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专题 08 数列
易错点一：混淆数列与函数的区别（数列求最值问题）
1、等差数列的定义
（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
（2）符号语言： ( ， 为常数)．
2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
3、通项公式与前n项和公式
（1）通项公式： ．
（2）前 项和公式： ．
（3）等差数列与函数的关系
①通项公式：当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，
且一次项系数为公差 .若公差 ，则为递增数列，若公差 ，则为递减数列．
②前n项和：当公差 时， 是关于 的二次函数且常数项为0.
已知数列 是等差数列， 是其前 项和．
1、等差数列通项公式的性质：
（1）通项公式的推广： ．
（2）若 ，则 ．（3）若 的公差为d，则 也是等差数列，公差为 ．
（4）若 是等差数列，则 也是等差数列．
2、等差数列前 项和的性质
（1） ；
（2） ；
（3）两个等差数列 ， 的前n项和 ， 之间的关系为 .
（4）数列 ， ， ，…构成等差数列．
3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
（1）若项数为 ，则 ， ；
（2）若项数为 ，则 ， ， ， .
最值问题：解决此类问题有两种思路：
一是利用等差数列的前 项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；
二是依据等差数列的通项公式 ，当 时，数列一定为递增数列，当
时，数列一定为递减数列．所以当 ，且 时，无穷等差数列的前 项和有最大值，其最大值是所
有非负项的和；当 ，且 时，无穷等差数列的前 项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，
求解非负项是哪一项时，只要令 即可
易错提醒：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性
求解数列问题，要注意 的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.
例．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，求 取得最大值时对应的n值.
【详解】在等差数列 中， ，则 ，而 ，
于是公差 ，因此 ，
由 ，得 ，显然数列 是递减等差数列，前5项都是非负数，从第6项起为负数，所以 的最大值为 ，此时 或 .
变式1．数列 是等差数列， ， ．
(1)从第几项开始有 ？
(2)求此数列的前 项和的最大值．
【详解】（1）因为 ， ， 所以 ．
令 ，则 ．由于 ，故当 时， ，
即从第 项开始各项均小于 ；
（2）方法1： ．
当 取最接近于 的自然数，即 时， 取到最大值 ．
方法2：因为 ， ，由（1），知 ， ，
所以 ，且 ．
所以 ．
变式2．记 为等差数列 的前n项和，已知 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 的最小值．
【详解】（1）设公差为 ， ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
（2）∵ ， ，∴ ＝ ，
∴当 时， 最小，最小值为 ．
变式3．等差数列 ， ，公差 ．
(1)求通项公式和前 项和公式；
(2)当 取何值时，前 项和最大，最大值是多少．
【详解】（1）由 为等差数列 的前 项和，则 ，解得 ，
，则 ，
.
（2）由 ，则数列 为递减数列，
由 ， ，则当 时， 取得最大值，即最大值为 .
1．已知数列 是等差数列，若 ， ，且数列 的前 项和 ，有最大值，当
时， 的最大值为（ ）
A．20 B．17 C．19 D．21
【答案】C
【分析】可判断数列 是递减的等差数列，利用前 项和公式和等差数列的性质可得 进
而可得 的最大值．
【详解】因为 ，所以 和 异号，
又等差数列 的前 项和 有最大值，所以数列 是递减的等差数列，
所以 ， ，
所以 ，
，
所以当 时， 的最大值为19．
故选：C．
2．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则 取得最小值时n的值为（ ）
，
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】由等差数列 的通项公式，求得 ， ，进而得到当当 时， ，当
时， ，即可求解.
【详解】由等差数列 的通项公式 ，得
，又 ，
所以
则等差数列 中满足 ， ，且 ，
数列 为递增数列，且当 时， ，当 时， ，
所以当 取得最小值时，n的值为 .
故选：B.
3．已知数列 中， 若其前n项和为Sn 则Sn的最大值为（ ）
，
A．15 B．750 C． D．【答案】C
【分析】由题意可得数列 是以首项为25，公差 的等差数列，结合等差数列的通项公式以及前n
项和的性质分析运算.
【详解】由 ，可得 ，
所以数列 是以首项为25，公差 的等差数列，且 为单调递减数列，
其通项公式为 ．
当 且 时，S 最大，
n
解得 且 ，则 ，
即数列{a }的前15项均为非负值，第16项开始为负值，
n
故S 最大， .
15
故选：C．
4．若 是等差数列，首项 ， ， ，则使前 项和 成立的最大自然
数 是（ ）
A．2021 B．2022 C．4042 D．4043
【答案】C
【分析】根据题意得 ， ，再结合 ， ，求解即
可．
【详解】根据 , 得 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以使前 项和 成立的最大自然数 是4042．
故选：C5．设 是等差数列， 是其前n项和，且 ， ，则下列结论正确的是（ ）.
A． B．
C． D． 与 均为 的最大值
【答案】BD
【分析】对于B：根据题意结合前n项和分析可得 ；对于A：根据等差数列的定义分析
判断；对于C：根据等差数列的性质分析可得 ，进而可得结果；对于D：根据等差数列
的正负性结合前n项和的性质分析判断.
【详解】因为 ， ，
则 ，故B正确；
设等差数列 的公差为 ，则 ，故A错误；
可知数列 为递减数列，可得 ，
可得 ，
所以 ，故C错误；
因为 为最后一项正数，根据加法的性质可知： 为 的最大值，
又因为 ，所以 与 均为 的最大值，故D正确；
故选：BD.
6．设等差数列 的前 项和为 ，公差为 ．已知 ， ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．C． D．设 的前 项和为 ，则 时， 的最大值为27
【答案】BC
【分析】由已知求得 ， ，解公差为 的取值范围，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质
逐个选项判断正误即可.
【详解】∵ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，A选项错误；
又∵ ，即 ，
∴ ，解得 ，B选项正确；
∵ ，故C选项正确；
因为等差数列 的前n项和为 ，所以 ，即 ，
由 ，
∴数列 为等差数列，设 ，
因为当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 可能为正数，也可能为负数，所以D选项不正确．
故选：BC．7．已知数列 的前 项和 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是 为等差数列的充要条件
B． 可能为等比数列
C．若 ， ，则 为递增数列
D．若 ，则 中， ， 最大
【答案】ABD
【分析】计算 ，当 时， ，验证知A正确，当 时是等比数列，B
正确，举反例知C错误，计算 得到D正确，得到答案.
【详解】 ， ；
当 时， ，
当 时， ，满足通项公式 ，数列为等差数列；
当 为等差数列时， ， ，故A正确；
当 时， ，是等比数列，B正确；
，取 ，则 ，C错误；
当 时，从第二项开始，数列递减，且 ，故 ，故 ， 最大，D正确.
故选：ABD
8．已知数列 的前n项和 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是等差数列 B．
C． D． 有最大值【答案】AB
【分析】由 与 的关系求出数列 的通项，从而可判断AB，根据数列性质可判断C，根据前 项和
的函数性质可判断D.
【详解】当 时， ，
当 时，
，符合 ，
故 ，
所以 ， ，
所以数列 是等差数列，首项为 ，公差 ，A正确；
，B正确；
因为公差 ，所以数列 是递减数列，所以 ，C错误；
，
易知当 或 时， 有最大值 ，D错误.
故选：AB
9．数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是递增数列 B．
C．当 时， D．当 或4时， 取得最大值
【答案】CD
【分析】根据 表达式及 时， 的关系，算出数列 通项公式，即可判断A、B、C选
项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.【详解】当 时， ，又 ，所以 ，则 是递减数
列，故A错误；
，故B错误；
当 时， ，故C正确；
因为 的对称轴为 ，开口向下，而 是正整数，且 或 距离对称轴一样远，所以当
或 时， 取得最大值，故D正确.
故选：CD.
10．等比数列 中 ， ，则数列 的前 项和的最大值为 ．
【答案】21
【分析】先求得数列 的通项公式，由此求得数列 的通项公式，可知数列 是等差数列，
然后根据通项公式的特征求得前 项和的最大值．
【详解】由于等比数列 中， ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以数列 是首项为6，公差为 的等差数列，
当1≤n≤6时， ；当n＝7时， ；当n＞7时， ，
则当n＝6或n＝7时，数列 的前n项和取得最大值，最大值为6＋5＋4＋3＋2＋1＝21．
故答案为：21．
11．记等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则当 取得最大值时，n＝ ．
【答案】【分析】由 求出 和 的关系，结合等差数列前 项和公式即可求解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，由 可得： ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 是关于 的二次函数，开口向下，对称轴 ，
由二次函数的图象和性质可得：当 时， 取最大值，
故答案为： .
易错点二：忽视两个“中项”的区别（等比数列利用中项求其它）
1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个
数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示。
数学语言表达式： ( ， 为非零常数)．
2、等比中项性质：如果三个数 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项，其中 .
注意：同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前n项和公式
（1）通项公式：若等比数列 的首项为 ，公比是 ，则其通项公式为 ；
通项公式的推广： .
（2）等比数列的前 项和公式：当 时， ；当 时， .
已知 是等比数列， 是数列 的前 项和．（等比中项）
1、等比数列的基本性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ， ， ，…仍是等比数列，公比为 .
（2）若 ， （项数相同）是等比数列，则 ， ， ， ， 仍是等比数
列．
（3）若 ，则有口诀：角标和相等，项的积也相等 推广：
（4）若 是等比数列，且 ，则 （ 且 ）是以 为首项， 为公差的
等差数列。
（5）若 是等比数列， ，则 构成公比为 的等比数列。
易错提醒：若 成等比数列，则 为 和 的等比中项。只有同号的两数才有等比中项， “
”仅是“ 为 和 的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。
例 ．已知各项均为正数的等比数列 中， ，则 等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【详解】解：由等比数列的性质可得aa＝a2，aa＝a2，
2 4 3 4 6 5
∴aa＋2aa＋aa＝a2＋2aa＋a2＝（a＋a）2＝25，
2 4 3 5 4 6 3 3 5 5 3 5
又等比数列 各项均为正数，∴a＋a＝5，选项A正确
3 5
变式1．已知等差数列 的公差 ，且 ， ， 成等比数列，则 ( )
A． B． C． D．
【详解】由题意可知， 得 ，解得 或 ，
因为 ，故 ，
所以 .
故选：A.
变式2．已知 ，如果 ， ， ， ， 成等比数列，那么（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，【详解】因为 是 和 的等比中项，所以 ，设公比为 ，则 ，
所以b与首项-1同号，所以 ．又a，c必同号，所以 ．
故选：B
变式3．已知等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．
【详解】解：由等比数列性质可知 ，所以 或 ，
但 ，可知 ，所以 ，则 ，
故选：B
1．已知等差数列 的前 项和为 ，公差不为0，若满足 、 、 成等比数列，则 的值为
（ ）
A．2 B．3 C． D．不存在
【答案】A
【分析】根据题意，利用等比中项公式列出方程求得 ，结合 ，即可求解.
【详解】由等差数列 的前 项和为 ，公差不为0，若满足 ， ， 成等比数列，
可得 ，即 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，
又由 .故选：A.
2．已知公差不为零的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，则数列 的前9项的
和为（ ）
A．1 B．2 C．81 D．80
【答案】C
【分析】由题知 ， ，进而根据等差数列通项公式解得 ，再求和即可.
【详解】因为 ，所以 ，解得 .
又 ， ， 成等比数列，所以 .设数列 的公差为 ，
则 ，即 ，整理得 .
因为 ，所以 .
所以 .
故选:C.
3．已知 ， ，则使得 成等比数列的充要条件的 值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】根据等比中项的性质求解即可.
【详解】若 成等比数列，则 ，即 ，
当 时，满足 ， 成等比数列，
故使得 成等比数列的充要条件的b值为 .
故选：B
4．已知等差数列 的公差不为0， 且 成等比数列，则错误的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】设出公差，根据题干条件列出方程，求出公差，求出通项公式 ，再利用通项公式和前n项
和公式对四个选项一一计算，进行判断.
【详解】设等差数列 的公差为d（ ）.
因为 且 成等比数列，所以 .
解得： ，所以 .
对于A： .故A正确；
对于B：因为 ，所以 .故B正确；
对于C： .故C错误；
对于D：因为 ，所以当 时， ，即 .故D正确.
故选：C
5．正项等比数列 中， 是 与 的等差中项，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【分析】依题意 是 与 的等差中项，可求出公比 ，进而由 求出 ，根据等比中项求出
的值.
【详解】由题意可知， 是 与 的等差中项，
所以 ，即 ，所以 ， 或 （舍），
所以 ，
，
故选：D.
6．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线 ＋y2＝1的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或7
【答案】C
【分析】根据等比中项可求 ，然后代入曲线方程分别得到曲线为椭圆和双曲线，根据离心率的公式
即可求解.
【详解】实数4， ，9构成一个等比数列，可得 ，
当 时，圆锥曲线 为椭圆,则其离心率为： ．
当 时，圆锥曲线 为双曲线,其离心率为： ．
故选：C．
7．数列 为等比数列， ， ，命题 ，命题 是 、 的等比中项，则 是 的
（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据等比中项的定义结合等比数列的定义判断可得出结论.
【详解】因为数列 为等比数列，且 ， ，若 ，则 ，
则 是 、 的等比中项，即 ；若 是 、 的等比中项，设 的公比为 ，则 ，
因为 ，故 ，即 .
因此， 是 的充要条件.
故选：A.
8．在数列 中， ， ，则 （ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由等比数列定义可知数列 为等比数列，结合等比数列性质可知数列 是以 为首项， 为
公比的等比数列，结合等比数列求和公式可求得结果.
【详解】 ， ，即 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
， ， ，…， ，
又数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
.
故选：D.
9．已知 是等差数列，公差 ，前 项和为 ，若 ， ， 成等比数列，则A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【分析】首先由 ， ， 成等比数列可得 ，然后计算得出 ，再由 可得 ，
最后由等差数列的前 项和公式即可得出 的表达式，进而得出所求的答案．
【详解】因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ；
而 ，
故选： ．
10．数1与4的等差中项，等比中项分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【分析】利用等差、等比中项的性质求对应中项即可.
【详解】若等差中项为m，则 ，可得 ；
若等比中项为n，则 ，可得 ；
故选：B
11．已知数列 是等差数列， ，其中公差 ，若 是 和 的等比中项，则 （ ）
A．398 B．388
C．189 D．199
【答案】C
【分析】数列 是等差数列， ，其中公差 ，由 是 和 的等比中项，可得
，解得 即可得出．【详解】解：数列 是等差数列， ，其中公差 ， 是 和 的等比中项，
，
化为 ， ．
所以 ，
则 ．
故选：C．
易错点三：忽略等比数列求和时对 讨论（等比数列求和）
等比数列前 项和的性质
（1）在公比 或 且 为奇数时， ， ， ，……仍成等比数列，其公比为 ；
（2）对 ，有 ；
（3）若等比数列 共有 项，则 ，其中 ， 分别是数列 的偶数项和与奇数项和；
（4）等比数列的前 项和 ，令 ，则 （ 为常数，且
）
易错提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的： ，所以在利用等比数列求和公式
求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论..
例 ．设等比数列 的前n项和为 .已知 ， ，则 .
【详解】当 的公比为1时，由 可知显然不成立，故公比不为1，由 得 ，
所以 时， ，相减可得 ，故公比 ，又
，
故 ，故答案为：
变式1．记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 ．
【详解】等比数列 中， ， ，显然公比 ，
设首项为 ，则 ①， ②，
化简②得 ，解得 或 （不合题意，舍去），
代入①得 ，
所以 ．
故答案为：
变式2．在等比数列 中， ， ，令 ，求数列 的前n项和 ．
【详解】设等比数列 的公比为 ， ， ，
所以 ，解得： ，
所以 ，
又 ，所以 .
变式3．数列 前 项和 满足 ，数列 满足 ．(1)求数列 和 的通项公式；
(2)对任意 ，将数列 中落入区间 内项的个数记为 ，求数列 前 项和 ．
【详解】（1） ， ①，当 时， ，
当 时， ②，
两式①-②得 ，即 ，
其中 ，也满足上式，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列，
故 ；
；
（2） ，
令 ，解得 ，又 ，
故 ，则 ，
故 ，所以 为等比数列，首项为 ，公比为3，
所以 .
1．已知 为等比数列，其公比 ，前7项的和为1016，则 的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C【分析】根据等比数列的前 项和公式求出首项 ，进而可得 ，再结合对数运算即可得答案.
【详解】依题意， ， ，解得 ，因此 ，
所以 .
故选：C
2．已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等比数列的前 项和公式直接计算即可.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
当 时， ，不符合题意，（注意对 情况的讨论），
所以 ，由 得 ，得 ，（注意等比数列 为正项数列，
故 ），
因此 .
故选：C．
3．已知 ， ， （ ， ）， 为其前 项和，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用递推关系构造得 是一个以3为首项，2为公比的等比数列，再赋值，结合等比数
列的前n项和公式求答案.【详解】由 （ ， ）可得 ，
已知 ， ，所以 ，
即 是一个以3为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，即 ，
， ， ， ， ，
，
故选B.
4．在等比数列 中， ， ，则（ ）
A． 的公比为4 B． 的前20项和为170
C． 的前10项积为 D． 的前n项和为
【答案】ABC
【分析】利用等比数列的性质、等差数列、等比数列的求和公式计算即可.
【详解】由题意可知 ，所以 ，
所以 ， ，A对；
由上可知： ，所以 ，
B对；
而 ，C对；
记 的前n项和为 ，则的前n项和 ，
D错，
故选：ABC.
5．已知正项等比数列 的前n和为 ，若 ，且 ，则满足 的n的最大值为
.
【答案】5
【分析】利用等比数列的性质与求和公式求解基本量，再由 解关于 的不等式.
【详解】设等比数列 公比为q，因为 ，
所以 ，解得 ，或 .
由数列为正项等比数列，则 ，所以 .
又由 ，即 ，解得 ，
因为 ，
所以 ，得 ，解得 ，
因为 ，
即 ，又 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
6．已知等比数列 的前n项和为 ， ，且－3， ， 成等差数列，则数列 的通项
．
【答案】
【分析】根据条件求 和 ，从而可得数列 的通项公式.【详解】设等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ，解得 ，
又－3， ， 成等差数列，得 ，即 ，
，解得 ，
所以 .
故答案为： .
7．设 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则
【答案】
【分析】结合等比数列通项公式可求得公比 ，代入等比数列求和公式中可求得结果.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，
.
故答案为： .
8．已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 ．
【答案】
【分析】根据条件求等比数列的基本量及等比数列求和公式计算即可.
【详解】设公比为 ，则 ，
由 ， ，解之得 或 （舍去），
故 .
故答案为：
9．已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】设等比数列 的公比为q，则 ，显然 ，根据题意求出 ， 的值，再根据等比数列的
通项公式求解即可.
【详解】解：设等比数列 的公比为q，则 ，显然 ，
因为 ， ，
所以 ，
即 ，解得 ,
所以 ．
故答案为：
10．数列 的前n项和为 ，且 ， ，则满足 的最小的自然数n的值为
．
【答案】
【分析】对递推公式进行变形构造等比数列，根据等比数列前n项和公式、比较法进行求解即可.
【详解】 ，所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
因此 ，
所以 ，设
，
所以数列 是单调递增数列，
因此有 ，即 ，
所以数列 是单调递增数列，
而 ，
，
因此满足 的最小的自然数n的值为 ，
故答案为：
11．在正项等比数列 中，已知 ， ，则公比 ．
【答案】3
【分析】利用等比数列的前n项和公式求解.
【详解】解：因为在正项等比数列 中， ， ，
所以 ，即 ，
即 ，
解得 或 （舍去），故答案为：3
易错点四： 由 求 时忽略对“ ”检验（求通项公式）
类型1 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此
数列的一个通项．
类型2 公式法：
若 已 知 数 列 的 前 n项 和 S 与 的 关 系 ， 求 数 列 的 通 项 可 用 公 式
n
构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即
和 合为一个表达，（要先分 和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型3 累加法：
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相加，可得：
①若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和；
④若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和．类型4 累乘法：
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型5 构造数列法：
（一）形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式：
（1）若 时，数列{ }为等差数列；
（2）若 时，数列{ }为等比数列；
（3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方
法有如下两种：
法一：设 ，展开移项整理得 ，与题设 比较系数
（ 待 定 系 数 法 ） 得 ， 即
构成以 为首项，以 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理可得法二：由 得 两式相减并整理得 即 构成以
为首项，以 为公比的等比数列．求出 的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如 型的递推式：
（1）当 为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为
首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的
通项整理可得
法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式相减得：
，令 得： 转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加
法）便可求出
（2）当 为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，
以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理
可得
法二：当 的公比为 时，由递推式得： ——①， ，两边同时乘以 得 ——②，由①②两式相减得 ，即 ，在
转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q， r均为常
数）时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），
得： 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当 为任意数列时，可用通法：
在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则 ，在
转化为类型Ⅲ（累加法），求出 之后得 ．
类型6 对数变换法：
形如 型的递推式：
在原递推式 两边取对数得 ，令 得： ，化归为
型，求出 之后得 （注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型7 倒数变换法：
形如 （ 为常数且 ）的递推式：两边同除于 ，转化为 形式，
化归为 型求出 的表达式，再求 ；还有形如 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 形式，化归为
型求出 的表达式，再求 ．
类型8 形如 型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解．方法为：设 ，比较系数
得 ，可解得 ，于是 是公比为 的等比数列，这样就化归为 型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，
可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
易错提醒：在数列问题中，数列的通项 与其前n 项和 之间关系如下 ，在
使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛ ｝的 与 关系时，先令 求
出首项 ，然后令 求出通项 ，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令 求
出通项 ，也不对 进行检验.
例 ．已知数列 和 ，其中 的前项和为 ，且 ， .
(1)分别求出数列 和 的通项公式；
(2)记 ，求证： .【详解】（1）当 时， ，所以 ，
时， ①， ②，
①-②得 ，
即 ， ，
所以 是以首项为2，公比为2的等比数列，所以 ，
所以 ；
（2） ，即 ③，
④，
④-③，得
，因为 ， ，所以 .
变式1．数列 的前n项和 ，已知 ， ，k为常数.
(1)求常数k和数列 的通项公式；
(2)数列 的前n项和为 ，证明：
【详解】（1）由 得 ， ，
两式相减的 ，整理得 ，
当 时，得 ， ，当 时， ，
， ， ，
相加得 ，
所以 ， ，
当 ，2时符合 ，
所以 ，
则 ， ，
则 ，即 .
（2）由（1）得 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
综上可得， .
变式2．设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 .证明：对一切正整数 ， .【详解】（1）因为 ，即 ，
当 时 ，解得 或 （舍去），
当 时 ，
所以 ，
即 ，即 ，
则 ，因为 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以数列 的通项公式是
（2）由（1）可得 ，所以 ，
，所以
，所以 ，
因为 ，所以 .
变式3．已知数列 的前 项和为 ，且 （ ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，故 ，
故数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，故 .（2）由（1）得 ，
所以由题意 ，
故 ，
则 ，
故 ，
则 .
1．已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)当 时，求 ；
(2)若 为等比数列，求 的值.
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）利用 与 之间的关系将已知等式转化为 之间的关系式
，然后利用 之间的关系求 的值，进而求 的值；
（2）利用（1）得 之间的关系式，分 和 讨论，利用等比数列性质列式求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，故 ，所以 ，解得 ；
（2）由（1）知， ．
①当 时， ，此时 ，这与 矛盾，所以 不成立，即 ；
②当 时， ，所以 ，所以 ，
，
因为 为等比数列，所以 ，即 ，解得 .
综上， 的值为5.
2．已知数列 的前 项和为 ，且 与 的等差中项为 .
(1)求数列 的通项公式.
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差中项，构造数列，等比数列的知识得出；
（2）采用裂项相消法，注意分 为奇数偶数.
【详解】（1）因为 与 的等差中项为 ，所以 ，即 .
当 时， ，则 .
当 时， ，
所以 ，所以 ，可变形为 ，所以 ，且 也符合，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
即数列 的通项公式为 .
（2）方法一
当 为奇数时，
.
当 为偶数时，
.
所以数列 的前 项和为 .
方法二 .
.
3．已知数列 的前n项和为 ， 且 ， .
(1)求 ；
(2)记 ，求数列 的前n项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据 的关系可得 是等差数列，即可求解 ，进而可得 ，
（2）根据错位相减法即可求解.
【详解】（1） ，
，又
.
数列 是公差为2，首项为 的等差数列.
,即 .
当 时， ，
故 .
（2） 时，
时， .
设 的前n项和为 ，则，
.
.
（ ）
当 时，也符合，
所以
4．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，当 时， 是4的常数列.
(1)求 的通项公式；
(2)当 时，设数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题目条件得到 ，故数列 ， 均为公比为4的等比数列，从而得到通项
公式；
（2）裂项相消得到 ，从而求和，得到不等式.【详解】（1）当 时， 为等比数列，即 是4的常数列，
故 ，
当 时， ，当 时， ，
∴数列 ， 均为公比为4的等比数列，
， ，
.
（2） ，
∴当 时，数列 的前 项和为
.
5．在数列 中， ， 是 的前n项和，且数列 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先应用等差数列求 ，再应用 计算通项公式；
（2）应用错位相减法求和即可．
【详解】（1）由已知得 ， ，所以 ，①
当 时， ，②
，得 ，
也符合该式，
所以 ．
（2）由（1）得 ，
所以 ，③
，④
，得
．
故 ．
6．已知数列 的前 项和是 ，且 .
(1)证明： 是等比数列.
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）先对 进行化简构造出 ，并结合等比数列定义可求解；（2）根据（1）求出 ，然后构造关于 的方程组并利用错位相减法可求解.
【详解】（1）证明：当 时， ，得： ；
当 时，得： ，
将两式相减得： ，得： ，
所以得：当 时， 是等比数列，通项公式为： ，
当 ， 也符合，
故可证：数列 为等比数列.
（2）由（1）得： ，则得： ，
则： ①
②
①-②得： ，
化简得： .
所以：数列 的前 项和： .
7．已知首项为4的数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据 ，得出 与 的关系，进一步变形得出等比数列；
（2）利用分组求和法及等比数列求和公式可求得结果.
【详解】（1）由题意 ，即 ，故 ，
即 ，又 ，故数列 是以-1为首项，-1为公比的等比数列.
（2）由（1）知， ，即 ．
数列 的前n项和为 ，
数列 的前n项和为 ，
故 ．
8．设数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，结合 探讨数列 的特征，再求出通项公式即得.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助单调性推理即得.
【详解】（1）依题意，当 时， ，解得 ，当 时， ，
整理得 ，即有 ，两式相减得 ，
因此数列 为等差数列，由 ， ，得公差 ，
所以数列 的通项公式 ．
（2）由（1）知， ，
因此
，
则 ，显然数列 是递增数列，即有 ，而 ，
所以 ．
9．设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)求出数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求 时，n的最小值．
【答案】(1) .
(2)n的最小值为20.
【分析】（1）利用 求通项公式；
（2）先写出数列 的通项公式 ，再利用等差数列的前n项和公式求出 ，最后解不等式得出
答案.
【详解】（1） ，当 时，有 ，解得
当 时，有 ，因为 ，所以 ，化
简可得 .
数列 是以1为首项，2为公差的等差数列.
数列 的通项公式为 .
（2） ，
，即数列 是以3为首项，4为公差的等差数列.
，解得 或 .
n为正整数
n的最小值为20.
10．已知 为数列 的前 项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ， ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）法一：根据 得到 ，从而得到 ，可
得 的奇数项和偶数项分别为等差数列，求出奇数项和偶数项的通项公式，得到答案；
法二：变形得到 ，结合 ，得到 ，利用
求出答案；
（2）变形得到 ，当 为奇数时， ，当 为偶数时，
，分 为奇数和偶数两种情况，求和，得到答案.
【详解】（1）法一: 当 时， ，即 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，
两式相减得： ．又 ，满足上式．
所以当 时， ，
又当 时， ，
两式相减得： ，
所以数列 的奇数项是以 为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为奇数），
数列 的偶数项是以 为首项，4为公差的等差数列，所以 （n为偶数），
所以 ，即 的通项公式是 ．
法二：因为 ，
所以 ，
同理可得 ，
故 ，
因为 ，所以 ，即 ，
当 时， ，
当 时， 适合上式，所以 的通项公式是 .
（2）因为 ，
故当 时， ①，
当 时， ②，
①、②两式相减得： ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
所以 ，
所以 ；当n为偶数时，
,
当n为奇数时，
，
综上， .
11．已知各项均为正数的数列 的前n项和为 ，且 ， （ 且 ）．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）利用 （ ）化简题中条件，可得列 是以1为首项，1为公差的等差数
列，求得 ，再根据 （ ），即可求解；（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）当 时， ，
即 ，解得 ．
因为 （ ），
所以 （ ），
又 （ ， ）， ，
所以 （ ），又 ，
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，所以 ．
当 时， ，
当 时， ，满足上式，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
易错点五：裂项求和留项出错（数列求和）
常见的裂项技巧
积累裂项模型1：等差型
（1）
（2）（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
积累裂项模型2：根式型
（1）
（2）
（3）（4）
（5）
（6）
积累裂项模型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6） ，设 ，易得 ，
于是
（7）
积累裂项模型4：对数型积累裂项模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4） ，
则
积累裂项模型6：阶乘
（1）
（2）
常见放缩公式：
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9） ；
（10）
；
（11）
；
（12） ；
（13） ．
（14） ．
易错提醒：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下
第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项。
例 ．已知数列 的前 项和为 ， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，证明： .
【详解】（1）因为 ，
当 时， ， ， ， ，
当 时，由 得 ，
两式相减得 ，
， ， ，所以有 ，
从而 ，
所以数列 的奇数项是以 为首项， 为公差的等差数列，
偶数项是以 为首项， 为公差的等差数列，
，
所以 .
（2）由 ，且 ，
所以 .变式1．记 为数列 的前n项和，满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
【详解】（1）因为 ，∴当 时， ，
所以 ，
整理得： ，即 ，
∴
显然对于 也成立，∴ 的通项公式
（2）
∴
由于 ，所以 ，故得证 .
变式2．已知首项为1的数列 ，其前 项利为 ，且数列 是公差为1的等差数列 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．【详解】（1）数列 是公差为1的等差数列，且 ，即 ， ，
当 时， ，
当 时， ，满足 ，
综上， 的通项公式为 ．
（2）由题意
，
所以
，
因此，数列 的前 项和 .
变式3．已知数列 为非零数列，且满足 .
(1)求 及数列 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，且满足 ，证明： .
【详解】（1）因为 ①
所以当 时， ，解得 ，
当 时， ②，由① ②得 ，即 ，又 满足上式，所以 .
（2）证明：因为 ，
所以 .
1．已知 是数列 的前 项和， ，且 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式．
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知等比中项列等式，结合 与 的关系可得 的递推公式，然后利用构造法求 ，
再根据 与 的关系求通项；
（2）根据裂项相消法求 ，然后可证明.
【详解】（1）由 成等比数列，
得 ，
所以 ．
整理，得 ，则 ．
又 ，所以 是以2为首项，3为公差的等差数列，
所以 ，即 ．
当 时， ，
所以 ．
当 时， 不符合上式．
故 .
（2）由（1）可知， ，
所以
，
所以 ，
故 ．
2．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，当 时， 是4的常数列.
(1)求 的通项公式；
(2)当 时，设数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）由题目条件得到 ，故数列 ， 均为公比为4的等比数列，从而得到通项
公式；
（2）裂项相消得到 ，从而求和，得到不等式.
【详解】（1）当 时， 为等比数列，即 是4的常数列，
故 ，
当 时， ，当 时， ，
∴数列 ， 均为公比为4的等比数列，
， ，
.
（2） ，
∴当 时，数列 的前 项和为
.
3．在数列 中， 为数列 的前 项和，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 .求数列 的前 项和 .
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由前n项和求递推关系，应用等比数列定义证明等比求通项公式；
（2）应用裂项相消法计算即可.
【详解】（1）当 时， ，解得 .
当 时，
即 ，易知 ，所以 .
所以 是以 为首项，以2为公比的等比数列.
故 .
（2） ，
4．设数列 前n项和为 ， ， .
(1)求 ，及 的通项公式；
(2)若 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
【分析】（1）根据 与 的关系，结合等比数列的定义进行求解即可.
（2）运用裂项相消法，结合对数的运算性质和换底公式进行求解证明即可.【详解】（1）因为 ， ，
所以可得： ，
当 时，由 ，得
， 因此数列 从第三项起，每项与前一项的比为定值2，
所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，
当 时， ，
所以
，
即 .
5．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，数列 的前n项之积为 ， ，且 ．
(1)求 ；
(2)令 ，求正整数n，使得“ ”与“ 是 ， 的等差中项”同时成立；
(3)设 ， ，求数列 的前2n项和 ．【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）先求出 ，再由等差数列求出公差，代入 求出 即可；
（2）先由递推公式求出 ，再求出 ，再根据条件求出满足 ，验证此时 是否为 ，
的等差中项即可；
（3）先求出 ，代入求出 并进行裂项，最后求和即可.
【详解】（1）由 ，
令 ，得 ，即 ，
设等差数列 的公差为 ，
由 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ．
（2）存在，理由如下：
由（1）可得 ，
所以当 时，则 ，
可得 ；
当 时， 也满足上式，所以 ．所以 ，
若 成立，即 ，则 ，
此时 ， ， ，满足： ，
即 为 ， 的等差中项，
所以存在 符合题意．
（3） ，
则 ，
所以
.
6．设 是等比数列的公比大于 ，其前 项和为 ， 是等差数列，已知 ， ，
， .
(1)求 ， 的通项公式
(2)设 ，求 ；
(3)设 ，数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】(1) ,
(2)(3)
【分析】（1）利用等差和等比数列的通项公式求解；
（2）利用错位相减法求和；
（3）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设 的公比为 ，
因为 ，所以 ，即 ，解得 或 （舍），
所以 ，
设 的公差为 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，解得 ，所以 .
（2）由（1）可得， ，
所以 ，
，
所以 ，
所以 .
（3） ，
所以
.7．已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用 求出 （ ），求出通项公式，检验 也满足；
（2）裂项相消法求和后得到答案.
【详解】（1）∵ ①，
当 时， ，故 ，
时， ②
① ②得 （ ），而 也满足上式，
∴ .
（2） ，
∴ .
8．设 为数列 的前 项和，
(1)求 的通项公式；(2)若数列 的最小项为第 项，求 ；
(3)设 数 的前 项和为 ，证明：
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当 时，由 求出 ，再验证 符合 ；
（2）将 ， 代入 ，结合基本不等式，即可得出答案；
（3）当 求出 ，对 进行放缩，由裂项相消法即可证明.
【详解】（1）由题意知，当 时，
当 时， 符合上式，
所以 ；
（2）由（1）知， ， ，
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立.
所以数列 的最小项为第一项，故 ；
（3）由（1）知时，
记 ，
设 为数列 的前 项和，则 时，
时， ，
因为 所以
综上，
9．已知正项数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 ；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）首先根据 ， ，变形证明数列 是等差数列，即可求通项公式；
（2）首先根据（1）的结果， ，再利用放缩法得 ，最后再求和，即可证明不等式.
【详解】（1）当 时， ，
即 ，
由数列为正项数列可知， ，又 ，即数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
即 ，则 ，
当 时， ，当 时， 成立，
所以
（2）由（1）可知， ，则 ，
当 时，
，成立， ，成立，
当 时，
，
即 .
综上可知， ，得证. 资料来源：微信公众号 智慧学库
10．已知数列满足 ，且 .
(1)证明： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)已知数列 满足 ，求 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据 结合等比数列的定义即可得证；再利用构造法求 的通项即
可；（2）利用分组求和法和裂项相消法计算即可.
【详解】（1）由 ，得 ，
， ， ，
，则 是首项为4，公比为2的等比数列，
由 是首项为4，公比为2的等比数列，
则 ，
，即数列 是首项为2，公差为1的等差数列，
，
则 ；
（2） ，
则
.
