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第一篇 热点、难点突破篇
专题02 函数的概念和性质（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·山西太原·高三期中）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式 和 ，再求交集即可.
【详解】由 得： ，所以 ，
由 得： ，所以 ，
所以 .
故选：C
2．（2022·海南昌茂花园学校高三阶段练习）已知 ， ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先化简题目中的不等式，然后根据充分性和必要性的定义进行判断即可
【详解】由 结合函数 是 上的增函数，可得 ，
由 结合函数 是 上的减函数，可得 ，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：C
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）．A． B． C． D．
【答案】A
【分析】 ，通过比较5和 ，可得到 大小关系.通过比较 与 ，可得到 大小关系.
【详解】 ，因 ， ，
在 上单调递增，则 ，
又 在 上单调递增，则 ，即 .
又 ， 在在 上单调递增，
则 ，又 ，则 .
故选：A
二、多选题
4．（2022·山东·青岛超银高级中学高三阶段练习）已知函数 是偶函数， 是奇函数，则
（ ）
A． B．
C． D． 是 的周期函数
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用奇偶性判断A，B，C；推理计算并结合周期的意义判断D作答.
【详解】因函数 是偶函数，即 ，于是得 ，A正确；
因函数 是奇函数，即 ，B不正确；
因函数 是奇函数，则 ，C正确；
由选项A，C知， ，即 ，
因此 ，即 是 的周期函数，D正确.故选：ACD
5．（2022·辽宁·丹东市教师进修学院高三期中）已知定义域为 的奇函数 满足 ，则必有
（ ）
A． B．
C． D． 图象关于点 对称
【答案】ACD
【分析】根据函数 为奇函数可得 ，又 则可得周期为3，从而可得
，再利用周期性与对称性逐项判断即可.
【详解】解：已知定义域为 的奇函数 ，则 ，所以当 时，
又 满足 ，则 ，所以函数 是周期为3的函数
所以 ，故A正确；
又由 可得 关于点 对称，故 ，故B错误；
由于 关于点 对称，所以 ，则 ，故C正确；
由 周期为3， 关于点 对称，可得 图象关于点 对称，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
6．（2022·江苏·南京师大附中高三期中）已知函数 的定义域为 ，当 时， ，且函
数 关于点 对称，则满足 的 取值范围是______.【答案】
【分析】判断出 是奇函数，结合函数的奇偶性、单调性化简不等式 ，从而求得正确
答案.
【详解】由于 关于 对称，则 关于原点对称， 为奇函数，
当 时， 为增函数，所以 在 上单调递增，
所以 ，
解得 ，
所以 满足 的 取值范围 .
故答案为：
7．（2022·天津市军粮城中学高三期中）函数 的单调递增区间是_________.
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】函数 定义域为 ，
令 ，则 为减函数.
当 ， 为减函数，则 为增函数.
故答案为： .
8．（2022·广西北海·一模（文））已知奇函数 的定义域为 ,且 对任意 恒成立,若
,则 ____________.【答案】2
【分析】根据 的周期性和对称性,求出一个周期内的整数点处的函数值及它们的和,再根据
,求出505个周期内的和加上 即可.
【详解】解:由题知, ,所以 周期为4,
因为奇函数 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,
因为 ,
所以 .
故答案为:2
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 ________，函数
的零点为________．
【答案】
【分析】根据给定的分段函数求出函数值即可，再直接求出方程的解作答.
【详解】依题意， ，
由 得 ，即 ，解得 ，或 ，无解，
所以数 的零点为 .故答案为： ；
10．（2022·北京市西城外国语学校高三阶段练习）函数 的定义域为
______________________，单调递增区间为___________．
【答案】 ##
【分析】根据给定的函数，列出不等式，解不等式得定义域；结合对数函数、二次函数单调性求解单调增区间
作答.
【详解】函数 有意义，则有 ，解得 ，所以函数 的定义域为 ；
因函数 在 上单调递增，在 上单调递减，而函数 在 上单调递减，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的单调递增区间为 .
故答案为： ；
【冲刺提升】
一、单选题
1．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数 ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出 ，不等式转化为 ，分 与 两种情况进行求解，得到不等式的解集.
【详解】∵ ，
∴不等式转化为 .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： .综上所述，不等式的解集为 .
故选：A.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）已知函数 ，则“函数 为偶函数”
是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据偶函数的定义求出当函数 为偶函数时，实数 的值，再利用集合的包含关系判断可得出结
论.
【详解】若函数 为偶函数，则对任意的 ， ，
因为 ，则 ，
即 ，即 ，所以， ，解得 ，
又因为 ，因此，“函数 为偶函数”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2022·海南昌茂花园学校高三阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上是单调递
增的，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的性质以及函数在 上单调递增，比较自变量绝对值的大小即可得解.【详解】因为函数 是定义在 上的偶函数，所以 ， ，
因为 在 上是单调递增的，故 在 上是单调递减，且 ，
所以 ，即 .
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数 存在反函数，则常数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1] B．[1，2]
C．[2，+∞） D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
【答案】D
【分析】依题意可得f（x）在[0，1]上单调，分两种情况讨论，参变分离，结合指数函数的性质能求出常数a
的取值范围．
【详解】解：∵函数 存在反函数
∴函数 在[0，1]上单调
若单调递增，即 ，则 在x∈[0，1]上恒成立，即 在 上恒成立
∵ 在[0，1]上单调递增
∴
∴a≤1
若单调递减，即 ，则 在 上恒成立
即 在 上恒成立
∴ 在 上单调递增
∴
∴ ．综上，常数a的取值范围为 ．
故选：D．
5．（2022·河南·高三阶段练习（文））设函数 的定义域为 ，且满足 是偶函数，
，当 时， ，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．当 时， 的取值范围为
C． 为奇函数
D．方程 仅有5个不同实数解
【答案】D
【分析】由已知条件可得函数的对称中心及对称轴，利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，
可得函数 的图象，依据图象对各个选项进行判断即可.
【详解】∵ ，∴ ，∴
当 时， ，∴函数 在区间 的图象如图：
∵ 是偶函数，∴ ，即
∴ 的图象关于直线 对称， 在区间 的图象如图：∵ ，
∴将 中的 替换为 ，得
，即
∴ 的图象关于点 对称， 在区间 的图象如图：
由函数图象的对称轴直线 和对称中心 进行多次对称变换，可得函数图象如图：
由函数图象可知， 是周期为 的周期函数，
函数 的对称轴为直线 （ Z），对称中心为点 （ Z），
另外，函数的周期性还可以通过以下方法进行证明：
将 中的 替换为 ，得 ，
即 ，
由已知有 ，
∴
将 中 分别替换为 和 ，得
，即和 ，即
∴
将 中 替换为 ，得 ，
即 ，∴ 是周期为 的周期函数.
对于A， ，故A正确；
对于B，当 时，由图象可知其值域为 ，故B正确；
对于C，由图象知，其图象的对称中心为点 （ Z），
当 时，点 为 图象的对称中心，因此将 的图象向左平移 个单位长度，所得函数
为奇函数，故C正确；
对于D，将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将 轴下方的图象翻折至 轴上方，得到函数
的图象，易知 的图象过点
如图， 的图象与 的图象有6个交点，所以方程 有6个不同实数解，故D错误．
故选：D.二、多选题
6．（2022·广东·高三阶段练习）若函数 和 的定义域为 ，且 有意义， 与 都为 上单
调递增的奇函数，则（ ）
A． 为偶函数 B． 为 上的单调递增函数
C． 为奇函数 D． 为 上的单调递增函数
【答案】ACD
【分析】根据单调性、奇偶性的定义与结论逐项分析判断.
【详解】选项A：由偶函数的定义直接得， ，所以 为偶
函数，故正确；
选项B： 在 上不一定是增函数，比如， ， 在 上都是奇函数且单调递增，但
在 上不是单调递增函数，故不正确；
选项C： ，所以 为奇函数，故正确；
选项D：因为函数 定义域为 ，且 有意义，由复合函数单调性的判断法则得， 在 上
一定是增函数，故正确.
故选：ACD.
7．（2022·江苏省灌南高级中学高三阶段练习）若 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】指数式换成对数式，解出 ，逐个验证选项.
【详解】由 ， ，得 ， ，
，A选项正确；，B选项错误；
，C选项正确；
，D选项正确；
故选：ACD
8．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知 、 为函数 的两个不相同的零点，则下列式子一
定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】分析可知直线 与函数 的图象有两个交点，数形结合可得出 ，利用基本不等式可判
断ABC选项，利用特殊值法可判断D选项.
【详解】令 可得 ，则直线 与函数 的图象有两个交点，
且这两个交点的横坐标分别为 、 ，如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
设 ，则 ，由 ，可得 ，解得 ，
由 ，可得 ，解得 ，所以， ，
对于A选项， ，A对；对于B选项， ，B对；
对于C选项， ，则 ，C对；
对于D选项，取 ，则 ， ，D错.
故选：ABC.
9．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知定义R上的函数 满足 ，又
的图象关于点 对称，且 ，则（ ）
A．函数 的周期为12 B．
C． 关于点 对称 D． 关于点 对称
【答案】ABD
【分析】结合函数的对称性、奇偶性、周期性确定正确答案.
【详解】由 ，令 ，得 ，
所以 ， 关于直线 对称.
由于 的图象关于点 对称，所以 的图象关于 对称，所以 是奇函数.
所以 ，
所以 的周期为 ，A选项正确.
，B选项正确.
结合上述分析可知， 关于点 （ ）对称，
所以 关于点 （ ）对称，所以 关于点 （ ）对称，
所以 关于点 （ ）对称，
令 ，得 关于点 对称，D选项正确，C选项错误.
故选：ABD
三、填空题
10．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）已知函数 的定义域为R，且 为奇函数，
其图象关于直线 对称．当 时， ，则 ____.
【答案】
【分析】先通过条件得到函数 是以12为周期的周期函数，再利用周期性和对称性计算即可.
【详解】由已知 ，且 ，
即函数 是以12为周期的周期函数
故
故答案为： .
11．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）已知f（x）= 是定义在R上
的减函数，那么a的取值范围是___.
【答案】
【分析】根据分段函数每段递减以及左边一段的最低点不低于右边一段的最高点，列不等式组求解即可.
【详解】解：由f（x）= 是定义在R上的减函数可得，
解得 ，即a的取值范围是
故答案为：
12．（2022·北京朝阳·高三期中）已知函数 其中 .若 ，则函数 的值域是
______；若函数 有且仅有2个零点，则 的取值范围是______.
【答案】
【分析】（1）由分段函数分别求值域即可；（2）易知在 和 时， 分别有一个零点，由二
次函数的零点分布情况即可求解.
【详解】（1） 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上： ，即函数 的值域是 .
（2） ，
当 时，令 ，得 ，
故在 上，函数 有一个零点 ，
当 时，设 ，由题意可知： 在 上有且仅有一个零点，
所以 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： ； .
