重难点 04 指、对、幂数比较大小问题【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 利用单调性比较大小】..............................................................................................................................2
【题型2 中间值法比较大小】..................................................................................................................................2
【题型3 作差法、作商法比较大小】......................................................................................................................3
【题型4 构造函数法比较大小】..............................................................................................................................3
【题型5 数形结合比较大小】..................................................................................................................................3
【题型6 含变量问题比较大小】..............................................................................................................................4
【题型7 放缩法比较大小】......................................................................................................................................4
从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，是高考的热点
问题，主要以选择题的形式考查，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序
比较大小.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.
【知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法】
1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数
值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同时，如 和 ，利用幂函数 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如 和 ，利用指数函数 单调性比较大小.
2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其
它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判
定．
3.作差法、作商法：
(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4.估算法：
(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
5.构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同
构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
6、放缩法：
(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
(2)指数和幂函数结合来放缩；
(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.
【题型1 利用单调性比较大小】
1
【例1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知a=0.91.1,b=log ,c=log 2，则（ ）
1 3 1
2 3
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>a>c
【变式1-1】（2023·四川南充·模拟预测）已知 (2) 2 (3) 2 ，则（ ）
a= 5,b= 5,c=log 2
5 5 2
5
A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b
【变式1-2】（2023·广东广州·统考二模）已知 2， 3， 1，则（ ）
a=33 b=24 c=43
A．c<a<b B．b<c<a
C．b<a<c D．c<b<a
【变式1-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ，则 的大小关系是
a=lnπ,b=log π,c=√πln2 a,b,c
3
（ ）
A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a
【题型2 中间值法比较大小】
(1) log 3 0.3
【例2】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知a=6log 2 3.4，b=6log 4 3.6，c= ，则（ ）
6
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b
【变式2-1】（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）已知a=2−log 3，b=2−log 4，c=log 3+log 4，
2 3 2 3
则（ ）A．c<a<b B．b<a<c
C．a<b<c D．c<b<a
【变式2-2】（2023上·河南开封·高一校考阶段练习）已知a=log 2023,b=log 2024,c=2023−2024 ，
1 2023
3
则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>a>b
【变式2-3】（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知a=1.11.2,b=1.21.3,c=1.31.1，则（ ）
A．c<b<a B．a<b<c
C．c<a<b D．a<c<b
【题型3 作差法、作商法比较大小】
(3) 2
【例3】（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知x=log 2，y=log 3，z= 3，则x、y、z的大小关系为
3 4 4
（ ）
A．x>y>z B．y>x>z C．z>y>x D．y>z>x
【变式3-1】（2023·云南·校联考模拟预测）已知 ，则（ ）
a=log 9,b=log 16,c=e−2
16 25
A．b>a>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
ln2 ln3 ln5
【变式3-2】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若a= ，b= ，c= ，则（ ）
2 3 5
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b
【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知a=log 4，b=log e，c=ln2.1,，则（ ）
8.1 3.1
A．a<c<b B．a<b<c
C．c<a<b D．b<c<a
【题型4 构造函数法比较大小】
1
【例4】（2023·福建宁德·校考模拟预测）记a=e√π，b=√π+1，c= lnπ+2，则（ ）
e
A．a<b<c B．c<b<a
C．b<c<a D．a<c<b
【变式4-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数a,b,c满足
，则（ ）
a2+log a=0,2023−b=log b,c=log √6
2 2023 7A．a<b<c B．c<a<b
C．b<c<a D．c<b<a
8 9
【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知a=log 0.18，b=√6.2−√4.2，c=ln + ，则（ ）
0.09 9 8
A．a<b<c B．c<a<b C．b<a<c D．a<c<b
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）设a=0.2ln10，b=0.99，c=0.9e0.1，则（ ）
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b
【题型5 数形结合比较大小】
【例5】（2022·广东茂名·统考一模）已知 均为大于0的实数，且 ，则 大小关
x,y,z 2x=3y=log z x,y,z
5
系正确的是（ ）
A．x>y>z B．x>z>y
C．z>x>y D．z>y>x
【变式5-1】（2023上·四川·高三校联考阶段练习）已知a+log a=4,b+log b=c+log c=3，则
2 3 4
（ ）
A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．c>a>b
【变式5-2】（2023上·广东江门·高一统考期末）已知f (x)=
(1) x
−x−2，
g(x)=log
1
x−x−2
，
2 2
ℎ(x)=x3−x−2的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．b>c>a D．b>a>c
【变式5-3】（2022·河南·统考一模）已知 ，则这三个数的大小关系为（ ）
a=eπ,b=πe,c=(√2) eπ
A．c<b<a B．b<c<a C．b<a<c D．c<a<b
【题型6 含变量问题比较大小】
【例6】（2022上·江西吉安·高三统考期末）已知实数a，b，c，满足lnb=ea=c，则a，b，c的大小关系
为（ ）
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
【变式6-1】（2022上·湖北·高三校联考开学考试）已知a,b,c均为不等于1的正实数，且
lnc=alnb,lna=blnc，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．c>a>b B．b>c>a
C．a>b>c D．a>c>b【变式6-2】（2022上·江苏南通·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足ec+e−2a=ea+e−c，
b=log 3+log 6，c+log c=2，则a，b，c的大小关系为( )
2 8 2
A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a
【变式6-3】（2023上·辽宁丹东·高三统考期末）设 ， ，若a，b，c互不相等，则
m>1 log a=mb=c
m
（ ）
A．a>1 B．c≠e C．b<c<a D．(c−b)(c−a)<0
【题型7 放缩法比较大小】
【例7】（2023·全国·模拟预测）已知a=log π，b=ln4，c=0.6−1.5，则（ ）
2
A．a<b<c B．b<c<a
C．b<a<c D．c<a<b
3
− 2
【变式7-1】（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知a=√19−√17,b=6 4,c=log 3− log 5，则
5 9 3
（ ）
A．a<b<c B．b<c<a
C．b<a<c D．c<a<b
【变式7-2】（2023上·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）已知三个互不相等的正数a,b,c满足
2
a=e3,b=log 3+log 6,c=log (2a+1)
，（其中e=2.71828⋯ 是一个无理数），则a,b,c的大小关系
2 9 √5
为（ ）
A．a<b<c B．a<c<b
C．c<a<b D．c<b<a
1 ( 1 ) 0.7 1
【变式7-3】（2023上·福建漳州·高一校考期中）设
a=0.72023
，b=
2023
，c=a+
4a
，则（ ）
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>c>a
1．（2023·天津·统考高考真题）若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c1 0.7 1
2．（2022·天津·统考高考真题）已知a=20.7，b=( ) ，c=log ，则（ ）
3 23
A．a>c>b B．b>c>a C．a>b>c D．c>a>b
1
3．（2022·全国·统考高考真题）设a=0.1e0.1,b= ，c=−ln0.9，则（ ）
9
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b
4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
f (x)=e−(x−1)2
．记
a=f
(√2)
,b=f
(√3)
,c=f
(√6)，则
2 2 2
（ ）
A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
5．（2021·天津·统考高考真题）设a=log 0.3,b=log 0.4,c=0.40.3 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
2 1
2
A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．a<c<b
1
6．（2021·全国·统考高考真题）已知a=log 2，b=log 3，c= ，则下列判断正确的是（ ）
5 8 2
A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c
7．（2021·全国·统考高考真题）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=√1.04−1．则（ ）
A．a<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．c<a<b
8．（2022·全国·统考高考真题）已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
