专题18 等差数列与等比数列
十年大数据*全景展示
年
份[来源:学#科#网]
题号
考
点
考查内容
2011
文17
等差数列与等比数
列综合问题
等比数列的通项公式、前n 项和公式及等差数列的前n 项和公式，
逻辑思维能力、运算求解能力
2012[来源:学*科*网Z*X*X*K][来
源:Z&xx&k.Com][来源:学#科#网]
理5[来源:学_科_网
Z_X_X_K][来源:Z#xx#k.Com]
等比数列问题[来源:Zxxk.Com]
等比数列通项公式及性质[来源:学。科。网Z。X。X。K]
文14
等比数列问题
等比数列n 项和公式
2013
卷2
文17
等差数列问题
等差数列通项公式、前n 项和公式、性质，方程思想
卷2
理3
等比数列问题
等比数列的通项公式与前n 项和公式及方程思想
卷1
文6
等比数列问题
等比数列前n 项和公式
2014
卷2
文5
等差数列问题
等比中项、等差数列通项公式及前n 项和公式
卷2
理17
等比数列问题
等比数列概念、通项公式、前n 项和公式及数列不等式证明，放缩
思想
2015
卷2
文5
等比数列问题
等比数列通项公式及方程思想
卷2
文5
等差数列问题
等差通项公式、性质及前n 项和公式
卷2
理16
等差数列问题
数列前n 项和
n
S 与
n
a 关系、等差数列定义及通项公式
卷2
理4
等比数列问题
等比数列通项公式及方程思想
卷1
文13
等比数列问题
等比数列定义及前n 项和公式
卷1
文7
等差数列问题
等差数列通项公式、前n 项和公式，方程思想
2016
卷2
文17
等差数列问题
等差数列通项公式及对新概念的理解与应用，运算求解能力
卷1
文17
等差数列与等比数
列综合问题
等差数列通项公式、等比数列定义、前n 项和公式，运算求解能力
卷1
理3
等差数列问题
等差数列通项公式、前n 项和公式、性质
卷1
理15
等差数列与等比数
列综合问题
等比数列通项公式、等差数列前n 项和公式及二次函数最值问题，
函数与方程思想
2017
卷3
理14
等比数列问题
等比数列通项公式及方程思想
卷3
理9
等差数列问题
等差数列通项公式及前n 项和公式、等比数列概念，方程思想
卷2
文17
等差数列与等比数
等差数列通项公式及前n 项和公式、等比数列通项公式及前n 项和
列的综合问题
公式，方程思想
卷2
理3
等比数列问题
等比数列定义及前n 项和公式及传统文化
卷1
文17
等差数列与等比数
列的综合问题
等比数列通项公式、前n 项和公式及等差数列定义，方程思想
卷1
理4
等差数列问题
等差数列的通项公式及前n 项，方程思想
2018
卷3
理文17
等比数列问题
等比数列通项公式、前n 项和公式，方程思想与运算求解能力
卷2
理文17
等差数列问题
等差数列的通项公式及前n 项和公式及前n 项和的最值，方程思想
卷1
文17
等比数列问题
等比数列定义、通项公式，运算求解能力
卷1
理4
等差数列问题
等差数列通项公式与前n 项和公式，方程思想
2019
卷3
文14
等差数列问题
等差数列通项公式与前n 项和公式，方程思想
卷3
理5
等比数列问题
等比数列通项公式与前n 项和公式，方程思想
卷2
文18
等差数列与等比数
列综合问题
等比数列的通项公式、等差数列定义及前n 项和公式，方程思想
卷2
理19
等差数列与等比数
列的综合问题
等比数列的定义及通项公式、等差数列定义与通项公式，运算求解
能力
卷1
文14
等比数问题
等比数列通项公式与前n 项和公式，方程思想
卷1
文18
等差数列问题
等差数列通项公式与前n 项和公式及数列数列不等式问题，方程思
想
卷1
理14
等比数列问题
等比数列通项公式与前n 项和公式，方程思想
卷1
理9
等差数列问题
等差数列通项公式与前n 项和公式，方程思想
2020
卷1
理
文10
等比数列问题
等比数列的性质，等比数列基本量的计算，方程思想
卷2
理4
等差数列问题
等差数列通项公式、前n 项和公式，方程思想，数学文化
理6
等比数列问题
等比数列通项公式、前n 项和公式，方程思想
文6
等比数列问题
等比数列通项公式与前n 项和公式，方程思想
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
考点58 等差数列问题
15/37
2021 年高考仍将考查等差数列与等比数列定义、性质、
前n 项和公式，题型为选择填空题或解答题的第1 小
题，难度为基础题或中档题．
考点59 等比数列问题
13/37
考点60等差数列与等比数列的综合问题
9/37
十年试题分类*探求规律
考点58 等差数列问题
1．(2020 全国Ⅱ理4)北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称
为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层
的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则三层共有扇
面形石板(不含天心石)
(
)
A．3699块
B．3474块
C．3402块
D．3339块
【答案】C
【思路导引】第n 环天石心块数为
na ，第一层共有n 环，则{
}
na
是以9 为首项，9 为公差的等差数列，
设
n
S 为{
}
na
的前n 项和，由题意可得
3
2
2
729
n
n
n
n
S
S
S
S
，解方程即可得到n，进一步得到
3n
S
．
【解析】设第n 环天石心块数为
n
a ，第一层共有n 环，则{
}
na
是以9 为首项，9 为公差的等差数列，
9
(
1)
9
9
na
n
n
，设
n
S 为{
}
na
的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为
2
3
2
,
,
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
，因为下层比中层多729 块，所以
3
2
2
729
n
n
n
n
S
S
S
S
，即
3 (9
27 )
2 (9
18 )
2 (9
18 )
(9
9 )
729
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
，即
2
9
729
n
，解得
9
n
，所以
3
27
27(9
9
27)
3402
2
n
S
S
，故选C．
2．(2020浙江7)已知等差数列
na
的前n 项和
n
S ，公差
1
1
0 , a
d
d
．记
1
2
1
2
2
,
,
n
n
n
b
S
b
S
S
n
N ，
下列等式不可能成立的是
(
)
A．
4
2
6
2a
a
a
B．
4
2
6
2b
b
b
C．
2
4
2
8
a
a a
D．
2
4
2 8
b
b b
【答案】B
【解析】A．由等差数列的性质可知
4
2
6
2a
a
a
，成立；
B．
4
5
6
6
b
S
S
a
，
2
3
2
3
b
S
S
a
，
6
7
10
8
9
10
9
3
b
S
S
a
a
a
a
，
若
4
2
6
2b
b
b
，则
6
3
9
9
6
3
9
2
3
2
a
a
a
a
a
a
a
，
即6
6
0
d
d
d
，这与已知矛盾，故B 不成立；
C．
2
2
4
2
8
1
1
1
3
7
a
a a
a
d
a
d
a
d
，整理为：
1a
d
，故C 成立；
D．
8
9
14
10
11
12
13
14
12
5
b
S
S
a
a
a
a
a
a
，当
2
4
2 8
b
b b
时，即
2
6
3
12
5
a
a
a
，整理为
2
1
1
1
5
5
2
11
a
d
a
d
a
d
，即
2
2
1
1
2
25
45
0
a
a d
d
，
0
，方程有解，故D 成立．综上
可知，等式不可能成立的是B，故选B．
3．(2019•新课标Ⅰ，理9)记
n
S 为等差数列{
}
na
的前n 项和．已知
4
0
S
，
5
5
a
，则(
)
A．
2
5
na
n
B．
3
10
na
n
C．
2
2
8
n
S
n
n
D．
2
1
2
2
n
S
n
n
【答案】A
【解析】设等差数列{
}
na
的公差为d ，由
4
0
S
，
5
5
a
，得
1
1
4
6
0
4
5
a
d
a
d
，
1
3
2
a
d
，
2
5
na
n
，
2
4
n
S
n
n
，故选A ．
4．(2018•新课标Ⅰ，理4)记
n
S 为等差数列{
}
na
的前n 项和．若
3
2
4
3S
S
S
，
1
2
a
，则
5
(
a
)
A．12
B．10
C．10
D．12
【答案】B
【解析】
n
S
为等差数列{
}
na
的前n 项和，
3
2
4
3S
S
S
，1
2
a
，
1
1
1
1
3
2
4
3
3
(3
)
4
2
2
a
d
a
a
d
a
d
，
把
1
2
a
，代入得
3
d ，
5
2
4
( 3)
10
a
，故选B ．
5．(2017•新课标Ⅰ，理4)记
n
S 为等差数列{
}
na
的前n 项和．若
4
5
24
a
a
，
6
48
S
，则{
}
na
的公差为(
)
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【解析】由题知，
1
1
1
3
4
24
6
5
6
48
2
a
d
a
d
a
d
，解得
1
2
a ，
4
d
，故选C ．
6．(2017•新课标Ⅲ，理9)等差数列{
}
na
的首项为1，公差不为0．若
2a ，
3a ，
6a 成等比数列，则{
}
na
前6
项的和为(
)
A．24
B．3
C．3
D．8
【答案】A
【解析】等差数列{
}
na
的首项为1，公差不为0．
2a ，
3a ，
6a 成等比数列，
2
3
2
6
a
a a
，
2
1
1
1
(
2 )
(
)(
5 )
a
d
a
d a
d
，且
1
1
a
，
0
d
，解得
2
d
，
{
}
na
前
6
项的和为
6
1
6
5
6
5
6
6 1
( 2)
24
2
2
S
a
d
，故选A ．
7．(2016•新课标Ⅰ，理3)已知等差数列{
}
na
前9 项的和为27，
10
8
a
，则
100
(
a
)
A．100
B．99
C．98
D．97
【答案】C
【解析】由题知，
1
9
5
9
5
9(
)
9
2
9
2
2
a
a
a
S
a
= 27 ，∴
5
3
a
，又
10
8
a
=
d
d
a
5
3
5
5
，
1
d
，
100
5
95
98
a
a
d
，故选C
8．(2015 新课标Ⅰ，文7)已知{
}
na
是公差为1 的等差数列，n
S 为{
}
na
的前n 项和，若
8
4
4
S
S
，则
10
a
(
)
(A) 17
2
(B)19
2
(C)10
(D)12
【答案】B
【解析】∵公差
1
d
，
8
4
4
S
S
，∴
1
1
1
1
8
8 7
4(4
4 3)
2
2
a
a
，解得
1a = 1
2
，∴
10
1
1
19
9
9
2
2
a
a
d
，故选B．
9．(2015 新课标Ⅱ，文5) 设
n
S 是等差数列{
}
na
的前n 项和，若
1
3
5
3
a
a
a
，则
5
S (
)
A．5
B．7
C．9
D．11
【答案】A
【解析】
1
3
5
3
3
3
3
1
a
a
a
a
a
，
1
5
5
3
5
5
5
2
a
a
S
a
．故选A．
10．(2014 新课标Ⅱ，文5)等差数列{
}
na
的公差是2，若
2
4
8
,
,
a a a 成等比数列，则{
}
na
的前n 项和
n
S (
)
A．
(
1)
n n
B．
(
1)
n n
C．
(
1)
2
n n
D．
(
1)
2
n n
【答案】A
【解析】∵
2
4
8
,
,
a a a 成等比数列，∴
2
4
2
8
a
a a
，即
2
1
1
1
(
6)
(
2)(
14)
a
a
a
，解得
1a =2，∴
n
S
2
n
n
，
故选A．
11．(2017 浙江)已知等差数列
na
的公差为d ，前n 项和为
n
S ，则“
0
d
”是
“
4
6
5
+
2
S
S
S
”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵
6
5
5
4
6
5
(
)
(
)
S
S
S
S
a
a
d
，当
0
d
，可得
4
6
5
+
2
S
S
S
；当
4
6
5
+
2
S
S
S
，可得
0
d
．所
以“
0
d
”是“
4
6
5
+
2
S
S
S
” 充分必要条件，选C．
12．(2015 重庆)在等差数列
na
中，若
2
4
4,
2
a
a
，则
6a ＝(
)
A．－1
B．0
C．1
D．6
【答案】B
【解析】由等差数列的性质得
6
4
2
2
2 2
4
0
a
a
a
，选B
4
2
a
．
13．(2015 浙江)已知{
}
na
是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是
n
S ．若
3
4
8
,
,
a a a 成等比数列，则(
)
A．
1
4
0,
0
a d
dS
B．
1
4
0,
0
a d
dS
C．
1
4
0,
0
a d
dS
D．
1
4
0,
0
a d
dS
【答案】B
【解析】由
3
4
8
,
,
a a a 成等比数列可得：
2
1
1
1
(
3 )
(
2 ) (
7 )
a
d
a
d
a
d
+
=
+
×
+
，即
1
3
5
0
a
d
+
=
，所以
1
5
3
a
d
= -
，
所以
1
0
a d <
，又
2
1
4
4
1
(
)
4
2
2(2
3 )
0
2
3
a
a
dS
d
a
d d
d
+
´
=
=
+
= -
<
．
14．(2014 辽宁)设等差数列{
}
na
的公差为d ，若数列
1
{2
}
n
a a
为递减数列，则(
)
A．
0
d
B．
0
d
C．
1
0
a d
D．
1
0
a d
【答案】C
【解析】∵数列
1
{2
}
n
a a
为递减数列，
1
1
1
1
1
1
[
(
1) ]
(
)
n
a a
a a
n
d
a dn
a a
d
，等式右边为关于n 的一次
函数，∴
1
0
a d
．
15．(2014 福建)等差数列{
}
na
的前n 项和
n
S ，若
1
3
2,
12
a
S
，则
6a (
)
A．8
B．10
C．12
D．14
【答案】C
【解析】设等差数列{
}
na
的公差为d ，则
3
1
3
3
S
a
d
，所以12
3 2
3d
，解得
2
d
，所以
6
12
a
．
16．(2014 重庆)在等差数列{
}
na
中，
1
3
5
2,
10
a
a
a
，则
7a (
)
A．5
B．8
C．10
D．14
【答案】B
【解析】由等差数列的性质得
1
7
3
5
a
a
a
a
，因为
1
2
a
，
3
5
10
a
a
，所以
7
8
a
，选B．
17．(2013 辽宁)下面是关于公差
0
d
的等差数列{
}
na
的四个命题：
1 :
n
p
a
数列
是递增数列；
2 :
n
p
na
数列
是递增数列；
3 :
na
p
n
数列
是递增数列；
4 :
3
n
p
a
nd
数列
是递增数列；
其中的真命题为
A．
1
2
,
p p
B．
3
4
,
p
p
C．
2
3
,
p
p
D．
1
4
,
p p
【答案】D
【解析】设
1
(
1)
na
a
n
d
dn
m
，所以
1p 正确；如果
3
12
na
n
则满足已知，但
2
3
12
n
na
n
n
并非递增所以
2p 错；如果若
1
na
n
，则满足已知，但
1
1
na
n
n
，是递减数列，所以
3p 错；
3
4
n
a
nd
dn
m
，所以是递增数列，
4p 正确．
18．(2012 福建)等差数列
na
中，
1
5
10
a
a
，
4
7
a
，则数列
na
的公差为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由题意有
1
5
3
2
10
a
a
a
，
3
5
a
，又∵
4
7
a
，∴
4
3
2
a
a
，∴
2
d
．
19．(2012 辽宁)在等差数列
na
中，已知
4
8
+
=16
a
a
，则该数列前11 项和
11=
S
(
)
A．58
B．88
C．143
D．176
【答案】B
【解析】
4
8
6
6
+
=2
=16
=8
a
a
a
a
，而
1
11
11
6
11
+
=
=11
=88
2
a
a
S
a
，故选B．
20．(2011 江西)设{
}
na
为等差数列，公差
2
d ，
n
S 为其前n 项和，若
10
11
S
S
，
则
1a (
)
A．18
B．20
C．22
D．24
【答案】B
【解析】由
10
11
S
S
，得
11
11
10
0
a
S
S
，
1
11
(1 11)
0
( 10) ( 2)
20
a
a
d
．
21．(2011 天津)已知
na
为等差数列，其公差为2
，且
7a 是
3a 与
9a 的等比中项，
n
S 为
na
的前n 项和，
*
n
N
，则
10
S
的值为
A．－110
B．－90
C．90
D．110
【答案】D
【解析】因为
7a 是
3a 与
9a 的等比中项，所以
2
7
3
9
a
a a
，又数列
na
的公差为
2
，所以
2
1
1
1
(
12)
(
4)(
16)
a
a
a
，解得
1
20
a
，故
20
(
1) ( 2)
22
2
na
n
n
，所以
1
10
10
10(
)
5 (20
2)
110
2
a
a
S
．
22．(2020 北京8)在等差数列{
n
a }中，
1
9
a ，
5
1
a ，记
1
2
(
1,2,
)
n
n
T
a a
a n
，则数列{
nT }
(
)
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
【答案】A
【解析】设公差为d，a5-a1=4d，即d=2，an=2n-11，1≤n≤5 使，an＜0，n≥6 时，an＞0，所以n=4 时，Tn
＞0，并且取最大值；n=5 时，Tn＜0；n≥6 时，Tn＜0，并且当n 越来越大时，Tn 越来越小，所以Tn 无最小
项．故选A．
23．(2020 上海7)已知等差数列{
}
na
的首项
1
0
a
，且满足
1
10
9
a
a
a
，则
1
2
9
10
a
a
a
a
．
【答案】27
8
【解析】由条件可知
1
1
1
2
9
8
a
d
a
d
a
d
，
1
1
2
9
5
10
10
1
9
4
...
9
27
27
9
8
8
a
d
a
a
a
a
d
a
a
a
d
d
．
故答案为：27
8
．
24．(2019•新课标Ⅲ，理14)记
n
S 为等差数列{
}
na
的前n 项和，若
1
0
a
，
2
1
3
a
a
，则
10
5
S
S
．
【答案】4
【解析】设等差数列{
}
na
的公差为d ，则由
1
0
a
，
2
1
3
a
a
可得，
1
2
d
a
，
10
1
10
5
1
5
10(
)
5(
)
S
a
a
S
a
a
1
1
2(2
9 )
2
4
a
d
a
d
1
1
1
1
2(2
18
)
4
2
8
a
a
a
a
．
25．(2015•新课标Ⅱ，理16)设数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a ，
1
1
n
n
n
a
S
S
，则
n
S
．
【答案】
1
n
【解析】
1
1
n
n
n
a
S
S
，
1
1
n
n
n
n
S
S
S
S
，
1
1
1
1
n
n
S
S
，又
1
1
a
，即
1
1
1
S ，
数列
1
{
}
n
S
是以首项是1
、公差为1
的等差数列，1
n
n
S ，
1
n
S
n
．
26．(2015 安徽)已知数列
}
{
n
a
中，
1
1
a
，
2
1
1
n
n
a
a
(
2
n≥
)，则数列
}
{
n
a
的前9 项和等于______．
【答案】27
【解析】∵
1
1
a
，
1
1 (
2)
2
n
n
a
a
n
≥
，所以数列{
}
na
是首项为1，公差为1
2
的等差数列，所以前9 项
和
9
9 8
1
9
27
2
2
S
．
27．(2019 江苏8)已知数列
*
{
}(
)
na
nN
是等差数列，
n
S 是其前n 项和．若
2
5
8
9
0,
27
a a
a
S
，则
8
S 的
值是
．
【答案】16
【解析】设等差数列{
}
na
的首项为
1a ，公差为d ，则
1
1
1
1
(
)(
4 )
7
0
9 8
9
27
2
a
d a
d
a
d
a
d
，解得
1
5
2
a
d
，
所以
8
1
8 7
8
6 ( 5) 15 2
16
2
d
S
a
．
28．(2019 北京理10)设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
2
5
3
10
a
S
，
，则
5a ________ ．
n
S
的最小值为_______．
【答案】0，-10
【解析】由题意得，
2
1
5
1
3
5
10
10
a
a
d
S
a
d
，解得
1
4
1
a
d
，所以
5
1
4
0
a
a
d
．
因为
na
是一个递增数列，且
5
0
a
，所以
n
S 的最小值为
4
S 或
5
S ，
4
5
4
3
4
4
1
10
2
S
S
．
29．(2018 北京)设{
}
na
是等差数列，且
1
3
a
，
2
5
36
a
a
，则{
}
na
的通项公式为___．
【答案】14
【解析】解法一设{
}
na
的公差为d ，首项为
1a ，则
1
1
1
2
0
5
6
14
a
d
a
d
a
d
，
解得
1
4
2
a
d
，所以
7
7 6
7 ( 4)
2
14
2
S
．
解法二
3
2
7
14
a
d
，所以
2
d
．故
4
3
2
a
a
d
，故
7
4
7
7 2
14
S
a
．
30．(2018 上海)记等差数列{
}
na
的前几项和为
n
S ，若
3
0
a
，
6
7
14
a
a
，则
7
S =
．
【答案】
6
3
na
n
【解析】设等差数列的公差为d ，
2
5
1
1
4
6
5
36
a
a
a
d
a
d
d
，∴
6
d
，∴
3
(
1) 6
6
3
na
n
n
．
31．(2015 广东)在等差数列
na
中，若
3
4
5
6
7
25
a
a
a
a
a
，则
2
8
a
a
．
【答案】10
【解析】由
3
4
5
6
7
25
a
a
a
a
a
得
5
5
25
a =
，所以
5
5
a =
，故
2
8
5
2
10
a
a
a
+
=
=
．
32．(2014 北京)若等差数列
na
满足
7
8
9
0
a
a
a
，
7
10
0
a
a
，则当n __时
na
的前n 项和最大．
【答案】8
【解析】∵数列
na
是等差数列，且
7
8
9
8
3
0
a
a
a
a
，
8
0
a
．又
7
10
8
9
0
a
a
a
a
，∴
9
0
a
．当
n =8 时，其前n 项和最大．
33．(2014 江西)在等差数列
n
a
中，
7
1
a
，公差为d ，前n 项和为
n
S ，当且仅当
8
n
时
n
S 取最大值，
则d 的取值范围_________．
【答案】
7
( 1,
)
8
【解析】由题意可知，当且仅当
8
n
时
n
S 取最大值，可得
8
9
0
0
0
d
a
a
，解得
7
1
8
d
．
34．(2013 广东)在等差数列
na
中，已知
3
8
10
a
a
，则
5
7
3a
a
_____．
【答案】20
【解析】依题意
1
2
9
10
a
d
，所以
5
7
1
1
1
3
3
4
6
4
18
20
a
a
a
d
a
d
a
d
．
35．(2012 北京)已知{
}
na
为等差数列，
n
S 为其前n 项和．若
1
1
2
a
，
2
3
S
a
，
则
2a
；
n
S =
．
【答案】1，(
1)
4
n n
【解析】设公差为d，则
1
1
2
2
a
d
a
d
，把
1
1
2
a
代入得
1
2
d
，∴
2
1
a ，
n
S = 1 (
1)
4 n n
36．(2012 江西)设数列{
},{ }
n
n
a
b
都是等差数列，若
1
1
7
a
b
，
3
3
21
a
b
，则
5
5
a
b
___________．
【答案】35
【解析】因为数列{
},{ }
n
n
a
b
都是等差数列，所以数列
n
n
a
b
也是等差数列．故由等差中项的性质，得
5
5
1
1
3
3
2
a
b
a
b
a
b
，即
5
5
7
2 21
a
b
，解得
5
5
35
a
b
．
37．(2012 广东)已知递增的等差数列{
}
na
满足
1
1
a
，
2
3
2
4
a
a
，则
n
a =____．
【答案】
2
1
na
n
【解析】
2
2
1
3
2
1,
4
1
2
(1
)
4
a
a
a
d
d
2
2
1
n
d
a
n
38．(2011 广东)等差数列{
}
na
前9 项的和等于前4 项的和．若
1
1
a
，
4
0
ka
a
，
则k =_________．
【答案】10
【解析】设{
}
na
的公差为d ，由
9
4
S
S
及
1
1
a
，得
9 8
4 3
9 1
4 1
2
2
d
d
，所以
1
6
d
．又
4
0
ka
a
，所以
1
1
[1
(
1) (
)] [1
(4 1) (
)]
0
6
6
k
，即
10
k
．
39．(2019•新课标Ⅰ，文18)记
n
S 为等差数列{
}
na
的前n 项和，已知
9
5
S
a
．
(1)若
3
4
a
，求{
}
na
的通项公式；
(2)若
1
0
a
，求使得
n
n
a
S
的n 的取值范围．
【解析】(1)根据题意，等差数列{
}
na
中，设其公差为d ，
若
9
5
S
a
，则
1
9
9
5
5
(
)
9
9
2
a
a
S
a
a
，变形可得
5
0
a
，即
1
4
0
a
d
，
若
3
4
a
，则
5
3
2
2
a
a
d
，
则
3
(
3)
2
10
na
a
n
d
n
，
(2)若
n
n
a
S
，则
d
n
a
d
n
n
na
)1
(
2
)1
(
1
1
，
当
1
n 时，不等式成立，
当
2
n
时，有
1
2
a
d
nd
，变形可得
1
2
)
2
(
a
d
n
，
又由
9
5
S
a
，即
1
9
9
5
5
(
)
9
9
2
a
a
S
a
a
，则有
5
0
a
，即
1
4
0
a
d
，则有
1
1
2
)
4
)(
2
(
a
a
n
，
又由
1
0
a
，则有
10
n
，
则有
10
2
n
，
综合可得：
10
2
n
，n
N
．
40．(2018•新课标Ⅱ，理(文)17)记
n
S 为等差数列{
}
na
的前n 项和，已知
1
7
a ，
3
15
S
．
(1)求{
}
na
的通项公式；
(2)求
n
S ，并求
n
S 的最小值．
【解析】(1)等差数列{
}
na
中，
1
7
a ，
3
15
S
，
1
7
a
，
1
3
3
15
a
d
，解得
1
7
a ，
2
d
，
7
2(
1)
2
9
na
n
n
；
(2)
1
7
a
，
2
d
，
2
9
na
n
，
2
2
2
1
1
(
)
(2
16 )
8
(
4)
16
2
2
n
n
n
S
a
a
n
n
n
n
n
，
当
4
n
时，前n 项的和
n
S 取得最小值为16
．
41．(2016•新课标Ⅱ，文17)等差数列{
}
na
中，
3
4
4
a
a
，
5
7
6
a
a
．
(Ⅰ)求{
}
na
的通项公式；
(Ⅱ)设
[
]
n
n
b
a
，求数列{ }
nb
的前10 项和，其中[ ]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]
0
，[2.6]
2
．
【解析】(Ⅰ)设等差数列{
}
na
的公差为d ，
3
4
4
a
a
，
5
7
6
a
a
．
1
1
2
5
4
2
10
6
a
d
a
d
，
解得：
1
1
2
5
a
d
，
2
3
5
5
na
n
；
(Ⅱ)
[
]
n
n
b
a
，
1
2
3
1
b
b
b
，
4
5
2
b
b
，
6
7
8
3
b
b
b
，
9
10
4
b
b
．
故数列{ }
nb
的前10 项和
10
3 1
2
2
3 3
2
4
24
S
．
42．(2013 新课标Ⅱ，文17)已知等差数列{
}
na
的公差不为零，
1
25
a
，且
1
11
13
,
,
a a
a 成等比数列．
(Ⅰ)求{
}
na
的通项公式；
(Ⅱ)求
1
4
7
3
2
+
n
a
a
a
a
；
【解析】(Ⅰ)设{
na }的公差为d ，
由题意，
2
11
a =
1 13
a a ，
即
2
1
1
1
(
10 )
(
12 )
a
d
a a
d
，
∵
1
25
a
，
∴d =0(舍去)或d =-2，
∴
n
a
2
27
n
；
(Ⅱ)令
n
S =
1
4
7
3
2
n
a
a
a
a
由(Ⅰ)知，
3
2
n
a
= 6
31
n
，
∴{
3
2
n
a
}是首项为25，公差为-6 的等差数列，
∴
n
S =
1
3
2
(
)
2
n
n a
a
=
( 6
56)
2
n
n
=
2
3
28
n
n
．
43．(2014 浙江)已知等差数列{
}
na
的公差
0
d
，设{
}
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
a ，
2
3
36
S
S
．
(Ⅰ)求d 及
n
S ；
(Ⅱ)求
,
m k (
*
,
m k
N
)的值，使得
1
2
65
m
m
m
m k
a
a
a
a
．
【解析】(Ⅰ)由题意，
36
)
3
3
)(
2
(
1
1
d
a
d
a
，
将
1
1
a
代入上式得
2
d
或
5
d
，
因为
0
d
，所以
2
d
，从而
1
2
n
an
，
2
n
Sn
(
N
n
)．
(Ⅱ)由(1)知，
)1
)(
1
2
(
1
k
k
m
a
a
a
k
n
n
n
，
所以
65
)1
)(
1
2
(
k
k
m
，
由
N
,k
m
知，
1
)1
)(
1
2
(
k
k
m
，
所以
5
1
13
1
2
k
k
m
，所以
4
5
k
m
．
44．(2013 福建)已知等差数列{
}
na
的公差
1
d
，前n 项和为
n
S ．
(Ⅰ)若
1
3
1,
,
a a 成等比数列，求
1a ；
(Ⅱ)若
5
1
9
S
a a
，求
1a 的取值范围．
【解析】(Ⅰ)因为数列{
}
na
的公差
1
d
，且
1
3
1,
,
a a 成等比数列，
所以
2
1
1
1 (
2)
a
a
，
即
2
1
1
2
0
a
a
，解得
1
1
a 或
1
2
a
．
(Ⅱ)因为数列{
}
na
的公差
1
d
，且
5
1
9
S
a a
，
所以
2
1
1
1
5
10
8
a
a
a
；
即
2
1
1
3
10
0
a
a
，解得
1
5
2
a
45．(2011 福建) 已知等差数列
na
中，
1a =1，
3
3
a ．
(Ⅰ)求数列
na
的通项公式；
(Ⅱ)若数列
na
的前k 项和
35
kS
，求k 的值．
【解析】(Ⅰ)设等差数列{
}
na
的公差为d ，则
1
(
1) .
na
a
n
d
由
1
2
1,
3
1
2
3.
a
a
d
可得
解得d =－2．
从而，
1 (
1) ( 2)
3
2 .
na
n
n
(Ⅱ)由(I)可知
3
2
na
n
，
所以
2
[1
(3
2 )]
2
.
2
n
n
n
S
n
n
进而由
2
1
35
2
35,
S
k
k
可得
即
2
2
35
0
k
k
，解得
7
5.
k
k
或
又
*,
7
k
N
k
故
为所求．
46．(2013 江苏)设
n
a
是首项为a ，公差为d 的等差数列
0
d
，
nS 是其前n 项和．
记
2
n
n
nS
b
n
c
，
N
n
*
，其中c 为实数．
(Ⅰ) 若
0
c
，且
1b ，
2b ，
4b 成等比数列，证明：
2
N
nk
k
S
n S
k,n
*
；
(Ⅱ) 若
nb
是等差数列，证明：
0
c
．
【证明】(Ⅰ)若
，则
，
，又由题
，
，
，
是等差数列，首项为
，公差为
，
，又
成等比数列，
，
，
，
，
，
，
，
(
)．
(Ⅱ)由题
，
，
，若
是等差数列，
则可设
，
是常数，
关于
恒成立．
整理得：
，
关于
恒成立．
，
，
．
考点59 等比数列问题
1．(2020 全国Ⅰ文10)设
na
是等比数列，且
1
2
3
2
3
4
1,
+
2
a
a
a
a
a
a
，则
6
7
8
a
a
a
(
)
A．12
B．24
C．30
D．32
【答案】D
【思路导引】根据已知条件求得q的值，再由
5
6
7
8
1
2
3
a
a
a
q
a
a
a
可求得结果．
【解析】设等比数列
n
a
的公比为q，则
2
1
2
3
1 1
1
a
a
a
a
q
q
，
2
3
2
2
3
4
1
1
1
1
1
2
a
a
a
a q
a q
a q
a q
q
q
q
，
5
6
7
5
2
5
6
7
8
1
1
1
1
1
32
a
a
a
a q
a q
a q
a q
q
q
q
，故选D．
2．(2020 全国Ⅱ文6)记
n
S 为等比数列
n
a
的前n 项和．若
,
24
,
12
4
6
3
5
a
a
a
a
则
n
n
a
S
(
)
A．
1
2
n
B．
n
1
2
2
C．
1
2
2
n
D．
1
21
n
【答案】B
【思路导引】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列
的通项公式和前n 项和公式进行求解即可．
【解析】设等比数列的公比为q，由
5
3
6
4
12,
24
a
a
a
a
可得：
4
2
1
1
5
3
1
1
1
12
2
1
24
a q
a q
q
a
a q
a q
，
∴
1
1
1
1
(1
)
1 2
2
,
2
1
1
1 2
n
n
n
n
n
n
n
a
q
a
a q
S
q
，因此
1
1
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n
S
a
，故选B．
3．(2020 全国Ⅱ理6)数列
}
{ n
a
中，
2
1
a
，
n
m
n
m
a
a
a
，若
5
15
10
2
1
2
2
k
k
k
a
a
a
，则
k
(
)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【思路导引】取
1
m ，可得出数列
na
是等比数列，求得数列
na
的通项公式，利用等比数列求和公式
可得出关于k 的等式，由k
N 可求得k 的值．
【解析】在等式
m n
m
n
a
a a
中，令
1
m ，可得
1
1
2
n
n
n
a
a a
a
，
1
2
n
n
a
a
，
所以，数列
na
是以2 为首项，以2 为公比的等比数列，则
1
2 2
2
n
n
na
，
10
1
10
1
1
10
5
10
1
2
10
1 2
2
1 2
2
2
1
2
2
1
1 2
1 2
k
k
k
k
k
k
a
a
a
a
，
1
5
2
2
k
，则
1
5
k
，解得
4
k
．故选：C．
4．(2019•新课标Ⅲ，理5)已知各项均为正数的等比数列{
}
na
的前4 项和为15，且
5
3
1
3
4
a
a
a
，则
3a (
)
A．16
B．8
C．4
D．2
【答案】C
【解析】设等比数列{
}
na
的公比为(
0)
q q
，则由前4 项和为15，且
5
3
1
3
4
a
a
a
，有
2
3
1
1
1
1
4
2
1
1
1
15
3
4
a
a q
a q
a q
a q
a q
a
，
1
1
2
a
q
，
2
3
2
4
a
，故选C ．
5．(2017•新课标Ⅱ，理3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加
增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一
层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯(
)
A．1 盏
B．3 盏
C．5 盏
D．9 盏
【答案】B
【解析】设塔顶的
1a 盏灯，由题意{
}
na
是公比为2 的等比数列，
7
1
7
(1
2 )
381
1
2
a
S
，
解得
1
3
a
，故选B ．
6．(2015•新课标Ⅱ，理4)已知等比数列{
}
na
满足
1
3
a
，
1
3
5
21
a
a
a
，则
3
5
7
(
a
a
a
)
A．21
B．42
C．63
D．84
【解析】
1
3
a
，
1
3
5
21
a
a
a
，
2
4
1(1
)
21
a
q
q
，
4
2
1
7
q
q
，
4
2
6
0
q
q
，
2
2
q
，
2
4
6
3
5
7
1(
)
3 (2
4
8)
42
a
a
a
a q
q
q
，故选B ．
7．(2015 新课标Ⅱ，文9)已知等比数列{
}
na
满足
1
1
4
a
，
3
5
4
4
1
a a
a
，则
2a (
)
A.2
B.1
1
C. 2
1
D.8
【答案】C
【解析】由题意可得
2
3
5
4
4
4
4
1
2
a a
a
a
a
，所以
3
4
1
8
2
a
q
q
a
，故
2
1
1
2
a
a q
，选
C．
8．(2013 新课标Ⅰ，文6)设首项为1，公比为2
3
的等比数列{
n
a }的前n 项和为
n
S ，则
A ．
n
S = 2
1
na
B ．
n
S =3
2
na
C ．
n
S = 4
3
na
D ．
n
S =3
2
na
【答案】D
【解析】
n
S =
2
1
3
2
1
3
na
=3
2
na
，故选D
9．(2013 新课标Ⅱ，理3) 等比数列{
n
a }的前n 项和为
n
S ，已知
3
2
1
10
S
a
a
，
5a =9，，则
1a =
A．1
3
B．
1
3
C．1
9
D．
1
9
【答案】C．
【解析】由题知
1
2
3
a
a
a
=
2
1
10
a
a
，即
2
1
1
9
a q
a
，即
2
9
q
，又9=
5a =
4
1a q ，∴
1a = 1
9
，故选C．
10．(2012 新课标，理5)已知数列{
na }为等比数列，
4
7
a
a
=2，
5
6
a a =－8，则
1
10
a
a
=
A ．7
B ．5
C ．－5
D ．－7
【答案】D．
【解析】∵
4
7
a a =
5
6
a a =－8，
4
7
a
a
=2，∴
4a =4，
7a =－2，或
4a =－2，
7a =4，
当
4a =4，
7a =－2 时，
3
q =－1
2
，
1
10
a
a
=
6
4
4
3
a
a q
q
=-7，
当
4a =－2，
7a =4 时，
3
q =－2，
1
10
a
a
=
6
4
4
3
a
a q
q
=－7，故选D．
11．(2013 大纲)已知数列
na
满足
1
2
4
3
0,
3
n
n
a
a
a
，则
na
的前10 项和等于
A．
10
6(1 3
)
B．
10
1 (1 3 )
9
C．
10
3(1 3
)
D．
10
3(1 3
)
【答案】C
【解析】∵
1
1
3
n
n
a
a
，∴
na
是等比数列，又
2
4
3
a
，∴
1
4
a
，∴
10
10
10
1
4 1
3
3 1 3
1
1
3
S
，
故选C．
12．(2018 北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理
论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二
个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 ．若第一个单音的频率为f，则
第八个单音的频率为
A．3 2 f
B．3
2
2 f
C．12
5
2 f
D．12
7
2 f
【答案】D
【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 ，第一个单音的频率
为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为12 2 的等比数列，记为{
}
na
，
则第八个单音频率为
12
8 1
7
12
8
( 2)
2
a
f
f
，故选D．
13．(2018 浙江)已知
1a ，
2a ，
3a ，
4a 成等比数列，且
1
2
3
4
1
2
3
ln(
)
a
a
a
a
a
a
a
．若
1
1
a
，则
A．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
B．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
C．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
D．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
【答案】B
【解析】因为ln
1
x
x
≤
(
0
x
)，所以
1
2
3
4
1
2
3
ln(
)
a
a
a
a
a
a
a
1
2
3
1
a
a
a
≤
，所以
4
1
a
≤
，又
1
1
a
，所以等比数列的公比
0
q
．
若
1
q
≤
，则
2
1
2
3
4
1(1
)(1
0
a
a
a
a
a
q
q
）≤
，
而
1
2
3
1
1
a
a
a
a
≥
，所以
1
2
3
ln(
)
0
a
a
a
，
与
1
2
3
1
2
3
4
ln(
)
0
a
a
a
a
a
a
a
≤
矛盾，
所以1
0
q
，所以
2
1
3
1(1
)
0
a
a
a
q
，
2
2
4
1 (1
)
0
a
a
a q
q
，
所以
1
3
a
a
，
2
4
a
a
，故选B．
14．(2014 重庆)对任意等比数列{
}
na
，下列说法一定正确的是
A．
1
3
9
,
,
a a a 成等比数列
B．
2
3
6
,
,
a a a 成等比数列
C．
2
4
8
,
,
a a a 成等比数列
D．
2
6
9
,
,
a a a 成等比数列
【答案】D
【解析】由等比数列的性质得，
2
3
9
6
0
a
a
a
，因此
2
6
9
,
,
a a a 一定成等比数列．
15．(2012 北京) 已知{
}
na
为等比数列．下面结论中正确的是
A．
1
3
2
2
a
a
a
.
B．
2
2
2
1
3
2
2
a
a
a
.
C．若
1
3
a
a
，则
1
2
a
a
D．若
3
1
a
a
，则
4
2
a
a
【答案】B
【解析】取特殊值可排除A、C、D，由均值不等式可得
2
2
2
1
3
1
3
2
2
2
a
a
a a
a
.
．
16．(2011 辽宁)若等比数列{
}
na
满足
1
16n
n
n
a a
，则公比为
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【解析】由
1
16n
n
n
a a
，得
1
1
2
16n
n
n
a
a
，两式相除得
1
1
2
1
16
16
16
n
n
n
n
n
n
a
a
a a
，
∴
2
16
q
，∵
1
16n
n
n
a a
，可知公比q 为正数，∴
4
q
．
17．(2019•新课标Ⅰ，理14)记
n
S 为等比数列{
}
na
的前n 项和．若
1
1
3
a
，
2
4
6
a
a
，则
5S
．
【答案】121
3
【解析】在等比数列中，由
2
4
6
a
a
，得
6
2
5
1
1
0
q a
q a
，即
0
q
，
3
q
，则
5
5
1 (1
3 )
121
3
1
3
3
S
．
18．(2019•新课标Ⅰ，文14)记
n
S 为等比数列{
}
na
的前n 项和，若
1
1
a ，
3
3
4
S
，则
4
S
．
【答案】5
8
【解析】等比数列{
}
na
的前n 项和，
1
1
a ，
3
3
4
S
，
1
q
，
3
1
3
1
4
q
q
，整理可得，
2
1
0
4
q
q
，解
可得，
1
2
q
，则
4
4
1
1
1
5
16
1
1
8
1
2
q
S
q
．
19．(2015 新课标Ⅰ，文13)数列
na
中
1
1
2,
2
,
n
n
n
a
a
a S
为
na
的前n 项和，若
126
n
S
，则
n
．
【答案】6
【解析】∵
1
1
2,
2
n
n
a
a
a
，∴数列
na
是首项为2，公比为2 的等比数列，∴
2(1 2 )
126
1 2
n
n
S
，
∴2
64
n
，∴n=6．．
20．(2017•新课标Ⅲ，理14)设等比数列{
}
na
满足
1
2
1
a
a
，
1
3
3
a
a
，则
4a
．
【答案】8
【解析】设等比数列{
}
na
的公比为q ，
1
2
1
a
a
，1
3
3
a
a
，
1(1
)
1
a
q
，
2
1(1
)
3
a
q
，解得
1
1
a ，
2
q ，则
3
4
( 2)
8
a
．
21．(2012 新课标，文14)等比数列{
n
a }的前n 项和为Sn，若S3+3S2=0 ，则公比q =_______
【答案】-2
【解析】当q =1 时，
3
S =
1
3a ，
2
S =
1
2a ，由S3+3S2=0得，
1
9a =0，∴
1a =0 与{
na }是等比数列矛盾，故q ≠
1，由S3+3S2=0 得，
3
2
1
1
(1
)
3 (1
)
0
1
1
a
q
a
q
q
q
，解得q =－2．
22．(2017 江苏)等比数列{
}
na
的各项均为实数，其前n 项的和为
n
S ，已知
3
7
4
S
，6
63
4
S
，则
8a =
．
【答案】32
【解析】设{
}
na
的公比为q ，由题意
1
q
，由
6
3
6
3
3
1
1
9
1
S
q
q
S
q
，所以
2
q
，由
3
1
3
(1
)
7
1
4
a
q
S
q
，
得
1
1
4
a
，所以
7
7
5
8
1
1
2
2
32
4
a
a q
．
23．(2017 北京)若等差数列
na
和等比数列
nb
满足
1
1
1
a
b
，
4
4
8
a
b
，
则
2
2
a
b =_____．
【答案】1
【解析】设
na
的公差为d ，
nb
的公比为q ，由题意
3
1 3
8
d
q
，
所以
3
d
，
2
q ，所以
2
2
1 3
1
( 2)
a
b
．
24．(2016 年浙江)设数列{
}
n
a
的前n 项和为
n
S ．若
2
4
S
，
1
2
1
n
n
a
S
，
*
n
N
，则
1a =
，
5S =
．
【答案】．1
121
【解析】由于
1
2
2
1
4
2
1
a
a
a
a
，解得
1
1
a
，由
1
1
2
1
n
n
n
n
a
S
S
S
，所以
1
1
1
3(
)
2
2
n
n
S
S
，所以
1
{
}
2
n
S
是以3
2
为首项，3 为公比的等比数列，
所以
1
1
3
3
2
2
n
n
S
，所以
5
121
S
．
25．(2015 安徽)已知数列{
}
na
是递增的等比数列，
1
4
3
2
9,
8
a
a
a a
，则数列{
}
na
的前n 项和等
于
．
【答案】2
1
n -
【解析】由题意，
1
4
2
3
1
4
9
8
a
a
a
a
a a
，解得
1
4
1,
8
a
a
或
1
4
8,
1
a
a
，而数列{
}
na
是递增的等比数列，
所以
1
4
1,
8
a
a
，即
3
4
1
8
a
q
a
，所以
2
q
，因而数列{
}
na
的前n 项和
1(1
)
1 2
2
1
1
1 2
n
n
n
n
a
q
S
q
．
26．(2014 广东)等比数列
na
的各项均为正数，且
1
5
4
a a
，则
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
log
+log
+log
+log
+log
=
a
a
a
a
a
________．
【答案】5
【解析】由等比数列的性质可知
2
1
5
2
4
3
a a
a a
a
，于是，由
1
5
4
a a
得
3
2
a
，
故
1
2
3
4
5
32
a a a a a
，则
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
log
+log
+log
+log
+log
=
a
a
a
a
a
2
1
2
3
4
5
2
log (
)
log 32
5
a a a a a
．
27．(2014 广东)若等比数列
n
a
的各项均为正数，且
5
12
9
11
10
2e
a
a
a
a
，则
1
2
20
ln
ln
ln
a
a
a
．
【答案】50
【解析】因
n
a
是等比数列，∴
1
20
10
11
9
12
a a
a a
a a
，由
5
12
9
11
10
2e
a
a
a
a
得
∴
5
1
20
a a
e
，∴
1
2
20
ln
ln
ln
a
a
a
10
1
2
20
1
20
ln(
)
ln(
)
a a
a
a a
=50．
28．(2014 江苏)在各项均为正数的等比数列
}
{
n
a
中，
,1
2
a
4
6
8
2a
a
a
，则
6
a 的值
是
．
【答案】4
【解析】设等比数列
}
{
n
a
的公比为q ，
0
q
．则
8
6
4
2
a
a
a
，即为
4
2
4
4
4
2
a q
a q
a
，解得
2
2
q
(负
值舍去)，又
2
1
a ，所以
4
6
2
4
a
a q
．
29．(2013 广东)设数列{
}
na
是首项为1，公比为2
的等比数列，则
1
2
3
4
|
|
|
|
a
a
a
a
．
【答案】15
【解析】
1
2
3
4
1,
2,
4,
8
a
a
a
a
，∴
1
2
3
4
|
|
|
|
a
a
a
a
15．
30．(2013 北京)若等比数列
na
满足
2
4
a
a
=20，3
5
a
a
=40，则公比q=
；前n 项和
n
S =
．
【答案】
1
2,2
2
n
【解析】由
3
5
a
a
=
2
4
q a
a
得
2
q
；
3
2
4
1
a
a
a
q
q
=20，得
1
2
a
；∴
1
2 1 2
2
2
1 2
n
n
n
S
．
31．(2013 江苏)在正项等比数列
n
a
中，
2
1
5
a
，
3
7
6
a
a
．则满足
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
3
2
1
3
2
1
的最大正整数n 的值为
．
【答案】12
【解析】设正项等比数列
}
{
n
a
首项为
1a ，公比为q，则：
3
)
1(
2
1
5
1
4
1
q
q
a
q
a
，得：
1a ＝1
32
，q＝2，
6
2
n
na
．记
5
2
1
2
1
2
n
n
n
a
a
a
T
，
2
)
1
(
2
1
2
n
n
n
n
a
a
a
．
n
n
T
，则
2
)
1
(
5
2
2
1
2
n
n
n
，
化简得：
5
2
11
2
1
2
2
1
2
n
n
n
，当
5
2
11
2
1
2
n
n
n
时，
12
2
121
13
n
．当n＝12 时，
12
12
T
，
当n＝13 时，
13
13
T
，故
max
12
n
．
32．(2012 江西)等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，公比不为1．若
1
1
a
，且对任意的n
N
都有
2
1
2
0
n
n
n
a
a
a
，则
5
S =_________________．
【答案】11
【解析】由
2
1
2
0
n
n
n
a
a
a
，可得
2
2
0
n
n
n
a q
a q
a
，由
1
1
a
可知
0,
1
na
q
，求得公比
2
q
，
可得
5
S =11．
33．(2012 辽宁)已知等比数列
}
{
n
a
为递增数列，若
0
1
a
，且
1
2
5
)
(
2
n
n
n
a
a
a
，则数列
na
的公比
q
．
【答案】2
【解析】
2
2
2
1
1
2(
)
5
,
2
(1
)
5
,
2(1
)
5 ,
2
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
q
a q
q
q
q
q
解得
或
因为数列为递增数列，且
1
0,
1,
2
a
q
q
所以
．
34．(2012 浙江)设公比为(
0)
q q
的等比数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ．若
2
2
3
2
S
a
，
4
4
3
2
S
a
，则q
．
【答案】3
2
【解析】依题意可得，
2
1
1
2
1
1
1
4
4
3
3
1
1
1
1
1
(1
)
3
2
2
3
2
2
0
1
(1
)
2
3
2
2
0
3
2
1
a
q
a q
a q
a q
a
q
q
a
q
a q
a q
a
q
a q
q
两式相减可得
4
2
3
1
1
1
1
2
2
3
3
0
a q
a q
a q
a q
，即
4
2
3
2
2
3
3
0
q
q
q
q
，
解得
1
q (舍)或
0
q
或
3
2
q
．因为
0
q
，所以
3
2
q
．
35．(2011 北京)在等比数列{
}
na
中，
1
1
2
a
，
4
4
a ，则公比q =_____
_________；
1
2
...
n
a
a
a
____________．
【答案】2
1
1
2
2
n
【解析】
3
4
1
a
a q
得
3
1
4
2 q
，解得
2
q
，
1
1
2
1 (1 2 )
1
2
2
1 2
2
n
n
n
a
a
a
．
36．(2017•新课标Ⅱ，文17)已知等差数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，等比数列{ }
nb
的前n 项和为
nT ，
1
1
a ，
1
1
b ，
2
2
2
a
b
．
(1)若
3
3
5
a
b
，求{ }
nb
的通项公式；
(2)若
3
21
T
，求
3
S ．
【解析】(1)设等差数列{
}
na
的公差为d ，等比数列{ }
nb
的公比为q ，
1
1
a ，
1
1
b ，
2
2
2
a
b
，
3
3
5
a
b
，
可得1
2
d
q
，
2
1
2
5
d
q
，
解得
1
d ，
2
q
或
3
d
，
0
q
(舍去)，
则{ }
nb
的通项公式为
1
2n
nb
，
*
n
N
；
(2)
1
1
b ，
3
21
T
，
可得
2
1
21
q
q
，
解得
4
q
或5
，
当
4
q
时，
2
4
b
，
2
2
4
2
a
，
2
( 1)
1
d
，
3
1
2
3
6
S
；
当
5
q 时，
2
5
b ，
2
2
( 5)
7
a
，
7
( 1)
8
d
，
3
1
7
15
21
S
．
37．(2018•新课标Ⅰ，文17)已知数列{
}
na
满足
1
1
a ，
1
2(
1)
n
n
na
n
a
，设
n
n
a
b
n
．
(1)求
1b ，
2b ，
3b ；
(2)判断数列{ }
nb
是否为等比数列，并说明文由；
(3)求{
}
na
的通项公式．
【解析】(1)数列{
}
na
满足
1
1
a ，
1
2(
1)
n
n
na
n
a
，
则：
1
1
2
n
n
a
n
a
n
(常数)，
由于
n
n
a
b
n
，
故：
1
2
n
n
b
b
，
数列{ }
nb
是以
1b 为首项，2 为公比的等比数列．
整文得：
1
1
1 2
2
n
n
nb
b
，
所以：
1
1
b ，
2
2
b
，
3
4
b
．
(2)数列{ }
nb
是为等比数列，
由于
1
2
n
n
b
b
(常数)；
(3)由(1)得：
1
2n
nb
，
根据
n
n
a
b
n
，
所以：
1
2n
na
n
．
38．(2018•新课标Ⅲ，理文17)等比数列{
}
na
中，
1
1
a ，
5
3
4
a
a
．
(1)求{
}
na
的通项公式；
(2)记
n
S 为{
}
na
的前n 项和．若
63
m
S
，求m ．
【解析】(1)等比数列{
}
na
中，
1
1
a ，
5
3
4
a
a
．
4
2
1
4 (1
)
q
q
，
解得
2
q ，
当
2
q
时，
1
2n
na
，
当
2
q 时，
1
( 2)n
na
，
{
}
na
的通项公式为，
1
2n
na
，或
1
( 2)n
na
．
(2)记
n
S 为{
}
na
的前n 项和．
当
1
1
a ，
2
q 时，
1(1
)
1
( 2)
1
( 2)
1
1
( 2)
3
n
n
n
n
a
q
S
q
，
由
63
m
S
，得
1
( 2)
63
3
m
m
S
，m
N
，无解；
当
1
1
a ，
2
q
时，
1(1
)
1
2
2
1
1
1
2
n
n
n
n
a
q
S
q
，
由
63
m
S
，得
2
1
63
m
m
S
，m
N
，
解得
6
m
．
39．(2014 新课标Ⅱ，理17)已知数列
na
满足
1a =1，
1
3
1
n
n
a
a
．
(Ⅰ)证明
1
2
na
是等比数列，并求
na
的通项公式；
(Ⅱ)证明：
1
2
3
1
1
1
2
n
a
a
a
…+
．
【解析】(Ⅰ)∵
1
3
1
n
n
a
a
，∴
1
1
1
3(
)
2
2
n
n
a
a
，即：
1
1
2
3
1
(
)
2
n
n
a
a
又
1
1
3
2
2
a
，∴
1
{
}
2
na
是以3
2 为首项，3 为公比的等比数列．
∴
1
1
3 3
2
2
n
na
，即
3
1
2
n
na
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
3
1
2
n
na
，∴
1
1
2
1 (
)
3
1
3
n
n
n
n
a
N*
∴
2
1
2
1
1 ( )
1
1
1
1
1
1
3
1
3
3
1
[1 ( ) ]
1
3
3
3
2
3
2
1
3
n
n
n
n
a
a
a
故：
1
2
1
1
1
3
2
n
a
a
a
40．(2013 天津)已知首项为3
2 的等比数列{
}
na
的前n 项和为
(
*)
n
S
nN
，且
2
3
4
,
2
,
4
S
S
S
成等差数列．
(Ⅰ) 求数列{
}
na
的通项公式；
(Ⅱ) 证明
13
*)
6
1
(
n
n
S
n
S
N
．
【解析】(Ⅰ)设等比数列
na
的公比为q ，因为
2
2S
，
3
S ，
4
4S 成等差数列，
所以
3
2
4
3
2
4
S
S
S
S
，即
4
3
2
4
S
S
S
S
，可得
4
3
2a
a
，
于是
4
3
1
2
a
q
a
．又
1
3
2
a
，所以等比数列
na
的通项公式为
1
1
3
1
3
( 1)
2
2
2
n
n
n
n
a
．
(Ⅱ)
1
1
2
n
n
S
，
1
2
,
2 (2
1)
1
1
1
1
1
2
1
1
2 (2
1)
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
S
为奇数
2+
,n为偶数
当n 为奇数时，
1
n
n
S
S
随n 的增大而减小，所以
1
1
1
1
13
6
n
n
S
S
S
S
．
当n 为偶数时，
1
n
n
S
S
随n 的增大而减小，所以
2
2
1
1
25
12
n
n
S
S
S
S
．
故对于
*
n
N
，有
1
13
6
n
n
S
S
．
41．(2011 江西)已知两个等比数列{
},{ }
n
n
a
b
，满足
(
),
,
a
a a
b
a
,
b
a
b
a
．
(Ⅰ)若a ，求数列{
}
na
的通项公式；
(Ⅱ)若数列{
}
na
唯一，求a 的值．
【解析】(Ⅰ)设{
}
na
的公比为q ，
则
2
2
1
2
3
1
2,
2
2
,
3
3
b
a
b
aq
q b
aq
q
由
1
2
3
,
,
b b b 成等比数列得
2
2
(2
)
2(3
)
q
q
即
2
1
2
4
2
0,
2
2,
2
2
q
q
q
q
解得
所以{
}
na
的通项公式为
1
1
(2
2)
(2
2)
.
n
n
n
n
a
a
或
(Ⅱ)设{
}
na
的公比为q ，则由
2
2
(2
)
(1
)(3
),
aq
a
aq
得
2
4
3
1
0(*)
aq
aq
a
由
2
0
4
4
0
a
a
a
得
，故方程(*)有两个不同的实根
由{
}
na
唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得
1.
3
a
42．(2013 湖北)已知
n
S 是等比数列{
}
na
的前n 项和，
4
S ，
2
S ，
3
S 成等差数列，
且
2
3
4
18
a
a
a
．
(Ⅰ)求数列{
}
na
的通项公式；
(Ⅱ)是否存在正整数n ，使得
2013
n
S
？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；
若不存在，说明理由．
【解析】(Ⅰ)设数列{
}
na
的公比为q ，则
1
0
a
，
0
q
．由题意得
2
4
3
2
2
3
4
,
18,
S
S
S
S
a
a
a
即
2
3
2
1
1
1
2
1
,
(1
)
18,
a q
a q
a q
a q
q
q
解得
1
3,
2.
a
q
故数列{
}
na
的通项公式为
1
3( 2)n
na
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)有
3 [1
( 2) ]
1
( 2)
1
( 2)
n
n
n
S
．
若存在n ，使得
2013
n
S
，则1
( 2)
2013
n
，即( 2)
2012.
n
当n 为偶数时，( 2)
0
n
，上式不成立；
当n 为奇数时，( 2)
2
2012
n
n
，即2
2012
n
，则
11
n
．
综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{
2
1,
,
5}
n n
k
k
k
N
．
考点60 等差数列与等比数列的综合问题
1．(2020 江苏11)设{
}
n
a
是公差为d 的等差数列，{ }
nb
是公比为q 的等比数列，已知{
}
n
n
a
b
的前n 项和
2
*
2
1(
)
n
n
S
n
n
n
N
，则d
q
的值是________．
【答案】3
【解析】∵{
}
n
n
a
b
的前n 项和
2
*
2
1(
)
n
n
S
n
n
n
N
，
当
1
n
时，
1
1
1
a
b
；
当
2
n
时，
1
1
2
2
2n
n
n
n
n
a
b
S
S
n
，∴
2
2
4
a
b
，从而有
2
2
1
1
(
)
(
)
3
d
q
a
b
a
b
．
2．(2016 课标卷1，理15)设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an 的最大值为
．
【答案】64
【解析】由5=
q
a
a
q
a
a
10
)
(
3
1
4
2
，解得q = 2
1 ，所以
10
)
2
1
(
2
1
1
a
a
，解得
1a =8，所以数列
}
{
n
a
是递减数列，因为
1
3
1
4
q
a
a
，所以
2
2
(
1)
7
3
1 2 3
(
1)
2
2
2
1
2
1
1
8 ( )
2
2
2
n n
n
n
n n
n
n
n
n
n
a a
a
a
q
，当
3
n
或4
时，表达式取得最大值：
12
6
2
2
2
64
．
3．(2013 重庆)已知
na
是等差数列，
1
1
a
，公差
0
d
，
n
S 为其前n 项和，若
1
2
5
,
,
a a a 成等比数列，则
8
_____
S
．
【答案】64
【解析】由
1
1
a
且
1
2
5
,
,
a a a 成等比数列，得
2
1
1
1
(
4 )
(
)
a a
d
a
d
，解得
2
d
，故
8
1
8 7
8
64
2
S
a
d
．
4．(2011 江苏)设
7
2
1
1
a
a
a
，其中
7
5
3
1
,
,
,
a
a
a
a
成公比为q 的等比数列，
6
4
2
,
,
a
a
a
成公差为1
的等差数列，则q 的最小值是________．
【答案】3 3
【解析】设
2a
t
，则
2
3
1
1
2
t
q
t
q
t
q
≤≤
≤
≤
≤
≤
，由于
1
t ≥，所以
3
max{ ,
1,
2}
q
t
t
t
≥
，
故q 的最小值是3 3 ．
5．(2017•新课标Ⅰ，文17)记
n
S 为等比数列{
}
na
的前n 项和．已知
2
2
S
，
3
6
S ．
(1 )求{
}
na
的通项公式；
(2)求
n
S ，并判断
1
n
S ，
n
S ，
2
n
S 是否成等差数列．
【解析】(1)设等比数列{
}
na
首项为
1a ，公比为q ，
则
3
3
2
6
2
8
a
S
S
，则
3
1
2
2
8
a
a
q
q
，
3
2
8
a
a
q
q
，
由
1
2
2
a
a
，
2
8
8
2
q
q
，整理得：
2
4
4
0
q
q
，解得：
2
q ，
则
1
2
a ，
1
( 2)( 2)
( 2)
n
n
na
，
{
}
na
的通项公式
( 2)n
na
；
(2)由(1)可知：
1
1(1
)
2[1
( 2) ]
1[2
( 2)
]
1
1
( 2)
3
n
n
n
n
a
q
S
q
，
则
2
1
1[2
( 2)
]
3
n
n
S
，
3
2
1[2
( 2)
]
3
n
n
S
，
由
2
3
1
2
1
1
[2
( 2)
]
[2
( 2)
]
3
3
n
n
n
n
S
S
，
1
2
1
1[4
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
]
3
n
n
，
1
1
1
1
[4
2( 2)
]
2 [
(2
( 2)
)]
3
3
n
n
，
2
n
S
，
即
1
2
2
n
n
n
S
S
S
，
1
n
S
，
n
S ，
2
n
S 成等差数列．
6．(2019•新课标Ⅱ，理19)已知数列{
}
na
和{ }
nb
满足
1
1
a ，1
0
b
，
1
4
3
4
n
n
n
a
a
b
，
1
4
3
4
n
n
n
b
b
a
．
(1)证明：{
}
n
n
a
b
是等比数列，{
}
n
n
a
b
是等差数列；
(2)求{
}
na
和{ }
nb
的通项公式．
【解析】(1)证明：
1
4
3
4
n
n
n
a
a
b
，
1
4
3
4
n
n
n
b
b
a
；
1
1
4(
)
2(
)
n
n
n
n
a
b
a
b
，
1
1
4(
)
4(
)
8
n
n
n
n
a
b
a
b
；
即
1
1
1 (
)
2
n
n
n
n
a
b
a
b
，
1
1
2
n
n
n
n
a
b
a
b
；
又
1
1
1
a
b
，
1
1
1
a
b
，
{
}
n
n
a
b
是首项为1，公比为1
2 的等比数列，
{
}
n
n
a
b
是首项为1，公差为2 的等差数列；
(2)由(1)可得：
1
1
( )
2
n
n
n
a
b
，
1
2(
1)
2
1
n
n
a
b
n
n
；
1
1
( )
2
2
n
na
n
，
1
1
( )
2
2
n
nb
n
．
7．(2019 •新课标Ⅱ，文18)已知{
}
na
的各项均为正数的等比数列，
1
2
a
，
3
2
2
16
a
a
．
(1)求{
}
na
的通项公式；
(2)设
2
log
n
n
b
a
，求数列{ }
nb
的前n 项和．
【解析】(1)设等比数列的公比为q ，
由
1
2
a
，
3
2
2
16
a
a
，得
2
2
4
16
q
q
，
即
2
2
8
0
q
q
，解得
2
q (舍) 或
4
q
．
1
1
2
1
1
2
4
2
n
n
n
na
a q
；
(2)
2
1
2
2
log
2
2
1
n
n
n
b
a
log
n
，
1
1
b
，
1
2(
1)
1
2
1
2
n
n
b
b
n
n
，
数列{ }
nb
是以1 为首项，以2 为公差的等差数列，
则数列{ }
nb
的前n 项和
2
(
1)
2
1
2
n
n n
T
n
n
．
8．(2016•新课标Ⅰ，文17)已知{
}
na
是公差为3 的等差数列，数列{ }
nb
满足
1
1
b ，2
1
3
b
，
1
1
n
n
n
n
a b
b
nb
．
(Ⅰ)求{
}
na
的通项公式；
(Ⅱ)求{ }
nb
的前n 项和．
【解析】(Ⅰ)
1
1
n
n
n
n
a b
b
nb
．
当
1
n 时，
1 2
2
1
a b
b
b
．
1
1
b
，
2
1
3
b
，
1
2
a
，
又
{
}
na
是公差为3 的等差数列，
3
1
na
n
，
(Ⅱ)由( )I 知：
1
1
(3
1) n
n
n
n
b
b
nb
．
即
1
3 n
n
b
b
．
即数列{ }
nb
是以1 为首项，以1
3 为公比的等比数列，
{ }
nb
的前n 项和
1
1
1
( )
3
3
1
3
(1
3 )
1
2
2
2 3
1
3
n
n
n
n
S
．
9．(2011 课标，文17)已知等比数列{
n
a }中，
1a = 1
3
，公比q = 1
3
．
(Ⅰ)
n
S 为{
n
a }的前n 项和，证明：
n
S =1
2
na
；
(Ⅱ)设
nb =
3
1
3
2
3
log
log
log
n
a
a
a
，求数列{
nb }的通项公式．
【解析】(Ⅰ)因为
.
3
1
)
3
1
(
3
1
1
n
n
n
a
n
S =
1
1
(1
)
3
3
1
1
3
n
=
1
1
3
2
n
=1
2
na
(Ⅱ)
n
n
a
a
a
b
3
2
3
1
3
log
log
log
)
2
1(
n
2
)1
(
n
n
所以
}
{ nb
的通项公式为
.
2
)1
(
n
n
bn
10．(2018 天津)设{
}
na
是等差数列，其前n 项和为
n
S (
*
nN )；{ }
nb
是等比数列，公比大于0，其前n 项
和为
nT (
*
nN )．已知
1
1
b ，
3
2
2
b
b
，
4
3
5
b
a
a
，
5
4
6
2
b
a
a
．
(1)求
n
S 和
nT ；
(2)若
1
2
(
)
4
n
n
n
n
S
T
T
T
a
b
，求正整数n 的值．
【解析】(1)设等比数列{
}
nb
的公比为q ，由
1
1
b ，
3
2
2
b
b
，可得
2
2
0
q
q
．
因为
0
q
，可得
2
q
，故
1
2n
nb
．所以
1 2
2
1
1 2
n
n
nT
．
设等差数列{
}
na
的公差为d ．由
4
3
5
b
a
a
，可得
1
3
4
a
d
．
由
5
4
6
2
b
a
a
，可得
1
3
13
16,
a
d
从而
1
1,
1
a
d
，
故
na
n
，所以
(
1)
2
n
n n
S
．
(2)由(1)，知
1
3
1
1
2
(2
2
2 )
2
2.
n
n
n
T
T
T
n
n
由
1
2
(
)
4
n
n
n
n
S
T
T
T
a
b
可得
1
1
(
1)
2
2
2
2
n
n
n n
n
n
，
整理得
2
3
4
0
n
n
，解得
1
n (舍)，或
4
n
．所以n 的值为4．
11．(2015 四川)设数列{
}
na
的前n 项和
1
2
n
n
S
a
a
，且
1
2
3
,
1,
a a
a
成等差数列
(1)求数列{
}
na
的通项公式；
(2)记数列1
{
}
na
的前n 项和
nT ，求得
1
|
1| 1000
nT
成立的n 的最小值．
【解析】(1)由已知
1
2
n
n
s
a
a
有
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
a
s
s
a
a
n
，
即
1
2
2
n
n
a
a
n
，
从而
2
1
3
1
2 ,
4
a
a a
a
．
又因为
1
2
3
,
1,
a a
a
成等差数列，即
1
3
2
2(
1)
a
a
a
．
所以
1
1
1
4
2(2
1)
a
a
a
，解得
1
2
a
．
所以，数列{
}
na
是首项为2，公比为2 的等比数列．故
2n
na
．
(2)由(1)得1
1
2n
na
．
所以
2
3
1
1
[1 ( ) ]
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
T
．
由
1
|
1| 1000
nT
，得
1
1
|1
1|
2
1000
n
，即2
1000
n
．
因为
9
10
2
512
1000
1024
2
，
所以
10
n
．
于是，使
1
|
1| 1000
nT
成立的n 的最小值为10．
12．(2014 福建)在等比数列{
}
na
中，
2
5
3,
81
a
a
．
(Ⅰ)求
n
a ；
(Ⅱ)设
3
log
n
n
b
a
，求数列{ }
nb
的前n项和
n
S ．
【解析】(Ⅰ)设{
}
na
的公比为q ，依题意得
1
4
1
3
81
a q
a q
，解得
1
1
3
a
q
，
因此，
1
3n
na
．
(Ⅱ)因为
3
log
1
n
n
b
a
n
，
∴数列{ }
nb
的前n 项和
2
1
(
)
2
2
n
n
n b
b
n
n
S
．
13．(2014 江西)已知数列
n
a
的前n 项和
N
n
n
n
Sn
，
2
3
2
．
(Ⅰ)求数列
n
a
的通项公式；
(Ⅱ)证明：对任意
1
n
，都有
N
m
，使得
m
n
a
a
a
，
，
1
成等比数列．
【解析】(Ⅰ)因为
2
3
2
n
n
n
S
，所以
1a
1
1
S
，当
2
n
时
1
3
2,
n
n
n
a
S
S
n
又
1
n 时，所以数列
na 的通项公式为
3
2,
na
n
(Ⅱ)要使得
m
n
a
a
a
，
，
1
成等比数列，只需要
2
1
n
m
a
a a
，
即
2
2
(3
2)
1 (3
2),
3
4
2
n
m
m
n
n
即
．而此时
N
m
，且
,
m
n
所以对任意
1
n
，都有
N
m
，使得
m
n
a
a
a
，
，
1
成等比数列．
14．(2012 山东)已知等差数列{
}
na
的前5 项和为105，且
10
5
2
a
a
．
(Ⅰ)求数列{
}
na
的通项公式；
(Ⅱ)对任意
*
mN ，将数列{
}
na
中不大于
2
7 m 的项的个数记为
m
b ．求数列{
}
m
b
的前m 项和
m
S ．
【解析】(Ⅰ)由已知得：
1
1
1
5
10
105,
9
2(
4 ),
a
d
a
d
a
d
解得
1
7,
7
a
d
，
所以通项公式为
7
(
1) 7
7
na
n
n
．
(Ⅱ)由
2
7
7 m
na
n
，得
2
1
7 m
n
，即
2
1
7 m
m
b
．
∵
2
1
1
2
1
7
49
7
m
k
m
k
b
b
，
∴{
}
m
b
是公比为49 的等比数列，
∴
7(1
49 )
7 (49
1)
1
49
48
m
m
m
S
．
15．(2012 湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000 万元，将其
投入生产，到当年年底资金增长了50％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业
从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上
缴资金后的剩余资金为
na 万元．
(Ⅰ)用d 表示
1
2
,
a a ，并写出
1
na 与
n
a 的关系式；
(Ⅱ)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4000 万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用
m 表示)．
【解析】(Ⅰ)由题意得
1
2000(1 50%)
3000
a
d
d
，
2
1
1
3
(1 50%)
2
a
a
d
a
d
，
1
3
(1 50%)
2
n
n
n
a
a
d
a
d
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
1
3
2
n
n
a
a
d
2
2
3
3
( )
2
2
na
d
d
2
3 3
(
)
2 2
na
d
d
1
2
2
1
3
3
3
3
( )
1
( )
( )
2
2
2
2
n
n
a
d
．
整理得
1
1
3
3
( )
(3000
)
2
( )
1
2
2
n
n
na
d
d
1
3
( )
(3000
3 )
2
2
n
d
d
．
由题意，
1
3
4000,
( )
(3000
3 )
2
4000,
2
n
na
d
d
解得
1
3
( )
2
1000
1000(3
2
)
2
3
3
2
( )
1
2
n
n
n
n
n
n
d
．
故该企业每年上缴资金d 的值为缴
1
1000(3
2
)
3
2
n
n
n
n
时，经过
(
3)
m m
年企业的剩余资金为4000 元．
16．(2012 山东)在等差数列
n
a
中，
84
5
4
3
a
a
a
，
9
73
a
(Ⅰ)求数列
n
a
的通项公式；
(Ⅱ)对任意的
*
N
m
，将数列
n
a
中落入区间
2
9 ,9
m
m
内的项的个数为
m
b ，求数列
m
b
的前m 项
和
m
S
．
【解析】：(Ⅰ)由a3+a4+a5=84，a5=73 可得
,
28
,
84
3
4
4
a
a
而a9=73，则
9
,
45
5
4
9
d
a
a
d
，
1
27
28
3
4
1
d
a
a
，
于是
8
9
9
)1
(
1
n
n
an
，即
8
9
n
an
．
(Ⅱ)对任意m∈N﹡，
m
m
n
2
9
8
9
9
，则
8
9
9
8
9
2
m
m
n
，
即
9
8
9
9
8
9
1
2
1
m
m
n
，而
*
N
n
，由题意可知
1
1
2
9
9
m
m
m
b
，
于是
)
9
9
9
(
9
9
9
1
1
0
1
2
3
1
2
1
m
m
m
m
b
b
b
S
8
9
80
1
9
80
1
9
10
9
8
1
9
80
9
9
9
1
9
1
9
1
9
9
1
2
1
2
1
2
2
1
2
m
m
m
m
m
m
m
m
，
即
8
9
80
1
9
1
2
m
m
m
S
．
17．(2012 江苏)已知各项均为正数的两个数列{
}
na
和{ }
nb
满足：
1
2
2
n
n
n
n
n
a
b
a
n
a
b
N
，
．
(Ⅰ)设
1
1
n
n
n
b
b
n
a
N
，
，求证：数列
2
n
n
b
a
是等差数列；
(Ⅱ)设
1
2
n
n
n
b
b
n
a
N
，
，且{
}
na
是等比数列，求
1a 和
1b 的值．
【解析】(Ⅰ)由题意知
1
1
2
2
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
b
a
a
b
b
b
a
a
，
所以
2
1
1
1
n
n
n
n
b
b
a
a
，从而
2
2
*
1
1
1(
)
n
n
n
n
b
b
n
N
a
a
所以数列
2
n
n
b
a
是以1 为公差的等差数列．
(Ⅱ)
0,
na
0
nb
．所以
2
2
2
2
(
)
2
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
a
b
-
，
从而
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
a
b
a
a
b
-
(*)
设等比数列{
}
na
的公比为q ，由
0,
na
知
0,
q
下证
1
q
．
若
1
q
，则
2
1
2
2
a
a
a
q
-
．故当
1
2
logq
n
a
，
1
1
2
n
na
a q
，与(*)矛盾；
若0
1
q
，则
2
1
2
1
a
a
a
q
．故当
1
1
logq
n
a
，
1
1
1
n
na
a q
，与(*)矛盾；
综上：
1
q
故
1
na
a
，所以
1
1
2
a
-
．
又
1
1
2
2
n
n
n
n
b
b
b
a
a
，所以{ }
nb
是以公比为
1
2
a
的等比数列，若
1
2
a
，
则
1
2
1
a
，于是
1
2
3
b
b
b
，又由
1
1
2
2
1
n
n
a
b
a
n
a
b
N
，
，得
2
2
1
1
1
2
1
2
1
n
a
a
a
b
a
，
所以
1
2
3
,
,
b b b 中至少有两项相同，矛盾．所以
1
2
a
，从而
2
2
1
1
1
2
1
2
2
1
n
a
a
a
b
a
，所以
1
1
2
a
b
．
