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第 38 讲 2023 届高三数学新高考一卷考前模拟三
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先化简两集合，再求交集，即可得出结果.
【详解】因为 ， ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
令 ，则 ；
所以 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查求集合的交集，属于基础题型.
2．若 （i为虚数单位），则实数a的值为（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】A
【分析】由已知可得 ，根据复数乘法运算法则，和复数相等的充要条件，即可求解.
【详解】 ，
∴
.
故选：A.
3．经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】由轴截面是面积为2的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则 ，
由题可知 ，
∴ ，
侧面积为 ，
故选：C.
4．已知函数 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的图象结合函数的定义域，复合函数的奇偶性，利用排除法，即可得到结果.
【详解】由图象可知函数 是奇函数，
函数 和 由复合函数的奇偶性可知，这两个函数为偶函数，故排除
A，C；
对于函数 ，由于 时， ，此时 无意义，所以函数
不经过原点，故B错误；故D满足题意.
故选：D.5．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID—19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很
快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大
武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊
的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等
“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人 在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者
的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，
则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0＜p＜1）且相互独立，该家庭
至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f（p），当p=p 时，f（p）最大，则p=（ ）
0 0
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解设事件A为：检测了5人确定为“感染高危户”， 设事件B为：检测了6人确定为“感染高危
户”，则 ，再利用基本不等式法求解.
【详解】解：设事件A为：检测了5人确定为“感染高危户”，
设事件B为：检测了6人确定为“感染高危户”，
则 ， ，
所以 ，
令 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 ，
故选：A
6．若 ，则 （ ）A． B．0 C．1 D．
【答案】D
【分析】 利用平方关系和正弦的二倍角公式弦化切，由 求出 代入可得答
案.
【详解】因为 ，所以 ，所以
.
故选：D.
7．已知 是函数 （其中 ）图象上的两个动点，点 ，若 的最小值为
0，则函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由指数函数单调性可确定 ，当 最小时，可确定 分别为过 作 两段
图象的切线，利用过某一点曲线切线的求解方法可构造方程组求得 ，进而得到所求最小值.
【详解】由解析式可知： 在 上单调递减，在 上单调递增，
.
设过点 的直线 与 在 上的图象相切，
设切点坐标为 ，则 ，解得： ， ，
设过点 的直线 与 在 上的图象相切，
设切点坐标为 ，同理可求得： ， ，是 图象上的点，且 的最小值为 ， ，
又 ， ， ，解得： ，
.
故选： .
【点睛】本题考查函数最值的求解问题，涉及到导数几何意义的应用；关键是能够通过平面向量数量积的
定义将问题转化为过某一点的曲线切线方程的求解问题，充分体现了转化与化归思想在考试中的应用.
8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表
示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出
的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，
故选：B
【点睛】判断事件 是否独立，先计算对应概率，再判断 是否成立
二、多选题
9．甲、乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲、乙两组数据的平均值分别为 、 ，则
（ ）A．每次考试甲的成绩都比乙的成绩高
B．甲的成绩比乙稳定
C． 一定大于
D．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差
【答案】BC
【分析】利用折线图的性质直接求解即可.
【详解】对于A选项，第二次月考，乙的成绩比甲的成绩要高，A选项错误；
对于B选项，甲组数据比乙组数据的波动幅度要小，甲的成绩比乙稳定，B选项正确；
对于C选项，根据图象可估计出 ， ， 一定大于 ，C选项正确；
对于D选项，根据图象可知甲的成绩的极差比乙的成绩的极差小，D选项错误．
故选：BC.
10．下列各式中，与 相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由二倍角的余弦公式可得 ，由二倍角的正切公式可判断A；由二倍角的正弦公
式可判断B；由两角差的余弦公式可判断C；由同角三角函数的基本关系、诱导公式及二倍角的余弦公式
可判断D.
【详解】 ，
对于A， ，故A正确；对于B， ，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，
，故D正确.
故选:ACD.
11．在平面直角坐标系中，三点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足PA= PB，则以下结论正确
的是（ ）
A．点P的轨迹方程为(x－3)2+y2=8 B． PAB面积最大时，PA=2
△
C．∠PAB最大时，PA= D．P到直线AC距离最小值为
【答案】ACD
【分析】根据 可求得点 轨迹方程为 ，A正确；
根据直线 过圆心可知点 到直线 的距离最大值为 ，由此可确定面积最大时 ，由此可
确定B不正确；
当 最大时， 为圆的切线，利用切线长的求法可知C错误；
求得 方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可确定D正确.
【详解】解：对于A：设 ，由 得： ，即 ，
化简可得： ，即点 轨迹方程为 ，故A正确；
对于B： 直线 过圆 的圆心， 点 到直线 的距离的最大值为圆 的半径 ，即为 ，
， 面积最大为 ，此时 ，
，故B不正确；
对于C：当 最大时，则 为圆 的切线，
，故C正确；
对于D：直线 的方程为 ，则圆心 到直线 的距离为 ，
点 到直线 距离最小值为 ，D正确.
故选：ACD.
12．如图，点 是正四面体 底面 的中心，过点 且平行于平面 的直线分别交 ， 于
点 ， ， 是棱 上的点，平面 与棱 的延长线相交于点 ，与棱 的延长线相交于点 ，
则（ ）
A．若 平面 ，则
B．存在点 与直线 ，使
C．存在点 与直线 ，使 平面D．
【答案】ACD
【分析】根据线面平行的性质定理，可判断A；由空间向量数量积可判断B；当直线 平行于直线 ，
时，通过线面垂直的判定定理可判断C，由共面向量定理可判断D.
【详解】对于A， 平面 ，平面 与棱 的延长线相交于点 ，与棱 的延长线相交于点
，
平面 平面 ，
又 平面 ， 平面 ， ，
点 在面 上，过点 的直线交 ， 于点 ， ， 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ， ，
，故A正确；
对于B，设正四面体 的棱长为 ，
，故B错误；
对于C，当直线 平行于直线 ， 为线段 上靠近 的三等分点，即 ，此时 平面
，
以下给出证明：在正四面体 中，设各棱长为 ，
， ， ， 均为正三角形，
点 为 的中心， ，
由正三角形中的性质，易得 ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得， ，，则 ，
同理， ，又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 存在点S与直线MN，使 平面 ，故C正确；
对于D，设 为 的中点，则 ，
又∵ ， ， 三点共线，∴ ，
∵ ， ， 三点共线，∴ ，
∵ ， ， 三点共线，∴ ，
设 ， ， ，则 ，
∵ ， ， ， 四点共面，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了空间向量数量积和
共面向量定理，解题的关键是熟悉利用空间向量的共面定理，考查了转化能力与探究能力，属于难题.
三、填空题
13．已知偶函数 在 上是增函数，则不等式 的解集是________．【答案】
【分析】利用偶函数的性质化 为 ，再利用单调性去掉法则“f”即可得解.
【详解】因 是R上偶函数，则 ，而
而 在 上是增函数，于是得 ，
所以不等式 的解集是 .
故答案为：
14．抛物线 的焦点坐标是________
【答案】(0, )
【详解】抛物线 的标准方程为 ，焦点坐标为(0, )．
15．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值
为 ．
【答案】﹣37
【详解】试题分析：本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进
而求出常数m的值，即可求出函数的最小值．
解：由已知，f′（x）=6x2﹣12x，有6x2﹣12x≥0得x≥2或x≤0，
因此当x∈[2，+∞），（﹣∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
又因为x∈[﹣2，2]，
所以得
当x∈[﹣2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
所以f（x） =f（0）=m=3，故有f（x）=2x3﹣6x2+3
max
所以f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5
因为f（﹣2）=﹣37＜f（2）=﹣5，所以函数f（x）的最小值为f（﹣2）=﹣37．
答案为：﹣37
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．16．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝3n2+an，等比数列{bn}的前n项和Tn＝2n﹣a，则a＝__，数列{
}的前9项和为__．
【答案】 1
【分析】先由题设求出a的值，进而求得bn，再利用an＝Sn﹣Sn 求得an，并检验当n＝1是否适合，从
﹣1
而求得an与 ，最后利用错位相减法求得数列{ }的前9项和即可．
【详解】解：由等比数列{bn}的前n项和Tn＝2n﹣a，可得：b＝2﹣a，b＝T﹣T＝2，b＝T﹣T＝4，∴
1 2 2 1 3 3 2
，解得：a＝1，
∵Sn＝3n2+an＝3n2+n，
∴当n≥2时，an＝Sn﹣Sn ＝6n﹣2，又当n＝1时，a＝S＝4也适合上式，
﹣1 1 1
∴an＝6n﹣2，
∵等比数列{bn}的首项b＝1，公比q＝2，∴bn＝2n﹣1，
1
∴ ，
设数列{ }的前9项和为x，
则x ，
又 x ，
两式相减得： x＝4+3（1 ） 4+3 ，
整理得：x .
故答案为：1； ．四、解答题
17．已知： ， （ ）是方程 的两根，且 ， （ N*）.
(1)求 ， ， 的值；
(2)设 ，求证： ；
(3)求证：对 N*有 .
【答案】(1) ， ， .
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
【分析】（1）由已知条件，消去 可得出 的递推关系式，即可求得 ， ， 的值；
（2）由 递推关系，证出 ，即可证得题中的结论；
（3）当 时，使用累乘法和绝对值不等式性质证明，再验证 时结论即可.
（1）
解方程 得 ， ，
∴ ，
∵ ，且
∴ ，即
∴ ， ，∴ ， ， .
（2）
∵ ， ，
∴ ，即 时，
又
∴当 时，
又∵当 时，
∴
（3）
由第（1）问知， ，
∵
∴当 时， ，
∴ （ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
∴ （ ）又∵ ，
∴ （ ）
由第（2）问知， ，
∴ （ ）
∴ （ ）
∵ （ ）
∵
∴ （ ）
∴ （ ）
∵
即
∴ （ ）
又∵ 时， ，
∴对 N*，有 .
18．2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心．为了庆祝
吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“双人对战”游戏，游戏规则如下：参与对战
的双方每次从装有3个白球和2个黑球（这5个球的大小、质量均相同，仅颜色不同）的盒子中轮流不放
回地摸出1球，摸到最后1个黑球或能判断出哪一方获得最后1个黑球时游戏结束，得到最后1个黑球的
一方获胜．设游戏结束时对战双方摸球的总次数为X．
(1)求随机变量X的概率分布；(2)求先摸球的一方获胜的概率，并判断这场游戏是否公平．
【答案】(1)答案见解析
(2)不公平
【分析】（1）首先列出随机变量X的所有可能取值，再按照相互独立事件的概率计算公式计算出对应概
率，即可得分布列；（2）分析出先摸球的一方获胜的情形，即可求得先摸球的一方获胜的概率，进而可
判断该游戏是否公平．
【详解】（1）（1）由题可得，X的所有可能取值为2，3，4，
且 ，
，
，
X的分布列为
X 2 3 4
P
（2）（2）先摸球的一方获胜，包括以下几种情况：双方共摸3次球，出现白黑黑、黑白黑、白白白这三
种情况，即 ，
双方共摸4次球，出现的恰好是三白一黑且前三次必定出现一次黑球的情形，
概率为 ，
所以先摸球的一方获胜的概率为 ．
因为 ，所以这场游戏是不公平的．
19．已知 、 、 分别是 三个内角 的对边.
(1)若 面积为 ， ， ，求 的值；
(2)若 ，试判断 的形状，证明你的结论.【答案】(1) ，1
(2)直角三角形或等腰三角形，证明见解析
【分析】（1）利用 面积为 ，直接求出 ，通过余弦定理列方程求出 的值；
（2）利用正弦定理化简 ，利用二倍角的正弦公式可得 ，求出角的关系即可
判断 的形状.
（1）
由已知得 ，∴ .
由余弦定理 ，∴ .
（2）
由正弦定理得 ， ，
∴ ，即 ，由已知 为三角形内角，
∴ 或 .
∴ 为直角三角形或等腰三角形.
20．如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，
求三棱锥 的体积.【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；
(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.
【详解】（1）因为 ，O是 中点，所以 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，
且平面 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 .
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点， 为 轴， 为y轴，垂直 且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标
系 ，
则 ，设 ,
所以 ，
设 为平面 的法向量，
则由 可求得平面 的一个法向量为 ．
又平面 的一个法向量为 ，
所以 ，解得 ．
又点C到平面 的距离为 ，所以 ，所以三棱锥 的体积为 ．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作 ，垂足为点G．
作 ，垂足为点F，连结 ，则 ．
因为 平面 ，所以 平面 ，
为二面角 的平面角．
因为 ，所以 ．
由已知得 ，故 ．
又 ，所以 ．
因为 ，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角 ，记 为 ， 为 ， ，
记二面角 为 ．据题意，得 ．
对 使用三面角的余弦公式，可得 ，
化简可得 ．①
使用三面角的正弦公式，可得 ，化简可得 ．②
将①②两式平方后相加，可得 ，
由此得 ，从而可得 ．如图可知 ，即有 ，
根据三角形相似知，点G为 的三等分点，即可得 ，
结合 的正切值，
可得 从而可得三棱锥 的体积为 ．
【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在
于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；
方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加
深刻的认识，该法为本题的最优解.
方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、
直观、迅速.
21．如图，直线 与直线 之间的阴影区域（不含边界）记为 ，其左半部分记为
，右半部分记为 ．
(1)分别用不等式组表示 和 ；
(2)若区域 中的动点 到 的距离之积等于 ，求点 的轨迹 的方程；(3)设不过原点 的直线 与（2）中的曲线 相交于 两点，且与 分别交于 两点．求证
的重心与 的重心重合．
【答案】(1) ，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）直接写出答案即可.
（2）根据题意得到 ，判断 ，代入化简得到答案.
（3）考虑直线与 轴垂直和不垂直两种情况，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算得到
， ，根据重心坐标公式得到证明.
【详解】（1） ， .
（2）直线 ，直线 ，由题意得 ，
即 ， ，知 ，所以 ，
即 ，所以动点 的轨迹 的方程为 .
（3）当直线 与 轴垂直时，可设直线 的方程为 .
由于直线 ，曲线 关于 轴对称，且 与 关于 轴对称，
于是 的中点坐标都为 ，
所以 的重心坐标都为 ，即它们的重心重合；当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 .
由 ，得 .
由直线 与曲线 有两个不同交点，
可知 且 .
设 的坐标分别为 ，
则 .
设 的坐标分别为 ，
由 及 得 ，
从而 ，
所以 ，
所以 ，
于是 的重心与 的重心也重合.
综上所述： 的重心与 的重心重合.
【点睛】本题参考了图形的区域问题，轨迹问题，证明重心重合，意在考查学生的计算能力，转化能力和
综合应用能力，其中没有考虑斜率不存在的情况是容易犯的错误，利用韦达定理是解题的关键，需要熟练
掌握.
22．已知 为函数 的一个极值点.
（1）求实数 的值，并讨论函数 的单调性；
（2）若方程 有且只有一个实数根，求实数 的值.
【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1） ， ．
．
∵ 为函数 的一个极值点，
∴ ，
故 ， ．
令 ，解得 或 ．
∴ 当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
（2）方程 ，
整理得 ．因为 ，所以有
．
令 ，则 ．
令 ， ，故 在 上是增函数．
∵ ，
∴ 当 时， ，即 ， 单调递减；
当 时， ，即 ， 单调递增；∴ ．
∵ 当 或 时， ，
∴ 方程 有且只有一个实数根时，实数 ．
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
