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4.2.1 等差数列的概念
题组一 判断数列是否为等差数列
1．（2020·河北运河·沧州市一中月考）下列说法正确是（ ）
A．常数列一定是等比数列 B．常数列一定是等差数列
C．等比数列一定不是摆动数列 D．等差数列可能是摆动数列
【答案】B
【解析】对于A选项，各项均为 的常数列不是等比数列，A选项错误；
对于B选项，常数列每一项都相等，则常数列是公差为 的等差数列，B选项正确；
对于C选项，若等比数列的公比 满足 ，则该等比数列为摆动数列，C选项错误；
对于D选项，若等差数列的公差 ，则该等差数列为递增数列；
若 ，则该等差数列为常数列；
若 ，则该等差数列为递减数列.
所以，等差数列一定不是摆动数列，D选项错误.故选：B.
2．（2020·吉林南关·长春市实验中学高一期末（理））设a，b，c分别是 内角A，B，C的对边，
若 ， ， 依次成公差不为0的等差数列，则（ ）
A．a，b，c依次成等差数列 B． ， ， 依次成等差数列
C． ， ， 依次成等比数列 D． ， ， 依次成等比数列
【答案】B
【解析】∵a，b，c分别是 内角A，B，C的对边，
， ， 依次成公差不为0的等差数列，∴ ，
根据正弦定理可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， 依次成等差数列.
故选：B.
3．（2019·佛山市南海区桂城中学月考）下列叙述正确的是（ ）
A． 与 是相同的数列 B． 是常数列
C．数列 的通项 D．数列 是递增数列
【答案】D
【解析】数列 与 各项顺序不同，不是相同的数列，故 错误；
数列 是摆动数列，故 错误；
数列 ，通项 ，故 错误；
单调递增，则数列 是递增数列，故 正确.
本题正确选项：
4．已知数列 满足 ，对一切 ， ，则数列 是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定
【答案】B【解析】因为 ，所以数列 为等比数列， ，
又 ，则 ，所以得 ， ，故数列 是递减数列.故选：B.
5．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高一期末）若数列 的通项公式为 ，则此数列是（
）
A．公差为-1的等差数列 B．公差为5的等差数列
C．首项为5的等差数列 D．公差为n的等差数列
【答案】A
【解析】∵ ， ∴ ，
∴{a }是公差 的等差数列． 故选：A
n
题组二 求等差数列的通项或项
1．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）在等差数列{a}中，若 ，公差d=2，则a=（ ）
n 7
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】A
【解析】因为等差数列{a}中，且 ，公差d=2，所以a=a +4d=7.故选：A
n 7 3
2．（2020·内蒙古扎鲁特旗·扎鲁特一中期末（文））已知等差数列 满足 ，则 中一
定为零的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设数列的公差为 ，则 ， ，∴
．故选：C．3．（2020·北京平谷·期末）已知等差数列 中 那么 （ ）
A．17 B．9 C．10 D．24
【答案】B
【解析】设等差数列 的公差为 ，
， ，故选：B.
4．（2019·全国高一课时练习）已知数列 是等差数列，且 ，则公差 （ ）
A． B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】等差数列中
5（2019·全国高二课时练习）等差数列 的第 项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题,等差数列 , , ,
故选A
6．（2020·陕西商洛·期末（文））若等差数列 的公差 ，则 _______．
【答案】
【解析】设 ， ， ，则 ．又 ，则 ，故答案为： .
题组三 等差中项
1．（2020·上海高二课时练习）已知一等差数列 中依次的三项为 ，则
______.
【答案】2
【解析】由等差中项定义得： ，解得： .故答案为：2.
2．（2020·全国高二课时练习）若 ， ， 成等差数列，则 ______.
【答案】0或1
【解析】由题, ,即 , 或0故答案为：0或 1
3．（2020·甘肃武威十八中高一课时练习）已知 ， ， 成等差数列，则
______．
【答案】
【解析】因为 ， ， 成等差数列，所以
，
，
因此4．（2020·全国高一课时练习）已知（1，3），（3，-1）是等差数列 图像上的两点，若5是p，q的
等差中项，则 的值为______。
【答案】
【解析】设等差数列通项公式为 ，代入点的坐标得 ，解得 ，即
，由于 是 的等差中项，故 ，所以 .
5．（2020·陕西省洛南中学高二月考）在等差数列 中，已知 ,则 ( )
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【解析】由等差中项的性质得 ， 所以 ，则 ，
所以， ，故选：A.
6.（2020·全国月考）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等差数列，
且 ，则 外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， 成等差数列，所以 ，则 ，
由正弦定理可知， ，解得： .
所以 外接圆的半径为 ，从而 外接圆的面积为 .故选：A.
题组四 证明数列为等差数列1．（2020·全国高三课时练习（理））数列{a}满足a=1，na =(n+1)a+n(n+1)，n∈N*.证明：数列
n 1 n+1 n
是等差数列.
【答案】证明见解析.
【解析】证明：由已知可得 = +1，即 =1，
所以 是以 =1为首项，1为公差的等差数列.
2．（2020·上海高二课时练习）数列 的通项公式是 ．
（1）求证： 是等差数列，并求出其公差；
（2）判断 、 是否是数列 中的项，如果是，是第几项？
【答案】（1）证明见解析，公差为 ；（2） 是该数列的第 项， 不是该数列中的项.
【解析】（1） ，则 ， ，
所以，数列 是等差数列，且公差为 ；
（2）令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 .
所以， 是该数列的第 项， 不是该数列中的项.
3．（2019·全国高二课时练习）已知数列的通项公式为 .
（1）0.98是不是这个数列中的一项？
（2）判断此数列的单调性，并求最小项.
【答案】（1）是第7项（2）递增数列，【解析】（1）令 ,即 , ,可解得 ,故为第7项
（2）由题,
是递增数列, 的最小项为
4．（2019·全国课时练习）已知数列 满足 令 ．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求数列 的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】(1)证明：∵a＝4－ (n≥2)，∴a －2＝2－ ＝ (n≥1)．
n n＋1
∴ ＝ ＝ ＋ (n≥1)，即b －b＝ (n≥1)．∴{b}为等差数列．
n＋1 n n
(2)解：∵ 为等差数列，∴ ＝ ＋(n－1)· ＝ .
∴a＝2＋ .∴{a}的通项公式为a＝2＋
n n n
5．（2020·全国高一课时练习）已知数列 中， ， ，数列 满
足 。
（1）求证：数列 为等差数列。
（2）求数列 的通项公式。【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：由题意知， ，又 ，故
，又易知 ，故数列 是首项为 ，公
差为1的等差数列。
（2）由（1）知 ，所以由 ，可得
，故数列 的通项公式为 。
题组五 数列的单调性
1．（2020·河南高二期中（文））已知等差数列 的公差 为整数，首项为13，从第五项开始为负，则
等于（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
【答案】A
【解析】在等差数列 中，由 ，得 ，得 ，
∵公差 为整数， ．故选A．
2．（2020·四川广安·高一期末（理））已知数列{a}的通项公式a＝n＋ (n∈N*)，则数列{a}的最小
n n n
项是 ( )A．a B．a C．a 或a D．不存在
12 13 12 13
【答案】C
【解析】令 ，由对勾函数的性质可得：
当 时,函数f(x)单调递增;当 时,函数f(x)单调递减。
∴数列{a }的最小项是a =25与a =25中的最小值，因此数列{a }的最小项是a 或a .本题选择C选项.
n 12 13 n 12 13
3．（2020·全国高一课时练习）在等差数列 中, ,且 不大于 ,则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，所以 ，选B.
4.（2020·全国高二课时练习）等差数列 中，公差 ，当 时，下列关系式正确的是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
因为 ， ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 .故选：B.
