文档内容
专题 7-1 基本不等式和对钩函数
目录
专题7-1基本不等式和对钩函数............................................................................................................1
.....................................................................................1
题型一：直接法........................................................................................................................................1
题型二：凑配法........................................................................................................................................4
题型三：分离法和换元法........................................................................................................................7
题型四：常数代换“1”的代换............................................................................................................11
题型五：消元法......................................................................................................................................15
题型六：对钩函数..................................................................................................................................17
................................................................22
一、单选题..............................................................................................................................................22
二、多选题..............................................................................................................................................26
三、填空题..............................................................................................................................................28
题型一：直接法
【典例分析】
例题1．（2022·福建·上杭县第二中学高三阶段练习）当 时，函数
（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4
【答案】A
【分析】利用基本不等式可直接得到函数的最值.
详解】 ， ，
，当且仅当 时等号成立，故选：A
例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强高级中学有限公司高一阶段练习）已知 ，则
有（ ）
A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－4 D．最小值－4
【答案】C
【详解】因为 ，
所以 ， ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ， ，即 有最大值 ，
故选：C
【提分秘籍】
基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果 ， ， ，当且仅当 时，等号成立．
②其中 叫做正数 ， 的几何平均数； 叫做正数 ， 的算数平均数．
【变式演练】
1．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）函数 的最小值是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 ，
故选：C.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二学业考试）若 ，则 的最小
值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】解：若 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立
所以 的最小值是1.
故选：B.
3．（2022·上海虹口·一模）对于正实数 ，代数式 的最小值为______．
【答案】4
【详解】因为 ，
所以 ，
当且仅当 即 时取等，
所以代数式 的最小值为4，
故答案为：4
4．（2022·河北行唐启明中学高一阶段练习）（1）已知 ，求 的最大值
【答案】（1）-2；【详解】（1）因为 ，所以 ，
当且仅当 ， ，即 时等号成立.
所以 ，
所以，函数 的最大值为 .
题型二：凑配法
【典例分析】
例题1．（2022·四川省南充高级中学高一期中）（1） 已知 ， 求函数
的最大值．
（2） 已知 ， 求函数 的最大值．
【答案】（1） ；（2）1；
【详解】（1）
当且仅当 时，等号成立，
因为
所以函数 的最大值为 ．
（2）因为 ，
所以，
当且仅当 时取等号，
故函数 的最大值为 1．
例题2．（2022·西藏·拉萨市第二高级中学高一期中）若 ，则 的最小值为
______，此时 ______.
【答案】
【详解】因为 ， ，当且仅当 时取到等号.
故 的最小值为 ，此时 .
故答案为： ；
【提分秘籍】
在例题1中使用基本不等式一定要注意，积定，或者和定，否则需要凑配，比如：
直接使用基本不等式，则 发现，和不
定，无法直接使用基本不等式，需要凑配位和定：
；
再如： 直接使用基本不等式，则
，发现积不定，则需要凑配为积定：
【变式演练】
1．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练习）已知 ，则 的最小值为 ，取得最小值时 ，则 ______．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
当且仅当 时取等号．故 ， ，所以， ．
故答案为： .
2．（2022·云南·屏边苗族自治县第一中学高一阶段练习）（
若 ，求： 的最小值.
【答案】 .
【详解】由题意可得，
，则
得 ，当且仅当 ，即 或 时，等号成立，此
时 的最小值为
3．（2022·陕西·兴平市南郊高级中学高一阶段练习）已知 ，求 的最大值.
【答案】）
【详解】解： ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
故 的最大值是 .
4．（2022·江苏·扬州大学附属中学东部分校高一期中）求下列函数的最值(1)已知 ，求 的最小值；
【答案】(1)
【详解】（1）由题得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取得等号，
所以 的最小值为 .
题型三：分离法和换元法
【典例分析】
例题1．（2022·安徽·合肥八中教育集团铭传高级中学高一期末）已知 ，则
的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【详解】解法一：因为 ，所以 ，
，当且仅的 ，
即 时等号成立.
故选：A.
解法二：换元法：令 ，代入 换元后可化为：
，分离后： ，当且仅 时，等式成立.
例题2．（2022·重庆市育才中学高一期中）若 ，则 的最小值为
（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，
由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为4.
故选：B
解 法 二 ： 换 元 法 ： 令 （ ） ， 则 化 为 ：
，当且仅当 时等式成立
【提分秘籍】
对于分式型，可将分母看作一个整体，直接分离，也可采用换元法，对于分子，分母中次
数低的式子，一次性换元后，再分离.
【变式演练】
1．（2022·江苏省高淳高级中学高一阶段练习）已知函数 ，定义域为
，则函数 （ ）
A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值3 D．有最大值3
【答案】B【详解】 ，
， ，
由基本不等式， ，当且仅当 时，即
时等号成立，
∴ ，
即 ， 最大值为1.
故选：B.
2．（2022·湖南·安化县江英高级中学有限公司高一阶段练习）已知 ，则函数
的最小值是______．
【答案】
【详解】因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以函数 的最小值是
故答案为: .
3．（2022·四川省泸县第四中学高二期中（文））当 时，则 的最大值为
______.
【答案】【详解】由题意， ，故
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：
4．（2022·河北·任丘市第一中学高一期中）解答下列问题：
已知 ，求函数 最小值．
【答案】9.
【详解】因为 ， ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以函数 的最小值为9.
5．（2022·黑龙江·哈九中高一期中）已知函数 ， ．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)对任意 ， 恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1） ，当 ，即 时等号成立.
的最小值为 .
（2） ，即 ，
设 ， ，故 ，
，当 ，即 时等号成立，
故 .
题型四：常数代换“1”的代换
【典例分析】
例题1．（2022·重庆·高一阶段练习）已知实数 满足 ，且 ，若不等
式 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A．9 B．25 C．16 D．12
【答案】B
【详解】由 得 ，
又因为 ，所以实数 均是正数，
若不等式 恒成立，即 ；
，当且仅当 时，等号成立；
所以， ，即实数 的最大值为25.
故选：B.
例题2．（2022·四川·成都七中一模（理））已知 （ ），则
的最小值为___________.
【答案】4
【详解】因为 ，故
，
当且仅当 ，即 时取等号.故 的最小值为4.
故答案为：4
例题3．（2022·山西运城·高三期中）已知实数 ， ，且 ，则
的最小值是___________.
【答案】
【详解】因为实数 ， ，且 ，则 ，
所以，
.
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 .故答案为： .
【提分秘籍】
1的代入：例：已知 ，求 的最小值，
解析： .
其中 ，也可以改为 ，“ 是常数”
【变式演练】
1．（2022·辽宁葫芦岛·高一期中）若 ，则 的最小值为（ ）
A．16 B．8 C．20 D．12
【答案】A
【详解】由题意得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为16，
故选：A
2．（2022·浙江·杭州四中高一期中）设x，y都是正数，且 ，则 的最小值是
（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【详解】 ，
当 ，即 ， 时等号成立.
故选：A3．（2022·河北·高一期中）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．20 D．4
【答案】D
【详解】因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为4.
故选：D.
4．（多选）（2022·福建龙岩·高三期中）已知 ，则 的值可能是
（ ）
A．1 B．2.5 C．3 D．4.5
【答案】CD
【详解】因为 ，所以 ，所以
，当
且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：CD
5．（2022·重庆·高三阶段练习）已知 ，则 的最小值是______．【答案】
【详解】由于 ， ，所以 ，
，
当且仅当 时等号成立.
故答案为：
题型五：消元法
【典例分析】
例题1．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知正实数 ， 满足 ，则 的最
小值为( )
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】A
【详解】 ， ，
当 时等式不成立，∴a≠1，∴ ，
∴ ，
当且仅当 时取等号，
故选：A．
例题2．（2022·辽宁·高三期中）若正实数 ， 满足 ，则 的最小
值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D
【详解】因为x＋2y＋xy＝7，
所以 ，
所以 ．
因为 ，则
所以 ，
当且仅当 ，即x＝1，y＝2时，等号成立，
所以x＋y的最小值为3．
故选：D
【提分秘籍】
在基本不等式中，涉及到 的问题，可以转化为 ，在代入目标中求解，
这样二元问题转化为一元问题，进而再利用基本不等式求解目标
【变式演练】
1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）已知 为正实数且 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【详解】解：因为 为正实数且 ，
所以 ，
所以，
因为 ，当且仅当 时等号成立；所以 ，当且仅当 时等号成立；
故选：D
2．（2022·河北·承德市高新区第一中学高一期中）已知二次函数
的值域为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】若 ，则函数 的值域为 ，不合乎题意，
因为二次函数 的值域为 ，则 ，
且 ，所以， ，可得 ，则 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故选：B.
题型六：对钩函数
【典例分析】
例题1．（2021·全国·高一课时练习）函数 的值域为______
【答案】
【详解】 ，
令 ，
因为 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，当 时， ，当 时，
所以 ，即值域为： .
故答案为：
例题2．（2020·广东深圳·高一期末）已知命题 是假命题，
则实数 的取值范围是_______.
【答案】
【详解】命题 为假命题，则“ ”为真命
题，
，令 ，该对勾函数在 上单调递增，所以， 的范围为
，而 ， 恒成立，等价于 ， ，
而 ，所以，“ ”为真命题时， ；
故答案为：
例题3．（2015·浙江温州·高二期中（文））若关于 的方程 在区间
上有解，则 的取值范围是________．
【答案】
【详解】解： 在区间 上有解，
即 在区间 上有解，
令 ， ，
因为 ，所以 ，又由对勾函数的性质可知函数 在 上单调递增，
所以 ，
即 ， ，故 的取值范围是 .
故答案为： ．
【提分秘籍】
对钩函数是对基本不等式的补充
对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如： （
）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕
函数”、“耐克函数”等.
常考对钩函
（ （ ）
数
函数
）
定义域 定义域
值域 值域
奇偶性 奇函数 奇偶性 奇函数
在 在 ，
单调性 单调性
上单调递增；在
， 上单调递增；在
， 单调递减
， 单调递
减【变式演练】
1．（2022·江苏省天一中学高一期中）命题“ ， ”为真命题的
一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对 ， ，即 ，等价于 ，
令 ，利用对勾函数性质知函数在 上单调递减， ， .
因为 ，故A 为充要条件，D为充分不必要条件.
故选：D
2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的
值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】 ，定义域为 ，且
令 ， ，
利用对勾函数的性质知，当 时，函数单减；当 时，函数单增；
，即 ，
又 ，所以函数 的值域为
故选：C
3．（2022·北京八中高一期中）函数 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【详解】由对勾函数的性质可知 在 上单调递增，
所以 ，
故选：C
4．（2022·吉林一中高二期末）若 使关于 的不等式 成立，则实数
的取值范围是______．
【答案】
【详解】解： ，使关于 的不等式 成立，
则 ，即 ， ，
令 ， ，则对勾函数 在 上单调递增，所以 ，
故
故答案为：
一、单选题
1．（2022·河南南阳·高一阶段练习）若两个正实数 满足 ，且存在这样的
使不等式 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由 得 ，
，
当且仅当 时，等号成立，
则使不等式 有解，只需满足 即可，
解得 .
故选：C.
2．（2022·广东清远·高一期中）设 ， ，不等式 恒成立，则实数
m的最小值是（ ）A． B．2 C．1 D．
【答案】D
【详解】∵ ， ，不等式 恒成立，
即 恒成立，∴只需 ,
∵ ，当且仅当 时取等号.
所以 ，
∴ ，∴m的最小值为 ，
故选：D
3．（2022·湖北·海亮教育仙桃市第一中学高一阶段练习）已知函数 （
且 ）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程 ，
则 的最小值为（ ）
A．8 B．24 C．4 D．6
【答案】C
【详解】因为函数 图象恒过定点
又点A的坐标满足关于 ， 的方程 ，
所以 ，
即
所以 ，
当且仅当 即 时取等号；所以 的最小值为4．
故选：C．
4．（2022·浙江·杭州四中高一期中）已知 满足 ，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ， ，即 时，等号成立，
所以 ，则 ，
所以 的最小值为 .
故选：A.
5．（2022·江苏·扬州中学高一阶段练习）设 ， ，且 ，则
（ ）
A．有最小值为4 B．有最小值为 C．有最小值为 D．无最小值
【答案】B
【详解】设 ，则 ， ，
，当且仅当 即 ， 时等号成立，
故当 ， 时， 取最小值 ，
故选：B
6．（2022·广东·惠州市华罗庚中学高一阶段练习）若指数函数 （ 且
）的图象恒过定点 ，且点 在线段 上，则 的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．9
【答案】D
【详解】由题意得： ，代入直线得 ，
，当且仅当 时取等号
故选：D．
7．（2022·贵州贵阳·高三阶段练习（理））已知函数 的图像恒
过一点P，且点P在直线 的图像上，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】由函数 ，可得 ，则 ，整理可得 ，
故 ，当且仅当 ，即
时，等号成立，
故选：D.
8．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三阶段练习）已知 ， ， ，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
即 的最小值为6，
故选：B.
二、多选题
9．（2022·山东·利津县高级中学高三阶段练习）在下列函数中，最小值是4的是（ ）
A． B．
C． ， D．
【答案】BD
【详解】对于A，当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号；当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 ，A错误；
对于B， ，
因为 ，所以 ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为4，B正确；
对于C，因为 ，所以 ，由对勾函数性质可知：
，C错误；
对于D， ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为4，D正确.
故选：BD
10．（2022·浙江·杭州市源清中学高二期中）下列结论中正确的结论是（ ）
A． 的最小值是4 B． 的最小值是
C．若 ，则 的最小值是 D． 的最大值是25
【答案】AC【详解】对于 :应用基本不等式，因为 ,
所以 ,
当且仅当 时取等号，故 正确;
对于 :应用基本不等式
当且仅当 取等号，
即 不成立，最小值取不到，故 错误；
对于 :若 ,
当且仅当 时，即 时取等号，故 正确；
对于 : ，当 时， 最大值是5.故 错误；
故选： .
三、填空题
11．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知 均为实数且 ， ，
则 的最小值为______.
【答案】3
【详解】由 ，可得 ，
因为 ，所以 ， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号.所以 的最小值为3.
故答案为：3
12．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）设 ，且 ，则
的最小值是__________.
【答案】
【详解】令 ， ，则 ， ，
因为 ，则有 ，
所以
当且仅当 ，即 时取等号，则 分别等于 时， 的最小值
是 .
故答案为： .
13．（2022·陕西·永寿县中学高一阶段练习）设正实数 、 满足 ，则 的
最小值为______.
【答案】【详解】因为正实数 、 满足 ，则 ，
所以，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最小值为 .
故答案为： .
14．（2022·内蒙古·包钢一中高一阶段练习）已知 满足 ，则
的最小值是__________.
【答案】8
【详解】因为 ，所以 ，由 得 ，
则
，
当且仅当 且 时取等号，此时 ， ，
故 的最小值是8.
故答案为：8.
15．（2022·湖北·恩施市第一中学高一阶段练习）已知 ，且 ， ，则 的最小值为___________.
【答案】 ## .
【详解】因为 ，所以
又因为 ，所以 ，即 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
