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第24讲 函数与方程思想
函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决
问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。
1、函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些
量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想;
2、应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步
骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题;（2）根据需
要构造函数，利用函数的相关知识解决问题;（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根
据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程
（或方程组）求出它们，这就是方程思想;
3、函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需
要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间
的辩证关系，形成了函数方程思想
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关
求值，解（证）不等式，解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通
过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难
为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1、函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系
或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题，从而使问题获得解决。
2、方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造
方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决。方
程思想是动中求静，研究运动中的.等量关系;
3、函数方程思想的几种重要形式
（1）函数和方程是密切相关的，对于函数 y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）
=0，也可以把函数式y=f（x）看做二元方程y―f（x）=0。
（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f（x），当y>0时，就转化为不等式f
（x）>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式;
（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分
重要;
（4）函数f（x）=（1+x）^n（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋
值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;
（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方
程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论;（6）立体几何中有关线段，角，面积，体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数
表达式的方法加以解决。
应用一：函数观点解决方程与不等式
一、填空题
1．已知函数 的零点为1，则实数a的值为______．
【答案】
【分析】利用 求得 的值.
【详解】由已知得 ，即 ，解得 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查函数零点问题，属于基础题.
2．命题“方程 有整数解”是______命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】设 ，根据 在 上的单调性，确定当 时， ，又 ，
故可得方程 无整数解，即可判断命题的真假.
【详解】解：设 ，则 在 上单调递增，当 时，
，
又 ，故不存在 ，使得方程 有根.
所以命题“方程 有整数解”是假命题.
故答案为：假.
3．函数 零点的个数为_____________.【答案】2
【分析】函数 零点的个数即方程 实数根的个数，求
出方程的实根即可得出答案.
【详解】函数 零点的个数，即方程 实数根的个数.
由 ，即 或
由 得 或 .
由 无实数根.
所以函数 的零点有2个.
故答案为：2
【点睛】本题考查求函数的零点个数问题，根据题目条件求出函数的零点即可，属于基础题.
4．不等式 的解集是______．
【答案】
【分析】解根式不等式，要先求定义域，然后再解不等式，根据题意可知：不等式成立的条件是 ，
然后解不等式，取交集即可求解.
【详解】要使不等式 有意义，则有 ，解得： .
当 时，不等式 恒成立；
当 时，不等式 可化为 ，解得： ，所以 ，因为 ，
所以 ，
综上：原不等式的解集为 ，
故答案为： .
5．若函数 有零点，则实数k的取值范围是________．【答案】(0，1]
【分析】依据题意可得 ，然后简单计算即可.
【详解】 有零点，即k∈
而－|x|≤0，0< ≤20＝1，∴ 的值域为(0，1]．
所以k的取值范围是(0，1]
故答案为：(0，1]
【点睛】本题考查依据函数有零点求参数，本题难点能得到 ，属基础题.
6．若函数 只有一个零点，则实数 的取值范围是__________；
【答案】 或
【分析】对函数的解析式中的最高项系数进行分类讨论根据题意求出实数 的取值范围.
【详解】当 时， ，符合题意；
当 时函数 只有一个零点，只需方程 的判别式为零即可，所以有
，综上所述： 或 .
故答案为： 或
【点睛】本题考查了已知零点的个数求参数问题，考查了数学运算能力.
7．已知函数 是R上的奇函数，其零点为 ， ， ， ， ，则 ________.
【答案】0
【分析】根据奇函数图象的对称性解答．
【详解】由奇函数图像的对称性知：若 ，则 ，即零点对应的坐标关于原点对称，且
，故 .
【点睛】本题考查奇函数的性质，考查函数的零点的概念．属于基础题．奇函数的图象关于原点对称，因
此奇函数的零点对应坐标也关于原点对称．8．下列说法中，正确的是______．（填序号）
①一次函数在R上只有一个零点；②二次函数在R上只有一个零点；
③指数函数在R上没有零点；④对数函数在 上只有一个零点；
⑤函数在其定义域内可能没有零点．
【答案】①③④⑤
【分析】根据函数的性质，分别对每个命题进行分析即可判断.
【详解】对于①，因为一次函数在R上是单调函数，所以只有一个零点，故①正确；
对于②，因为二次函数的零点可能是0个或1个或2个，例如：函数 在R上零点个数为0个； 函
数 在R上零点个数为1个；函数 在R上零点个数为2个；故②错误；
对于③，因为指数函数的值域为 ，所以指数函数在R上没有零点，故③正确；
对于④，因为对数函数是单调函数，且图象过定点 ，所以对数函数在 上只有一个零点，故④正
确；
对于⑤，因为幂函数 在定义域 内没有零点，所以函数在其定义域内可能没有零点，故
⑤正确，
故答案为：①③④⑤.
应用二：曲线方程与函数的应用
一、填空题
1．参数方程 （ 为参数， ）对应曲线的长度为______．
【答案】
【分析】把参数方程化为普通方程，并判断曲线形状，进而得出曲线的长度.【详解】参数方程 （ 为参数， ），消去 得 ， ，
其表示一条线段，线段的两个端点分别为 ， ，
线段的长度为 .
故答案为： .
2． 为参数，圆 的圆心的轨迹方程为______．
【答案】
【分析】先把圆的方程化为标准方程，求出圆心，再消去参数 即可.
【详解】圆的方程化为标准方程为 ，
圆心坐标为 ，即 ，消去参数 ，可得 .
故圆 的圆心的轨迹方程为 .
故答案为: .
3．将方程 （ 为参数）化为普通方程为______．
【答案】
【分析】首先求出 的取值范围，消去参数即可得到普通方程.
【详解】解：因为方程 （ 为参数），所以 ，且 ，
所以方程 （ 为参数）化为普通方程为 .
故答案为：4．已知 ，则2x＋y的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用椭圆的参数方程，结合三角函数的性质求出答案.
【详解】椭圆 的参数方程为 ，（ 为参数）
则 ，其中 ，
由 ，得： ，
即2x＋y的取值范围是 .
故答案为： .
5．所有斜率为2的直线被椭圆 截得线段中点的轨迹的一个参数方程可以是______．
【答案】 （b为参数， ）答案为不唯一
【分析】结合直线与椭圆的位置关系联立方程，用设而不求的思想即可求得截得线段中点的轨迹的一个参
数方程.
【详解】设斜率为2的直线方程为 ，设直线与椭圆 交于 ， ，设线段
中点为 ，
联立方程 ，得 ，则 ，则
又因为 ，解得 ，
所以截得线段中点的轨迹的一个参数方程为 （b为参数， ），
故答案为： （b为参数， ）.答案不唯一
应用三： 函数与方程
一、单选题
1．已知函数 ，若方程 有六个不相等的实数根，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象作出函数 的图象，根据图象得出当 时，有三个不同的 与
对应，令 ，得出 在 内有两个不同的实根，最后由二次函数零点的分布
求出范围即可.
【详解】因为 ，作出函数 的图象，如图所示：由图象可知：当 时，有三个不同的 与 对应，
令 ，因为方程 有六个不相等的实数根，
所以 在 内有两个不同的实根，
设 ，
即 ，即 ，解得： ，
所以实数a的取值范围是 ，
故选： .
2．已知函数 ，给出下列四个结论：
①函数 的图像是轴对称图形； ②函数 在 上单调递减；
③函数 的值域是 ； ④方程 有4个不同的实数解．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据函数解析式的几何意义，数形结合判断选项正误.
【详解】 表示x轴上的点 到 ，和 的距离之差的绝对值.对于①，当点 在 左右对称位置时，到 ，和 的距离之差的绝对值相等，所以 的图
象是轴对称图形，①正确；
对于②， 时，点 从左向右靠近 ，到 ，和 的距离之差的绝对值变小，所以
在 上单调递减，②正确；
对于③，当点 在 时， ， 取最小值0，又因为 ，所以 值域为
，③正确；
对于④，由③得 ，当 时， ，所以 在 上有两个不同的解
， ， 和 各有两个解，故 有4个实数解，④正确.
故选：D.
【点睛】④中方程解的个数问题，注意 的值域为 ，所以 的解 需在 上， 才能
有两个解.
3．已知定义在 上的偶函数 满足：当 时， ，且 ，则方
程 实根个数为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】由题知函数 为周期函数，周期为 ，在 上单调递增，再令 ，易得在 上为偶函数，进而作出函数 与 的图象，数形结合求解即可.
【详解】解：因为函数 满足 ，
所以， ，即函数 为周期函数，周期为 ，
因为当 时， ，
所以，当 时， 恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，
因为 为定义在 上的偶函数，
令 ，则定义域为 ， ，
所以函数 为定义在 上的偶函数，
因为
因为 ，
所以
所以，作出函数 ， 图象如图，
由图象可知，当 时，函数 与 图象有4个交点，
所以，由偶函数的对称性可知，当 时，函数 与 图象有4个交点，所以，方程 实根个数为 个.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合题意，利用导数研究函数的性质，得到函数 是周期为
的周期函数，且在 上单调递增，进而作出函数图象，数形结合求解.
4．已知函数 是偶函数，当 时， ．若曲线 在点 处的切线方程为
，则实数a的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性求出当 时， ，再利用导数求出切线的斜率，得到切线方程，
比较系数即可得到答案.
【详解】当 时， ，所以 ，
又函数 是偶函数，
所以当 时， ，则 ，所以 ．
又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
所以 ， ，解得 ．
故选：C
二、多选题
5．已知函数 ， ，则（ ）A． （ 且 ）
B．若函数 ，则函数 的定义城为
C．若函数 ，则
D．方程 所有解的和为0
【答案】BCD
【分析】代入求值即可判断A；根据正切函数的定义域即可判断B；求出即可判断C；根据方程的解与函
数图象的交点的横坐标之间的关系，结合图形即可判断D.
【详解】A：由 ，得 ，故A错误；
B： ，由 ，得 ，
所以函数 的定义域为 ，故B正确；
C： ，则 ，故C正确；
D：方程 的解即为函数 图象的交点的横坐标，
作出函数 的图象，如图，
由图可知，函数 图象的交点的横坐标关于原点对称，
所以两函数图象的交点的横坐标之和为0，
即方程 的解之和为0，故D正确.
故选：BCD.6．已知函数 ，则（ ）
A． 定义域为 B． 值域为
C． 在 的切线方程为 D． 与 只有一个交点
【答案】AC
【分析】对A、B：根据指数函数的定义域和值域分析判断；对C：根据导数的几何意义分析运算；对D：
构建 ，求导，利用导数判断 的零点个数，进而可以判断 与 的交点个数.
【详解】对A： 定义域为 ，A正确；
对B：∵ ，则 ，即 值域为 ，B错误；
对C：∵ ，则 ，
可得 ，即切点坐标为 ，切线斜率为 ，
故切线方程为 ，C正确；
对D：构建 ，则 ，
令 ，则 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
且 ，
故 在 内均存在零点，即 与 有两个交点，D错误.
故选：AC.
三、填空题
7．已知函数 ，关于x的方程 恰有2个不同实数解，则a
的值为__________．【答案】4
【分析】由已知可得 有两组解，分析函数 的性质，作函数 的图象，结合图象确定
2必须为方程 （ ）的一个解，由此确定 的值.
【详解】令 ，
则方程 可化为
因为方程 恰有2个不同实数解，
所以 有两组解，
因为 ，
所以函数 为偶函数，
当 时， ；
当 时， .
所以当 时， ，又函数 为偶函数，
所以 ，
作函数 的图象如下，
所以当 时， 没有解，当 时， 有两个解，
当 时， 有四个解，
当 时， 有没有解，
因为 有两组解，
2必须为方程 （ ）的一个解，
所以 ，故 ,
当 时，由 可得
所以 或 ，满足条件；
所以 ，
故答案为：4.
四、解答题
8．已知函数 .
(1)求 在点 处的切线方程;
(2)求证：当 时， .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可；
（2）由题知 ，进而构造函数 ，研究最小值即可证明；
【详解】（1）解：由题知， ， ，所以，切点为 ，斜率为 ，
所以，所求切线为 .
（2）证明： ，即
令 ，则
令 ， ，则 在 恒成立，
所以， 在 上单调递增，有 ，
所以， 在 恒成立，即 在 上单调递增，
所以， ，即 ，
综上，当 时， .
9．已知函数 ，其中 且 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若存在实数 ，使得 ，则称 为函数 的“不动点”求函数 的“不动点”的个数；
(3)若关于x的方程 有两个相异的实数根，求a的取值范围．
【答案】(1) 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
(2)答案见解析；
(3) 且 .
【分析】（1）直接利用导数求函数的单调区间；
（2）记 ，利用导数得 在 和 上均单调递增．记，对 分 讨论，结合零点定理求函数 的“不动点”的个数；
（3）记 ，利用（1）得出 的单调性和值域，然后分 和 两种情况，结合（2）中
不动点的范围对 进行分析即可
【详解】（1）当 时， ，定义域为R．
，令 ，得 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 ．
（2）函数 的不动点即为方程 的根，即方程 的根．
显然， 不是方程 的根，所以 ．
记 ，因为 （当且仅当 取等号），所以 在
和 上均单调递增．
由 ，记 ．
①当 时，
（ⅰ）当 时， ，
（可设
当 ， 当 ，
在 单调递减，在 单调递增，所以 ），存在 ，使得 ，即存在唯一 使得 ；
（ⅱ）当 时， ，
（设
当 ， 当 ，
在 单调递增，在 单调递减，
所以 ），存在 ，使得 ，即存在唯一 使得 ．
②当 时，
（ⅰ）当 时， 无零点；
（ⅱ）当 时，因为 ， ，存在 ，使得 ，即存在
唯一 使得 ．
综上所述，
当 时，函数 有两个“不动点” ， ；当 时，函数 有一个“不动点” ．
（3）记 ，由（1）知，
当 时，函数 单调递增，且 ；
当 时，函数 单调递增，且 ；
当 时，函数 单调递减，且当 趋向于无穷时， 的增长速率远远大于一次函数的增长
速率，则 ．
当 ，由（2）知
（其中 ）．
由 ，代入得 ．因为 ，所以此时 只有一个解；
因为 ，所以此时 有两个解，
故 共有三个解，不满足题意；
当 ，由（2）知
由 ，代入得 ，
当 时， 只有一个解 ，不满足题意，此时 ；
时， 共有两个解，满足题意，
综上所述，当 且 时方程有两个不同实数根．
