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第26讲 转化与化归思想
转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，
即转化和化归。这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。
转化思想
（1）转化思想的内涵
转化思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领
域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必
须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲
地运用。
（2）转化思想在同一学科中的应用
转化思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。象数学学科中，
数与式的互相转化、数与形的互相转化、文字语言与符号语言的互相转化。
比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解
决其他模块的各类问题。不等式恒成立问题可以转化到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可
以转化到二次函数与x轴的交点问题。再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再
强调的问题了。
转化思想对思维要求确实很高，但这一点还是能够做到的。因为各学科都有对知识模块的介绍，同时
也有对各知识模块之间横向纵向的对比联系的研究。典型的例子就是数与形之间的思维转化，因为学生已
经在初中老师的指导下对代数与几何分别有了研究，高中时不但分别进行了深化，更把两门学科合而为一，
更多地注重两者之间的对比联系的研究。高中的《平面解析几何》的实质就是用“解析法”即“代数的方
法”解决几何问题，已经体现了几何到代数的转化，比如介绍某些代数形式的几何表示（绝对值、不等式、
方程的几何意义），引入几何图形中圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线）的方程，都是为培养思维在数与形之
间的跳跃作了准备。再比如物理学科中有“电场”与“磁场”的分别研究，也有对“电磁场”的综合研究。
所以学生在同学科内部的思维转化应该能够做到游刃有余。
1.如图,椭圆 的离心率为 是椭圆 的右焦点, 是椭圆 上第一象限内任意一
点, .若 ,则 的取值范围是______.注向量问题转化为几何问题的关键是找到向量关系的几何意义, 核心是向量共线中 的几
何意义旳利用.
2.已知椭圆 为其左焦点,过原点 的直线 交椭圆于 两点,点 在第二象限,且
,则直线 的斜率为______.
3.如图,已知 以原点 为中心,四个顶点在椭圆 上, 的斜率为1,则四边形
周长的最大值为______.4.如图,以点 为直角顶点的等腰Rt 内接于椭圆 ,设直线 的斜率为 .
（1）试用 表示弦长 ;
(2)若存在3个这样的 ,求实数 的取值范围.
5.设椭圆 的右焦点为 ,过点 的直线 与椭圆 交于 两点,点 的坐标为 .(1)当 与 轴垂直时,求直线 的方程;
(2)设 为坐标原点,证明: .
注 本题分别以数量之间的关系、图形之间的关 系两个大的研究方向切人, 探索出几何
问题解析化得五个途径，使几何问题（角相等）实现了解析化 (坐标化、代数化),事实上,从
数量之间的关系、图形之间的关系这两个方向出发, 挖掘数量与图形及其关系的内涵特征,是
我们进行几何问题 “解析化”途径探索的重要方法, 在解析几何高考题的解答中具有一般性
意义.
化归思想
（1）化归思想的内涵
化归思想相对转化来说，是在解决问题时改变问题的形式，用一些技巧性的处理方法和手段把问题变
得更显化明了、更熟悉常见、更和谐统一，但并没有改变问题所属的领域。
化归思想包括三要素：化归的对象、化归的原则、化归的方法。所以掌握化归思想必须：抓住化归的
对象也就是当前需要解决的问题；化归时应遵循简单化、熟悉化、和谐化的基本原则；中学常用的化归方
法有①恒等变换法：包括分解法、配方法、代定系数法等；②映射反演法：包括换元法、对数法、坐标法、
仿射法等。
（2）实施化归的关键
为了有效地实施化归，我们首先必须实现问题的“规范化”，即掌握一些“常规性问题”。 这里
“常规性问题”就是指我们课堂上所说的具有确定的解题方法和解题程序的问题，或者可以说是模式型问
题。然后再把其他问题“规范化”，一般我们采用的化归方向是：化未知为已知、化难为易、化繁为简、
化一般为特殊、化抽象为具体、正难则化反、化新知识到旧知识、化不熟悉到熟悉等等。
在《立体几何》中，点、线、面之间的复杂关系是让人很头疼的 ，我们也采用了化归的思想使得需
要考虑的问题更少更简单。下面是立体几何中常用几种的化归方法。方法一：位置关系互化。
正方体 ABCD-ABCD 是我们研究的典型空间图形之一，它内部各种面对角线、体对角线与各表面、对
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角面形成的线线距离、线面距离、面面距离我们都作了深入研究，所以涉及到正方体中的各种距离问题我
们就尽量向上述距离问题化归。
方法二：化高维到低维。
例：如右图，直三棱柱ABC-ABC，∠BCA=900，点
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D、F 分别是棱AB、AC 的中点，若BC=CA=CC，
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求异面直线BD 与AF 所成的角。
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[分析]本题中的直线BD 与AF 是三维空间内的异面直线，常用的化归方法就是把直线经过平移变为二维空
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间内两条相交直线，即在平面内求两直线所成角。
作法：如右图，沿平面BCBC 补出一个与ABC-ABC 完全全等的图形，最终构成一个正方
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体ABCE-ABCE，取BE 的中点G，连接BG，则AF∥BG。
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所以，异面直线BD 与AF 所成的角即为平面BDG 内两条相交直线BD 与BG 所成角
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∠DBG ，然后在△DBG 中求此角。这是把三维空间内的问题降维化归到二维平面内的问
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题来解决，是立体几何中常用的化归思想。那就意味着转化与化归在本质区别的同时也是紧密联系的，既
有宏观上学科之间的转化，也有微观上学科内部各模块之间的转化。化归在各个学科内部，在各模块内部
都有体现和运用，在模块内部应用更是有多向性、层次性、重复性，是操作细节方面的问题，但却为思维
跳跃性的转化提供了基础和经验，因此不能割裂看待。
【方法技巧与总结】
化归策略：处理复杂的排列组合问题时，可以把一个问题转化成一个简单的问题，通过解决这个简单
的问题，从而找到解题方法，进一步解决原来的问题．
一些不易理解的排列组合题，如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型、排队模型、装盒模型
等，可使问题迎刃而解．
1．将 方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方
格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（ ）
A．33 B．56 C．64 D．782．几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知
（ ）甲在下落的过程中依次撞击到树枝 ， ， ；
（ ）乙在下落的过程中依次撞击到树枝 ， ， ；
（ ）丙在下落的过程中依次撞击到树枝 ， ， ；
（ ）丁在下落的过程中依次撞击到树枝 ， ， ；
（ ）戊在下落的过程中依次撞击到树枝 ， ， ．
倒霉的李华在下落的过程中撞到了从 到 的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这 根
树枝不同的撞击次序有（ ）种．
A． B． C． D．
3．几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树
枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝
G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝
I，C，E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（ ）
A．23 B．24 C．32 D．33
4．九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千
年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连
环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要
移动圆环 2 次，记 为解下 个圆环需要移动圆环的最少次数，且 ，则解
下 8 个圆环所需要移动圆环的最 少次数为（ ）A．30 B．90 C．170 D．341
5．三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过 次传递后，球又被传回给丙，则不同的
传球方式共有（ ）
A．4种 B．10种
C．12种 D．22种
1：特殊与一般的转化
过抛物线 的对称轴上的定点 ，作直线 与抛物线相交于 两点．
证明： 两点的纵坐标之积为定值；
若点 是定直线 上的任一点，设直线 的斜率分别为 ，试探索 之间
的关系，并证明．
选题意图: 本题主要考查直线与抛物线的综合问题，深化基础知识，突出主干知识，体现其重要思想：特殊与一般
的转化，考查学生创新思维的灵活性和深刻性，数学抽象、数学运算的核心素养.
思维引导： 因为直线 与抛物线相交于 两点，所以直线 的斜率不为 可设直线 的方程为： 减
少运算量，优化解题过程．考查合理选择的能力．
(2) 从特殊位置探索，当直线 轴时，有 ，猜想一般
情况下，亦有 ，
充分利用 问的结论 简化证明．【规律方法】
1.特殊与一般之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一
般化处理的方法．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．
2.对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案．
3.对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特
殊值代替，即可得到答案．
2：函数、方程、不等式之间的转化
设函数 ，若 的整数 有且仅有两个，则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
选题意图：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的零点与方程根的关系，体现了转化与化归思
想的应用，贯穿了函数与方程、数形结合的思想，突出了学生的知识应用能力和数学抽象的核心素养.
思维引导： 等价于 ，令 ， ，求导可知 的单调性和极值，画出 的
大致图象，数形结合只需满足 ，从而求出 的取值范围．
【规律方法】
1．函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．
2．解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问
题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两
个函数图象的交点问题．3：正难则反的转化
已知函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围为 ．
选题意图：本题考查利用导数研究原函数的单调性，体现了正难则反的转化思想，注重学生数学思维的培养，
渗透了分离法，分类与整合的思想，直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
思维引导：函数 在区间 上单调递增，则 在 上恒成立，函数 在区间 上单调递减，则
在 上恒成立，分别利用分离变量法求解可得 的范围，再求补集即可．
【规律方法】
1.否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可.
2.一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对较少，从反面考虑较简单.因此，间接法多
用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.
3.若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法间接地解决问题．
