2011-2020年高考数学真题分专题训练专题19数列的求和问题（学生版）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

专题19 数列的求和问题
十年大数据*全景展示
年
份[来源:学.科.网
Z.X.X.K]
题号
考
点
考查内容
2011
理17
拆项消去求和法
等比数列的通项公式、性质、等差数列的前n 项和公式及拆
项相消求和法，运算求解能力
2012
理16
公式法与分组求和法
灵活运用数列知识求数列问题能力
2013
卷2
理
16[ 来源: 学科
网][来源:Zxxk.Com]
数列综合问题[来源:学科网]
等差数列的前n 项和公式及数列最值问题，函数与方程思想
[来源:学科网][来源:Z#xx#k.Com][来源:学,科,网][来源:学*科*网]
卷1
文17
拆项消去求和法
等差数列的通项公式、前n 项和公式及列项求和法，方程思
想
卷1
理12
数列综合问题
递推数列、数列单调性、余弦定理、基本不等式应用等基础
知识，综合利用数学知识分析解决问题能力
2014
卷1
文17
错位相减法
等差数列的通项公式及错位相减法，方程思想、转化与化归
思想
2015
卷1
理17
拆项消去求和法
利用数列利用前n 项和
n
S 与
n
a 关系求通项公式、等差数列
定义及通项公式、利用拆项消去法数列求和
2016
卷3
理12
数列综合问题
对新概念的理解和应用新定义列出满足条件的数列
卷1
理17
公式法与分组求和法
等差数列通项公式与前n 项和公式、对新概念的理解与应
用，分组求和法
2017
卷3
文17
拆项消去求和法
利用数列利用前n 项和
n
S 与
n
a 关系求通项公式及利用拆项
消去法数列求和
卷2
理15
拆项消去求和法
等差数列基本量的运算
等差数列通项公式、前n 项和公式及拆项消去求和法，方程
思想
卷1
理12
数列综合问题
等比数列的前n 项和公式、等差数列前n 项和公式，逻辑推
理能力
2020
卷2
文12
等差数列
等差数列通项公式、前n 项和公式
卷3
理17
数列综合问题
数学归纳法，错位相减法求数列的和
文17
等差数列与等比数列
等比数列通项公式，等差数列前n 项和公式
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
考点61 公式法与分组求和法
1/1 3
2021 年高考数列求和部分仍将重点拆线消去法和错位相减法
及与不等式恒成立等相关的数列综合问题，求和问题多为解答
题第二问，难度为中档，数列综合问题为小题压轴题，为难题
考点62 裂项相消法求和
5/13
考点63 错位相减法
2/13
考点64 并项法与倒序求和法
1/13
考点65 数列综合问题
4/13
十年试题分类*探求规律
考点61 公式法与分组求和法
1 ．(2020 全国Ⅱ文14) 记
n
S
为等差数列
n
a
的前n 项和，若
1
2
6
2 ,
2
a
a
a



，则

10
S
．
2．(2020 浙江11)已知数列
na
满足

1
=
2
n
a
n n 
，则
3
S 
．
3．(2020 山东14)将数列

2
1
n 
与

3
2
n 
的公共项从小到大排列得到数列
na
，则
na
的前n 项和
为
．
4．(2012 新课标，理16)数列{
na }满足
1
( 1)
2
1
n
n
n
a
a
n


，则{
n
a }的前60 项和为
．
5．(2020 山东18)已知公比大于1的等比数列
na
满足
2
4
20
a
a


，
3
8
a 
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)记
m
b 为
na
在区间

0,m 

m

N
中的项的个数，求数列
m
b
的前100 项和
100
S
．
6．(2016•新课标Ⅱ，理17)
n
S 为等差数列{
}
na
的前n 项和，且
1
1
a ，
7
28
S 
，记
[
]
n
n
b
lga

，其中[ ]x 表示
不超过x 的最大整数，如[0.9]
0

，[
99]
1
lg
．
(Ⅰ)求
1b ，
11
b ，
101
b
；
(Ⅱ)求数列{ }
nb
的前1000 项和．
7．(2015 湖南)设数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，已知
1
2
1,
2
a
a


，
且
2
3
n
n
a
S

*
1
3,(
)
n
S
n
N




．
(Ⅰ)证明：
2
3
n
n
a
a

；
(Ⅱ)求
n
S ．
8．(2013 安徽)设数列
na
满足
1
2
a 
，
2
4
8
a
a


，且对任意
*
n
N

，函数
1
2
1
2
( )
(
)
cos -
sin
n
n
n
n
n
f x
a
a
a
x
a
x a
x










，满足
'(
)
0
2
f


(Ⅰ)求数列
na
的通项公式；
(Ⅱ)若
1
2
2 n
n
n
a
b
a


（
），求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
考点62 裂项相消法求和
1．(2020 浙江20)已知数列{an}，{bn}，{cn}中，
1
1
1
1
1
1
2
1,
,
(
)
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
c
c
a
a c
c n
b












*
N
．
(Ⅰ)若数列{bn}为等比数列，且公比
0
q 
，且
1
2
3
6
b
b
b


，求q 与an 的通项公式；
(Ⅱ)若数列{bn}为等差数列，且公差
0
d 
，证明：
1
2
1
1
n
c
c
c
d





．
2．(2017•新课标Ⅱ，理15)等差数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，
3
3
a 
，
4
10
S 
，则
1
1
n
k
kS



．
3．(2017•新课标Ⅲ，文17)设数列{
}
na
满足
1
2
3
(2
1)
2
n
a
a
n
a
n




．
(1)求{
}
na
的通项公式；
(2)求数列{
}
2
1
na
n 
的前n 项和．
4．(2015 新课标Ⅰ，理17)
n
S 为数列{
n
a }的前n 项和．已知
na ＞0，
2
n
n
a
a

= 4
3
n
S 
．
(Ⅰ)求{
n
a }的通项公式：
(Ⅱ)设
,求数列
}的前n 项和
5．(2013新课标Ⅰ，文17)已知等差数列｛
n
a ｝的前n项和
n
S 满足
3
S =0，
5
S =-5．
(Ⅰ)求｛
na ｝的通项公式；
(Ⅱ)求数列{
2
1
2
1
1
n
n
a
a


}的前n项和．
6．(2011 新课标，理17)等比数列{
n
a }的各项均为整数，且
1
2
2
3
a
a

=1，
2
3a =
2
6
9a a ，
(Ⅰ)求数列{
na }的通项公式；
(Ⅱ)设
nb =
3
1
3
2
3
log
log
log
n
a
a
a




，求数列{ 1
nb
}的前n 项和．
7．(2016 年天津高考)已知
na
是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的
*
N
n
，
nb 是
na 和
1
na 
的等差中项．
(Ⅰ)设
2
2
*
1
,
N
n
n
n
c
b
b
n




，求证：数列
nc
是等差数列；
(Ⅱ)设


2
2
*
1
1
,
1
,
N
n
k
n
k
k
a
d T
b n






，求证：
2
1
1
1 .
2
n
k
kT
d



8．(2011 安徽)在数1 和100 之间插入n 个实数，使得这
2
n 
个数构成递增的等比数列，将这
2
n 
个数的
乘积记作
nT ，再令
,
lg
n
n
a
T

1
n≥．
(Ⅰ)求数列{
}
na
的通项公式；
(Ⅱ)设
1
tan
tan
,
n
n
n
b
a
a 


求数列{ }
nb
的前n 项和
n
S ．
9．(2014 山东)已知等差数列
}
{
n
a
的公差为2，前n 项和为
n
S ，且
1S ，
2
S ，
4
S 成等比数列．
(Ⅰ)求数列
}
{
n
a
的通项公式；
(Ⅱ)令
nb =
,
4
)1
(
1
1



n
n
n
a
a
n
求数列
}
{ nb
的前n 项和
nT ．
10 ．(2013 广东)设各项均为正数的数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
2
1
4
4
1
n
n
S
a
n



，
*
n
N

，且
2
5
14
,
,
a a a
构成等比数列．
(Ⅰ)证明：
2
1
4
5
a
a


；
(Ⅱ)求数列
na
的通项公式；
(Ⅲ)证明：对一切正整数n ，有
1
2
2
3
1
1
1
1
1
2
n
n
a a
a a
a a 





．
考点63 错位相减法
1．(2020 全国Ⅲ理17)
设等差数列
na
满足
1
1
3 ,
3
4
n
n
a
a
a
n




．
(1)计算
2
3
,
a
a ，猜想
na
的通项公式并加以证明；
(2)求数列

2n
na
的前n 项和
n
S ．
2．(2014 新课标I，文17)已知{
n
a }是递增的等差数列，
2a ，
4a 是方程
2
5
6
0
x
x



的根。
(I)求{
n
a }的通项公式；
(II)求数列{ 2
n
n
a
}的前n 项和．
3．(2015 浙江)已知数列{
}
na
和{ }
nb
满足，
1
2
a 
，
1
1
b ，
*
1
2
(
N )
n
n
a
a n


，
1
2
3
1
1
2
3
b
b
b




*
1
1
1(
N )
n
n
b
b
n
n





．
(Ⅰ)求
n
a 与
nb ；
(Ⅱ)记数列{
}
n
n
a b
的前n 项和为
nT ，求
nT ．
4．(2013 湖南)设
n
S 为数列{
n
a }的前项和，已知
0
1 
a
，2
n
n
S
S
a
a



1
1
，
n
N 
(Ⅰ)求
1a ，
2
a ，并求数列
na
的通项公式；
(Ⅱ)求数列｛
n
na ｝的前n 项和．
5．(2016 年山东高考)已知数列
na
的前n 项和
2
3
8
n
S
n
n


，
nb
是等差数列，且
1.
n
n
n
a
b
b 


(Ⅰ)求数列
nb
的通项公式；
(Ⅱ)令
1
(
1)
.
(
2)
n
n
n
n
n
a
c
b




求数列
nc
的前n 项和Tn．
6．(2015 湖北)设等差数列{
}
na
的公差为d ，前n 项和为
n
S ，等比数列{ }
nb
的公比为q ．已知
1
1
b
a

，2
2
b 
，
q
d

，
10
100
S

．
(Ⅰ)求数列{
}
na
，{ }
nb
的通项公式；
(Ⅱ)当
1
d 时，记
n
n
n
a
c
b

，求数列{ }
nc
的前n 项和
nT ．
7．(2013 山东)设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
4
2
4
S
S

，
2
2
1
n
n
a
a


．
(Ⅰ)求数列
na
的通项公式；
(Ⅱ)设数列
nb
的前n 项和
nT ,且
1
2
n
n
n
a
T




(λ为常数)，令
2
n
n
c
b

(
*
nN )．求数列
nc
的前n 项
和
n
R ．
8．(2017 山东)已知{
}
nx
是各项均为正数的等比数列，且
1
2
3
x
x


，
3
2
2
x
x


．
(Ⅰ)求数列{
}
nx
的通项公式；
(Ⅱ)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点
1
1
( ,1)
P x
，
2
2
(
,2)
P x
，…，
1
1
(
,
1)
n
n
P
x
n



得到折线
1P
2P …
1
nP ，求由该折线与直线
0
y 
，
1
x
x

，
1
n
x
x 

所围成的区域的面积
nT ．
9．(2017 天津)已知{
}
na
为等差数列，前n 项和为
(
)
n
S
n

N
，{
}
nb
是首项为2 的等比数列，且公比大于0，
2
3
12
b
b


,
3
4
1
2
b
a
a


，
11
4
11
S
b

．
(Ⅰ)求{
}
na
和{
}
nb
的通项公式；
(Ⅱ)求数列
2
2
1
{
}
n
n
a b

的前n 项和(
)
n

N
．
10．(2015 湖北)设等差数列{
}
na
的公差为d，前n 项和为
n
S ，等比数列{ }
nb
的公比为q．已知
1
1
b
a

，2
2
b 
，
q
d

，
10
100
S

．
(Ⅰ)求数列{
}
na
，{ }
nb
的通项公式；
(Ⅱ)当
1
d 时，记
n
n
n
a
c
b

，求数列{ }
nc
的前n 项和
nT ．
11．(2014 四川)设等差数列{
}
na
的公差为d ，点(
,
)
n
n
a b
在函数
( )
2x
f x 
的图象上
(
*
n
N

)．
(Ⅰ)若
1
2
a ，点
8
7
(
,4
)
a
b
在函数
( )
f x 的图象上，求数列{
}
na
的前n 项和
n
S ；
(Ⅱ)若
1
1
a 
，函数
( )
f x 的图象在点
2
2
(
,
)
a b
处的切线在x 轴上的截距为
1
2
ln 2

，求数列{
}
n
n
a
b
的前n
项和
nT ．
12．(2012 浙江)已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
n
S =
2
2n
n

，n∈N﹡，数列
nb
满足
2
4log
3
n
n
a
b


，
*
n
N

．
(Ⅰ)求
,
n
n
a b ；
(Ⅱ)求数列{
}
n
n
a
b

的前n 项和
nT ．
考点64 并项法与倒序求和法
1．(2011 安徽)若数列
na
的通项公式是
( 1) (3
2)
na
n



,则
1
2
10
a
a
a


=
A．15
B．12
C．－12
D．－15
考点65 数列综合问题
1．(2017•新课标Ⅰ，理12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的
兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已
知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是
02 ，接下来的两项是
02 ，
12 ，再接下来的三项是
02 ，
12 ，
22 ，依此类推．求满足如下条件的最小整数
:
100
N N 
且该数列的前N
项和为2 的整数幂．那么该款软件的激活码是(
)
A．440
B．330
C．220
D．110
2．(2016•新课标Ⅲ，理12)定义“规范01 数列” {
}
na
如下：{
}
na
共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，
且对任意
2
k
m
-
，
1a ，
2a ，，
ka 中0 的个数不少于1 的个数，若
4
m 
，则不同的“规范01 数列”共
有(
)
A．18 个
B．16 个
C．14 个
D．12 个
3．(2013 新课标Ⅰ，理12)设△AnBnCn 的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn 的面积为Sn，n=1,2,3,…
若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝cn＋an
2
，cn＋1＝bn＋an
2
，则(
)
A．{Sn}为递减数列
B。{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
4．(2019 浙江10)设a，b∈R，数列{an}中an=a，an+1=an2+b，n

N
,则
A．当b=
1
2 时，a10＞10
B．当b=
1
4 时，a10＞10
C．当b=-2时，a10＞10
D．当b=-4 时，a10＞10
5 ．(2015 湖北) 设
1
2
,
,
,
n
a a
a R

，
3
n≥
．若p ：
1
2
,
,
,
n
a a
a

成等比数列；q ：
2
2
2
1
2
1
(
)
n
a
a
a 





2
2
2
2
2
3
1
2
2
3
1
(
)
(
)
n
n
n
a
a
a
a a
a a
a
a










，则
A．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
B．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
C．p 是q 的充分必要条件
D．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
6．(2020 全国Ⅲ文17)设等比数列
na
满足
1
2
3
1
4 ,
8
a
a
a
a




．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
n
S 为数列

3
log
na
的前n 项和．若
1
3
m
m
m
S
S
S




，求m ．
7．(2014 浙江)设函数
2
1
)
(
x
x
f

，
),
(
2
)
(
2
2
x
x
x
f


|
2
sin
|
3
1
)
(
3
x
x
f


，
99
i
i
a 
，
0,1,2,
,99
i 

，记
1
0
|
(
)
(
) |
k
k
k
I
f
a
f
a



2
1
|
(
)
(
) |
k
k
f
a
f
a


99
98
|
(
)
(
) |
k
k
f
a
f
a

，
.3,2,1

k
则
A．
3
2
1
I
I
I


B．
3
1
2
I
I
I


C．
2
3
1
I
I
I


D．
1
2
3
I
I
I


8．(2013 新课标Ⅱ，理16)等差数列{
n
a }前n 项和为
n
S ，
10
S
=0，
15
S
=25，则
n
nS 的最小值为
．
9.(2018 江苏)已知集合
*
{ |
2
1,
}
A
x x
n
n



N
，
*
{ |
2 ,
}
n
B
x x
n


N
．将A
B

的所有元素从小到大依次
排列构成一个数列{
}
na
．记
n
S 为数列{
}
na
的前n 项和，则使得
1
12
n
n
S
a 

成立的n 的最小值为
．
10．(2015 陕西)中位数为1 010 的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为
．
11．(2019 江苏20)定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”．
(1)已知等比数列{an}
*
(
)
nN
满足：
2
4
5
3
2
4
,
4
4
0
a a
a a
a
a




，求证：数列{an}为“M－数列”；
(2)已知数列{bn}
*
(
)
nN
满足：
1
1
1
2
2
1,
n
n
n
b
S
b
b 



，其中Sn 为数列{bn}的前n 项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M－数列”{cn}
*
(
)
nN
，对任意正整数k，当k≤m 时，都有
1
k
k
k
c
b
c 
- -
成立，
求m 的最大值．
12．(2014 广东)设各项均为正数的数列
n
a
的前n 项和为
n
S ，且
n
S 满足












N
n
n
n
S
n
n
S
n
n
,0
3
3
2
2
2
．
(Ⅰ)求
1a 的值；
(Ⅱ)求数列
n
a
的通项公式；
(Ⅲ)证明：对一切正整数n ，有






.
3
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1






n
n a
a
a
a
a
a

13．(2019 江苏20)定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”．
(1)已知等比数列{an}
*
(
)
nN
满足：
2
4
5
3
2
4
,
4
4
0
a a
a a
a
a




，求证：数列{an}为“M－数列”；
(2)已知数列{bn}
*
(
)
nN
满足：
1
1
1
2
2
1,
n
n
n
b
S
b
b 



，其中Sn 为数列{bn}的前n 项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M－数列”{cn}
*
(
)
nN
，对任意正整数k，当k≤m 时，都有
1
k
k
k
c
b
c 
- -
成立，
求m 的最大值．
14．(2018 江苏)设{
}
na
是首项为
1a ，公差为d 的等差数列，{ }
nb
是首项为
1b ，公比为q 的等比数列．
(1)设
1
1
0,
1,
2
a
b
q



，若
1
|
|
n
n
a
b
b

≤
对
1,2,3,4
n 
均成立，求d 的取值范围；
(2)若
*
1
1
0,
,
(1, 2]
m
a
b
m
q




N
，证明：存在d R ，使得
1
|
|
n
n
a
b
b

≤
对
2,3,
,
1
n
m



均成
立，并求d 的取值范围(用
1,
,
b m q 表示)．
15．(2016 年四川高考)已知数列{
n
a }的首项为1，
n
S 为数列{
na }的前n 项和，
1
1
n
n
S
qS


，其中q>0，
*
n
N

．
(I)若
2
3
2
2
,
,
2
a a a 
成等差数列，求
n
a 的通项公式；
(Ⅱ)设双曲线
2
2
2
1
n
y
x
a

的离心率为
ne ，且
2
5
3
e 
，证明：
1
2
1
4
3
3
n
n
n
n
e
e
e





．
16．(2015 陕西)设

nf
x 是等比数列1，x ，
2x ，，
nx 的各项和，其中
0
x 
，n，
2
n≥
．
(Ⅰ)证明：函数


2
n
n
F
x
f
x


在1
( ,1)
2
内有且仅有一个零点(记为
nx )，且
1
1
1
2
2
n
n
n
x
x 


；
(Ⅱ)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为

n
g
x ，比较

nf
x
与

n
g
x 的大小，并加以证明．
17．在数列
na
中，
1
3
a 
，
2
1
1
0
n
n
n
n
a
a
a
a







(
)
n
N

．
(Ⅰ)若
0,
2



，求数列
na
的通项公式；
(Ⅱ)若
0
0
0
1 (
,
2)
k
N
k
k




≥
，
1
，证明：
0 1
0
0
1
1
2
2
3
1
2
1
ka
k
k







．
18 ．(2014 浙江) 已知数列
n
a
和
nb
满足






N
n
a
a
a
n
b
n
2
2
1

．若
n
a
为等比数列，且
.
6
,2
2
3
1
b
b
a



(Ⅰ)求
n
a 与
nb ；
(Ⅱ)设






N
n
b
a
c
n
n
n
1
1
．记数列
nc
的前n 项和为
n
S ．
(ⅰ)求
n
S ；
(ⅱ)求正整数k ，使得对任意

N
n
，均有
n
k
S
S 
．
19．(2014 江苏)设数列
}
{
n
a
的前n 项和为
n
S ．若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得
m
n
a
S

，则称
}
{
n
a
是“H 数列”．
(Ⅰ)若数列
}
{
n
a
的前n 项和
n
n
S
2

(

n
N )，证明:
}
{
n
a
是“H 数列”；
(Ⅱ)设
}
{
n
a
是等差数列，其首项
1
1 
a
，公差
0

d
．若
}
{
n
a
是“H 数列”，求d 的值；
(Ⅲ)证明：对任意的等差数列
}
{
n
a
，总存在两个“H 数列”
}
{ n
b
和
}
{ n
c
，使得
n
n
n
c
b
a


(

n
N )成
立．