文档内容
专题 27 投影（4 个知识点 4 种题型 2 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.投影与平行投影（重点）
知识点2.中心投影（重难点）
知识点3.正投影（重难点）
知识点4.平行投影与中心投影的异同（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.中心投影与平行投影的识别
题型2.与平行投影有关的作图和计算问题
题型3.与中心投影有关的作图和计算问题
题型4.利用投影进行测量
【方法三】 仿真实战法
考点1.正投影
考点2.中心投影
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1.了解投影、平行投影、中心投影、正投影的概念，能够确定物体在太阳
光下的影子随时间变化的特征
2.能根据光线方向辦别物体的影子，能判断中心投影下物体影子的位置和
大小
3. 了解物体正投彤的形状、大小与它相对的投球面的大小关系，会西物体
的正投城。4.能根据物体的能子判断投影类别,会确定光源类型．
【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.投影与平行投影（重点）
1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平
面称为投影面。
2.平行投影的定义
太阳光线可以看成是平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影
【例1】（2023·江西九江·九年级统考阶段练习）下列是平行投影的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行投影的知识，定义：在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．特征：平
行投影的投影线是平行的．牢记平行投影的定义是解题的关键．
【详解】如图所示，连接影子的顶端和物体的顶端得到投影线，若投影线平行则为平行投影．通过作图可
知A、C、D中影子的顶端和物体的顶端连线不平行，只有选项B中影子的顶端和物体的顶端连线平行．故选B．
知识点2.中心投影（重难点）
中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投
影。
【例2】（2023·河南郑州·九年级校考期中）下列哪种影子不是中心投影（ ）
A．月光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影
C．都市霓虹灯形成的影子 D．皮影戏中的影子
【答案】A
【分析】本题考查中心投影，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，由此即可判断．
关键是掌握中心投影定义．
【详解】解：晚上在房间内墙上的手影，都市冤虹灯形成的影子，皮影戏中的影子，是中心投影，
月光下房屋的影子是平行投影，不是中心投影．
故选：A．
知识点3.正投影（重难点）
当平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影
【例3】木棒长为1.5m，则它的正投影的长一定（ ）
A．大于1.5m B．小于1.5m
C．等于1.5m D．小于或等于1.5m
【答案】D
【分析】投影线垂直于投影底幕面时，称正投影，根据木棒的不同位置可得不同的线段长度．
【详解】正投影的长度与木棒的摆放角度有关系，但无论怎样摆都不会超过1.5 m．
故选D．
【点睛】本题考查了正投影的定义，注意同一物体的所处的位置不同得到的正投影也不同．
知识点4.平行投影与中心投影的异同（重点）
区别 联系
平行投影 投影线互相平行，形成平行投影 都是物体在光线的照射下，在某
中心投影 投影线集中于一点，形成中心投 个平面内形成的影子（即都是投
影 影）
【例4】（2023下·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）A．皮影可看成平行投影
B．无影灯（手术用的）是平行投影
C．日食不是太阳光所形成的投影现象
D．月食是太阳光所形成的投影现象
【答案】D
【分析】分析各选项可知，皮影和无影灯都是点光源形成的投影，而日食都是太阳光形成的投影；接下来，
根据中心投影与平行投影的知识进行分析判断，问题即可得解．
【详解】解：根据平行投影和中心投影的区别可知：皮影和无影灯都是中心投影，而日食是太阳光形成的
投影
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是中心投影和平行投影的定义，掌握其概念是解决此题的关键．
【变式】（2023·全国·九年级专题练习）如图，下列判断正确的是（ ）
A．图①是在阳光下的影子，图②是在灯光下的影子
B．图②是在阳光下的影子，图①是在灯光下的影子
C．图①和图②都是在阳光下的影子
D．图①和图②都是在灯光下的影子
【答案】B
【分析】根据点光源与平行光源下的影子的区别，分析即可求解．
【详解】解：图①中影子的方向不同，是在灯光下的影子；
图②中影子的方向相同，且影长与树高成正比，是在阳光下的影子．
故选：B．
【点睛】本题考查了投影，掌握平行投影与中心投影的区别是解题的关键．
【方法二】 实例探索法
题型1.中心投影与平行投影的识别1．（2023·广东深圳·校考一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判
断．
【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．
故选：D．
【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的
影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影
子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
2．（2023·贵州六盘水·统考二模）乌蒙铁塔位于六盘水市人民广场中央，在晴天的日子里，从早到晚这段
时间，乌蒙铁塔在太阳下的影长度是如何变化的（ ）
A．保持不变 B．逐渐变长 C．先逐渐变短，后又逐渐变长 D．逐渐变短
【答案】C
【分析】根据平行投影的投影线与地面夹角的大小进行判断即可．
【详解】解：从早到晚这段时间，投影线与地面所夹的锐角先变大再变小，
所以乌蒙铁塔在大阳下的影长度先逐渐变短，后又逐渐变长，
故选：C．
【点睛】本题侧重考查有关平行投影的知识点，掌握其特点是解决此题的关键．题型2.与平行投影有关的作图和计算问题
3．（2023·江苏盐城·统考三模）盐城市某初级中学数学小组想探究：大楼影长对相邻大楼的影响．分成了
两个实验小组，在某天下午 时，同时进行了两项实验：
实验一：测量高为 竹竿的影长．通过测量发现影长为 ．
实验二：探究长方体的影子．如图 是该长方体在当天下午 时阳光下投影，图 是图 中长方体的俯视图．
(1)该长方体的高 ，宽为 ．
①此时 的影长 为______ ；
②此时测得 ，求 ；
(2)某小区预规划两栋一样的楼房甲、乙，朝向与“实验二”中长方体一致，俯视图如图3，相关数据如图
所示，若楼高42米，请通过计算说明实验当天下午3时甲楼的影子是否落在乙楼的墙上．
【答案】(1)①26，②
(2)甲楼的影子落在乙楼的墙上
【分析】（1）①根据同一时刻，楼高与楼影长的比等于竹竿长与竹竿的影长的比求解即可；②延长 交
于点 ，设 ，在 和 中，利用勾股定理求得 ， ，进而即可求
解；
（2）过点 作 ，根据楼高与影长的比求得 ，再利用三角函数即可得解．
【详解】（1）解∶①∵ ，测量高为 竹竿的影长．通过测量发现影长为 ． 的影长是
，
∴ 即 ，解得 ，
故答案为： ；
②延长 交 于点 ，
设 ，则有：
在 中，
在 中，
则有： ，
解得： ，即
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图所示，过点 作 ，
由题意得： ，
∴ ，
中， ，
∴设 ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴甲楼的影子落在乙楼的墙上．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角函数与投影，熟练掌握三角函数即勾股定理的内容是解题的关键．
4．已知：如图， 和 是直立在地面上的两根立柱， ，某一时刻，AB在阳光下的投影
．
(1)请你在图中画出此时 在阳光下的投影；
(2)在测量 的投影长时，同时测出 在阳光下的投影长为 ，请你计算 的长
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据已知连接 ，过点 作 ，即可得出 就是 的投影；
（2）利用三角形 得出比例式，求出 即可．
【详解】（1）解：作法：连接 ，过点 作 ，交直线 于 ，
如图所示，线段 就是 的投影．
（2）解： 太阳光线是平行的，
∴ ．
．
又 ，
．，
， ， ，
，
．
【点睛】此题主要考查了平行投影的画法以及相似三角形的应用，根据已知得出 是解题关
键．要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
题型3.与中心投影有关的作图和计算问题
5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他
在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下
的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米）
(1)说明：王琳站在P处在路灯B下的影子是图中的线段 ；
(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长；
(3)计算路灯A的高度．
【答案】(1)CP
(2) 米
(3)12米
【分析】（1）根据图形及中心投影的定义即可求解；
（2）先证明 ，利用对应边成比例可得 长；
（3）先证明 ，利用对应边成比例可得 长，也就是路灯A的高度．
【详解】（1）王琳站在P处在路灯B下的影子是图中的线段 ．
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
解得 （米）
答：王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （米）．
答：路灯A的高度为12米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，
对应边成比例．
6．（2023·安徽宿州·统考一模）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．
如图1，身高 的小王晚上在路灯灯柱 下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体
做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿
刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线
上，小王的步间距保持一致．(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
(2)估计路灯 的高，并求影长 的步数．
(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明
同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并
且边 与点B在同一直线上．测得 ， ， ，小明眼睛到地面的距离为 ，
则树高 为______m．
【答案】(1)见解析
(2)路灯 的高为9m，影长 为 步
(3)9
【分析】(1)根据中心投影的知识画出图即可．
(2)利用相似三角形的判定和性质计算即可．
(3)利用勾股定理，锐角三角函数，矩形的判定和性质计算即可．
【详解】（1）路灯O和影子端点Q的位置如图所示．
．
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴路灯 的高为 ，影长 为 步．
（3）如图，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正切函数，三角形相似的判定和性质，矩形的判定
和性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
题型4.利用投影进行测量
7．（2023·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，亮亮和同伴想测量一个亭子的高度．在一个阳
光明媚的周末，某一时刻亭子顶端 的影子位于点 处，亮亮站在点 处，测得他的影长 为 米，
同时他的同伴在点 处测得亭子顶端 的仰角为 ．已知亮亮的身高 米， 米，且点 、
、 、 在同一条水平直线上，求亭子的高 ．（结果保留整数）（参考数据：
）【答案】亭子的高 约为12米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，平行投影；在 中，利用锐角三角函数
的定义求出 的长，再利用同一时刻物高与影长成正比可得 ，代入数据进行计算，即可解答．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 米，
∴ 米，
又∵ ，
∴ ，
解得： ，
答：亭子的高 约为12米．
8．（2023·陕西渭南·统考一模）位于陕西省渭南市澄城县城以南6公里处的印象古徵民俗文化园将现代都
市生活与田园乡村气息完美结合，原汁原味的关中民俗风情诱惑着一批又一批的人前来游览．某个天气晴
好的周末，欢欢和乐乐两个人去印象古徵民俗文化园游玩，看见园中的一棵大树，于是他们想运用所学知
识测量这棵树的高度．如图，乐乐站在大树 的影子 的末端C处，同一时刻，欢欢在乐乐的影子
的末端E处做上标记，随后两人用尺子测得 米， 米．已知乐乐的身高 米，B、C、
E在一条直线上， ， ．请你运用所学知识，帮助欢欢和乐乐求出这棵大树的高度 ．【答案】8米
【分析】证明 ，然后利用相似三角形的对应边成比例求解即可．
【详解】根据题意可得， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝ ．
∵ 米， 米， 米．
∴ ＝ ，
∴ 米，
答：这棵树的高度 为8米．
【点睛】本题考查了平行投影，以及相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理
解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
【方法三】 仿真实战法
考点1.正投影
1．（2022·江西·模拟预测）如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，
点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在 处，点C落在 处， ，
， ．(1)BD的长为______．
(2)如图2，当 时．
①求 的度数；（参考数据： ， ， ， ）
②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）．
【答案】(1)250cm
(2)①35°；②
【分析】（1）根据题意可得 ，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在 处，点C落
在 处，可得 ，代入数据求解即可；
（2）①过点 作 ，根据 ，可得 ，根据
， ，即可求解；
②根据题意可知 ，则 ，根据 求得 ，根据勾股定理可得
，根据正投影是一个圆，根据圆的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵ 当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在 处，点C落在 处，
可得
∴ cm
（2）①如图，过点 作cm，
cm，
②如图，连接 ，过点 作 ，
根据题意可知
伞能遮雨的面积为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正投影，理解题意是解题的关键．
2．如图 1，在平面直角坐标系中，图形 W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点 P( , ) ，Q( ,) 是图形 W 上的任意两点，若 的最大值为 m ，则
图形 W 在 x 轴上的投影长度为 lx m ；若 的最大值为 n ，则图形 W 在 y 轴上的
投影长度为 ly n ．如图 1，图形 W 在 x 轴上的投影长度为 lx 4 ；在 y 轴上的 投影长度
为 ly 3 ．
（1）已知点 A(1, 2) ， B(2, 3) ， C (3,1) ，如图 2 所示，若图形 W 为四边形 OABC ，
则 lx ， ly ；
（2）已知点 C ( , 0) ，点 D 在直线 y x 1(x 0) 上，若图形 W 为 OCD ，当 lx ly
时，求点 D 的坐标；
（3 ）若图形 W 为函数 y x 2(a x b) 的图象，其中 (0 a b) ，当该图形满足
lx ly 1时，请直接写出 a 的取值范围．
图 1 图 2
【答案】（1）4,3;(2)（- ， ）或（-10，-14）;(3) .
【分析】（1）确定出点A在y轴的投影的坐标、点B在x轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；
（2）过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=|2x+6|．PC=|3-x|，然后依据l=l，列方程求
x y
解即可；
（3）设A（a，a2）、B（b，b2）．分别求得图形在y轴和x轴上的投影，由l=l 可得到b+a=1，然后根据
x y
0≤a＜b可求得a的取值范围．
【详解】解：（1）∵A（3，3），
∴点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）．
∴△OAB在y轴上的投影长度l=3．
y
∵B（4，1），
∴点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）．∴△OAB在x轴上的投影长度l=4．
x
故答案为4；3．
（2）如图1所示；过点P作PD⊥x轴，垂足为P．
设D（x，2x+6），则PD=2x+6．
∵PD⊥x轴，
∴P（x，0）．
∴PC=4-x．
∵l=l，
x y
∴2x+6=4-x，解得；x=- ．
∴D（- ， ）．
如图2所示：过点D作DP⊥x轴，垂足为P．
设D（x，2x+6），则PD=-2x-6．
∵PD⊥x轴，
∴P（x，0）．
∴PC=4-x．
∵l=l，
x y∴-2x-6=4-x，解得；x=-10．
∴D（-10，-14）．
综上所述，点D的坐标为（- ， ）或（-10，-14）．
（3）如图3所示：
设A（a，a2）、B（b，b2）．则CE=b-a，DF=b2-a2=（b+a）（b-a）．
∵l=l，
x y
∴（b+a）（b-a）=b-a，即（b+a-1）（b-a）=0．
∵b≠a，
∴b+a=1．
又∵0≤a＜b，
∴a+a＜1，
∴0≤a＜ .
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用、解答本题主要应用了图形W在坐标轴上的投影长度定义、
一次函数、二次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，依据l=l 列出关于x的方程和不等式是解题的
x y
关键．
考点2.中心投影
3．为方便住校生晚自习后回到宿舍就寝，新安装了一批照明路灯；一天上午小刚在观看新安的照明灯时，
发现在太阳光的正面照射下，照明灯的灯杆的投影的末端恰好落在2.5米高文化走廊墙的顶端，小刚测得
照明灯的灯杆的在太阳光下的投影从灯杆的杆脚到文化走廊的墙脚的影长为4.6米，同一时刻另外一个前
来观看照明路灯小静测得身高1.5米小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米，请同学们画出与问题相关
联的线条示意图并求出新安装的照明路灯的灯杆的高度？【答案】线条示意图见解析，新安装的照明路灯的灯杆的高度为9.4m.
【分析】利用同一时刻投影的性质得出 ,进而得出答案．
【详解】解:如图所示:过点E作EB⊥AC于点B,
由题意可得:DC=BE=4．6m，DE=BC=2. 5m,
∵同一时刻身高1．5米小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米,
解得: AB=6.9,
∴AC=AB+BC=6.9+2.5=9.4 (m),
答:新安装的照明路灯的灯杆的高度为9.4m．
【点睛】此题主要考查了投影的应用，利用同一时刻影子与高度的关系得出比例式是解题关键．
4．（2021·甘肃陇南·统考一模）小亮和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度，
检验自己掌握知识和运用知识的能力，如图，在阳光下，小亮站在水平地面的D处，此时小亮身高的影子
顶端与旗杆的影子顶端E重合，这时小亮身高CD的影长DE＝1米，一段时间后，小亮从D点沿BD的方
向走了2.6米到达G处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端H重合，这时小亮的影长GH＝1.4米，
已知小亮的身高CD＝FG＝1.6米，点G、E、D均在直线BH上，AB⊥BH，CD⊥BH，GF⊥BH，请你根据
题中提供的相关信息，求出旗杆的高度．【答案】12m
【分析】先证明 ECD∽△EAB，利用相似比得到 ①，再证明 HFG∽△HAB得到
△ △
②，然后解由①②组成的方程组求出AB即可．
【详解】解：∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EAB，
∴ ，即 ①，
∵FG∥AB，
∴△HFG∽△HAB，
∴ ，即 ②，
由①②得 ，解得BD＝6.5，
∴ ，解得AB＝12．
答：旗杆的高度为12m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，为了使问题简便，尽量构造直
角三角形，然后利用三角形相似，对应边成比例可求出相应线段的长．
5．一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续向正东走到
D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯AB的高度
是多少米？【答案】AB=4.5m
【分析】如图，根据已知可得AB＝BE，再证明△DCM∽△DBA，然后利用相似三角形的性质得出
，设AB＝x，代入数据后解方程即可求出AB的高度．
【详解】解：如图，∵∠ABE＝90°，∠E＝45°，
∴∠E＝∠EAB＝∠EFD＝45°，
∴AB＝BE，DE=DF=1.5，
∵MC∥AB，
∴△DCM∽△DBA，
∴ ，
设AB＝x，则BD＝x﹣1.5，
∴ ，
解得：x＝4.5．
∴路灯A的高度AB为4.5m．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用和投影问题，根据已知得出AB＝BE、熟练掌握相似三角形的
判定和性质是解题关键．
【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2022下·九年级单元测试）拿着一块正方形纸板在阳光下做投影实验，正方形纸板在投影面上形成的
投影不可能是（ ）A．正方形 B．长方形 C．线段 D．三角形
【答案】D
【分析】根据平行投影的性质进行分析即可得出答案．
【详解】解：将长方形硬纸的板面与投影线平行时，形成的影子为线段；
将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为正方形或长方形；
由物体同一时刻物高与影长成比例，且正方形四边相等，故得到的投影不可能是三角形．
故选D．
【点睛】本题考查了投影与视图的有关知识，是一道与实际生活密切相关的热点试题，灵活运用平行投影
的性质是解题的关键．
2．（2022下·九年级单元测试）当你走在路灯下，越来越接近路灯时，你的影子的长是如何变化（ ）
A．变长 B．变短 C．不变 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据中心投影的性质，灯光下影子与物体离灯源距离有关，从而得出答案．
【详解】解：灯光下，涉及中心投影，根据中心投影的特点灯光下影子与物体离灯源距离有关，
你走在路灯下，越来越接近路灯时，你的影子的长是变短．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在
灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，
在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短．
3．（2022下·九年级单元测试）在同一时刻的阳光下，甲的影子比乙的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A．甲的影子比乙的长 B．甲的影子比乙的影子短
C．甲的影子和乙的影子一样长 D．无法判断
【答案】D
【分析】在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
【详解】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行投影和中心投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物
高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的
影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影
子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
4．（2022下·九年级单元测试）晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长
【答案】B
【分析】根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长．
【详解】解：在小亮由远处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再远离路灯
时，他在地上的影子逐渐变长，
∴小亮在地上的影子先变短后边长，
故选：B．
【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心
投影的特征是解题关键．
5．（2022下·九年级单元测试）一个正方形的正投影不可能是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．线段 D．点
【答案】D
【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案．
【详解】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．
故正方形纸的正投影不可能是点，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行投影的性质，利用太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧
平行是解题关键．
6．（2023·安徽淮北·统考三模）一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据投影的特点进行判断即可．
【详解】解：一个矩形木框在地面上形成的投影可能是一条线段、一个矩形、一个平行四边形，而不可能
是一个梯形，故A符合题意．
故选：A．【点睛】本题主要考查了投影与视图，解题的关键是熟练掌握投影的特点．
7．（2022下·九年级单元测试）下列光源形成的投影不同于其他三种的是（ ）
A．太阳光 B．灯光 C．探照灯光 D．台灯
【答案】A
【分析】判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行
投影．
【详解】解：四个选项中只有太阳光可认为是平行光线；
故太阳光线下形成的投影是平行投影．
故选：A．
【点睛】本题考查平行投影的概念，属于基础题，注意基本概念的掌握是关键．
8．（2022下·九年级单元测试）如图是一天上午不同时刻的烟囱的影子，则它们按时间先后排列为（ ）
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①
【答案】C
【分析】根据影子变化的方向正好太阳所处的方向是相反的来判断．太阳从东方升起最后从西面落下确定
影子的起始方向．
【详解】解：太阳从东方升起最后从西面落下，烟囱的影子应该在西面，随着时间的变化影子逐渐的向北
偏西，南偏西，正东方向的顺序移动，
故它们按时间先后顺序进行排列为：②③①．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了在太阳光下的平行投影．要抓住太阳一天中运动的方位特点来确定物体影子所处
的方位．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．
9．（2022下·九年级单元测试）如图，一块含 角的直角三角形木板 ，将它的直角顶点 放置于直
线上，点 ，点 在直线 上的正投影分别是点 ，点 ，若 ， ，则 在直线 上的正
投影的长是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 角所对的直角边等于斜边的一半，可得 ，求出 的长，再根据勾股定理可得
的长；通过证明 ，再根据相似三角形的性质可得 的长，进而得出 的长．
【详解】解：在 中， ， ，
， ，
在 中， ，
， ，
，
，
，
，
，
即 在直线 上的正投影的长是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行投影，掌握相似三角形的判断与性质以及勾股定理是解答本题的关键．
10．（2023下·山东临沂·九年级校考阶段练习）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形，
若 ，则 （ ）A．56° B．66° C．72° D．76°
【答案】B
【分析】根据正五边形得到 ，利用三角形内角和求出 的度数，根据平行线的性质
得出 ．
【详解】解：如图，延长 和 分别交 的延长线于点G和I，
∵六边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由平行光线知， ；
故选：B．
【点睛】本题考查平行投影的性质、多边形外角性质以及三角形内角和定理，构造三角形 是解决问题
的关键．
二、填空题
11．（2022下·九年级单元测试）正午时我们在太阳下的影子长度比下午时我们在太阳底下的影子的长度
要 ．（长，短）
【答案】短
【分析】根据太阳光不同时刻照射时的角度，以及平行投影的性质判断即可．
【详解】解：太阳光可理解为平行光线，正午时刻太阳光照射的角度更大，因此我们于地面形成的影子更
短，而下午的时候，照射时的角度变小，在地面形成的影子就更长．故答案为：短．
【点睛】本题考查投影，注意理解太阳光是平行光线，并且理解入射角度越大，形成的投影越短，角度越
小，形成的投影越长．
12．（2023下·北京东城·九年级北京市第一六六中学校考阶段练习）如图，在数学实践活动课上，小明同
学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长 的竹竿落在地面上的影长为 ．在同一
时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在
地面上的影长 为 ，落在墙面上的影长 为 ，则这棵树的高度是 ．
【答案】
【分析】根据题意，投影的性质，如图所示，设树 的高为 ，可得四边形 是矩形，
，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，画图如下，
竹竿 长 ，竹竿的影 长为 ，树落在地面上的影长 为 ，落在墙面上的影长 为
，
设树 的高为 ，
∵ ， 在同一条直线上，
∴四边形 是矩形，则 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，解得， ，
∴树的高度为 ．
【点睛】本题主要考查投影的性质，相似三角形的性质，掌握投影的性质的实际运用，相似三角形的性质
等知识是解题的关键．
13．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为 ，同时测得一根
旗杆的影长为 ，那么这根旗杆的高度为 m．
【答案】9
【分析】根据实物与影长比相等列式求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∴ ，
故答案为：9；
【点睛】本题考查投影问题，解题的关键是根据比例相等列式．
14．（2023·湖南长沙·校联考二模）身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C
处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到 米， 米，则旗杆的
高度是
【答案】16米
【分析】根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可．
【详解】解：设旗杆高度为h，由题意得： ，
解得： （米）；
故答案为：16米．
【点睛】本题考查平行投影．熟练掌握同一时刻物高与影长对应成比例，是解题的关键．
15．（2022下·九年级单元测试）如图：（A）（B）（C）（D）是一天中四个不同时刻的木杆在地面上的
影子，将它们按时间先后顺序进行排列，为 ．【答案】
【分析】根据影子变化的方向和太阳所处的方向是相反的来判断．太阳从东方升起最后从西面落下确定影
子的起始方向．
【详解】解：太阳从东方升起最后从西面落下，木杆的影子开始应该在西面，
随着时间的变化影子逐渐的向西北，北，北偏东，正东方向的顺序移动，
故它们按时间先后顺序进行排列为： ．
故答案为： ．
【点睛】本此题主要考查了在太阳光下的平行投影．要抓住太阳一天中运动的方位特点来确定物体影子所
处的方位．．
16．（2023上·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图，同一时刻小诚和大树的影子长分别为
和 ，已知小诚身高 ，则大树的高度为 m．
【答案】3
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者
构成的两个直角三角形相似；
【详解】根据相同时刻的物高与影长成比例，设树的高度为 ，
则 解得 ，
故这棵树的高是3米，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力．
17．（2023上·福建厦门·九年级厦门市湖滨中学校考阶段练习）如图， 和 是直立在地面上的两根立
柱， ， 在阳光下的影长 ，在同时刻阳光下 的影长 ，则 的长为
米．【答案】6
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行投影，连接 ， ，证明 ，根据
对应边成比例即可求解．
判定和性质，
【详解】解：如图，连接 ， ，
根据平行投影的性质得 ，
，
又 ，
，
，即 ，
解得 ，
故答案为：6．
18．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组
成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”
的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光
照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显
示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即 ）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影
子所在的直线相交于点 ．此时 与 满足的关系式 ．
【答案】
【分析】（1）根据水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度求解即可；
（2）过点 作 于点 ，证明 ，根据平行投影证明 ，根据
，得出 即可．
【详解】解：（1）∵水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度，
∴当水平式日晷放在纬度为 （即 ）位置时，晷针与晷面的夹角为 ；
故答案为： ；
（2）过点 作 于点 ，如图所示：
则 ，∴ ，
根据题意可知，赤道日晷的晷面与晷针垂直，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据平行投影可知，当12点时，点 在水平方向的投影为点E，经过n小时后， 的投影在 上，因
此 ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平移投影的有关知识，解题的关键是数形结合，发挥空间想象能力，根据平行投
影得出 ．
三、解答题
19．（2023·陕西咸阳·统考三模）某小组的项目式学习活动内容是测量某棵古树的高度 ，如图，在阳光
下，某一时刻，古树 的影子落在了地上和围墙上，落在地上的长度 米，落在墙上的长度
米，在古树的附近有一棵小树 ，同一时刻，小树的影长 米，小树的高 米．已知点
N，P，B，D在一条水平线上， ， ， ，请求出该古树的高度 ．
【答案】该古树的高度 米
【分析】作 于点F，如图，可得 米， 米，然后根据同一时刻的物高与其影长成比例求出 ，再加上 即得答案．
【详解】解：作 于点F，如图，
∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ 米， 米，
根据同一时刻的物高与其影长成比例可得： ，即 ，
解得： 米，
∴ （米）；
答：该古树的高度 米．
【点睛】本题考查了平行投影，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键．
20．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）数学活动课上，小宇、小辉一起测量学校升旗台上
旗杆 的高度，如图，旗杆 立在水平的升旗台上，小宇测得旗杆底端 到升旗台边沿 的距离为 ，
升旗台的台阶所在的斜坡 长为 ，坡角为 ，小辉测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面 上
的部分 的长为 ，同一时刻，小宇测得直立于水平地面上长 的标杆的影长为 ，请你帮他们
求出旗杆 的高度. （结果保留一位小数，参考数据： ）
【答案】
【分析】延长 交 于点 ，过 做 于 ，根据矩形的性质及含有 角的直角三角形的性质得到 ， ，最后根据同一时刻物高和影长成正比即可解答．
【详解】解：延长 交 于点 ，过 做 于 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵同一时刻，物高和影长成正比，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答：旗杆 的高度.为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形—坡度坡角的问题，平行投影，掌握同一时刻物高和影长成正比是解题
的关键．
21．（2023·上海·九年级假期作业）如图，小智所住的楼房在一个不高的斜坡 上，楼房旁边不远处有一
棵笔直而垂直于水平地面 的大树 ．小智想要测量这棵大树 的高度．在下午的某个时刻，他观察
到这棵大树树梢H的影子落在楼房的外墙面上的点G处．同时，他又观察到在大树旁边有一根笔直而垂直
于水平地面 的木柱 ，它在水平地面 上的影子 也清晰可见．小智通过测量得到以下一些数据：米， 米， 米， 米，斜坡 的坡度 ， 米．试求大树
的高．
【答案】 米
【分析】利用坡比，同一时刻物高与影长成正比，解直角三角形等知识求解即可．
【详解】解：由题意可得： ，
过G作 于点M，过F作 与点N，
在 中， ，
∴ ，
设 ， ，
∴则 ，
∴ ．
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米）．
【点睛】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题
目中的条件．22．（2023上·广东茂名·九年级统考期末）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆 的高度，如图，他在
某一时刻在地面上竖直立一个2m长的标杆 ，测得其影长 m．
(1)请在图中画出此时旗杆 在阳光下的投影 ；
(2)如果 m，求旗杆 的高．
【答案】(1)见解析
(2)旗杆 的高为 ．
【分析】（1）根据太阳光是平行光，画出图即可；
（2）根据太阳光是平行光，可得 ，可证明 ，再根据对应边成比例即可得出答案．
【详解】（1）解：连接 ，过A点作 交 于 ，则 为所求，如图；
（2）∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ m．
答：旗杆 的高为 m．
【点睛】本题考查投影作图，相似三角形的判断和性质，理解太阳光是平行光，并证明出三角形相似是解
题的关键．
23．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）问题背景：在某次活动课中，甲、乙两个学习小
组于同一时刻在阳光下对校园中的旗杆和景观灯进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：
如图1，测得学校旗杆的影长为900cm，在影子的外端F点处测得旗杆顶端E的仰角为 ．乙组：如图2，测得校园景观灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影
长为156cm．
任务要求：
(1)请根据以上的信息计算出学校旗杆的高度；
(2)如图2，设太阳光线 与 相切于点M．请根据以上的信息，求景观灯灯罩的半径（景观灯的影长
等于线段 的影长．）（参考数据： ）
【答案】(1)12m
(2)12cm
【分析】（1）在 中，利用锐角三角函数解答即可；
（2）先求解直角三角形 的三边，进而可得 的长，然后证明 ，利用相似三角形的
性质即可求出圆的半径．
【详解】（1）解：在 中， cm，
∴ ，
∴学校旗杆的高度约为12m；
（2）连接 ，由题意得： ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设景观灯灯罩的半径为rcm，
∵太阳光线 与 相切于点M，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴景观灯灯罩的半径为12cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、平行投影以及相似三角形的实际应用，正确理解题意、熟练掌
握锐角三角函数和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．（2022上·甘肃兰州·九年级兰州十一中校考期末）如图，小亮想利用树影测量树高 ，他在某一时刻
测得高为 的竹竿影长为 ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，
有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高 ，又测得地面部分的影长 ，请你帮助小亮求树高 ．
【答案】
【分析】延长 交 延长线于点 ，根据同一时刻，物体与影长成正比可得 ，根据 可
得 ，可得 ，即可得出 ，由 可求出 的长，根据
求出 的长即可．
【详解】解：如图所示，延长 和 相交于点 ，则 就是树影长的一部分，
∵某一时刻测得高为 的竹竿影长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴树高 为 ．【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握同一时刻，物体与影长成正比及相似三角形判定定理是解
题关键．
25．（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考三模）操作与研究：如图， 被平行于 的光线照射，
于D， 在投影面上．
(1)指出图中线段 的投影是______，线段 的投影是______．
(2)问题情景：如图1， 中， ， ，我们可以利用 与 相似证明
，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理．
(3)拓展运用如图2，正方形 的边长为15，点O是对角线 、 的交点，点E在 上，过点C作
，垂足为F，连接 ：
① 试利用射影定理证明 ；
② 若 ，求 的长．
【答案】(1) 、 ；
(2)证明见解析；
(3)①证明见解析；②
【分析】（1）根据题意，即可得到答案；（2）证明 ，得到 ，即可证明定理；
（3）①利用射影定理，得到 ， ，进而得到 ，即可证明
；
②根据正方形的性质和勾股定理，求得 ， ，再利用相似三角形的性质，得到
，即可求出 的长．
【详解】（1）解：根据题意可知，图中线段 的投影是 ，线段 的投影是 ，
故答案为： 、 ；
（2）证明： ，
，
，
，
，
，
；
（3）①证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
；
②解： 正方形 的边长为15，
， ，在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、射影定理等知识，解题关键是
掌握相似三角形的判定和性质，理解射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比
例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
26．（2022上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，身高 米的小明站在 处，路灯底部 到 的距离为
米，此时小明的影长 米．
(1)请在图中画出表示路灯高的线段并求出路灯的高度；
(2)小明沿 所在直线又行走了一段距离到达 处，请在图中画出表示小明在 处时影长的线段．
【答案】(1) ，图见解析
(2)见解析【分析】（1）过点 作 ，交 的延长线于点 ， 为所求，证明 ，根据相
似三角形的性质即可求解；
（2）连接 并延长交 于点 ，连接 ，则 为所求
【详解】（1）解：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ， 为所求
由题意知： 米， 米， 米，
∴ 米
∵ ，
∴
∴
即
解得
答：路灯高度为7.5米
（2）如图，连接 并延长交 于点 ，连接 ，则 为所求
