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4.2.1 等差数列（1）
一、单选题
1．等差数列 中，a=7，a=19，则a=（ ）
3 9 5
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【解析】由于a=7，a=19则 .
3 9
故选B.
2．已知等差数列 中， ，则 的值是（ ）
A．4 B．16 C．2 D．8
【答案】D
【解析】由等差数列的性质可知，a+a=2a=16
7 9 8
∴a=8
8
故选D．
3．若数列 的通项公式为 ，则此数列是（ ）
A．公差为 的等差数列 B．公差为 的等差数列
C．首项为 的等差数列 D．公差为 的等差数列
【答案】A
【解析】 是关于n的一次函数，其中n的系数即公差，
故选A．
4．方程x2－8x＋1＝0的两个根的等差中项为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】B【解析】∵在等差数列{a}中，方程x2﹣8x+1=0的两根之和为8，
n
由等差数列的性质得等差中项为4．
故选B．
5．首项为 的等差数列从第 项起开始为正数，则公差 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设数列为{a}公差为d，则a=-24；
n 1
a =a+9d＞0；
10 1
即9d＞24，所以d＞
而a=a+8d≤0；
9 1
即d≤3
所以 ＜d≤3
故选D
6．设 是公差d为正数的等差数列，若 ， ，则 等于（ ）
A．120 B．105 C．90 D．75
【答案】B
【解析】依题意有 ，解得 ，
，
故选B.
7．下列数列中，不是等差数列的是（ ）
A．1，4，7，10 B．
C． D．10，8，6，4，2
【答案】C【解析】根据等差数列的定义，可得：
A中，满足 （常数），所以是等差数列；
B中， （常数），所以是等差数列；
C中，因为 ，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；
D中，满足 （常数），所以是等差数列.
故选C.
8．在等差数列{a}中，若a+a+a＝39，a+a+a＝33，则a+a+a 的值为（ ）
n 1 4 7 2 5 8 3 6 9
A．30 B．27 C．24 D．21
【答案】B
【解析】【详解】
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以 .
.
故选B
a
9．在等差数列 中, ,且 不大于 ,则 8的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，所以 ，
故选B.
10．等差数列 的第 项是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题,等差数列 , , ,
故选A
11．若每一项都是整数的等差数列的首项为41，从第8项开始为负值，则公差d为（ ）
A． B．不小于-6的任意实数
C．-6 D．
【答案】C
【解析】
，
令
解得 ，又 ，
所以 .
故选C.
12．已知函数 有两个不同的零点 ,且方程 有两个不同的实根
.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可知，由于函数 有两个不同的零点 ，而
对于方程 有两个不同的实根 ，那么可知，两个根x、x 只能分布在x、x 的中间或两
3 4 1 2
侧，若x、x 只能分布在x、x 的中间，则公差d=
3 4 1 2
，故x、x 分别为 ，此时可求得m=cos
3 4
若x、x 只能分布在x、x 的两侧，则公差d=
3 4 1 2
故x、x 分别为 ，故可知不合题意，
3 4
故选D
二、填空题
13．从等差数列84，80，76，…的第____项开始，以后各项均为负值．
【答案】23
【解析】由题意可知，等差数列84，80，76，…的首项为 ，公差为 ，所以
该数列的通项公式为 ，令 ，得 ，所以该数列
从第23项开始，以后各项均为负值.
故填2314．在等差数列 中，已知 ， ，则 =______。
【答案】13
【解析】依题意有 ，解得 ，故 .
故填13
15．在等差数列{a}中，已知a＝10，a ＞31，则公差d的取值范围是________.
n 5 12
【答案】d＞3
【解析】由等差的通项公式可得：a+7d=a ，
5 12
∴10+7d>31，解得d>3，
故填d>3．
16．若 ，两个等差数列 与 的公差为 和 ，则 的值为
________．
【答案】
d d
【解析】∵ 与 的公差为 1和 2，
n−m n−m d
1
4
d = d = =
1 3 2 4 d 3
∴ ， ，∴ 2 ．
故填 ．
17．在等差数列 中，若公差 ， ，则
________.
【答案】320
【解析】由题意，根据等差数列的定义和通项公式 ，
可得.
故填320
a a a a a
18．已知数列 中， ， n1 n n1 n，则数列 的通项公式为 n __________．
【答案】
【解析】由题意得 ，则 ，又 ，所以数列 是以 为首项，
以 为公差的等差数列，所以 .
故填
三、解答题
19．已知数列 的通项公式为 ，求证： 是等差数列.
【解析】证明：由题
为常数，
数列 是首项为 ,公差为 的等差数列.
20．等差数列 中，已知 ， ，求：
（1）数列 的通项公式；
（2）此数列第几项开始为负：（3）此数列第几项开始小于 ？
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 ；
（2）令 ，所以 ，所以 ，所以从第 项开始为负；
（3）令 ，所以 ，所以 ，所以从第 项开始小于 .
21．已知数列 满足 令 ．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求数列 的通项公式.
【解析】（1）证明：∵ ，
．
，
即b －b＝ (n≥1)．
n＋1 n
∴{b}为等差数列．
n
（2）解：∵ 为等差数列，
..
∴{a}的通项公式为
n
22．已知数列 中， ， ，数列 满足 ．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求数列 中的最大项和最小项．
【解析】（1）因为 ， ，
所以
又 ，所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）知 ，则 ．
设 ，则 在区间 和 上为减函数．
所以当n=3时， 取得最小值为－1，当n=4时， 取得最大值为3．
故数列 中的最小项为 且 ，最大项为 且 ．
