1人“不赞成种植”的概率．
附表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式为：
【答案】（1）填表见解析；有 的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”；（2） ．
【分析】（1）根据题中数据，直接完善列联表，再由公式计算 ，结合临界值表，即可得出结论；
（2）先由题中条件，确定被抽取的5人中，“赞成种植的”有2人，记为 ， ，“不赞成种植的”有3
人，记为 ， ， ；用列举法写出总的基本事件，以及满足“恰有1人不赞成种植”的基本事件，基本
事件的个数比即为所求概率.
【详解】（1）由题意可得2×2列联表：
赞成种植 不赞成种植 合计
45岁及以下 200 150 350
45岁以上 100 150 250
合计 300 300 600
经查表，得 ，所以有 的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”．
（2）在45岁以上的人中，赞成种植和不赞成种植的人数比为 ，
所以被抽取到的5人中，“赞成种植的”有2人，记为 ， ，“不赞成种植的”有3人，记为 ， ，
，从被选取到的5人中再从中抽取2人，共有如下抽取方法： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
共有 种不同的结果，
两人中恰好有1人为“不赞成种植的”包含了 ， ， ， ， ， ，共有 种结
果．
所以所求概率 ．
【点睛】方法点睛：
求古典概型的概率的常用方法：
（1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基
本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；
（2）古典概型所包含的基本事件个数较多时，可根据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及
满足条件的基本事件个数，进而求出所求概率.
20．在三棱锥 中，已知 ， ，点 在面 上的射影位于 的中
点.
（1）求证： ；
（2）若点 为 中点，求直线 与平面 所成的角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，证明 平面 即可得；
（2）以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图直角坐标系，用空间向量法求线面角．
【详解】（1）取 中点 ，连接 ， ，
∵ ，又 为 中点，
∴ ，
同理可得： ，又 ， 平面 ，∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴ .
（2） 平面
以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图直角坐标系.
则 ， ， ， ，
∵ 是 的中点： ，
， ， ，
设 是平面 的法向量，
∴ ，令 ，得 ， ，
∴ ，
设直线 与平面 所成的角为 ， ，
∴ ，
∴ ．21．已知函数 .
(1)若 ，求 的图象在 处的切线方程；
(2)当 时， ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当 时，求出 、 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由 可得出 ，令 ，其中 ，则 对任意
的 恒成立，对实数 的取值进行分类讨论，分析函数 在 上的单调性，验证 对
任意的 能否恒成立，综合可得出实数 的取值范围.
【详解】（1）解：当 时， ，该函数的定义域为 ，则 ，
所以， ， ，所以， 的图象在 处的切线方程为 ，即 .
（2）解：当 时，由 可得 ，
令 ，其中 ，且 ，则 ，
，令 ，
①当 时，即当 时，对任意的 ， ，则 ，
此时，函数 在 上单调递增，则当 时， ，不合乎题意；②当 时，即当 时，二次函数 图象开口向下，对称轴为直线 ，
（i）当 时，即当 时，对任意的 ， ，则 且 不恒为零，
此时，函数 在 上为减函数，故当 时， ，合乎题意；
（ii）当 时，即当 时，由 ，可得 ，
其中 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 .
此时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，不合乎题意.
综上所述， .
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参，解题的关键在于将不等式变形为
，将 进行孤立，这样在求导时较为简洁，通过构造函数 ，将
问题转化为 对任意的 恒成立，再结合导数分析函数 在 上的单调性即可.
22．已知椭圆 过点 ，离心率为 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，A为椭圆C的左顶点，若直线 过线段 的中点B，且与椭圆C相交于 两点，直线 分别与直线 相交于 两点，试判断： 是否为定值？若是，证明你的结
论；若不是，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）是，证明见解析.
【分析】（1）根据题意列出关于 ， ， 的方程，解出 ， ， 的值，从而得到椭圆 的标准方程．
（2）可设直线 的方程为： ， ， ， ， ，联立直线 与椭圆方程，由韦达定理可得
， ，由三点共线， ， ，代入 可
得 ，所以 为定值．
【详解】（1）因为椭圆C过点 ，所以 ，
又椭圆C的离心率为 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以椭圆C的标准方程为 ．
（2）由题可得 ，可设直线 的方程为 ，
将 代入 ，消去x可得 ，
所以 ，
又 三点共线，所以可设 ，
设 ，则 ，所以 ，则 ，
同理可得 ，
所以
，
所以 ，所以 是定值．
【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值
求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到
定值. (3)存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①
当条件和结论不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③
当条件和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径.
