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第四章 数列复习与小结 -A基础练
一、选择题
1．（2019·全国高考真题）记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知， ，解得 ，∴ ，故选A．
2．（2021·山东菏泽高二期末）等比数列 中， ，则数列 的前8项和等于
( )
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【详解】∵数列{a }是等比数列，a=2，a=5，∴aa=aa=aa=aa=10．
n 4 5 1 8 2 7 3 6 4 5
∴lga +lga+…+lga =lg（aa…×a）= =4lg10=4．
1 2 8 1 2 8
4．（2021·海南海口高二期末）已知 ， 成等差数列， 成等比数列，
则 的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【解析】∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列
根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，
当且仅当x=y时取“=”，
5．（2020·全国高考真题）数列 中， ， ，若，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
，
，则 ，解得 .
5. （多选题）（2021·江苏启东市高二期末）已知数列 的前n项和是 ，则下列说法正确的有
（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则 ， ，成等差数列
D．若 是等比数列，则 ， 成等比数列
【答案】ABC
【详解】若 ，当 时， ,
时， ，
, ， 是等差数列，故A正确；
若 ，当 时， , ，
时， ， ， 是等比数列，B正确；
设等差数列 的公差为 ，首项是 ,，同理
，因此 则 ， ，成
等差数列，C正确；若等比数列 的公比 ，则 不
可能成等比数列，D错误；故选：ABC.
6. （多选题）（2021·福建泉州市高二期末）在无穷数列 中，若 ，总有
，此时定义 为“阶梯数列”.设 为“阶梯数列”，且 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】因为 为“阶梯数列”，由 可得 ， ， ， ，
，…，
观察可得 ， ，
，即数列 以 为周期，
又 ， ，所以 ，即 ，
综上， ， ，
，
故A正确，B错；
，即C正确；
，即D正确.故选：ACD.二、填空题
7．（2020·全国高考真题）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则
__________．
【答案】
【详解】 是等差数列，且 ，
设 等差数列的公差 ，根据等差数列通项公式：
可得 ，即：
整理可得： ，解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得： ， .
8．（2020·浙江高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数
列 就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ．
即 ．
9．（2021·武威第六中学高二期末）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公
园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以
扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九
环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇
面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇
面形石块数是_______．【答案】 ；
【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，
则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，
所以，a＝9＋（n－1）×9＝9n，
n
所以，a ＝9×27＝243，
27
前27项和为： ＝3402.
10．（2021·山西师大附中高二期末）设 是数列 的前 项和，且 ， ，则
__________．
【答案】
【解析】原式为 ，整理为： ，即 ，
即数列 是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即
.
三、解答题
11．（2020·全国高考真题）设数列{a}满足a=3， ．
n 1（1）计算a，a，猜想{a}的通项公式并加以证明；
2 3 n
（2）求数列{2na}的前n项和S．
n n
【详解】
（1）由题意可得 ， ，
由数列 的前三项可猜想数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，即 ，
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由① ②得：
，
即 .
12．（2020·海南高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
【详解】(1) 设等比数列 的公比为q(q>1)，则 ，
整理可得： ，
，
数列的通项公式为： .
(2)由于： ，故：
.
