文档内容
人教A版选择性必修第二册第四章数列基础测试2
一、单选题
1．设 是等差数列 （ ）的前 项和，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．等比数列 的前 项和为 ， ， ，则公比 为（ ）
A． B． 或1 C．1 D．2
3．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出
去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都
归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂.
A．55989 B．46656 C．216 D．36
4．若数列{a}的通项公式为a＝n(n－2)，其中n∈N*，则a＝（ ）
n n 6
A．8 B．15 C．24 D．35
5．已知数列 为等差数列， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步
不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你
的计算结果是（ ）
A．80里 B．86里 C．90里 D．96里
7．设{a}是等比数列，若a + a + a =1，a + a + a =2，则 a + a + a
n 1 2 3 2 3 4 6 7 8
=（ ）A．6 B．16 C．32 D．64
8．已知各项不为 的等差数列 满足 ，数列 是等比数列，且
，则 （ )
A．1 B．8 C．4 D．2
9．已知数列 则该数列中最小项的序号是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．公比为 的等比数列 中， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知数列 的前n项和为 ，且 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
12．设数列 的满足： ， ，记数列 的前n项积为 ，则
（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
13．等比数列 的前 项和为 ， ， ，则公比 为______.14．数列 的一个通项公式是___________
15．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 ______.
16．已知等比数列 的公比 ，则 等于______.
三、解答题
17． 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值.
18．等差数列 满足 ， .
（1）求 的通项公式.
（2）设等比数列 满足 ， ，求数列 的前n项和.
19．已知等差数列 的前 项和 满足 ， .
（1）求 的通项公式；
（2） 求数列 的前 项和 .
20．设函数 ，数列 满足 （ ，且 ）．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，若 对 恒成立，
求实数 的取值范围．
21．已知 是等差数列 的前n项和，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2） 为何值时， 取得最大值并求其最大值．
22．已知等比数列 的首项 ，前 项和 满足
.
（1）求实数 的值及通项公式 ；
（2）设 ，求数列 的前 项为 ，并证明： .参考答案
1．C
【分析】
由题建立关系求出公差，即可求解.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
，
， ，
.
故选：C
2．A
【分析】
由 ， 列出关于首项与公比的方程组，进而可得答案.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
故选：A.
3．B
【分析】
第 天蜂巢中的蜜蜂数量为 ，则数列 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以
算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量．
【详解】
设第 天蜂巢中的蜜蜂数量为 ，根据题意得
数列 成等比数列，它的首项为6，公比
所以 的通项公式：
到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，
蜂巢中一共有 只蜜蜂．
故选： ．
4．C
【分析】
代入通项公式可得．
【详解】
代入通项公式得， ，故选：C．
5．A
【分析】
根据等差中项的性质，求出 ，再求 ;
【详解】
因为 为等差数列，所以 ,
∴ .由 ,得 ,
故选：A.
6．D
【分析】
由题意得每天行走的路程成等比数列 、且公比为 ，由条件和等比数列的前项和公式
求出 ，由等比数列的通项公式求出答案即可．
【详解】
由题意可知此人每天走的步数构成 为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得 ，
解得 ， 此人第二天走 里，
第二天走了96里，故选：D．
7．C
【分析】
根据等比数列的通项公式求出公比 ，再根据等比数列的通项公式可求得结果.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，
则 ，又 ，所以 ，
所以 .
故选：C．
8．B
【分析】
根据等差数列的性质，由题中条件，求出 ，再由等比数列的性质，即可求出结果.
【详解】
因为各项不为 的等差数列 满足 ，
所以 ，解得 或 （舍）；
又数列 是等比数列，且 ，
所以 .
故选：B.9．A
【分析】
首先将 化简为 ，即可得到答案。
【详解】
因为
当 时， 取得最小值。
故选：A
10．D
【分析】
利用已知条件求得 ，由此求得 .
【详解】
依题意 ，所以 .
故选：D
11．A
【分析】
当 时， ，当 时，利用 ，结合题干条件，即可求得答案.
【详解】
当 时， ，当 时， ，
所以 ，即 ，
故选：A
12．D
【分析】
由 的值确定数列 是以3为周期的周期数列，利用周期的性质得出
.
【详解】
可知数列 是以3为周期的周期数列
故选：D
13．
【分析】
由条件可得 ，即可得 ，从而可得出答案.
【详解】
因为 ，即 所以 ，所以 ，解得 .
故答案为：
14． ，
【分析】
根据数列的部分项，归纳数列的一个通项公式即可.
【详解】
因为数列 ，
所以通项公式可以为 ，
故答案为： ，
15．
【分析】
根据题中条件，由等差数列的性质，求出 ，再由等差数列的求和公式，根据等差数
列的性质，即可求出结果.
【详解】
因为等差数列 的前 项和为 ，且 ，
由等差数列的性质可得， ，所以 ，因此 .
故答案为： .
16．
【分析】
根据等比数列的定义计算．
【详解】
是等比数列， ，则 ．
故答案为： ．
17．（1） ；（2） ， 时， 的最小值为 .
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式以及前 项和公式求出 ， ，代入通项公式即可求解.
（2）利用等差数列的前 项和公式可得 ，配方即可求解.
【详解】
（1）设 的公差为 ，
由 ， ，即 ，解得 ，
所以 .
（2） ，
，
所以当 时， 的最小值为 .
18．（1） ；（2） .
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算 ，从而求出 ，利
用等比数列前 项和公式即可求出 .
【详解】
解：( )∵ 是等差数列，
，
∴解出 ， ，
∴.
( )∵ ，
，
是等比数列，
，
∴b=4
1
19．（1） ；（2） .
【分析】
（1）由 ， ，可得 求出 ，从而可得 的通项公
式；
（2）由（1）可得 ，从而可得 ，然后利用裂项相消求
和法可求得【详解】
解：（1）设等差数列 的公差为 ，
因为 ， .
所以 ，化简得 ，解得 ，
所以 ，
（2）由（1）可知 ，
所以 ，
所以
【点睛】
此题考查等差数列前 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，
属于基础题
20．（Ⅰ） （Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）根据函数解析式化简题中的递推关系，结合等差数列的概念求解数列的通项公式；
（Ⅱ）求出 ，进而得到不等式，利用分离变量法求解 的取值范围．【详解】
解：（Ⅰ）因为 （ ，且 ），
所以 ．
因为 ，所以数列 是以1为首项，公差为 的等差数列，所以 ．
（Ⅱ）
要使 对 恒成立，
只要使 对 恒成立，
只要使 对 恒成立，
只要 ，
故实数 的取值范围为 ．【点睛】
本题考查等差数列的概念和性质、数列的综合应用,分离变量法求最值．
21．（1） ；（2）n=4时取得最大值 .
【分析】
（1）利用公式 ，进行求解；
（2）对 进行配方，然后结合由 ，可以求出 的最大值以及此时
的值.
【详解】
（1）由题意可知： ，当 时， ，
当 时， ，
当 时，显然成立，∴数列 的通项公式 ；
（2） ，
由 ，则 时， 取得最大值28，
∴当 为4时， 取得最大值，最大值28．
【点睛】
本题考查了已知 求 ，以及二次函数的最值问题，根据 的取值范围求最大值是解题
的关键.22．(1) , ;(2)见解析.
【分析】
（1）由题设中的递推关系可得 ，再对原有的递推关系取 ，两者结合
可得 的值，从而利用数列 为等比数列求出其通项.
（2）利用错位相减法求 ，令 ，利用数列的单调性可以证明 ，
从而原不等式成立.
【详解】
（1）当 时， ，
得 ，
又由 及 ，得
因 为等比数列，故有 ，解得 ，
由 ，所以 ，故 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数
列，所以 .
（2）①
②
①-②得：
所以 ，又 ，
故
令 ，则 ，故 单调递减，
又 ，所以 恒成立，所以
【点睛】
（1）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求
和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个
数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
（2）数列的通项 与前 项和 的关系式 ，我们常利用这个关
系式实现 与 之间的相互转化.
