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4.2.1 等差数列的概念（1） -B提高练
一、选择题
1．（2021·全国高二课时练）在等差数列 中， ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．3
【答案】A
【详解】设等差数列公差为 ,由 得： ，即
,故选：
2．（2020·河北保定市高碑店一中高二月考）已知数列 中， ， ，若 为等
差数列，则 （ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】A
【详解】因为， ， ，故
所以 ，故 .故选：A.
3．（2021·全国高二课时练习）已知数列 是等差数列，且 .若 ，则数列
是（ ）.
A．以3为首项，3为公差的等差数列
B．以6为首项，3为公差的等差数列
C．以3为首项，6为公差的等差数列
D．以6为首项，6为公差的等差数列
【答案】D【详解】因为数列 是等差数列， ，设公差为 ，所以有 ，解得
，所以 ，因此 ，而 ，所以数列 是
以6为首项，6为公差的等差数，故本题选D.
4．（2020·西安交大苏州附中高二期中）我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的
长度.《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个节气及晷长变
化如图所示.相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨
水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得
冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的
长为（ ）
A．11.5 B．12.5 C．13.5 D．14.5
【答案】C
【详解】由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、
小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为 ，公差为 ，
则 ， ，两式相减得 ，解得 ，
所以 ，解得 ，故选：C
5．（多选题）（2021·全国高二课时练）给出下列命题,正确命题的是（ ）
A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；B.数列 是公差为 的等差数列；
C.等差数列的通项公式一定能写成 的形式(k，b为常数)；
D.数列 是等差数列.
【答案】BCD
【详解】根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为 ，A错误；
对于②，由等差数列的定义可知，数列 是公差为 的等差数列，所以B正确；
对于③，由等差数列的通项公式 ，得 ，令 ，
则 ，所以C正确；对于D，因为 ，所以数列
是等差数列.
6. （多选题）（2020·福建三明高二期中）设d为正项等差数列 的公差，若 ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】由题知，只需 ， ，A
正确； ，B正确；
，C 正确；
，所以 ，D错误.
二、填空题
7．（2021·全国高二课时练）三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小 ，则公差为__________.
【答案】
【详解】由等差数列可设三数依次为 ，其中 为公差.由题意得
，可得 ，则 .
8．（2020·山东泰安实验中学高二月考）在 到 之间，末位数字是 的自然数的个数有______.
【答案】30
【详解】在 到 之间，末位数字是 的自然数有 ，构成以 为首项， 为末
项， 为公差的等差数列，由 ，可得项数 .
9．（2021·全国高二课时练）在数列 中，若 ， ， ，则
该数列的通项为__________.
【答案】
【详解】∵ ，∴数列 是等差数列，
又 ，∴ ，∴ ．
10．（2021·全国高一课时练）已知等差数列 ，首项 .从第10项起开始大于1，那么公
差d的取值范围是 __________.
【答案】
【详解】在等差数列 中，因为从第10项起开始大于1，所以有 .
三、解答题
11．（2020·山西师大附中高二期中）首项为 ，公差为 的等差数列 满足下列两个
条件：
① ；
②满足 的 的最小值是15.
试求公差 和首项 的值.
【详解】 ，
，
由 ，即 ，
∵满足 的 的最小值是15，
，
，
又 .
12．（2020·湖北黄石高二月考）设数列{a}满足当n＞1时，a＝ ，且a＝ .
n n 1
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)aa 是否是数列{a}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．
1 2 n【详解】(1)证明：根据题意a＝ 及递推关系a≠0.因为a＝ .取倒数得 ＋4，
1 n n
即 ＝4(n＞1)，所以数列 是首项为5，公差为4的等差数列．
(2)解：由(1)，得 ＝5＋4(n－1)＝4n＋1， .
又 ，解得n＝11.
所以aa 是数列{a}中的项，是第11项．
1 2 n
