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第23讲 分类讨论思想
分类讨论思想是⼀种重要的数学思想⽅法，其基本思路是将⼀个较复杂的数学问题分解
(或分割)成若⼲个基础性问题， 通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。
分类讨论，是⼀种重要的数学思想，也是⼀种逻辑⽅法，同时⼜是⼀种重要的解题策略。在
⾼中数学中，分类讨论时⾮ 常重要的⼀种解题思路，每次⾼考的数学试卷中，必然会有需要
⽤到这种思想⽅法的题⽬。
⼀、 分类讨论的要求及其意义
1、分类讨论的要求：
⾸先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进⾏合理分类，
即标准统⼀、不重不漏、
分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进⾏讨论，分级进⾏，获取阶段性结果；最后进⾏归
纳⼩结，综合得出结论。
2、分类讨论的因素：
(1)由数学概念⽽引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、⼆次函数的定义、直线
的倾斜⾓等。
(2)由数学运算要求⽽引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次⽅根为⾮负数，对数
运算中真数与底数的要求，
指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以⼀个正数、负数，三⾓函数的定义域，等⽐数
列{an}的前n项和公式等。
(3)由性质、定理、公式的限制⽽引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等。
(4)由图形的不确定性⽽引起的分类讨论：如⼆次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等。(5)由参数的变化⽽引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所
得的结果不同，或者由于对
不同的参数值要运⽤不同的求解或证明⽅法等。
⼆、分类讨论思想的原则
为了分类的正确性，分类讨论必需遵循⼀定的原则进⾏，在中学阶段，我们经常⽤到的有以
下四⼤原则：
(1) 同⼀性原则：分类应按照同⼀标准进⾏，即每次分类不能同时使⽤⼏个不同的分类根据。
(2) 互斥性原则：分类后的每个⼦项应当互不相容，即做到各个⼦项相互排斥，分类后不能
有些元素既属于这个⼦项，
⼜属于另⼀个⼦项。
(3) 相称性原则：分类应当相称，即划分后⼦项外延的总和（并集），应当与母项的外延相
等。
(4) 层次性原则：分类有⼀次分类和多次分类之分，⼀次分类是对被讨论对象只分类⼀次；
多次分类是把分类后的所有
的⼦项作为母项，再次进⾏分类，直到满⾜需要为⽌。
分类讨论思想的应⽤与例题详解
一、分类讨论思想在函数中的应用
1．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ， 时， 恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）求 的导函数，对导函数中的参数 分类讨论，在每种情况下通过导函数的正负得出函
数的单调性；
（2）将函数恒成立问题转化为关于函数最值的不等式，解不等式得出参数取值范围.
【详解】（1） ，
①当 时， 在 恒成立， 在 单调递减；
②当 时，若 ，则 ；若 ，则 ，所以 在 单调递增，在
单调递减；
③当 时，若 ，则 ，若 ，则 ，所以 在 单调递减，
在 单调递增．
综上，当 时， 在 单调递减；
当 时， 在 单调递增，在 单调递减；
当 时， 在 单调递减，在 单调递增．
（2）设 ，则题意等价于 时， 恒成立，所
以 ，故 .，由 ，得 或 .
当 时， ，所以 在 为增函数；
当 时， ，所以 在 为减函数；
当 时， ，所以 在 为增函数.
，
要使 时， 恒成立，只需 ，解得 .故实数k的取值范围为 ．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的解题关键是：先根据区间端点处的恒成立，缩小参数的取值范围，避
免了繁琐的分类讨论.
2．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间和极值；
(2)若对于任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求导，分， 两种情况讨论函数 的单调区间和极值即可；（2）问题转化为
，对于 恒成立，构造函数 ，得 ，判断单调性，
求得 ，即可解决.
【详解】（1）由题知， ，
所以 ，
当 时，
因为 ，
所以 ，所以 的单调增区间是 ，无单调减区间，无极值，
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的单调减区间是 ，单调增区间是 ，
极小值为 ，无极大值.
（2）因为对于任意 ，都有 成立，
所以 ，
即问题转化为 ，对于 恒成立，
即 ，对于 恒成立，
令 ，
所以 ，
令 ，
所以 ，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
所以 在区间 上单调递增，
所以函数 ，
要使 ，对于 恒成立，只要 ，
所以 ，即 ，所以实数 的取值范围为 ；
3．已知函数 ，求函数 在区间 上的最大值．
【答案】答案见详解
【分析】求导，分类讨论判断原函数的单调性，进而确定最值.
【详解】由题意可得： ，则 ，
∵ ，则有：
当 时，则 当 时恒成立，
则函数 在区间 上单调递增，则 ；
当 时，则 当 时恒成立，
则函数 在区间 上单调递减，则 ；
当 时，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
①当 ，即 时，则 在区间 上的最大值为 ；
②当 ，即 时，则 在区间 上的最大值为 ；
③当 ，即 时，则 在区间 上的最大值为 ；
综上所述：当 时，则 在区间 上的最大值为 ；
当 时，则 在区间 上的最大值为 ；
当 时，则 在区间 上的最大值为 .4．已知函数 .
(1)若 ，求证： .
(2)讨论函数 的极值；
(3)已知 ，证明
【答案】(1)证明见解析；
(2)当 时， 没有极值；当 时， 在 处取得极小值 ，无
极大值；
(3)证明见解析；
【分析】（1）根据导数正负得出其单调性，即可得出其最值，证明出结论；
（2）分类讨论，根据函数导数得出其极值；
（3）令 ，根据导数得出其在 上单调递增，即可根据已知得出 ，结合对数
运算与对数函数单调性即可得出答案.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
则当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ；
（2）根据题意得： ，
当 时， ，则 在 上单调递减，没有极值，当 时，当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 在 处取得极小值 ，无极大值，
（3）令 ，
则 ，当 时， ，即 在 上单调递增，
则当 时， ，则 ，则 ，
则根据对数单调性可得： ，
【点睛】在含参函数求单调性或极值，求导后结合其形式对参数进行讨论，注意不要漏；
一般解不等式时，通常要构造函数，利用导数来求解，我们可以反过来看，已知需要证明的不等式，看看
还能变成什么形式，即可根据变形形式构造新函数，再利用导数来求解.
5．设函数 ， ， ，已知曲线 在点 处的切线与直线
垂直．
(1)求a的值；
(2)求 的单调区间；
(3)若 对 成立，求b的取值范围．
【答案】(1)2
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义可得关于a的方程，解方程即可得出答案；
（2）对 求导，分 和 讨论 的正负，即可求出 的单调性；（3）由 恒成立，等价于 ，令 ，转化为求
.
【详解】（1） 的定义域为 ，
，
由于直线 的斜率为 ， .
（2） ， ，
①当 时， ， 在R上单调递增；
②当 时，令 有 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.
综上所述： ， 的单调递增区间为R，
， 的单调减区间为 ， 的单调增区间为 .
（3）由 恒成立，
等价于 ，
令 （ ），
，
①若 时， ，所以 在 上单调递增，
，即 ，满足 ，②若 时，则 ，所以 在 上单调递增，
当 趋近于0时， 趋近于 ，不成立，
故 不满足题意.
③若 时，令 ， ， ， ，
， 单调递减， ， 单调递增，
只需 即可，
， ，
令 ， ， 在 上单调递增，
， 时， ，
， ，所以 在 上单调递增，
，即 ，
综上： .
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义、求单调区间和利用导数求解恒成立问题；本题求解恒成
立问题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.
6．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 有两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见详解
(2)【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对 进行分类讨论即可求解；
（2）结合函数极值与导数零点关系进行转化后，结合题目特点进行合理的构造，然后结合导数与单调性
关系即可求解.
【详解】（1）因为函数 ，则 ， ，
令 ，则 ，
①当 或 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
②当 时，即 时，
令 ，得 或 ，
∴ 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
（2）由（1）得，当 时， 有两极值点 ， ，
由（1）得 ， 为 的两根，所以 ， ，
不妨设 ，因为 ，故 ，
易知 在 单调递减，故 ，
所以 ，
将 代入化简可得： ，
即原不等式等价转化为 ，令 ，构造 ，
，故 在 时单调递增，又因为 ，
故要使得 ，仅需 ，即 ，
又因为 ，
故 ，由上可知 ，故 ，
故 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨
论和数形结合思想的应用.
7．已知函数 .
(1)讨论函数 在 上的单调性；
(2)若 有两个极值点，求 的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1） ，分 和 讨论即可；
（2） ，题目转化为 有两个零点，利用分离参数法得 ，设
，利用导数研究 得图像即可得到答案.
【详解】（1） ， ，当 ，则
若 ,则 在 上单调递增；
若 ,令 ，即 ，
则 在 上单调递增.
令 ，解得 ，则 在 上单调递减，
综上，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2） ， ，
因为 有两个极值点,所以 有两个零点,
显然,1不是 的零点，由 ,得 .
即直线 与 有两个交点，
，
令 ,
令 ，解得 ，
且当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递增, 在 上单调递减,
而 ,故 ,
所以 在 ,和 上单调递减，又在 上, 趋近于0时, 趋近于正无穷， 趋近于1时, 趋近于负无穷，
故函数 在 之间存在唯一零点，
在 上, 趋近于1时, 趋近于正无穷， 趋近于正无穷时, 趋近于0.
作出图形如下图所示：
所以 .
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于等价转化为导函数在定义域上有两零点，然后利用分离参数法，
得到 ，转化为直线 与 有两个交点，研究 的图象，数形结合即可得到
的范围.
8．已知函数 ．
(1)试讨论 的单调性；
(2)求使得 在 上恒成立的整数a的最小值 ；
(3)若对任意 ，当 ， 时，均有 成立，求实数m的
取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)1(3)
【分析】（1）求 ，讨论 取不同值时 的正负，判断函数 的单调性；（2）由（1）可知
时不成立， 时借助于 的单调性，解 的 的范围，求出满足条件的最小整数；
（3）当 时， 在 上单调递增， ，将原不等式化简计算
可解出 的范围.
【详解】（1）由题意知：
且
①当 时， 恒成立
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减
②当 时
恒成立，即 在 上单调递增
③当 时
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增
④当 时
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增
（2）由（1）知：当 时， 在 时单调递增
又因为 时，
所以 不符合题意，所以由（1）知，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴
可得
所以使得 在 上恒成立的整数a的最小值为1
（3）由（1）可知，当 时， 在 上单调递增
∴
∵ 恒成立
∴
∴
∵ ，∴
∵ ，∴
∴
【点睛】思路点睛：（1）利用导数求 的单调性，经常对 求导，判断 的正负；（2）恒成
立问题，若 ，可转化为 ，同理若 ，也可转化为 ；
9．已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析.(2) .
【分析】（1）求出函数的导数，分 和 两种情况进行讨论，当 时，根据导数等于0，求得
根，从而再讨论根的大小，判断函数的单调性；
（2）分 和 ， 三种情况进行讨论函数的单调性，判断零点情况，当 时，结合函数单
调性，求得函数最小值，根据题意列出不等式求得参数范围；当 时，函数只有一个零点， 时，
结合函数单调性，判断极值情况，说明 至多只有一个零点，不符合题意，综合可得答案.
【详解】（1）由题意知 ，函数的定义域为 ，
则 ，
（i）当 时， 恒成立，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 单调递增，
（ii）当 时，令 ，解得 ，或 ， (舍去），
当 ，即 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时，即 ，
当 ,或 时， ，函数 在 ， 上单调递减，
当 时， ，函数 在 单调递增，
当 时，即 ，当 时， ，函数 在 递减，
当 时， ，函数 在 单调递增，
综上所述：当 时，函数 在 上单调递减，在 单调递增，
时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，
当 时，函数 在 ， 上单调递减，在 单调递增.
（2）由（1）知，当 时，函数 在 上单调递减，在 单调递增，而 ，
令 ，则 在 成立，故 在 单调递减，
所以 ，且 趋向于 时， 趋向于 ，即 趋向于 ，
又 在 上恒负，且 趋向于 时， 趋向于0，
综上，在 趋向于 时， 趋向于 ，
∴函数 有两个零点等价于 ，结合 ，解得 ；
当 时， 只有一个零点，不符合题意；
当 时，函数 在 上单调递减，至多只有一个零点，不符合题意；
当 且 时，由（1）知 有两个极值点，而 ，
又 ，下研究其符号：
令 ，则 ，令 ，则 ，
当 ， ， 在 递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
故 ，即 在 上单调递减，
当 趋向于0时， 趋向于0，即g(x)恒负，故 ，
此时， 至多只有一个零点，不符合题意，
综合上述，实数m的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：利用导数解决 有两个零点，求实数 的取值范围问题，综合性强，难点在于
要分类讨论参数的范围，进而判断函数的单调性，确定极值的正负问题，关键在于要多次构造函数，利用
导数判断函数单调性.
10．（B）已知函数 .
(1)讨论函数 在 上的单调性；
(2)若 有两个极值点 ，且 ，求证： .
（参考数据： ）
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先对 求导，再分类讨论 与 ，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）先将问题转化为 的图像与 的图像有两个交点，从而利用导数研究 的图像得到；再利用极值点偏移，构造函数证得 ，由此得证.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时，即 时， ，
则 在 上单调递增；
当 ，即 时， ， ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）因为 ，
所以 ，
因为 有两个极值点 ，所以 有两个零点 ，即方程 有两个根 ，
令 ，则 的图像与 的图像有两个交点，
又 ，令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
又当 时， ，则 ；当 时， ，则 ；
当 趋于无穷大时， 的增长速率远远小于 的增长速率，所以 趋于 ，
由此作出 的图像如下：所以 ，则 ，
又 ，则 ，
故 ，
因为 ，令 ，则 ，
令 ，则 ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
故当 时， ， ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ，则 ，即 ，所以 ，
故 ，即 ，
又 ，所以 .
二、分类讨论思想在解不等式中的应用1．已知函数 ， ．
(1)求函数 的值域；
(2)若a>0，b>0，且 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）根据绝对值的几何含义，分 ， ， 三种情况，分类讨论求解或者绝对值不
等式性质求解.
（2）根据“1”的代换，结合基本不等式，求出 的最小值 ，结合（1）分情况讨论 ，
解不等式即可.
【详解】（1）法一：由题得 ，
其中，当 时， ，从而易得函数 的值域为 ．
法二：由绝对值不等式的性质可得， ，
所以 ，当且仅当 ，即 或 时取得等号，
故函数 的值域为 ．
（2）由基本不等式，得 ，
当且仅当 时取得等号，故 的最小值为2．
由题得， ，即 ，等价于 或 或 ，
由此可解得 ，故原不等式的解集为 ．
2．已知函数 .
(1)若 ， ，求不等式 的解集；
(2)若 的最小值为1，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）采用分类讨论，脱掉绝对值符号，解不等式，可得答案；
（2）利用绝对值三角不等式可得 ，将 变形，结合基本不等式即可求得其最小值.
【详解】（1）依题意，当 ， 时，得 ，
则 ，即 ，所以 ,
当 时， ，解得 ，所以 ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得 ,即 ，
故不等式 的解集为 .
（2）依题意， ，
当且仅当 时取等号，所以
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 的最小值为2.
3．已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若 的最小值为 ，正数 满足 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分 和 两种情况，脱去绝对值符号，解不等式，即得答案.
（2）确定n的值，可得 ，可得 ，将 变为 ，结合基本不等式，即
可求得答案.
【详解】（1）当 时， ,
当 时， ，
不等式 等价于 或 ，
解得 ，或 ，故 ，
∴原不等式的解集为 .（2）由（1）得， ，当 时， ，
所以 的最小值为4， ，
故 ，可得 ，
因为 ，
，
当且仅当 时，即 ，取等号，
∴ 的最小值为 .
4．已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若存在 ，使得 ，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分类讨论取绝对值可求出不等式 的解集；
（2）去绝对值转化为不等式组 在 时有解，进一步转化为 可求出结果.
【详解】（1）当 时，原不等式可化为 .
当 时，原不等式可化为 ，整理得 ，所以 .
当 时，原不等式可化为 ，整理得 ，所以此时不等式的解集是空集.当 时，原不等式可化为 ，整理得 ，所以 .
综上，当 时，不等式 的解集为 .
（2）若存在 ，使得 ，即存在 ，使得 ①.
①式可转化为 ，即 ②.
因为 ，所以②式可化为 ③，
若存在 使得③式成立，则 ，即 ，
所以 ，即a的取值范围为 .
5．已知 ．
(1)求 的解集；
(2)已知 在 上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）把函数 化成分段函数，再分段解不等式作答.
（2）根据给定条件，分离参数并构造函数，求出函数最大值作答.
【详解】（1）依题意， ，不等式 化为：或 或 ，解得 或 或 ，即有 ，
所以 的解集为 .
（2）依题意， ， ，
， ，于是 ，
当且仅当 时取等号，则 ，
所以实数a的取值范围是 .
6．已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据x的不同取值范围，展开化解函数，根据函数的单调性即可判断出 的最小值；
（2）根据（1）中解析式简化不等式，再展开绝对值计算即可.
【详解】（1）当 时，
当 时，
当 时，
综上 ，由此可知
（2）由（1）可知解得 ，当 时，欲使不等式 恒成立，则 ，解得
7．已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 时，存在 ，使得 成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用零点分区间法去掉绝对值，将不等式转化为三个不等式，分别求解取并集即可得到结
果；
（2）利用零点分区间法去掉绝对值，然后对 分 ， ， 分别求函数 的最小值，即可
得到结果.
【详解】（1）当 时， ，
则不等式 可转化为 或 ，解得 或 ，
即不等式的解集为 .
（2）当 时， ，
当 时， ， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
此时不存在 ，使得 成立；
当 时， ， 在 上单调递减，
在 上恒为 ，在 上单调递增，则 ，
此时不存在 ，使得 成立；
当 时， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
令 ，得 ；
综上，实数 的取值范围是 .
8．已知a，b， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若不等 对一切实数a，b，c恒成立，求x的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）利用柯西不等式证明即可；
（2）由（1）得： ,再分 ， ， 三种情况讨论解不等式即得解.
【详解】（1）由柯西不等式， ，
∵ ，∴ ，
即 .
（2）由（1）得： .
当 时， ∴ .
当 时， ∴ ，舍去.
当 时， ∴ .
综上： .
9．已知函数 ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若 ，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据绝对值的定义，将不等式转化为三个不等式组，最后求它们解集的并集即可得出答案.
（2）由 ，推出 ，分 和 解不等式即
可得出答案.
【详解】（1）当 时， ，
当 时，不等式化为 ， ，此时 ；
当 时，不等式化为 ，恒成立，此时 ；
当 时，不等式化为 ， ，此时 ，
综上所述，不等式的解集为 ；（2） ，
若 ，则 ，
当 时，不等式恒成立；
当 时，不等式两边平方可得 ，
解得 ， ，
综上可得，a的取值范围是 ．
