文档内容
第 3 讲 素养提升之立体几何新情境、新考法专项冲刺
目录
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
角度2：聚焦科技前沿
角度3：结合生产实践
角度4：渗透数学文化
角度5：强调五育并举
二、新考法
角度1：以给定定义、热点信息为背景
角度2：考查开放、探究精神
角度3：考查数学运算、数据分析得核心素养
角度4：相近学科融合
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
1．（多选）（2022·江苏南京·高三阶段练习）为庆祝党的二十大胜利召开，由南京市委党史办主办，各区
委党史办等协办组织的以“喜迎二十大 永远跟党走 奋进新征程”为主题的庆祝中共南京地方组织成立
周年知识问答活动正在进行，某党支部为本次活动设置了一个冠军奖杯，奖杯由一个铜球和一个托盘
组成，如图①，已知球的体积为 ，托盘由边长为 的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而
成，如图②.则下列结论正确的是（ ）
A．经过三个顶点 的球的截面圆的面积为B．异面直线 与 所成的角的余弦值为
C．连接 ，构成一个八面体 ，则该八面体 的体积为
D．点 到球面上的点的最小距离为
【答案】ACD
【详解】如图1，取 的中点分别为 ，连接
根据题意可得： 均垂直于平面 ，可知
∵ 的边长为2，设 的外接圆半径为r，则
∴ ，则 的外接圆面积为
∴经过三个顶点 的球的截面圆的面积为 ，A正确；
八面体 由三个全等的四棱锥 和直棱柱 组合而成
直棱柱 的底面边长为2，高 ，则其体积为
设 ，则 为 的中点
∵ 平面 ， 平面
∴
又∵ 为等边三角形且 为 的中点，则
， 平面
∴ 平面
即四棱锥 的高为 ，则其体积
∴八面体 的体积为 ，C正确；
设 的中心分别为 ，球的球心为 ，由题意可得其半径
则可知 三点共线，连接
则可得：
点 到球面上的点的最小距离为 ，D正确；如图2，以G为坐标原点建立空间直角坐标系
则有：
∴
又∵
∴异面直线 与 所成的角的余弦值为 ，B错误；
故选：ACD.
角度2：聚焦科技前沿
1．（2022·江苏省江浦高级中学高三阶段练习）长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建
设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流
罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近
似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为 ，则该
模型的体积最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆锥的高为 ，则圆柱的高为 ，底面圆半径为 ，
则该模型的体积 ，
令 ，则 ，由 得 ，
当 时 ，当 时 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ，
故选：C
2．（2022·江苏·南京市第十三中学高三期中）2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的
运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场．歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗
机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面
是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部空间大约（ ）立方米
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形可知，圆锥底面半径为1米，圆锥高为 米，
根据圆锥体积公式得 .
故选:B
3．（多选）（2022·山东省青岛第十九中学高二期中）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在
两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用
这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长
为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体 的棱长为2，则下列说法正确的
是（ ）A．勒洛四面体 被平面 截得的截面面积是
B．勒洛四面体 内切球的半径是
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为
D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
【答案】CD
【详解】对于A，
故A错误，截面示意图如下：
对于B，由对称性知,勒洛四面体 内切球球心是正四面体 的内切球、外接球球心 ,如图：
正 外接圆半径 ,正四面体 的高 ,令正四面体
的外接球半径为 ,
在 中, ，解得 ,
此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：图中取正四面体 中心为 ,连接 交平面 于点 ，交 于点 ，其中 与 共面，其
中 即为正四面体外接球半径 ，设勒洛四面体内切球半径为 ，则由图得
，故B错误；
对于C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，由对A的分析知
，故C正确；
对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切,即为勒洛四面体内切球,所以勒洛四
面体 能够容纳的最大球的半径为 ，故D正确.
故选：CD．
角度3：结合生产实践
1．（2022·江苏徐州·高三期中）在气象观测中，用降水量表示下雨天气中雨量的大小.降水量的测量方法是
从天空降落到地面上的雨水，在未蒸发、渗透、流失的情况下，在水平面上积聚的雨水深度.降水量以mm
为单位，一般取一位小数.现某地10分钟的降雨量为13.1mm，小王在此地此时间段内用底面半径为5cm的
圆柱型量筒收集的雨水体积约为（其中 ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
故选：D.
2．（多选）（2022·黑龙江·哈九中高一期末）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，
在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差
（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总
曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四
面体在每个顶点的曲率为 ，故其总曲率为 ．给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有
（ ）A．正方体在每个顶点的曲率均为
B．任意四棱锥的总曲率均为 ；
C．若一个多面体满足顶点数V＝6，棱数E＝8，面数F＝12，则该类多面体的总曲率是 ；
D．若某类多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足 ，则该类多面体的总曲率是常数
【答案】ABD
【详解】对于A，根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为 ，故A正确；
对于B，由定义可得多面体的总曲率 顶点数 各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为
4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为 ，故B正确；
对于C，由多面体顶点数、面数、棱数的关系有 ，而选项C中所给的多面体的顶点数、面数、
棱数不满足此关系式，故不能构能多面体，故C不正确；
对于D，设每个面记为 边形，
则所有的面角和为 ，
根据定义可得该类多面体的总曲率 为常数，故D正确.
故选：ABD.
3．（2022·辽宁抚顺·高三阶段练习）如图,某几何体的形状类似胶囊,两头都是半球,中间是圆柱,其中圆柱的
底面半径与半球的半径相等（半径大于1分米）.若该几何体的表面积为 平方分米,其体积为 立方分米,
则 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】解:设圆柱的底面半径与高分别为 分米, 分米,
则该几何体的表面积 平方分米,
则 ,因为 ,所以 ,
所以该几何体的体积 ,
则 ,
当 时, ,则 在 上单调递增,
而 ,
故 的取值范围是 .
故答案为:
4．（2022·河北保定·高三阶段练习）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高
铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领
先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体
三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为 ，则模型中九
个球的体积和为__________.
【答案】
【详解】如图所示正四面体 ，设棱长为 ，高为 ， 为正四面体 内切球的球心，延长
交底面 于 ， 是等边三角形 的中心，过 作 交 于 ，连接 ，
则 为正四面体 内切球的半径，因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以正四面体 内切球的体积 ，
由图可知最大球内切于高 的正四面体中，最大球半径 ，
故最大球体积为 ；
中等球内切于高 的正四面体中，中等球半径 ，
故中等球的体积为 ；
最小求内切于高 的正四面体中，最小球半径 ，
故最小求的体积为 ；
所以九个球的体积和 ，
故答案为： .
5．（2022·河北·石家庄市第四十四中学高一阶段练习）“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体
积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时
两圆柱公共部分形成的几何体（如图）.如图所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，其中
与 为相互垂直且全等的半椭圆面，它们的中心为 ， 为1.用平行于底面 的平面 去截
“四脚帐篷”所得的截面图形为______；当平面 经过 的中点时，截面图形的面积为______.【答案】 正方形 3
【详解】
由题知底面ABCD是正方形
因为APC与BPD为相互垂直且全等的半椭圆面
所以平面 与各半椭圆面的相交线段相等且垂直,故其截面为正方形.
如图,正方形 即为平面 与四脚帐篷所截的图形,面
取 的中点 ,作平面PFO,则平面PFO与四脚帐篷的交线为一个圆,半径
所以
当平面 经过OP的中点,即 时,
所以正方形 的边长为
即截面图形的面积为
故答案为 ：正方形;3
6．（2022·全国·高三专题练习）天津滨海文化中心地天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志
性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图所示，中心球状建筑引起了小明的
注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面
边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 ________平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约
为 米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为__________立方米，你认为哪种方案好呢？
【答案】
【详解】方案甲: 过球心作与正三棱柱底面平行的截面，如图,
则 , ,
所以 ,
即 ,
所以
方案乙，由周长可得截面圆半径 ，
过球心作重直于地面的截面，如图，
由直角三角形可得 ,
代入可解得： ，
，
方案乙好. 由于球太大,方案甲不太好实施.
故答案为： ；
角度4：渗透数学文化1．（2022·广西玉林·高一期末）“粽子香，香厨房.艾叶香，香满堂.桃枝插在大门上，出门一望麦儿黄，
这儿端阳，那儿端阳，处处都端阳.”这是流传甚广的一首描写过端午节的民谣.同学们在劳动课上模拟制作
“粽子”，如图（1）的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，
可以得到如图（2）的“粽子”，则该“粽子”的体积为______；若在该“粽子”内放入一个“肉丸”，
“肉丸”的形状可近似地看成球，则该“肉丸”的体积的最大值为______.
【答案】
【详解】该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，
如图，在棱长为1的正四面体 中，
取 的中点 ，连接 ， ，作 平面 ，垂足 在 上，
则 ， ， ，
则该六面体的体积为
当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，球心为 ，且该球与 相切，
过球心 作 ，则 就是球的半径，
因为 ，所以球的半径 ，
所以该球的体积为故答案为: ,
2．（2022·北京一七一中高一阶段练习）《双行星》（图1）是荷兰著名版画家埃舍尔1949年的木刻作
品，该作品清晰展示了其试图结合不同世界的设想，基本结构是两个相同的正四面体相互交叉，为了便于
观看，埃舍尔用黄白双色进行区分.可以看到，拥有高度文明的黄色的星球正在上演着人类的戏剧，规则的
建筑和寸草不生的地表，处在史前时代的白色的星球，怪石嶙峋，恐龙和原始植物相依.通过这种对比埃舍
尔似乎提出了一个警告，高度文明或许会消除了一切自然的痕迹.——《在埃舍尔的时空旅行》将《双行
星》抽象为图2的组合体，若两个正四面体棱长均为2，且相交处均为棱中点，求这个组合体体积
___________.两个正四面体相交，公共部分形成的几何体表面积是___________.
【答案】
【详解】由题知组合体体积为一个棱长为2的大正四面体与四个棱长为1的小正四面体的体积之和，
故组合体的体积为： ．
两个正四面体相交，公共部分为两个同底的正四棱锥的组合体，每个四棱锥的棱长均为1，则该几何体的
表面积为8个边长为1的正三角形之和，即 ，
故答案为： ； ．
3．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学高二阶段练习（文））亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，
它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看
作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆
台部分的侧面积为（ ）
A． m2 B．3.6 m2 C．7.2 m2 D．11.34 m2
【答案】A【详解】由圆台的轴截面图，母线 ，
所以该圆台侧面积 .
故选：A.
4．（2022·重庆市万州第二高级中学高三阶段练习）在古代，斗笠作为挡雨遮阳的器具，用竹篾夹油纸或
竹叶棕丝等编织而成，其形状可以看成一个圆锥体，在《诗经》有“何蓑何笠”的句子，说明它很早就为
人所用.已知某款斗笠如图所示，它的母线长为 ，侧面展开图是一个半圆，则该斗笠的底面半径为
（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】C
【详解】设底面半径为 ，底面圆周长 ，
斗笠母线长 ，侧面展开图一个半圆，则此半圆的弧长 ，
所以 ，
故选：C.
5．（2022·广东广州·高三阶段练习）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属
或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使
用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成
的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同
一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】底面边长为 ，底面的对角线长为 .
设正四棱柱和正四棱锥的高为 ，外接球的半径为 ，则 ，
解得 ，
所以外接球的表面积为 .
故选：C
角度5：强调五育并举
1．（2022·四川·绵阳中学高三阶段练习）颇受青年朋友喜欢的蛋白石六角锥灵摆吊坠如图（1）所示，现
在我们通过 手工制作一个六角锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为 ，该纸片
上的正六边形 的中心为 为圆O上的点，如图（2）所示．
分别是以 为底边的等腰三角形．
沿虚线剪开后，分别以 为折痕折起
，使 重合，得到六棱锥，当底面六边形
的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为___________ ．
【答案】 ##
【详解】连接 ，交 于点H，由题意得 ，
设 cm，则 cm， cm因为 所以 ，
六棱锥的高 cm．
正六边形 的面积 cm2，
则六棱锥的体积 cm3．
令函数 ，
则 ，
当 时， ，
当 时，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 cm3．
故答案为：
2．（2022·上海师大附中高二期中）如图为一个圆锥形的金属配件，重75.06克，其轴截面是一个等边三
角形，现将其打磨成一个体积最大的球形配件，则该球形配件的重量约为______克.
【答案】33.36
【详解】设圆锥形的体积为： ，底面半径为 ；内切球的体积为： ，
， ，
.
故答案为：33.363．（2022·全国·高一单元测试）早在15世纪，达・芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图1，先
制作三张一样的黄金矩形 ，然后从长边 的中点 出发，沿着与短边平行的方向
剪开一半，即 ，再沿着与长边 平行的方向剪出相同的长度，即 ，将这三个矩形穿
插两两垂直放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2.若黄金矩形的短边长为4，则按如上制
作的正二十面体的表面积为______，其外接球的表面积为______.
【答案】
【详解】正二十面体的表面是20个全等的等边三角形，
且每个等边三角形的边长都等于黄金矩形的短边长4.
所以表面积为：
根据对称性可知：三个黄金矩形的对角线交于一点, 设该点为
则每个顶点到点 的距离都相等且等于黄金矩形的对角线的一半.
所以外接球的球心在所有黄金矩形的对角线交点处，
黄金矩形的短边长为4，设长边为 ，则 ，即
所以黄金矩形的对角线长为
所以外接球的半径为：
所以外接球的表面积为：
故答案为： （1） （2）二、新考法
角度1：以给定定义、热点信息为背景
1．（多选）（2022·湖南·长沙一中高二期中）在三维空间中，定义向量的外积： 叫做向量 与 的外
积，它是一个向量，满足下列两个条件：
① ， ，且 ， 和 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中
指的指向一致，如图所示）；
② 的模 ，( 表示向量 ， 的夹角)．
在正方体 中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A． B． 与 共线
C． D． 与正方体表面积的数值相等
【答案】ABD
【详解】解：对于A，设正方体的棱长为 ，在正方体中 ，
则 ，
因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以A正确；
对于B， ， ， ， 平面 ， 平面 ，因为 平面 ，所以 ，同理可证 ，
再由右手系知， 与 同向，所以B正确；
对于C，由 ， 和 构成右手系知， 与 方向相反，
又由 模的定义知， ，
所以 ，则 ，所以C错误；
对于D，正方体棱长为 ， ，
正方体表面积为 ，所以D对．
故选：ABD．
角度2：考查开放、探究精神
1．（2022·北京市第十二中学高一阶段练习）球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形
（特别是三角形）的角､边､面积等问题，其在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径
的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大
圆上的点 ， ， ，过任意两点的大圆上的劣弧 ， ， 所组成的图形称为球面 ，记其面
积为 .易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的 和 ；若球面上 ， ， 的对
径点分别为 ， ， ，则球面 与球面 全等.如图2，已知球 的半径为 ，圆弧 和
所在平面交成的锐二面角 的大小为 ，圆弧 和 所在平面､圆弧 和 所在平面交成的
锐二面角的大小分别为 ， .记 .（1）用 表示 __________.
（2）用 表示 __________.
【答案】 ##
【详解】由题意知：球面 与球面 全等，球面 与球面 全等，
则 ，
又圆弧 和 所在平面交成的锐二面角 的大小为 ，则球面 和球面 的面积占球
表面积的 ，
则 ；
，又球面 与球面 全等，
则 ，则 .
故答案为： ； .
角度3：考查数学运算、数据分析得核心素养
1．（2022·福建·高三阶段练习）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的
连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该
沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为 ，细沙全部在上部，其
高度为圆锥高度的 （细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下 的沙，则该沙漏的一个沙时大
约是（ ）A．1895秒 B．1896秒 C．1985秒 D．2528秒
【答案】C
【详解】沙漏中的细沙对应的圆锥底面半径为 ，高为 ，
所以细沙体积为
所以该沙漏的一个沙时为 秒，
故选：C
2．（2022·广东·深圳科学高中高二阶段练习）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出
土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高
乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式 ，一
个圆锥的侧面展开图扇形的中心角为 ，半径为5．按上述公式计算该几何体的体积为（ ）．（计算时
圆周率近似取3）
A．48 B．49 C．52 D．54
【答案】A
【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，
则圆锥的底面周长 ，
所以 ，高 ，
由近似公式得 ．
故选：A．
3．（2022·全国·高三专题练习）如图是一个由三根细棒 、 、 组成的支架，三根细棒 、 、
两两所成的角都为 ，一个半径为 的小球放在支架上，则球心 到点 的距离是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，连接 ，作 所在外接圆圆心 ，连接 ，设 ，由 、
、 两两所成的角都为 可得 ，因为 为 几何中心，所以
，易知对 和 ， ，所以
，所以 ，即 ，解得 .
故选：C
角度4：相近学科融合
1．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃
的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛的用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（每
个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6
个顶点．若相邻两个氟原子之间的距离为 ，则以六氟化硫分子中6个氟原子为顶点构成的正八面体的
体积是（ ）．（氟原子的大小可以忽略不计）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，连接 ，设 交于点 ，连接 ，
因为 ， 为 的中点，也是 的中点，
所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
令相邻两个氟原子之间的距离为 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
因为四边形 为正方形，所以 ，
所以 ，
所以该正八面体的体积是 ，
故选：D
2．（多选）（2022·山东·日照市教育科学研究中心高二期中）金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所
示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原
子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有
，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】由题意得 是四面体 外接球的球心，
设 是顶点 在下底面的射影，AO是四面体的高，OB是 的外接圆半径，
则 ， ， ，
解得 ， ，
对于A， ，故A错误；
对于B，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D正确，
故选：BD
3．（多选）（2022·重庆第二外国语学校高二期中）十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含
有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐，生活中常用于净水，我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明
矾晶体的结构，即为一个正八面体 （如图）.假设该正八面体的所有棱长均为2，则（ ）A．以正八面体各面中心为顶点的几何体为正方体
B．直线 与平面 所成的角为
C．正八面体的表面积为
D．二面角 的余弦值为
【答案】AC
【详解】对于A，如图，
根据一个正多面体和以它的各面中心为顶的正多面体，叫做互为对偶的正多面体，
根据对偶原则，每种多面体都存在对偶多面体，一种多面体的对偶多面体的对偶多面体等同该种多面体，
由于正方体与正八面体是对偶多面体， 所以以正八面体各面中心为顶点的几何体为正方体，A正确；
对于B，如图，
连接 、 、 交于点 ，
根据正八面体的几何特征，则有四边形 、四边形 为正方形，
， ，又 ，
平面 ，直线 与平面 所成的角为 ，
在 中， ， ，
，B错误；
对于C， 正八面体的所有棱长均为 ，
正八面体的表面积 ，C正确；
对于D，如图，
取 的中点 ，连接 ， ，
根据正八面体的几何特征， ， ，
又 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
为二面角 的平面角，
在 中， ，
在 中， ，同理 ，
在 中， ，D错误.
故选：AC.
4．（2022·全国·高三专题练习）金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的
最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的 个顶点， 个面的中心，此外在立方体的对角线的 处也
有 个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周
围都有 个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为 ，则正四面体 的棱长为
__________；正四面体 的外接球的体积是__________．【答案】
【详解】依题意可知， 为正四面体 的中心，如图：
连接 ，延长交平面 于点 ，则 为△ 的中心，
所以设 ， ，
因为 ，所以 ，
由 ，得 ，
得 ，解得 ，
所以正四面体 的棱长为 .
依题意可知，正四面体 的外接球的圆心为 ，半径为 ，
所以正四面体 的外接球的体积是 .
故答案为： ； .
