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第 21 讲 双曲线
真题展示
2022 新高考一卷第 21 题
已知点 在双曲线 上，直线 交 于 ， 两点，直线 ，
的斜率之和为0．
（1）求 的斜率；
（2）若 ，求 的面积．
知识要点整理
知识点一 双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F，F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|FF|)的点的轨迹．
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2．定义的集合表示：{M|||MF |－|MF ||＝2a，0<2a<|FF|}．
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3．焦点：两个 .
4．焦距： 的距离，表示为|FF|.
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知识点二 双曲线标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1 ( ) －＝1 ( )焦点
a，b，c的关系 c2＝
知识点三 双曲线的性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x ≥ a 或 x ≤ － a y ≤ － a 或 y ≥ a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性质 顶点坐标 A(－a，0)，A(a，0) A(0，－a)，A(0，a)
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渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝ (c>a>0，c>b>0)
知识点四 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是 ，离心率为.
知识点五 直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线 ．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0⇒直线与双曲线有0 个公共点．
知识点六 弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x，y)，B(x，y)两点，则|AB|＝.
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试题亮点
圆锥曲线是高中数学中重要且基本的学习内容，同时也是高考考查的重点．
试题分步设问，逐步推进，注重对基本概念、基本方法的考查，考查内容由浅入深，层次分明，重点突出，能很好地引导中学数学教学回归教材，试题对考
生的逻辑推理、直观想象等数学核心素养，以及灵活地应用解析几何的基本方
法将问题合理转化的能力有一定的要求.因此，试题不仅有利于高校选拔人才，
也有利于中学教学创新，对培养学生数学学科核心素养有积极的引导作用.
三年真题
1．已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
2．如图， 为椭圆的两个顶点， 为椭圆的两个焦点．(1)写出椭圆的方程及准线方程；
(2)过线段 上异于O，A的任一点K作 的垂线，交椭圆于P， 两点，直线 与 交于点M．求
证：点M在双曲线 上．
3．如图， 和 是平面上的两点，动点P满足： ．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若 ，求点P的坐标．4．设动点P到两定点 和 的距离分别为 和 ， ，且存在常数 ，使
得 ．
(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
(2)如图，过点 的直线与双曲线C的右支交于 两点．问：是否存在 ，使 是以点B为直角顶
点的等腰直角三角形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
5．已知中心在原点的双曲线 的一个焦点是 ，一条渐近线的方程是 ．
(1)求双曲线 的方程；(2)若以 为斜率的直线 与双曲线 相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴
围成的三角形的面积为 ，求k的取值范围．
6．如图，直线 与直线 之间的阴影区域（不含边界）记为 ，其左半部分记为 ，
右半部分记为 ．
(1)分别用不等式组表示 和 ；
(2)若区域 中的动点 到 的距离之积等于 ，求点 的轨迹 的方程；
(3)设不过原点 的直线 与（2）中的曲线 相交于 两点，且与 分别交于 两点．求证
的重心与 的重心重合．7．如图，双曲线 的离心率为 ， 分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在
第二象限内的交点，且 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)设 和 是x轴上的两点过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两
点，作直线 交双曲线于另一点E．证明：直线 垂直于x轴．
8．已知 是过点 的两条互相垂直的直线，且 与双曲线 各有两个交点，分别为
和 .
(1)求 的斜率 的取值范围；(2)若 ， ，求 的方程.
9．已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为 ，C的两个焦点分别为 ，直线l过 且与直线
的夹角为 ，l与线段 的垂直平分线的交点是P，线段 与双曲线C的交点为Q，且
，求双曲线C的方程．
10．双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，双曲线右焦点且斜率为 的直线交双曲线于 两点，
若 ，求双曲线的方程.11．如图，已知两条直线 ， ．有一动圆（圆心和半径都在变动）与 、
都相交，并且 、 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值 、 ．求圆心 的轨迹方程，并说出
轨迹的名称．
12．设 分别为椭圆 的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点 到 两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程；
(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 的中点的轨迹方程；
(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线
的斜率都存在，并记为 、 时，那么 与 之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．
三年模拟
1．（2022·陕西·咸阳市高新一中模拟预测（文））已知焦点在 轴上的双曲线 经过点
．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点，求弦长 ．
2．（2022·全国·模拟预测）已知 为坐标原点, , 分别是双曲线 ： （ , ）的左, 右
焦点, ,若直线 与双曲线 点的右支有公共点 .
(1)求 的离心率的最小值;(2)当双曲线 的离心率最小时,直线 与 交于 , 两点,求 的值.
3．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C： 的离心率为 ，A，B分别是C的左､
右顶点，点 在C上，点 ，直线AD，BD与C的另一个交点分别为P，Q．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)证明：直线PQ经过定点．
4．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点 到 的距离比到
的距离大2，点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线 与 交于 两点， 与点 关于原点对称，求直线 与 斜率
的比值.5．（2022·河南新乡·一模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知 ， ，动点C满足直线AC
与直线BC的斜率乘积为3．
(1)求动点C的轨迹方程E．
(2)过点 作直线l交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线 的平行线 交曲线E
于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
6．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））已知双曲线C： 与x轴的正半轴交于点M，
动直线l与双曲线C交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点且垂直于x轴时， ，O为坐标原
点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若 ，求点M到直线l距离的最大值．7．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知动圆 与圆 及圆 中的一
个外切，另一个内切．
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程；
(2)若直线 与轨迹 相交于 、 两点，以线段 为直径的圆经过轨迹 与 轴正半轴的交点 ，证明直
线 经过一个不在轨迹 上的定点，并求出该定点的坐标．
8．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知 ， ，点 满足 ，记点 的轨迹为 ，
(1)求轨迹 的方程；
(2)若直线 过点 且法向量为 ，直线与轨迹 交于 、 两点．
①过 、 作 轴的垂线 、 ，垂足分别为 、 ，记 ，试确定 的取值范围；
②在 轴上是否存在定点 ，无论直线 绕点 怎样转动，使 恒成立？如果存在，求出定点
；如果不存在，请说明理由．9．（2022·云南云南·模拟预测）己知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，
A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，
的面积为
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线 与双曲线的左､右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，
，求实数 的取值范围.
10．（2022·浙江绍兴·一模）已知双曲线 ： （ ， ）的左焦点 为 ，点
是双曲线 上的一点.
(1)求 的方程；
(2)已知过坐标原点且斜率为 （ ）的直线 交 于 ， 两点，连接 交 于另一点 ，连接 交
于另一点 ，若直线 经过点 ，求直线 的斜率 .11．（2022·上海崇明·二模）已知双曲线 ，双曲线 的右焦点为F，圆C的圆心在y轴正半
轴上，且经过坐标原点O，圆C与双曲线Γ的右支交于A、B两点．
(1)当 OFA是以F为直角顶点的直角三角形，求 OFA的面积；
△ △
(2)若点A的坐标是 ，求直线AB的方程；
(3)求证：直线AB与圆x2+y2＝2相切．
12．（2023·浙江温州·模拟预测）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，P是直线
上不同于原点O的一个动点，斜率为 的直线 与双曲线 交于A，B两点，斜率为 的直线 与双曲
线 交于C，D两点．
(1)求 的值；
(2)若直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，问是否存在点P，满足
，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
