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第 3 讲 素养提升之立体几何新情境、新考法专项冲刺
目录
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
角度2：聚焦科技前沿
角度3：结合生产实践
角度4：渗透数学文化
角度5：强调五育并举
二、新考法
角度1：以给定定义、热点信息为背景
角度2：考查开放、探究精神
角度3：考查数学运算、数据分析得核心素养
角度4：相近学科融合
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
1．（多选）（2022·江苏南京·高三阶段练习）为庆祝党的二十大胜利召开，由南京市委党史办主办，各区
委党史办等协办组织的以“喜迎二十大 永远跟党走 奋进新征程”为主题的庆祝中共南京地方组织成立
周年知识问答活动正在进行，某党支部为本次活动设置了一个冠军奖杯，奖杯由一个铜球和一个托盘
组成，如图①，已知球的体积为 ，托盘由边长为 的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而
成，如图②.则下列结论正确的是（ ）
A．经过三个顶点 的球的截面圆的面积为B．异面直线 与 所成的角的余弦值为
C．连接 ，构成一个八面体 ，则该八面体 的体积为
D．点 到球面上的点的最小距离为
角度2：聚焦科技前沿
1．（2022·江苏省江浦高级中学高三阶段练习）长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建
设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流
罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近
似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为 ，则该
模型的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·南京市第十三中学高三期中）2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的
运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场．歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗
机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面
是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部空间大约（ ）立方米
A． B． C． D．
3．（多选）（2022·山东省青岛第十九中学高二期中）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在
两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用
这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长
为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体 的棱长为2，则下列说法正确的
是（ ）A．勒洛四面体 被平面 截得的截面面积是
B．勒洛四面体 内切球的半径是
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为
D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
角度3：结合生产实践
1．（2022·江苏徐州·高三期中）在气象观测中，用降水量表示下雨天气中雨量的大小.降水量的测量方法是
从天空降落到地面上的雨水，在未蒸发、渗透、流失的情况下，在水平面上积聚的雨水深度.降水量以mm
为单位，一般取一位小数.现某地10分钟的降雨量为13.1mm，小王在此地此时间段内用底面半径为5cm的
圆柱型量筒收集的雨水体积约为（其中 ）（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2022·黑龙江·哈九中高一期末）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，
在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差
（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总
曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四
面体在每个顶点的曲率为 ，故其总曲率为 ．给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有
（ ）
A．正方体在每个顶点的曲率均为B．任意四棱锥的总曲率均为 ；
C．若一个多面体满足顶点数V＝6，棱数E＝8，面数F＝12，则该类多面体的总曲率是 ；
D．若某类多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足 ，则该类多面体的总曲率是常数
3．（2022·辽宁抚顺·高三阶段练习）如图,某几何体的形状类似胶囊,两头都是半球,中间是圆柱,其中圆柱的
底面半径与半球的半径相等（半径大于1分米）.若该几何体的表面积为 平方分米,其体积为 立方分米,
则 的取值范围是__________.
4．（2022·河北保定·高三阶段练习）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高
铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领
先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体
三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为 ，则模型中九
个球的体积和为__________.
5．（2022·河北·石家庄市第四十四中学高一阶段练习）“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体
积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时
两圆柱公共部分形成的几何体（如图）.如图所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，其中
与 为相互垂直且全等的半椭圆面，它们的中心为 ， 为1.用平行于底面 的平面 去截
“四脚帐篷”所得的截面图形为______；当平面 经过 的中点时，截面图形的面积为______.6．（2022·全国·高三专题练习）天津滨海文化中心地天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志
性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图所示，中心球状建筑引起了小明的
注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面
边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 ________平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约
为 米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为__________立方米，你认为哪种方案好
呢？
角度4：渗透数学文化
1．（2022·广西玉林·高一期末）“粽子香，香厨房.艾叶香，香满堂.桃枝插在大门上，出门一望麦儿黄，
这儿端阳，那儿端阳，处处都端阳.”这是流传甚广的一首描写过端午节的民谣.同学们在劳动课上模拟制作
“粽子”，如图（1）的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，
可以得到如图（2）的“粽子”，则该“粽子”的体积为______；若在该“粽子”内放入一个“肉丸”，
“肉丸”的形状可近似地看成球，则该“肉丸”的体积的最大值为______.
2．（2022·北京一七一中高一阶段练习）《双行星》（图1）是荷兰著名版画家埃舍尔1949年的木刻作
品，该作品清晰展示了其试图结合不同世界的设想，基本结构是两个相同的正四面体相互交叉，为了便于观看，埃舍尔用黄白双色进行区分.可以看到，拥有高度文明的黄色的星球正在上演着人类的戏剧，规则的
建筑和寸草不生的地表，处在史前时代的白色的星球，怪石嶙峋，恐龙和原始植物相依.通过这种对比埃舍
尔似乎提出了一个警告，高度文明或许会消除了一切自然的痕迹.——《在埃舍尔的时空旅行》将《双行
星》抽象为图2的组合体，若两个正四面体棱长均为2，且相交处均为棱中点，求这个组合体体积
___________.两个正四面体相交，公共部分形成的几何体表面积是___________.
3．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学高二阶段练习（文））亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，
它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看
作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆
台部分的侧面积为（ ）
A． m2 B．3.6 m2 C．7.2 m2 D．11.34 m2
4．（2022·重庆市万州第二高级中学高三阶段练习）在古代，斗笠作为挡雨遮阳的器具，用竹篾夹油纸或
竹叶棕丝等编织而成，其形状可以看成一个圆锥体，在《诗经》有“何蓑何笠”的句子，说明它很早就为
人所用.已知某款斗笠如图所示，它的母线长为 ，侧面展开图是一个半圆，则该斗笠的底面半径为
（ ）
A．4 B． C． D．2
5．（2022·广东广州·高三阶段练习）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属
或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使
用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成
的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
角度5：强调五育并举
1．（2022·四川·绵阳中学高三阶段练习）颇受青年朋友喜欢的蛋白石六角锥灵摆吊坠如图（1）所示，现
在我们通过 手工制作一个六角锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为 ，该纸片
上的正六边形 的中心为 为圆O上的点，如图（2）所示．
分别是以 为底边的等腰三角形．
沿虚线剪开后，分别以 为折痕折起
，使 重合，得到六棱锥，当底面六边形
的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为___________ ．
2．（2022·上海师大附中高二期中）如图为一个圆锥形的金属配件，重75.06克，其轴截面是一个等边三
角形，现将其打磨成一个体积最大的球形配件，则该球形配件的重量约为______克.
3．（2022·全国·高一单元测试）早在15世纪，达・芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图1，先
制作三张一样的黄金矩形 ，然后从长边 的中点 出发，沿着与短边平行的方向
剪开一半，即 ，再沿着与长边 平行的方向剪出相同的长度，即 ，将这三个矩形穿插两两垂直放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2.若黄金矩形的短边长为4，则按如上制
作的正二十面体的表面积为______，其外接球的表面积为______.
二、新考法
角度1：以给定定义、热点信息为背景
1．（多选）（2022·湖南·长沙一中高二期中）在三维空间中，定义向量的外积： 叫做向量 与 的外
积，它是一个向量，满足下列两个条件：
① ， ，且 ， 和 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中
指的指向一致，如图所示）；
② 的模 ，( 表示向量 ， 的夹角)．
在正方体 中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A． B． 与 共线
C． D． 与正方体表面积的数值相等
角度2：考查开放、探究精神
1．（2022·北京市第十二中学高一阶段练习）球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形
（特别是三角形）的角､边､面积等问题，其在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径
的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大
圆上的点 ， ， ，过任意两点的大圆上的劣弧 ， ， 所组成的图形称为球面 ，记其面
积为 .易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的 和 ；若球面上 ， ， 的对径点分别为 ， ， ，则球面 与球面 全等.如图2，已知球 的半径为 ，圆弧 和
所在平面交成的锐二面角 的大小为 ，圆弧 和 所在平面､圆弧 和 所在平面交成的
锐二面角的大小分别为 ， .记 .
（1）用 表示 __________.
（2）用 表示 __________.
角度3：考查数学运算、数据分析得核心素养
1．（2022·福建·高三阶段练习）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的
连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该
沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为 ，细沙全部在上部，其
高度为圆锥高度的 （细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下 的沙，则该沙漏的一个沙时大
约是（ ）
A．1895秒 B．1896秒 C．1985秒 D．2528秒
2．（2022·广东·深圳科学高中高二阶段练习）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出
土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高
乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式 ，一
个圆锥的侧面展开图扇形的中心角为 ，半径为5．按上述公式计算该几何体的体积为（ ）．（计算时
圆周率近似取3）
A．48 B．49 C．52 D．543．（2022·全国·高三专题练习）如图是一个由三根细棒 、 、 组成的支架，三根细棒 、 、
两两所成的角都为 ，一个半径为 的小球放在支架上，则球心 到点 的距离是（ ）
A． B． C． D．
角度4：相近学科融合
1．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃
的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛的用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（每
个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6
个顶点．若相邻两个氟原子之间的距离为 ，则以六氟化硫分子中6个氟原子为顶点构成的正八面体的
体积是（ ）．（氟原子的大小可以忽略不计）
A． B． C． D．
2．（多选）（2022·山东·日照市教育科学研究中心高二期中）金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所
示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原
子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点
处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有
，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是（ ）A． B．
C． D．
3．（多选）（2022·重庆第二外国语学校高二期中）十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含
有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐，生活中常用于净水，我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明
矾晶体的结构，即为一个正八面体 （如图）.假设该正八面体的所有棱长均为2，则（ ）
A．以正八面体各面中心为顶点的几何体为正方体
B．直线 与平面 所成的角为
C．正八面体的表面积为
D．二面角 的余弦值为
4．（2022·全国·高三专题练习）金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的
最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的 个顶点， 个面的中心，此外在立方体的对角线的 处也
有 个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周
围都有 个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为 ，则正四面体 的棱长为
__________；正四面体 的外接球的体积是__________．
