文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题04 导数的基本应用（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2022·全国·高考真题（理））当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知 ， 即可解得 ，再根据 即可解出．
【详解】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以
，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减，
时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.
2．（2022·全国·高考真题（文））函数 在区间 的最小值、最大值分别为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求得 的单调区间，从而判断出 在区间 上的最小值和最大值.
【详解】 ，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
3．（2022·全国·高考真题（理））已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 结合三角函数的性质可得 ;构造函数 ,利用导数可得
,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故 ，故 ，所以 ；
设 ，
，所以 在 单调递增，
故 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当 ，
取 得： ，故
，其中 ，且当 时， ，及
此时 ，
故 ，故
所以 ，所以 ，故选A
[方法三]：泰勒展开
设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A.
[方法四]：构造函数
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；设
， ，所以 在 单调递增，则 ,所以
，所以 ,所以 ，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；因为当
，取 得 ，故 ，所以 ．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式 放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
4．（2021·全国·高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出
两条切线.由此可知 .故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行
估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
5．（2022·全国·高考真题（文））已知函数 ，曲线 在点 处的切线
也是曲线 的切线．
(1)若 ，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）先由 上的切点求出切线方程，设出 上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值
求出 即可；
（2）设出 上的切点坐标，分别由 和 及切点表示出切线方程，由切线重合表示出 ，构造函数，
求导求出函数值域，即可求得 的取值范围.
（1）由题意知， ， ， ，则 在点 处的切线方程为
，
即 ，设该切线与 切于点 ， ，则 ，解得 ，则
，解得 ；
（2）
，则 在点 处的切线方程为 ，整理得
，
设该切线与 切于点 ， ，则 ，则切线方程为 ，整理得
，
则 ，整理得 ，
令 ，则 ，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 或 ，则 变化时， 的变化情况如下表：
0 1
0 0 0
则 的值域为 ，故 的取值范围为 .
总结规律 预测考向
（一）规律与预测1.高考对本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次
是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不
等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性
有机结合，设计综合题.
2.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小.
3.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问
题．
4.涉及导数的几何意义、单调性、极（最）值的求参数取值范围问题，是常考题型.
（二）本专题考向展示
考点突破 典例分析
考向一 导数的几何意义
【核心知识】
1. 基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cosx
f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax f′(x)＝axlna
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝log x f′(x)＝
a
f(x)＝ln x f′(x)＝
2．导数的运算法则
（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； f(x) f '(x)g(x)g'(x) f(x)
'
g(x) g2(x)
（3） (g(x)≠0)．
3.函数f(x)在x 处的导数是曲线f(x)在点P(x，f(x))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x)，
0 0 0 0
相应的切线方程为y－f(x)＝f′(x)·(x－x)．警示:求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的
0 0 0
切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.
【典例分析】
典例1. （2022·贵州遵义·高三期中（理））若直线 与曲线 相切，则切点的坐标为
_____________．
【答案】
【分析】设切点为 ，求出函数的导函数，即可得到方程组，解得即可.
【详解】解：设切点为 ，
， ，
又 ， ，解得 ，
∴切点坐标为 .
故答案为：
典例2.（2021·全国·高考真题）已知函数 ，函数 的图象在点 和点
的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是_______．
【答案】
【分析】结合导数的几何意义可得 ，结合直线方程及两点间距离公式可得 ，
，化简即可得解.【详解】由题意， ，则 ，
所以点 和点 ， ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
同理 ,
所以 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件 ，消去一个变量后，运算即可得解.
典例3.（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系 中，P是曲线 上的一个动点，则点P到
直线x+y=0的距离的最小值是_____.
【答案】4.
【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线 平移到与曲线 相切位置时，切点Q即为点P到直线 的距离最小.
由 ，得 ， ，
即切点 ，
则切点Q到直线 的距离为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
【总结提升】
1.求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法
(1)已知切点P(x ，y)，求y＝f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x )，由点斜式写出方程．
0 0 0
(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x ，y)，通过方程k＝f′(x0)解得x，再由点斜式写出
0 0 0
方程．
(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x ，y)，利用导数求得切线斜率f′(x )，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x，再由点斜
0 0 0 0
式或两点式写出方程．
2．一些距离类最值，可以转化为求一条直线上的点到一条曲线上的点的最小值，此时与已知直线平行的曲线
的切线到已知直线的距离即为最小值.
考向二 利用导数的几何意义求参数
【核心知识】
主要涉及公切线问题、两直线位置关系问题、切点坐标、切线的斜率（切线方程）问题以及与切线相关的距离
问题.
【典例分析】
典例4. （2022·河南·一模（理））已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 的值为
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数几何意义和垂直关系可得 ，解方程即可.
【详解】令 ，则 ，
在点 处的切线与 垂直， ，解得： .
故选：A.
典例5.（2021·全国·高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出
两条切线.由此可知 .故选：D.
典例6.（2022·全国·高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是___________．
【答案】
【分析】设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 的方程，根据
此方程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围.
【详解】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
【总结提升】
利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参
数的值或取值范围．
考向三 利用导数研究函数的单调性
【核心知识】
导数与单调性的关系
1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0；
2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有
单调性．
【典例分析】
典例7.（2022·全国·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
【注：此类问题已连年考查】
典例8.（2022·广西北海·一模（文））函数 的增区间为____________.
【答案】 ##
【分析】解不等式 即得解.
【详解】由题得 ，可得 .
故函数的增区间为 .
故答案为：
典例9.（2021·全国·高考真题（文））设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的图象与 轴没有公共点，求a的取值范围.
【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） .
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据 及（1）的单调性性可得 ，从而可求a的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为 ，
又 ，
因为 ，故 ，
当 时， ；当 时， ；所以 的减区间为 ，增区间为 .
（2）因为 且 的图与 轴没有公共点，
所以 的图象在 轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得 ，
故 即 .
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不
含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
【规律方法】
1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证) 不等式 (或 ).
2.利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函
数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数有：g(x)＝xf(x)，g(x)＝ ，g(x)
＝exf(x)，g(x)＝ ，g(x)＝f(x)ln x，g(x)＝ 等．
3.温馨提醒：
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域．
（2）单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认．
（3）所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字
隔开．
考向四 由函数的单调性求参数取值范围
【核心知识】
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，
从而转化为求函数的最值问题，求参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x) >0(或
max
f′(x) <0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求参数的取值范围.
min
【典例分析】
典例10.（2022·上海市进才中学高三期中）已知 在区间 上单调递增，则实数 的取
值范围是__________.
【答案】 .
【分析】求导后得到 在 上恒成立，参变分离后得到 在 上恒成立，
利用导函数求出 ，从而求出实数 的取值范围.
【详解】 ， ，
故只需 在 上恒成立，
则 在 上恒成立，
其中 在 上恒成立，
故 ，所以 ，
故答案为： .
典例11.（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数 在 上不单调，
则 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】结合函数的导数讨论单调性，确定函数在 上既有增区间又有减区间即可求解.
【详解】由题可知， ，
令 ，因为 ，所以 ，则 在 单调递减，
所以 ，
若 ，则 恒成立，即 恒成立，
则函数 在 上单调递减，不满足题意;
若 ，则 ，
因为 ， ,
所以 ，
所以由零点的唯一性定理可知， 在 必定存在唯一的零点记为 ，
所以当 时 ，即 ，
时 ，即 ，
所以 在 时单调递增， 时单调递减，满足题意;
综上得 ，
故答案为: .
典例12.（2019·北京·高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则
a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】 -1; .
【分析】首先由奇函数的定义得到关于 的恒等式，据此可得 的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值
范围.
【详解】若函数 为奇函数,则 ，
对任意的 恒成立.若函数 是 上的增函数,则 恒成立, .
即实数 的取值范围是
【总结提升】
1.利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.应用条件 (或
)， 恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取
值范围是 不恒等于0的参数的取值范围.
2.可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而
转化为不等式问题，求出参数的取值范围．再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
3.若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的
子集，从而求出参数的取值范围．
4.函数 在 上不单调，则转化为 在 上有解.
5.特别提醒：
（1）弄清参数对f′(x)符号的影响，分类讨论要不重不漏．
（2）已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况．
考向五 利用导数研究函数的极值、最值
【核心知识】
1.导数与极值、最值
(1)函数f(x)在x 处的导数f′(x)＝0且f′(x)在x 附近“左正右负”⇔f(x)在x 处取极大值；函数f(x)在x 处的导数
0 0 0 0 0
f′(x)＝0且f′(x)在x 附近“左负右正”⇔f(x)在x 处取极小值．
0 0 0
(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最大者”；函数
f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最小者”．
2．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【典例分析】
典例13.【多选题】（2022·全国·高考真题）已知函数 的图像关于点 中心对称，则（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得： ，所以 ， ，
即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．
对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调递减；
对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值点，由
，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
对C，当 时， ， ，直线 不是对称轴；
对D，由 得： ，
解得 或 ,从而得： 或 ,
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： 即 ．
故选：AD．
典例14.（2019·全国·高考真题（文））已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，记 在区间 的最大值为 ，最小值为 ，求 的取值范围.
【答案】(1)见详解；(2) .
【分析】(1)先求 的导数，再根据 的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论 的范围，利用函数单调性进
行最大值和最小值的判断，最终求得 的取值范围.
【详解】(1)对 求导得 .所以有
当 时， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增；
当 时， 区间上单调递增；
当 时， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增.
(2)
若 ， 在区间 单调递减，在区间 单调递增，所以区间 上最小值为 .而
，故所以区间 上最大值为 .
所以 ，设函数 ，求导当 时 从而 单调递减.而 ，所以 .即 的取值范围是 .
若 ， 在区间 单调递减，在区间 单调递增，所以区间 上最小值为 而
，故所以区间 上最大值为 .
所以 ，而 ，所以 .即 的取值范围是
.
综上得 的取值范围是 .
【特别提醒】
1.不能忽略函数 的定义域.
2. 是可导函数 在 处取得极值的必要不充分条件.
3.函数的极小值不一定比极大值小.
4.若函数在区间 上有唯一的极值点，则这个极值点也是最值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
考向六 函数的极（最）值相关参数问题
【核心知识】
由函数极值（个数）求参数的值或范围．
讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出
参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数
是否异号．
【典例分析】
典例15.（2021·全国·高考真题（理））设 ，若 为函数 的极大值点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对 进行分类讨
论，画出 图象，即可得到 所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意，
为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.
故选：D
典例16.（2022·广东实验中学高三阶段练习）设 ，若函数 在区间 有极值点，则 取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先对函数求导，根据函数在区间有极值点，转化为导函数有零点，再由零点存在定理列出不等式求解
即可.
【详解】 ， 为单调函数，所以函数在区间 有极值点，即 ，代入解得
，
解得 取值范围为 ，
故选：B．
典例17.（2022·全国·高考真题（理））已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小
值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图象有
两个不同的交点，构造函数 ，利用指数函数的图象和图象变换得到 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为 ，所以方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当时 ， ，即 图象在 上方
当 时， ，即 图象在 下方
，图象显然不符合题意，所以 ．
令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
设函数 ，则 ，
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，则 在
上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数
且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则 在 上单调递增，在 上单调递
减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数 且 的极小值
点和极大值点，且 ，则需满足 ， ，即
故 ，所以 .
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题
的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性
通法．典例18. （2022·北京海淀·高三期中）已知函数 ．
①当 时， 的极值点个数为__________；
②若 恰有两个极值点，则 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】①验证分段处函数值可知 为连续函数，由单调性可确定 和 是 的极值点，由此可
得极值点个数；
②验证分段处函数值可知 为连续函数，根据一次函数和二次函数单调性可确定 和 必为 的
两个极值点，得到 ；根据二次函数的单调性，结合极值点定义可知 在 上单调递增，即 ；
由此可得 的范围.
【详解】①当 时， ；
， 为连续函数；
在 上单调递增，在 上单调递减，
和 是 的极值点，即 的极值点个数为 ；
② ， 为连续函数，
为单调函数， 在 上无极值点；
又 在 上至多有一个极值点，
和 必为 的两个极值点， ，解得： ，又 在 上单调递减， 在 上单调递增， ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】易错点睛：本题考查函数极值点的定义、根据极值点个数求解参数范围的问题；本题易错的点在于根
据极值点个数求解参数范围时，确定 和 为 的两个极值点后，忽略在极值点左右两侧函数单调
性需发生改变，导致丢失 的范围.
【特别提醒】
1.已知函数极值（个数），确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
2．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，
需注意是否分类讨论．
3．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的
大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
考向七 利用导数研究函数图象
【核心知识】
函数的图象与函数的导数关系的判断方法
(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．
(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的
单调区间是否一致．
【典例分析】
典例19.（2022·贵州遵义·高三期中（理））函数 的大致图象为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】首先判断函数的奇偶性，利用导数说明函数在 上的单调性，即可判断.
【详解】解： 定义域为 ，且 ，
故 为偶函数，函数图象关于 轴对称，故排除A，
令 ，即 ，解得 ，
又 ，故排除D，
当 时 ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，即 在 上单调递增，在 上单调递增，故排除
C；
故选：B
典例20.（2022·辽宁大连·高三期中）下列函数的解析式（其中 …为自然对数的底数）与所给图像
最契合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题知，所求函数 的定义域为 ，为奇函数，在 上单调递减，在 上单调递增，且 时， ， 时， ，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：由图像可知，所求函数 的定义域为 ，为奇函数，在 上单调递减，在
上单调递增，且 时， ， 时， ，
故对于A选项，由幂函数性质可知， 为奇函数，且在 上单调递增，不满足题意；
对于B选项，函数 的定义域为 ，不满足；
对于C选项，函数 ，由于函数 在 上单调递增， 在
上单调递增，所以函数 在定义域 上为单调递增函数，故不满足；
对于D选项，易得函数 为奇函数， ，当 时， ，函数为减函数，
时， ，函数为增函数，且 时， ， 时， ，故满足条件.
故选：D
【规律方法】
1．抓住函数的性质，定性分析：
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；
（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
2．抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
