4.2 等差数列
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：等差数列的有关概念....................................................... 2
考点二：等差中项......................................................................2
考点三：等差数列的通项公式....................................................... 2
考点四：等差数列与一次函数....................................................... 2
考点五：等差数列的单调性.......................................................... 2
考点六：等差数列的四种判断方法................................................. 3
考点七：等差数列的性质............................................................. 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：等差数列的判定............................................................. 3
题型二：等差数列的通项公式及其应用............................................6
题型三：等差数列通项公式基本量计算............................................8
题型四：等差中项及其应用........................................................ 10
题型五：等差数列性质的应用......................................................12
题型六：等差数列的单调性........................................................ 14
题型七：等差数列的最值........................................................... 15
题型八：构造等差数列.............................................................. 17
题型九：等差数列的实际应用......................................................19
题型十：等差数列在传统文化中的应用问题.................................... 21
模块三：综合巩固....................................................................... 22
4.2 等差数列
模块一：基础知识
考点一：等差数列的有关概念
一般地,如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,
这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示．
考点二：等差中项
由三个数a ，A ,b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, A 叫做a 与b 的等差中项.这三
个数满足关系式2A
a
b
.
考点三：等差数列的通项公式
首项为
1a ,公差为d 的等差数列{
}
na
的通项公式为
1
(
1)
na
a
n
d
.
(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量
1a , d 和n 的表达式,所以由首项
1a 和公差d 可以求出数列中的
任意一项.
(2)等差数列的通项公式可以推广为
(
)
n
m
a
a
n
m d
,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求
出其他的任意一项.
考点四：等差数列与一次函数
等差数列
一次函数
表达式：
1
(
1)
na
a
n
d
1
(
)
na
dn
a
d
( )
(
0)
f x
kx
b k
不同点
①定义域N *.
②图象是一系列均匀分布在同一
直线上的孤立的点.
①定义域为R .
②图象是一条直线.
相同点
①当
0
d
时,等差数列的通项公式与一次函数的
解析式都是关于自变量的一次式.
②等差数列中的
1a ,d , n ,
na 四个量中知三求一和
一次函数中求k ,b 的方法都是解方程(组).
考点五：等差数列的单调性
①当
0
d
，等差数列{
}
na
为递增数列
②当
0
d
，等差数列{
}
na
为递减数列
③当
0
d
，等差数列{
}
na
为常数列
考点六：等差数列的四种判断方法
(1)定义法
1
n
n
a
a
d
（或者
1
2)
n
n
a
a
d n
（
）(d 是常数)
{
}
n
a
是等差数列．
(2)等差中项法：
1
1
2
(
2)
n
n
n
a
a
a
n
(n
N
)
{
}
n
a
是等差数列．
(3)通项公式：
n
a
pn
q
( ,p q 为常数)
{
}
n
a
是等差数列．（
na 可以看做关于n 的一次函数）
(4)前n 项和公式：
2
n
S
An
Bn
(
,
A B 为常数)
{
}
n
a
是等差数列．(
n
S 可以看做关于n 的二次函数，
但是不含常数项C ）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
考点七：等差数列的性质
①
(
)
n
m
a
a
n
m d
②若n
m
p
q
，则
n
m
p
q
a
a
a
a
（特别的，当
2
n
m
p
，有
2
n
m
p
a
a
a
）
③若{
}
na
是等差数列,公差为d ,则
2
{
}
n
a
也是等差数列,公差为2d .
④若{
}
na
是公差为d 的等差数列,则
ka ，
k m
a ，
2
k
m
a
,…( ,k m
N
)组成公差为md 的等差数列.
⑤若数列{
}
na
为等差数列,公差为d ,则{
}
na
m
( ,m
为常数)是公差为d
的等差数列.
⑥若{
}
na
,{ }
nb
分别是以
1d ,
2
d 为公差的等差数列,则{
}
n
n
pa
qb
是以
1
2
pd
qd
为公差的等差数列.
模块二：题型分类
题型一：等差数列的判定
1．下列数列不是等差数列的是（
）
A．0,0,0,
,0,
B．2, 1,0,
,
3,
n
C．
1
1
2
5
1,
,
,
,
,
3
3
3
3
n
D．
1
1, 1,1,
,
1
,
n
【答案】D
【分析】根据等差数列定义依次判断各个选项即可.
【解析】对于A，数列为常数列，是等差数列；
对于B，
3
1 3
1
n
n
，数列是公差为1的等差数列；
对于C，
2
5
2
5
2
1
3
3
3
3
3
n
n
，数列是公差为
2
3
的等差数列；
对于D，
1
1
1
1
1
1 1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
，数列不是等差数列.
故选：D.
2．已知等差数列
na
，则使数列
nb
一定为等差数列的是(
)
A．
n
n
b
a
B．
2
n
n
b
a
C．
n
n
b
a
D．
1
n
n
b
a
【答案】A
【分析】根据等差数列的定义，结合特例法逐一判断即可.
【解析】∵数列{an}是等差数列，
∴设an＋1－an＝d(常数)．
对于A：bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，所以该选项符合题意，
设等差数列为1,0,1,2,
.
显然1,0,1,4,不是等差数列，选项B 不符合题意；
因为1
没有算术平方根，故选项C 也不符合题意；因为0 没有倒数，选项D 也不符合题意，
故选：A.
3.已知数列
na
满足：
m
，
*
nN ，
m n
m
n
a
a
a
.若
2022
2022
a
，则
1a （
）
A．1
B．2
C．3
D．2022
【答案】A
【详解】令
1
m ，则
1
1
n
n
a
a
a
故
1
1
n
n
a
a
a
，
1a
为常数，
故数列
na
是等差数列
1
1
n
n
a
a
a
d
2022
1
1
2022
1
2022
2022
a
a
d
a
1
1
a
故选：A.
4.已知数列
na
的前n 项和为
2
3
n
S
n
n
，求证：数列
na
是等差数列．
【详解】证明：已知数列
na
的前n 项和为
2
3
n
S
n
n
当
2
n
时，
2
2
1
1
3
1
5
4
n
S
n
n
n
n
所以
2
2
1
3
5
4
2
4
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
又当
1
n 时，
2
1
1
1
3 1
2
a
S
符合上式，所以
*
2
4
N
na
n
n
则
1
2
2
2
4
2
n
n
a
a
n
n
，所以数列
na
是等差数列
5.已知数列
na
满足
1
2
2
n
n
n
a
a
a
，证明：
na
为等差数列.
【答案】证明见解析
【详解】证明：设
1
n
n
a
a
d
，由
1
2
2
n
n
n
a
a
a
可得
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
，
从而可得
2
1
a
a
d
，
3
2
a
a
d
，L，
1
n
n
a
a
d n
N
，L，
由上可知，对任意的n
N ，
1
n
n
a
a
d
（常数），
因此，数列
na
为等差数列.
6.（多选）设数列
na
的前n 项和为
N
n
S
n
，则下列能判断数列
na
是等差数列的是（
）
A．
n
S
n
B．
2
n
S
n
n
C．
2n
n
S
D．
2
1
n
S
n
n
．
【答案】AB
【详解】对于A，当
,
2
n
n
N
时，
1
(
1)
1
n
n
n
a
S
S
n
n
，而
1
1
1
a
S
满足上式，
则
1
na ，数列
na
是常数数列，是等差数列，A 是；
对于B，当
,
2
n
n
N
时，
2
2
1
(
1)
(
1)
2
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
，而
1
1
2
a
S
满足上式，
则有
2
na
n
，数列
na
的通项是n 的一次整式，是等差数列，B 是；
对于C，当
,
2
n
n
N
时，
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
S
S
，而
1
1
2
a
S
不满足上式，
则
1
2,
1
2
,
2
n
n
n
a
n
，显然
2
1
3
2
0
2
a
a
a
a
，数列
na
不是等差数列，C 不是；
对于D，当
,
2
n
n
N
时，
2
2
1
1
(
1)
(
1) 1
2
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
，而
1
1
3
a
S
不满足上式，
则
3,
1
2 ,
2
n
n
a
n n
，显然
2
1
3
2
1
2
a
a
a
a
，数列
na
的不是等差数列，D 不是.
故选：AB
7.已知数列
na
的前n 项和为
2
2
n
S
n
n
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)求证：数列
na
是等差数列．
【答案】(1)
2
1
na
n
；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由
N
n
，
2
2
n
S
n
n
，得当
2
n
时，
2
1
1
2
1
n
S
n
n
，
于是
2
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
，
而当
1
n 时，
2
1
1
1
2 1
3
a
S
亦满足上式，
所以数列
na
的通项公式为
2
1
na
n
.
（2）由（1）知，
2
1
na
n
，当
2
n
时，
1
2
1
1
2
1
na
n
n
，
因此
1
2
1
2
1
2
n
n
a
a
n
n
．
所以数列
na
是一个以2 为公差的等差数列．
8．给出下列命题：
①数列6，4，2，0 是公差为2 的等差数列；
②数列
1,
2
3
a a
a
a
,
,
是公差为1
的等差数列；
③等差数列的通项公式一定能写成
na
kn
b
的形式(k，b 为常数)；
④数列
2
1
n
n
N
是等差数列.
其中正确命题的序号是（
）
A．①②
B．①③
C．②③④
D．③④
【答案】C
【解析】对于①，②，④利用等差数列的定义判断，对于③，对等差数的通项公式化简即可判断
【解析】解：根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0 的公差为2
，①错误；
对于②，由等差数列的定义可知，数列
1,
2
3
a a
a
a
,
,
是公差为1
的等差数列，所以②正确；
对于③，由等差数列的通项公式
1
(
1)
na
a
n
d
，得
1
(
)
na
dn
a
d
，令
1
,
k
d b
a
d
，则
na
kn
b
，
所以③正确；
对于④，因为
1
2(
1) 1 (2
1)
2
n
n
a
a
n
n
，所以数列
2
1
n
n
N
是等差数列.，所以④，
故选：C
题型二：等差数列的通项公式及其应用
1．数列3，5，7，9，…的通项公式
na （
）
A．2n
B．2
1
n
C．2
1
n +
D．2
3
n
【答案】C
【分析】根据等差数列的定义求得
na .
【解析】由于5
3=7
5=9
7=2
，
所以数列
na
是首项为3 ，公差为2 的等差数列，
所以
=3
1
2=2
1
na
n
n
.
故选：C
2.若数列
na
满足
1
2
a
，
1
1
n
n
a
a
，则数列
na
的通项公式为
na （
）
A．
2
1
n
B．
3
n
C．(
3)
2
n n
D．
1
n
【答案】D
【详解】因为
1
1
n
n
a
a
，
所以
na
是以2 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
2
(
1) 1
1
na
n
n
.
故选：D
3.已知数列
na
满足
1
2
a
，
1
1
2
2
0
n
n
n
n
a
a a
a
，则
na
．
【答案】2
n
【详解】由
1
1
2
2
0
n
n
n
n
a
a a
a
变形为
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
a a
，
等式两边同除以
1
2
n
n
a a 得，
1
1
1
1
2
n
n
a
a
，
故
1
na
为公差为1
2 的等差数列，
所以
1
1
1
1
2
2
n
n
n
a
a
，所以
2
na
n
．
故答案为：2
n
4．数列
na
中，
1
2
a ，
1
1
n
n
a
a
，则
25
a
（
）
A．21
B．22
C．23
D．24
【答案】B
【分析】根据定义法判断等差数列，写出其通项公式后直接求解即可.
【解析】由题意知，
na
是首项为2
，公差为1的等差数列，
所以
2
1
1
3
na
n
n
，
则
25
25
3
22
a
.
故选：B
5.已知数列
na
满足
1
1
a ，且
2
1
1
2
2
n
n
na
n
a
n
n
.证明：数列
na
n
是等差数列，并求
na
的通项公
式.
【答案】证明见解析，
2
2
na
n
n
【详解】证明：在等式
2
1
1
2
2
n
n
na
n
a
n
n
两边同时除以
1
n n
，可得
1
2
1
n
n
a
a
n
n
，
所以，数列
na
n
为等差数列，且其首项为
1
1
1
a ，公差为2 ，
因此，
1
2
1
2
1
na
n
n
n
，故
2
2
na
n
n n
N
.
6.已知数列
na
满足
1
7
4
a
，
1
2
2
1
n
n
a
a
，则当
0
na
时，n 的最大值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．7
【答案】B
【详解】因为
1
7
4
a
,
1
2
2
1
n
n
a
a
，所以
1
1
2
n
n
a
a
，
所以数列
na
是首项为
1
7
4
a
，公差为
1
2
的等差数列，
所以
7
1
1
9
1
4
2
2
4
n
n
n
a
.
令
0
na
，可得
1
9
0
2
4
n
，解得
9
2
n
.
因为n
N ,所以
4
n
,所以n 的最大值为4.
故选:B.
7.在数列
na
中，
1
1
a ，
1
1
n
n
a
a
，则
na
.
【答案】
2
n
【详解】依题意，
1
1
a ，
1
1
n
n
a
a
，
所以数列
na
是首项为
1
1
a ，公差为1的等差数列，
所以
na
n
，所以
2
na
n
.
故答案为：
2
n
8.在数列
na
中，对任意
*
,
m nN 总有
m
n
m n
a
a
a
，且
1
1
a ，则
2023
a
．
【答案】2023
【详解】因为
m
n
m n
a
a
a
，
1
1
a ，
令
1
m ,则
1
1
n
n
a
a
a
，故
1
1
n
n
a
a
，
∴
na
为等差数列，首项和公差均为1，
∴
1 1 (
1)
na
n
n
，∴
2023
2023
a
，
故答案为：2023.
题型三：等差数列通项公式基本量计算
1.在等差数列
na
中，
(1)已知
1
1
a ，
3
d ，求
10
a ；
(2)已知
4
4
a
，
8
4
a ，求d；
(3)已知
1
1
a ，
3
d ，
2017
na
，求n.
【答案】(1)
10
26
a
(2)
2
d
(3)
673
n
【详解】（1）由
1
(
1)
na
a
n
d
知：
10
1
9
1 9 3
26
a
a
d
；
（2）因为
4
4
a
，
8
4
a ，所以
8
4
(8
4)
4
a
a
d
d
，所以( 4)
4
4d
，
解得
2
d ；
（3）由
1
(
1)
na
a
n
d
知：
2017
1
1
3
3
2
n
n
，解得
673
n
.
2.已知数列
na
是等差数列．
(1)如果
1
5
a
，
2
2
a
，求公差d 和
3
a ；
(2)如果
3
5
a ，
2
2
a
，求公差d 和
1a ．
【答案】(1)
3
d ，
3
1
a ；
(2)
3
d ，
1
1
a ．
【详解】（1）由等差数列的定义，可知公差
2
1
3
d
a
a
，
3
2
1
a
a
d
．
（2）由题意知公差
3
2
3
d
a
a
=
-
=
，
1
2
1
a
a
d
．
3.在等差数列
na
中，
(1)已知
1
3
a
，
2
d ，求
6a ；
(2)已知
3
10
a
，
9
28
a
，求
na ．
【答案】(1) 7
(2)
3
1
na
n
【详解】（1）由等差数列的通项公式，得
6
3
(6 1)( 2)
7.
a
（2）设等差数列的公差为d，那么
1
1
2
10
8
28
a
d
a
d
，解得
1
4
3
a
d
．
所以
4
(
1) 3
3
1
na
n
n
．
4.已知等差数列
na
中，
6
24
a
，
30
48
a
，求首项
1a 与公差d．
【答案】
1
19
1
a
d
【详解】设等差数列
na
的公差为d，
由
6
24
a
，
30
48
a
得
1
1
5
24
29
48
a
d
a
d
，
解得
1
19
1
a
d
.
5．已知等差数列{
}
na
的通项公式
3
4
na
n
，则等差数列{
}
na
的公差d （
）
A．4
B．1
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据题意，分别求得
1
2
,
a a ，即可得到公差.
【解析】因为等差数列{
}
na
的通项公式
3
4
na
n
，则
1
2
1,
5
a
a
，
则公差
2
1
5
1
4
d
a
a
.
故选：A
6．已知
na
为等差数列，数列
nb
满足：
1
1
2
a
b
，
2
*
2
n n
a b
n
n n
N
，且
4
3
5
7
a
a
，则
nb （
）
A．
2
2
1
n
n
B．n
C．
2
n
D．2
2
1
n
n
【答案】B
【分析】令
1
n ，由
2
*
2
n n
a b
n
n n
N
结合
1
1
2
a
b
，可得
1a ，由
4
3
5
7
a
a
可得
na ，即可得
nb .
【解析】令
1
n ，
2
1 1
2
1
n
n
a b
n
n
a b
，又
1
1
2
a
b
，则
2
1
1
1
1
1
2
1
1
0
1
a
a
a
a
b
.
设
na
公差为d ，
1
1
4
1
3
2
5
5
15
7
14
2
7a
a
d
a
a
d
d
a
，则
1
1
2
1
na
a
n
d
n
.
故
2
2
2
2
2
1
n
n
n
n
n
a b
n
n
b
n
n
.
故选：B
7．已知圆O的半径为5，且
3
OP
，过点P 的2023 条弦的长度组成一个等差数列
na
，最短弦长为
1a ，
最长弦长为
2023
a
，则其公差为（
）
A．
1
2022
B．
1
1011
C．
3
1011
D．1
505
【答案】B
【分析】根据题意，结合圆的性质，求得最短弦为
1
8
a ，最长弦为
2023
10
a
，结合
2023
1
2023 1
a
a
d
，即可求
解.
【解析】因为圆O的半径为5，且
3
OP
，
过点P 的2023 条弦的长度组成一个等差数列
na
，
其中最短弦长为
2
2
1
2 5
3
8
a
，最长弦长为
2023
2 5
10
a
，
所以等差数列
na
的公差为
2023
1
10
8
1
2023 1
2022
1011
a
a
d
.
故选：B.
题型四：等差中项及其应用
1．在等差数列
na
中，
2
8
10
a
a
，则
5a （
）
A．5
B．6
C．8
D．9
【答案】A
【分析】利用等差数列的性质即可求出
5a 的值.
【解析】由题意，
N
n
，
在等差数列
na
中，
2
8
10
a
a
，
∴
2
8
5
2
10
a
a
a
，解得：
5
5
a
，
故选：A.
2．已知
1
2
1
a
，
1
2
1
b
，则a，b 的等差中项为（
）
A．2 2
B．
2
C．1
D．1
2
【答案】B
【分析】先求解可得
2 2
a
b
，然后根据等差中项的性质，即可得出答案.
【解析】由已知可得，
1
1
2
1
2
1
2 2
2
1
2
1
2
1
2
1
a
b
.
设a，b 的等差中项为m ，
根据等差中项的定义，有
2
2
a
b
m
.
故选：B.
3．已知数列
na
是等差数列，且满足
2
10
4
a
a
，则
2
6
log a （
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】利用等差中项的性质求出
6a 的值，进而可求得结果.
4.在等差数列
na
中，若
3
9
26
a
a
，则
3
7
3
a
a
（
）
A．13
B．26
C．39
D．52
【答案】D
【详解】因为
na
是等差数列，所以
3
9
6
2
26
a
a
a
，解得
6
13
a
，
所以
3
7
3
7
7
5
7
6
3
2
2
4
52
a
a
a
a
a
a
a
a
．
故选：D．
5.已知等差数列{
}
na
满足
2
4
6
π
a
a
a
，则
1
7
cos a
a
（
）
A．
1
2
B．
1
2
C．
2
2
D．
3
2
【答案】A
【详解】因为数列{
}
na
是等差数列，
所以
2
4
6
4
3
π
a
a
a
a
，即
4
π
3
a
，
所以
1
7
4
2π
1
cos
cos2
cos 3
2
a
a
a
，
故选：A
6.已知数列
na
满足
1
1
2
(
2)
n
n
n
a
a
a n
，且
2
5
5
13
a
a
，
，则
8a
.
【答案】21
【详解】由
1
1
2
(
2)
n
n
n
a
a
a n
知，数列
na
是等差数列，∴
2
5
8
a
a
a
，，
成等差数列．
∴
2
8
5
2
a
a
a
＋
，∴
8
5
2
2
2 13 5
21
a
a
a
－
－
.
故答案为：21.
7.在等差数列
na
中，
3
11
40
a
a
，则
6
7
8
a
a
a
（
）
A．36
B．48
C．60
D．72
【答案】C
【详解】由题设，
3
11
7
2
40
a
a
a
，则
7
20
a
，
所以
6
7
8
7
3
60
a
a
a
a
.
故选：C
8.在等差数列
na
中，若
1
2
3
4
5
120
a
a
a
a
a
，则
5
7
2a
a
.
【答案】24
【详解】解：因为在等差数列
na
中，有
1
5
2
4
3
2
a
a
a
a
a
，
所以由
1
2
3
4
5
120
a
a
a
a
a
，
得
3
5
120
a
，
3
24
a
，
又
3
7
5
2
a
a
a
，
所以
5
7
3
2
24
a
a
a
.
故答案为：24
9.已知数列
na
为等差数列，且
2
8
14
2
a
a
a
，则
4
12
a
a
．
【答案】4
3
【详解】因为数列
na
为等差数列，
所以
2
8
14
8
3
2
a
a
a
a
，即
8
2
3
a
，
所以
4
12
8
4
2
3
a
a
a
.
故答案为：4
3 .
题型五：等差数列性质的应用
1.在等差数列
na
中，若
2
5
8
3
a
a
a
，则
4
7
2a
a
（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【解析】由等差数列的性质可得
2
5
8
5
3
3
a
a
a
a
，则
5
1
a ，
4
7
5
5
5
2
2
2
3
3
a
a
a
d
a
d
a
.
故选：D
2.在等差数列{
}
na
中，
1
3
a ，
100
36
a
，则
2
3
98
99
a
a
a
a
（
）
A．39
B．76
C．78
D．117
【答案】C
【分析】根据等差数列通项的性质转化求解即可.
【解析】在等差数列{
}
na
中，
1
3
a
，
100
36
a
，
则
2
3
98
99
2
99
3
98
1
100
2
2
3
36
78
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
故选：C.
3.在等差数列
na
中，
3
11
40
a
a
，则
4
5
6
7
8
9
10
a
a
a
a
a
a
a
的值为（
）
A．84
B．72
C．60
D．48
【答案】C
【详解】在等差数列
na
中，
3
11
7
2
40
a
a
a
，可得
7
20
a
，
所以，
4
5
6
7
8
9
10
4
10
5
9
6
7
8
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
7
3
60
a
.
故选：C.
4.已知等差数列
na
的首项与公差d 均为正数，且
1
lg a ，
3
lg a ，
6
lga 成等差数列，则
1
lg a ，
3
lg a ，
6
lg a 的
公差为（
）
A．lg d
B．
2
lg 3
C．
3
lg 2
D．lg3d
【答案】C
【详解】因为
na
是公差为d 的等差数列，所以
6
3
1
1
2 ,
5
a
a
d a
a
d
，
因为
1
3
6
lg
,lg
,lg
a
a
a 成等差数列，所以
3
1
6
1
6
2lg
lg
lg
lg
a
a
a
a a
，
所以
2
3
1
6
a
a a
，即
2
1
1
1
2
5
a
d
a a
d
，所以
2
1
4
a d
d
，
又因为
0
d
，所以
1
4
a
d
，
则
3
1
3
lg
lg
lg 6
lg 4
lg 2
a
a
d
d
，
故选：C.
5.等差数列
na
中，若
4
6
8
10
12
120
a
a
a
a
a
，则
9
11
1
3
a
a
的值是（
）
A．14
B．15
C．16
D．17
【答案】C
【详解】解：依题意，由
4
6
8
10
12
120
a
a
a
a
a
，得
8
5
=120
a
，即
8=24
a
所以
9
11
9
11
9
7
11
11
9
7
8
1
1
1
1
2
2
3
24
16
3
3
3
3
3
3
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
故选C
6.若等差数列
na
的前15 项和
15
30
S
，则
5
6
10
14
2a
a
a
a
（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【详解】由题得
15
1
15
1
15
8
8
15
30
(
)
30,
4,
2
4,
2
2
S
a
a
a
a
a
a
，
.
5
6
10
14
4
6
6
10
1
8
4
4
10
14
10
8
10
=2
2a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
故选：A
7.在等差数列
na
中，
7
9
16
a
a
，
4
1
a ，求
12
a 的值．
【答案】15
【详解】在等差数列
na
中，
7
9
16
a
a
，
4
1
a ，
所以
4
12
7
9
a
a
a
a
，即
12
1
16
a
，解得
12
15
a
.
8.已知数列
3
log
na
是等差数列，且
3
1
3
2
3
10
log
log
log
10
a
a
a
，求
5
6
a a ．
【答案】9
【详解】由等差数列性质知：
3
1
3
2
3
10
3
5
3
6
3
5
6
log
log
log
5 log
log
5log
10
a
a
a
a
a
a a
，
3
5
6
log
2
a a
，
2
5
6
3
9
a a
.
题型六：等差数列的单调性
1（多选）已知数列
na
的前n项和为
n
S ，且
1=6
a
，
1
2
n
n
a
a
，则（
）
A．
na
是等差数列
B．
na
是等比数列C．
na
是递增数列
D．
na
是递减数列
【答案】AD
【详解】解：因为
1
2
n
n
a
a
，所以
1
2
n
n
a
a
，又
1=6
a
，
所以
na
是由6为首项，2
为公差的等差数列，
因为公差小于0 ，所以
na
是递减数列；
故选：AD
2.（多选）下面是关于公差
0
d
的等差数列{
}
na
的四个命题，其中的真命题为（
）.
A．数列{
}
na
是递增数列
B．数列{
}
n
na
是递增数列
C．数列{
}
na
n
是递增数列
D．数列
3
na
nd
是递增数列
【答案】AD
【详解】
0
d
，
1
0
n
n
a
a
d
，所以{
}
na
是递增数列，故①正确，
2
1
1
1
n
na
n a
n
d
dn
a
d n
，当
1
2
d
a
n
d
时，数列{
}
n
na
不是递增数列，故②不正确，
1
na
a
d
d
n
n
，当
1
0
a
d
时，{
}
na
n
不是递增数列，故③不正确，
1
3
4
na
nd
nd
a
d
，因为
0
d
，所以
3
na
nd
是递增数列，故④正确，
故选：AD
3.在数列
na
中，
2
na
n
kn
，对任意的正整数n ，都有
1
n
n
a
a
恒成立，求实数k 的取值范围.
【答案】
3
k
【详解】由题,对任意的正整数n ,都有
1
n
n
a
a
恒成立,
2
2
1
1
n
k n
n
kn
,即2
1
0
n
k
恒成立,
2
1
k
n
对任意的正整数n 恒成立,
max
2
1
2 1 1
3
k
n
,即
3
k
4.设等差数列
na
的公差为d，若
2 n
a
nb
，则“
0
d
”是“
1
n
n
b
b
（n
N ）”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】充分性：若
0
d
，则
1
0
n
n
a
a
d
，即
1
n
n
a
a
，∴
1
2
2
n
n
a
a
，即
1
n
n
b
b
，所以充分性成立；
必要性：若
1
n
n
b
b
，即
1
2
2
n
n
a
a
，∴
1
n
n
a
a
，则
1
0
n
n
a
a
d
，必要性成立.因此，“
0
d
”是“
1
n
n
b
b
”
的充要条件.
故选：C.
题型七：等差数列的最值
1.设
2
9
na
n
，则当数列{an}的前n 项和取得最小值时，n 的值为（
）
A．4
B．5
C．4 或5
D．5 或6
【答案】A
【详解】由
1
0
0
n
n
a
a
，即
2
9
0
2
1
9
0
n
n
，解得7
9
2
2
n
，因为n
N
,故
4
n
.
故选：A.
2.已知数列{
}
na
的通项公式为
2
5
14
na
n
n
.
（1）试问10 是数列{
}
na
中的项吗？
（2）求数列{
}
na
中的最小项.
【答案】（1）8 （2）当
2
n
或
3
n
时，
na 取得最小值-20.
【详解】解（1）令
2
5
14
10
n
n
，即
2
5
24
0
n
n
，
解得
3
n （舍去）或
8
n
，
因此10 是数列
na
中的第8 项.
（2）由
2
5
81
2
4
na
n
，且
*
n
N
知，
当
2
n
或
3
n
时，
na 取得最小值-20.
所以数列
na
中的最小项为：
2
3
20
a
a
3.已知数列
na
中，
*
1
1
1
1
,
2
2,
N
4
n
n
a
a
n
n
a
，数列
nb
满足
*
1
N
1
n
n
b
n
a
.
(1)求证:数列
nb
是等差数列，写出
nb
的通项公式；
(2)求数列
na
的通项公式及数列
na
中的最大项与最小项.
【答案】(1)证明见解析，
7
3
nb
n
；
(2)
3
4
3
7
n
n
a
n
，最大项为
3
5
2
a
，最小项为
2
2
a .
【详解】（1）∵
1
1
2
n
n
a
a
，
∴
1
1
1
1
n
n
n
a
a
a
，
∴
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
，
∴
1
1
1
1
1
1
n
n
a
a
，又
*
1
N
1
n
n
b
n
a
，
所以
1
1
2
n
n
b
b
n
，
∴数列{ }
nb
是以1 为公差的等差数列；
又∵
1
1
4
a
，
1
1
1
4
1
3
b
a
，
∴{ }
nb
是以
1
4
3
b
为首项，
1
d 为公差的等差数列，
∴
4
7
(
1) 1
3
3
nb
n
n
，
*
nN ；
（2）∵
7
1
3
1
n
n
b
n
a
，
所以
1
3
4
1
7
3
7
3
n
n
a
n
n
，
∴作函数
1
1
7
3
y
x
的大致图象，
∴由图知，在数列{
}
na
中，最大项为
3
5
2
a
，最小项为
2
2
a ；
另解：因为
1
3
1 1
7
3
7
3
na
n
n
，
当1
2
n
≤
≤
时，数列{
}
na
是递减数列，且
1
na ，
1
2
1 ,
2
4
a
a
，
当
3
n
时，数列{
}
na
是递减数列，且
1
na ，
所以在数列{
}
na
中，最大项为
3
5
2
a
，最小项为
2
2
a .
4.在首项为31，公差为－4 的等差数列中，绝对值最小的项是
.
【答案】-1
【详解】数列是以首项为31，公差为－4 的等差数列，
所以数列的通项公式为an＝35－4n.
则当n≤8 时an>0；当n≥9 时an<0.
又a8＝3，a9＝－1.
所以绝对值最小的项为a9＝－1.
故答案为：-1
题型八：构造等差数列
1.在数列
na
中，
1
4
a
，且
1
2
2
2
1
n
n
a
a
n
n
.则数列
na
的通项公式为
.
【答案】
2
2
2
na
n
【详解】因为
1
4
a
，所以
1
2
2
2
1
4
a
，
又因为
1
2
2
2
1
n
n
a
a
n
n
，
所以
2
na
n
是以2 为首项，以2 公差的等差数列，
所以
2
2
1
2
2
na
n
n
n
，
则
2
2
2
na
n
，
故答案为：
2
2
2
na
n
.
2.已知数列
na
满足
1
1
1,
2
1
n
n
n
a
a
a
a
，则
5a （
）
A．9
B．1
9
C．11
D．1
10
【答案】B
【详解】由数列
na
满足
1
2
1
n
n
n
a
a
a
，可得
1
2
1
1
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
，即
1
1
1
2
n
n
a
a
，
因为
1
1
a ，可得
1
1
1
a = ，所以数列
1
na
表示首项为1，公差为2 的等差数列，
则
5
1
1
(5 1)
2
9
a
，所以
5
1
9
a
.
故选：B.
3.已知数列{
na }中，其中
1
1,
a
，且当n≥2 时，
1
1
2
1
n
n
n
a
a
a
，求通项公式
n
a .
【答案】
1
2
1
na
n
【详解】将
1
1
2
1
n
n
n
a
a
a
两边取倒数得：
1
1
1
2
n
n
a
a
，
这说明
1
{
}
na
是一个等差数列，首项是
1
1
1
a = ，公差为2，
∴
1
1 (
1) 2
2
1
n
n
n
a
，即
1
2
1
na
n
，经检验，
1
1,
a
满足上式，
故通项公式为
1
2
1
na
n
.
4.已知数列
na
满足：
1
1
1
2 ,
2 ,
2
1
n
n
n
a
a
a
n
a
求通项
n
a .
【答案】
2
4
3
na
n
【详解】取倒数：
1
1
1
2
n
n
a
a
1
1
1
2
n
n
a
a
，故
1
na
是等差数列，首项为
1
1
1
2
a
，公差为2，
1
1
3
2(
1)
2
2
2
n
n
n
a
，
∴
2
4
3
na
n
.
题型九：等差数列的实际应用
1.某城市的绿化建设有如下统计数据：
年份
2015
2016
2017
2018
绿化覆盖率/%
17.0
17.8
18.6
19.4
如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过
0 0
23.4
？
【答案】2024
【详解】由表中数据可知，每年的绿化覆盖率成等差数列，设为
na
，
则
1
17
a
，公差
17.8 17
0.8
d
，
故通项公式为
1
1
17
0.8
1
0.8
16.2
na
a
n
d
n
n
，
令0.8
16.2
23.4
n
，解得
9
n
，
2015
9
2024
，
故至少到2024 年该城市的绿化覆盖率可超过
0 0
23.4
.
2.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2 所示的一连串直角三角形演化
而成的，其中
1
1
2
2
3
7
8 1
OA
A A
A A
A A
，如果把图2 中的直角三角形继续作下去，记
1
OA ，
2
OA ，L，
n
OA 的长度构成的数列为
na
，则
25
a
（
）
A．25
B．24
C．5
D．4
【答案】C
【详解】由题意知，
1
1
2
2
3
7
8 1
OA
A A
A A
A A
，
1
2
OA A
△
，
2
3
OA A
△
，L，
7
8
OA A
，L都是直角三角形，
1
1
a
，且
2
2
1
1
2
n
n
a
a
n
，故
2
2
1
1
2
n
n
a
a
n
，
数列
2
na
是以1为首项，1为公差的等差数列，
2
1
1
1
na
n
n
．
又
0
na
，
na
n
，
数列
na
的通项公式为
na
n
，
25
25
5
a
，
故选：C．
3.某公司购置了一台价值为220 万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，
每经过一年其价值就会减少d（d 为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10 年，超过10 年，它的
价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d 的取值范围．
【答案】19
20.9
d
【详解】解：设使用n 年后，这台设备的价值为
na 万元，则可得数列
na
．由已知条件，得
1
(
2)
n
n
a
a
d n
．
由于d 是与n 无关的常数，所以数列
na
是一个公差为d
的等差数列．
因为购进设备的价值为220 万元，所以
1
220
a
d
，
于是
1
(
1)(
)
220
na
a
n
d
nd
．
根据题意，得
10
11
220 5%
11
220 5%
11
a
a
，
即
220 10
11
220 11
11
d
d
，
解这个不等式组，得19
20.9
d
．
4.某城市环境噪声平均值见下表：
年份
2014
2015
2016
2017
噪声/dB
57.8
57.2
56.6
56.0
如果噪声平均值依此规律逐年减少，那么从2017 年起，至少经过多少年，噪声平均值将小于42dB？
【答案】25
【详解】从2014 年起，每年的年份从1 开始记起，
设2014 年噪声为
1a ，2015 年噪声为
2a ，2016 年噪声为
3
a ，2017 年噪声为
4a ，
从表中数据可知：
2
1
3
2
4
3
0.6,
0.6,
0.6
a
a
a
a
a
a
，
所以数列
na
为等差数列，
57.8
1
0.6
0.6
58.4
na
n
n
，
由题意可知：
1
42
0.6
58.4
42
27 3
na
n
n
，
因此从2014 年起，需要28 年，噪声平均值将小于42dB，
所以从2017 年起，需要25 年，噪声平均值将小于42dB.
题型十：等差数列在传统文化中的应用问题
1.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨
水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影
子长是12.5 尺，芒种的日影子长为4.5 尺，则立夏的日影子为
尺；
【答案】6.5/13
2
【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这
十二个节气的日影子长依次成等差数列
na
，设其公差为d ，
则立春的日影子长为第4项，芒种的日影子长为第12项，立夏的日影子为第10项，
所以
4
1
12
1
3
12.5
11
4.5
a
a
d
a
a
d
，解得
1
15.5
1
a
d
，
则
10
1
9
15.5
9
6.5
a
a
d
，
所以立夏的日影子长为6.5 尺.
故答案为：6.5 .
2.（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下
三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三
人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量
单位）．关于这个问题，下列说法错误的是（
）
A．戊得钱是甲得钱的一半
B．乙得钱比丁得钱多1
2 钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2 倍
D．丁、戊得钱的和比甲得钱多1
3 钱
【答案】BD
【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为
2
a
d
，a
d
，a，a
d
，
2
a
d
，
则由题意可知，
2
2
a
d
a
d
a
a
d
a
d
，即
6
a
d
，
又
2
2
5
5
a
d
a
d
a
a
d
a
d
a
，所以
1
a ，所以
1
6
d
，
所以
1
4
2
1 2
6
3
a
d
，
1
7
1
6
6
a
d
，
1
5
1
6
6
a
d
，
1
2
2
1 2
6
3
a
d
，
所以甲得4
3 钱，乙得7
6 钱，丙得1 钱，丁得5
6 钱，戊得2
3 钱，
所以戊得钱是甲得钱的一半，故A 正确；
乙得钱比丁得钱多7
5
1
6
6
3
钱，故B 错误；
甲、丙得钱的和是乙得钱的
4
1
3
2
7
6
倍，故C 正确；
丁、戊得钱的和比甲得钱多5
2
4
1
6
3
3
6
钱，故D 错误．
故选：BD.
3.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852 年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的
解法传至欧洲.1874 年，英国数学家马西森指出此法符合1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定
理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：
将1 至2023 这2023 个数中，能被5 除余1 且被7 除余1 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列
na
，
则此数列的项数为（
）
A．56
B．57
C．58
D．59
【答案】C
【详解】因为能被5 除余1 且被7 除余1，即能被35 除余1 的数，
所以
1
1
a ，
2
36
a
，
3
71
a
L，即
na
是以1 为首项，35 为公差的等差数列，
即
35
34
na
n
.
由题意知
35
34
1,2022
na
n
且
*
nN ，得1
35
34
2022
n
，
解得1
58
n
，
*
nN ，所以此数列的项数为58 项.
故选：C.
模块三：综合巩固
1．下列数列中，不成等差数列的是（
）．
A．2，5，8，11
B．1.1，1.01，1.001，1.0001
C．a，a，a，a
D．lg 2 ，lg 20 ，lg200 ，lg2000
【答案】B
【分析】根据等差数列的定义逐个分析判断即可.
【解析】对于A，因为第2 项起，后一项与前一项的差是同一个常数3，所以此数列是等差数列，所以A
不合题意，
对于B，因为1.01 1.1
0.09
，1.001 1.01
0.009
，即1.01 1.1
1.001 1.01
，所以此数列不是等差数，
所以B 符合题意，
对于C，因为第2 项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列，所以C 不合题意，
对于D，数列lg 2 ，lg 20 ，lg200 ，lg2000 可表示为lg 2 ，1
lg2
，2
lg 2
，3
lg 2
，因为第2 项起，后
一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列，所以D 不合题意，
故选：B
2．已知m 和2n 的等差中项是4，2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是（
）
A．8
B．6
C．4.5
D．3
【答案】D
【分析】利用等差中项的定义即求.
【解析】∵
2
8
m
n
，2
10
m
n
，
∴3
3
18
m
n
，
∴
6
m
n
，
∴m 和n的等差中项是
3
2
m
n
．
故选：D.
3．现有下列命题：①若
1
π
2
n
n
a
a
n
，则数列
na
是等差数列；
②若
1
n
n
n
a
a
，则数列
na
是等差数列；
③若
na
bn
c
（b、c 是常量），则数列
na
是等差数列．
其中真命题有（
）．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】由等差数列的定义即可得出结论.
【解析】由
1
π
2
n
n
a
a
n
，得
1
π
n
n
a
a
，满足等差数列的定义，故①正确；
1
n
n
n
a
a
，n 不是常数，不满足等差数列的定义，故②错误；
na
bn
c
，
1
(
1)
na
b n
c
bn
c
b
，
1
n
n
a
a
b
，满足等差数列的定义，故③正确.
故选：C
4．已知数列
na
，
nb
为等差数列，且公差分别为
1
2
d
，
2
1
d ，则数列
2
3
n
n
a
b
的公差为（
）
A．7
B．5
C．3
D．1
【答案】D
【分析】利用
1
1
2
3
2
3
n
n
n
n
a
b
a
b
即可整理求得公差.
【解析】
na
，
nb
为等差数列，
2
3
n
n
a
b
为等差，设其公差为d ，
则
1
1
1
1
1
2
2
3
2
3
2
3
2
3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
d
a
b
a
b
a
a
b
b
d
d
.
故选：D.
5.等差数列{
}
na
中，
5
7
a
，公差
4
d
，则479 是数列的第（
）
A．123项
B．97项
C．85项
D．187 项
【答案】A
【详解】因为等差数列{
}
na
中，
5
7
a
，公差
4
d
，所以
5
1
1
4
4 4
7
a
a
d
a
，则
1
9
a ，所以
1
(
1)
9
(
1) 4
na
a
n
d
n
4
13
n
，即
4
13
479
na
n
，解得
123
n
.
故选：A.
6.在等差数列
na
中，若
3
5
16
a
a
，则
4a （
）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【详解】依题意，
3
5
4
4
=2
=16,
=8
a
a
a
a
.
故选：C
7.在数列
na
中，
1
2
a
，
1
2
2
1
n
n
a
a
n
N
，则数列
na
是（
）
A．公差为1的等差数列
B．公差为
1
2 的等差数列
C．公差为2 的等差数列
D．不是等差数列
【答案】B
【详解】由
1
2
2
1
n
n
a
a
得：
1
1
2
n
n
a
a
，即
1
1
2
n
n
a
a
，
又
1
2
a
，数列
na
是以2 为首项，
1
2 为公差的等差数列，ACD 错误，B 正确.
故选：B.
8.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4 节的容积
共3 升，下面3 节的容积共4 升，则第5 节的容积为（
）
A．10
11 升
B．65
66 升
C．67
66 升
D．37
33 升
【答案】C
【详解】设此等差数列为{
}
na
，公差为d ，
由题意可得：
1
2
3
4
3,
a
a
a
a
7
8
9
4,
a
a
a
则
1
1
4
6
3,3
21
4
a
d
a
d
，联立解得
1
13
7
,
.
22
66
a
d
5
13
7
67
4
.
22
66
66
a
故选：C．
9.在数列
na
中，
4
25
a
，
1
2
n
n
a
a
，则
6a （
）
A．121
B．100
C．81
D．64
【答案】C
【详解】因为
1
2
n
n
a
a
，所以
1
2
n
n
a
a
，故数列
na
是公差为2 的等差数列，
因为
4
25
a
，所以
6
4
2 2
4
4
9
a
a
，则
6
81
a
.
故选：C
10.首项为20
的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（
）
A．
20
9
d
B．
5
2
d
C．20
5
9
2
d
D．20
5
9
2
d
【答案】C
【详解】因为首项为20
的等差数列，从第10项起开始为正数，
所以
9
10
0
0
a
a
，即
20
8
0
20
9
0
d
d
，解得20
5
9
2
d
，
故选：C
11．若
1a ，
2a ，
3
a ，…，
8a 为各项都大于0 的等差数列，公差
0
d
，则（
）．
A．
1
8
4
5
a a
a a
B．
1
8
4
5
a a
a a
C．
1
8
4
5
a
a
a
a
D．
1
8
4
5
a
a
a
a
【答案】B
【分析】根据等差中项的推论，以及结合通项公式进行作差法，可得答案.
【解析】由题意，可知
1 8
4
5
，
8
5
1
4
a
a
a
a
，故选项C、D 错误；
由
8
1
7
a
a
d
，
4
1
3
a
a
d
，
5
1
4
a
a
d
，
则
2
2
2
1
8
4
5
1
1
1
1
1
1
1
1
7
3
4
7
7
12
a a
a a
a a
d
a
d
a
d
a
a d
a
a d
d
2
12
0
d
，即
1
8
4
5
a a
a a
，
故选：B.
12.在数列
na
中，
1
4
a
，
1
3
n
n
a
a
，若
2023
na
，则n等于（
）
A．671
B．673
C．674
D．675
【答案】C
【详解】由
1
3
n
n
a
a
，得
1
3
n
n
a
a
，即
na
是以
1
4
a
为首项，
3
d 为公差的等差数列，
故
4
3
1
3
1
na
n
n
，由
2023
na
，解得
674
n
．
故选：C．
13.已知数列
na
满足
1
3
n
n
a
a
n
N
，
1
6
a ，则
1
2
3
4
5
6
a
a
a
a
a
a
（
）
A．27
B．18
C．9
D．0
【答案】A
【详解】因为
1
3
n
n
a
a
n
N
，所以，数列
na
是首项为
1
6
a ，公差为3的等差数列，
则
2
1
3
3
a
a
，
3
2
3
0
a
a
，
4
3
3
3
a
a
，
5
4
3
6
a
a
，
6
5
3
9
a
a
，
因此，
1
2
3
4
5
6
6
3
0
3
6
9
27
a
a
a
a
a
a
.
故选：A.
14．（多选）已知数列
na
的通项公式为
na
a
bn
（a，b 为常数），则下列说法正确的是（
）
A．若
2
1
a
a
，则
3
1
a
a
B．若
2
1
a
a
，则
3
2
a
a
C．若
3
1
a
a
，则
2
1
a
a
D．若
2
1
a
a
，则
1
2
1
a
a
a
【答案】ABC
【分析】根据等差数列的通项性质可判断
na
是等差数列，根据等差数列的单调性即可逐一判断.
【解析】由
na
a
bn
,知
1
1
1 ,
n
n
n
a
a
b n
a
a
b
，故数列
na
是等差数列，且公差为b ．
由等差数列的单调性可得，若
2
1
a
a
，则公差
0
d
，所以数列
na
是递增数列，故A，B 一定成立；
若
3
1
a
a
，则
3
1
2
0
d
a
a
，所以数列
na
是递增数列，所以
2
1
a
a
，故C 一定成立；当
2
0
a
时，1
2
1
a
a
a
不成立，故D 不一定成立．
故选：ABC．
15．（多选）已知等差数列
na
的公差
0
d
，则下列四个命题中真命题为（
）
A．数列
na
是递增数列
B．数列
na
是递增数列
C．数列
2
na
是递增数列
D．数列
3
na
nd
是递增数列
【答案】AD
【详解】对于A，等差数列
na
的公差
0
d
，则数列
na
是递增数列，正确；
对于B，不妨取: 2, 1,0,1,2,
na
，则
|
: 2,1,
1
|
0, ,2,
na
不是递增数列，B 错误；
对于C，不妨取: 2, 1,0,1,2,
na
，则
2 : 4,1,0,1,4,
na
不是递增数列，C 错误；
对于D，由于等差数列
na
的公差
0
d
，
na 随n 的增大而增大，3nd 随n 的增大而增大，
故
3
na
nd
也随n 的增大而增大，即数列
3
na
nd
是递增数列，D 正确，
故选：AD
16.（多选）已知在数列
na
中，
1
1
a ，
1
1
n
n
n
a
a
n
a
N
，则下列结论正确的是（
）
A．
na
是等差数列
B．
na
是递增数列
C．
1
na
是等差数列
D．
1
na
是递增数列
【答案】CD
【详解】由
1
1
n
n
n
a
a
n
a
N
可得
1
1
1
1
n
n
n
a
a
N
，所以
1
na
是以公差为1 的等差数列，故CD 正
确，
1
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
n
，故
na
不是等差数列，而且
na
为单调递减数列，故AB 错误，
故选：CD
17.已知
na
为等差数列，
2
4
5
3
6
a
a
a
a
a
，
9
10
3
a
a
，则
7a
．
【答案】1
【详解】设公差为d ，
由
2
4
5
3
6
a
a
a
a
a
，
9
10
3
a
a
，
得
1
1
1
3
8
2
7
2
17
3
a
d
a
d
a
d
，解得
1
1
5
1
5
a
d
，
所以
7
1
1
6
1
5
5
a
.
故答案为：1.
18.已知等差数列
na
的首项
1
0
a
，而
9
0
a
，则
1
11
16
7
1
8
8
4
a
a
a
a
a
a
a
.
【答案】0
【详解】等差数列
na
的首项
1
0
a
，
9
0
a
，则
9
1
11
16
8
9
9
9
7
14
8
9
9
9
8
0
2
7
2
5
a
a
a
a
a
d
a
a
a
a
a
a
a
a
d
d
a
d
d
d
d
.
故答案为：0.
19.如图所示，已知某梯子共有5 级，从上往下数，第1 级的宽为35cm ，第5 级的宽为43cm ，且各级的宽
度从小到大构成等差数列
na
，求其余三级的宽度．
【答案】37cm,39cm,41cm ．
【详解】解法一：由题意，可得
1
5
35,
43
a
a
．
设公差为d，则35
4
43
d
，解得
2
d
．
因此
2
35
2
37
a
，
3
37
2
39
a
，
4
39
2
41
a
．
因此，其余三级的宽度分别为37cm,39cm,41cm ．
解法二：因为等差数列为
1
2
3
4
5
,
,
,
,
a a a a a ，共5 项．
又因为2 3
1 5
，所以
3
1
5
2
35
43
78
a
a
a
，即
3
39
a
．
类似地，
2
1
3
4
3
5
2
35
39
74,2
39
43
82
a
a
a
a
a
a
，
所以
2
4
37,
41
a
a
．
因此，其余三级的宽度分别为37cm,39cm,41cm ．
20．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，记bn＝log2(an＋1)．
(1)判断
nb
是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列
na
的通项公式．
【答案】(1)是，证明见详解
(2)2n－1
【分析】（1）利用递推公式推导出
1
1
n
n
b
b
，从而证明出
nb
是等差数列；
（2）在第一问的基础上求出
nb
的通项公式，从而求出数列
na
的通项公式.
【解析】（1）{bn}是等差数列，理由如下：
b1＝log2(a1＋1)＝log22＝1，
当n≥2 时，
1
2
2
1
log
1
log
1
n
n
n
n
b
b
a
a
1
2
2
1
1
1
2
2
log
log
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
，
∴{bn}是以1 为首项，1 为公差的等差数列．
（2）由(1)知，bn＝1＋(n－1)×1＝n，
∴an＋1＝2 n
b ＝2n，
∴an＝2n－1.
21．已知数列
na
满足
1
1
a ，
2
13
a
，
2
1
2
2
6
n
n
n
a
a
a
n
．
(1)设
1
n
n
n
b
a
a
，求数列
nb
的通项公式；
(2)求n 为何值时，
na 最小．
【答案】(1)
2
7
8
nb
n
n
(2)
8
n 或
9
n
【分析】（1）依题意可得
1
2
6
n
n
b
b
n
，再利用累加法求出数列的通项公式；
（2）利用作差法判断数列的单调性，即可得到最小的
na ；
【解析】（1）解：由
2
1
2
2
6
n
n
n
a
a
a
n
且
1
n
n
n
b
a
a
，即
2
1
1
2
6
n
n
n
n
a
a
a
a
n
，
即
1
2
6
n
n
b
b
n
又
1
1
a ，
2
13
a
，所以
1
2
1
14
b
a
a
．
当
2
n
时，
1
2
1
3
2
4
3
1
n
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
14
(2 1 6)
(2 2
6)
(2 3
6)
[2(
1)
6]
n
14
2 [1 2
3
(
1)]
6(
1)
n
n
1
14
2
[1 (
1)] [2
(
2)] [3
(
3)]
[(
1) 1]
6(
1)
2
n
n
n
n
n
14
(
1)
6(
1)
n n
n
2
7
8
n
n
，
当
1
n 时，上式也成立．
所以数列
nb
的通项公式为
2
7
8
nb
n
n
；
（2）解：由（1）可知
2
1
7
8
(
1)(
8)
n
n
a
a
n
n
n
n
．
当
8
n
时，
1
n
n
a
a
，即
1
2
3
8
a
a
a
a
；
当
8
n 时，
9
8
a
a
；
当
8
n
时，
1
n
n
a
a
，即
9
10
11
a
a
a
，
所以当
8
n 或
9
n
时，
na 的值最小．
22．已知数列
na
满足：
1
1
a ，
1
1
1
3
n
n
n
a
a
a
，
*
N
n
且
2
n
．
(1)求证：数列
1
1
na
为等差数列；
(2)若数列
nb
满足
1
2
n
n
b
b
b
a
，求数列
nb
的通项公式．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
*
1,
1
{
2
,
2,
1
n
n
b
n
n
n n
N
【分析】（1）根据等差数列的定义，可证明数列
1
1
na
为等差数列；
（2）由（1）可得
2
1
na
n
，利用
1
2
1
2
1
1
2
n
n
n
n
n
b
b
b
b
b
b
b
a
a
n
，当
1
n
时，
1
1
b ，由此即可求出结果.
【解析】（1）解:因为
1
1
1
3
n
n
n
a
a
a
，所以
1
1
1
1
1
2
2
1
3
1
3
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
1
1
1
1
2
1
1
1 ,
2
1
2
1
1
2
n
n
n
n
a
n
a
a
a
，
所以
1
1
1
1
1
1
2
n
n
a
a
又
1
1
1
1
1
1 1
2
a
所以数列
1
1
na
是以首项为1
2 ,公差为1
2 的等差数列.
（2）解：由(1) 得
1
1
1 (
1)
1
2
2
2
n
n
n
a
, 所以
2
1
na
n
即
1
2
2
1
n
b
b
n
b
1
1
2
2
1
2
1
n
b
b
n
n
b
2
2
2
2
1
1
nb
n
n
n
n n
当
1
n
时，
1
2
1
1
1
b
所以
*
1,
1
{
2
,
2,
1
n
n
b
n
n
n n
N
.
