文档内容
八年级数学•上 新课标[北师]
第七章 平行线的证明
1.理解证明的必要性和设置基本事实的必要性,体会演绎推理的严谨性和结论的确定性,初步树立步步
有据的推理意识,发展推理能力.
2.通过具体实例了解定义、命题、定理、推论的含义,会区分命题的条件和结论.
3.了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的.
经历对顶角定理、两直线平行的有关判定定理、两直线平行的有关性质定理、三角形内角和定理及其
推论的证明过程,初步掌握综合法证明的格式;能利用这些定理解决简单的问题.
初步感受公理化思想,以及公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值.
《标准》在“图形的性质”的有关要求中,比较多地使用了“探索并证明……”的表述,也就是要在一定
的情境中,引导学生借助已有的知识和经验,借助图形的直观,通过操作、实验,运用合情推理或图形运动等方
法,探索发现图形可能具有的性质,这与用单纯地给出“已知、求证、证明”的方式来研究图形的性质是有
区别的,两者相比,前者更有利于学生在获取有关知识的过程中,不断提高研究几何图形性质的能力,发展创新
意识和创新能力,为了实现《标准》的这一意图,本套教科书选择了先分“两阶段”(探索阶段和证明阶段)后
合二为一(边探索边证明)的处理方式:对与平行线、三角形有关的内容采取了分两个阶段的学习方式;对有关
四边形、相似、圆等内容,采取了探索加证明的方式,也就是引导学生通过观察、测量、操作、实验等活动
探究结论,同时对这些探究的结论进行严格的论证.这样处理,使得学生在探索阶段通过亲身探究活动,展开合
情推理,合情推理能力和探究发现能力得到了很好的发展,主体性也得到了充分的发挥;同时由于把探索阶段
的重心放在结论的探究上,几何学习的语言表述等难点得以分解,有利于降低几何入门教学的难度,激发学生
的学习兴趣.
本章是证明的起始阶段,淡化了先前已经通过观察、测量、实验、操作等活动探究得到了一些几何结
论,学生也尝试进行了一些验证和说理,基本认可这些结论,但毕竟不是证明.本章首先要让学生明确认识到:这
些探究的结论需要加以证明;同时证明需要一个话语体系,为此就有了所谓的定义、命题等.其次,证明需要确
定一些出发点,为此需要梳理有关结论,选择某些结论作为证明的出发点(实际上这就是构建局部的公理体系);
有了这些证明的出发点,接着就依次证明一些先前探究得到的定理,在证明过程中,初步掌握证明的要求和格
式,认识到证明的严谨性,做到步步有据,发展学生的推理能力.
【重点】
1.明确证明的必要性和相关的概念.2.平行线的判定和性质.
3.三角形内角和定理.
【难点】
1.准确证明命题或定理.
2.平行线的判定定理和性质定理的灵活运用.
1.关注对证明必要性的理解和证明意识的建立.
要让学生知道数学需要证明,数学之外的其他事物,也应该追究其缘由、问个为什么;初步感受公理化方
法在数学和人类文明中的作用,证明的必要性,不仅要从几何的角度加以认识,还要从代数甚至其他学科、实
际生活等角度加以认识,让学生认识到说话办事要有根有据,对于猜测、实验、归纳得到的结论一定要给予
证明.
2.兼顾探索与证明,发展学生的推理能力.
推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中,本章侧重于发展学生的演绎推理能力,但并不意味着不
要关注合情推理,在解决问题的过程中,两种推理的功能不同,相辅相成.合情推理用于探索思路、发现结论;演
绎推理用于证明结论.数学中关注这两种能力的发展,在关注证明的同时,也应尽可能创设探究活动、实践活
动,在活动中发展学生的合情推理能力.
3.关注证明的依据和规范性.
由于本章的多数结论之前已经探究过,因此在证明过程中难免会出现一些循环论证的现象.教学中,在证
明一个命题时,要注意引导学生区分哪些结论可以作为证明的依据,哪些结论不可以作为证明的依据;提醒学
生,只有作为证明的出发点的基本事实和前面已经证明过的定理才能作为证明的依据.在今后学习完“三角
形的证明”之后,所有前面已经得到的结论都可以作为证明的依据.因此,学生出现了循环论证的情况,加以引
导即可,不必过于担心,更不要给学生过大的压力,避免因压力过大造成学生兴趣的流失.
1 为什么要证明 1课时
2 定义与命题 2课时
3 平行线的判定 1课时
4 平行线的性质 1课时
5 三角形内角和定理 2课时
回顾与思考 1课时
1 为什么要证明体会检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理等,发展学生的推理能力.
经历观察、验证、归纳等过程,使学生对由这些方法所得的结论产生怀疑,以此激发学生的好奇心理,从
而认识证明的必要性,培养学生的推理意识.
通过积极参与,获取正确的数学推理方法,理解数学的严密性,并培养与他人合作的意识.
【重点】 要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验、观察或实验是不够的,必须一步一步、有理
有据地进行推理.
【难点】 通过对一些规律的探讨和分析,养成动脑思考问题的习惯.
【教师准备】 教材图7 - 1、图7 - 2、图7 - 3的投影图片.
【学生准备】 有刻度的直尺.
导入一:
师:同学们,请你们用学过的数学知识解决下面的问题。(多媒体展示)
从A地到B地有五条道路,时间紧急,张先生要从B地赶往A地乘车,此时张先生应该选择哪条路?
生:张先生应该走第③条路.
师:你的依据是什么?
生:两点之间,线段最短.
师:你还记得我们是如何得到“两点之间,线段最短”这个结论的吗?
生1:生活经验.
生2:观察比较.
生3:测量验证.
……
师:很好!我们曾经通过观察、实验、归纳等活动得到了很多正确的结论.但是通过观察、实验、归纳得
到的结论一定正确吗?如何才能得到正确的结论呢?本节课让我们共同来学习第七章《平行线的证明》中的
第一节“为什么要证明”.(板书课题:1 为什么要证明)
[设计意图] 从学生已知的数学结论出发,感受有些结论是通过观察、实验、归纳等活动得出的,适时提
出问题,通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?设置悬念,激发学生的求知欲,为新课的学习做好铺垫.导入二:
欣赏几组图片(多媒体展示):
问题1
【课件1】 第一组图中的线是直的吗?
问题2
【课件2】 第二组图中心的两个圆哪个大?
我们常说“百闻不如一见”“耳听为虚,眼见为实”,但“眼见真的全为实”吗?
(此时学生很兴奋,讨论很热烈)
以前,我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论.那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定
正确吗?今天这节课我们就通过具体问题来探讨判断数学结论正确性的方法.(板书课题)
[处理方式] 给学生2分钟思考的时间,然后找学生回答.此时学生的回答各有不同,若学生的回答是否
定的,可通过实际操作验证第一组图中的线是直的,第二组图中心的两个圆一样大,让学生明白只有实践才能
出真知的道理,从而归纳知识:仅仅依靠观察不能判断一个数学结论是否正确.
[设计意图] 通过故事和精美的图片,在愉快的氛围中激发学生学习数学的兴趣,体现了学生走进生活感
受数学的高涨热情.故事和精美的图片非常吸引学生,使学生很自然地进入本节课的学习.
[过渡语] 以前,我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确结论.观察、实验、归纳得到的结论一定正
确吗?
一、“直观”可靠吗
师:请观察下面几组图片,思考并回答下列问题.(多媒体出示)
(1)图(1)中的两条线段a,b长度相等吗?图(2)中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法检验你观察到的
结论.
【师生活动】 学生先观察,再动手验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利
用多媒体进行验证.
生1:我观察的结果是线段a比较长;经过测量,线段a,b长度相等.生2:我观察的结果是四边形的四条边是曲线;经过直尺验证,四边形是正方形.
师:通过以上操作,你有什么感受?
生:观察到的结果与事实不相符.
师:以上操作说明仅仅依靠观察得到的结果是不能作为判断某些问题的结论的,要想得到正确的结论,必
须进行验证.让我们再感受几个!
请你欣赏:(多媒体出示)
(1)这是平面吗?怎么看起来不像平面呢?
(2)这些正方形怎么看起来扭曲了?
(3)看,图在动!
(4)你能想象这些都是同心圆吗?
(5)图中的横线是平行的吗?
(6)难以置信,这是一组平行线![设计意图] 让学生的观察结果与实验结果产生思维上的碰撞,同时让学生明白只有实践才能出真知的
道理,从而归纳知识:仅仅依靠观察不能判断一个数学结论是否正确.
二、“直觉”可信吗
师:请思考并回答下面问题.(多媒体出示)
如图,把地球看成球形,假设用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的
间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进
行交流.
【师生活动】 学生先凭感觉想象,再动手验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,
教师利用多媒体进行展示.
师:正常人的拳头有多大?量一量.
生:通过测量、交流,发现我班的最大拳头宽度才10厘米.
师:凭感觉想象一下,铁丝与地球赤道之间的间隙能放进一个拳头吗?
生1:地球很大,铁丝的长度就比赤道的周长多一米,我觉得放不进一个拳头,也许能放进一只小蚂蚁.
生2:赤道就是一个大圆,铁丝的长度比它的周长多一米,就能有一定的间隙,但是我认为间隙不大,不能放
进一个拳头.
师:算一算,结果与你的感觉是否一致?(学生计算,教师指导)
生:设赤道的周长为C米,则铁丝的长为(C+1)米,那么铁丝与地球赤道间的间隙为R-r,
C+1 C 1
=
即 - ≈0.16(m),0.16 m=16 cm.
2π 2π 2π
因此,能放进一个拳头.(教师板书)
师:通过计算我们可以看出,判断一个结论是否正确,依靠直觉是不可靠的.要想得到正确的结论,必须经过
计算来证实.
[设计意图] 通过理性的计算,验证了很难想象到的结论,让学生产生思维上的碰撞,进而对自己的直观
感觉产生怀疑,再次为证明的必要性提供素材.
【小试身手】
1.图中三条线段a,b,c,哪一条线段与线段d在同一直线上?请你先观察,再用直尺验证一下.
2.图中两条线段a和b的长度相等吗?
【师生活动】 学生独立思考,验证后并交流.教师巡视、指导学生,学生完成后借助多媒体展示正确的
答案.
[设计意图] 进一步让学生感受通过观察、猜想、直觉、经验得出的结论可能不是正确的.
三、特例归纳得出的结论可靠吗
思路一
师:请大家解决下面问题.(多媒体出示)代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数n,n2-n+11
的值都是质数?与同伴进行交流.
【师生活动】 学生先思考,再动手计算,然后小组交流、归纳.教师巡视、指导学生,进行验证.
生:当n=0时,n2-n+11=11.
当n=1时,n2-n+11=11.
当n=2时,n2-n+11=13.
当n=3时,n2-n+11=17.
当n=4时,n2-n+11=23.
当n=5时,n2-n+11=31.
因为当n=0,1,2,3,4,5时,代数式n2-n+11的值都是质数,所以对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数.
师:你们都同意这个结论吗?
生:同意.
师:再取几个数试一试,看看你有什么发现.
生:经过计算,我发现,当n=11时,n2-n+11=121,结果是合数,所以“对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质
数”这个结论是错误的.
[设计意图] 对归纳的结论进行验证,让学生感受到特例有时具有一定的迷惑性(欺骗性),从而对不完全
归纳的合理性产生怀疑.
师:你们解决得很好,此题告诉我们,仅由几个特例归纳得出的结论可能潜藏着错误.我们的大数学家费马
也犯过类似的错误,请阅读教材第163页读一读:费马的失误.
【学生活动】 学生极有兴趣地阅读,并低声交流.
师:说说你们的感想.
生1:大数学家费马出现这样的低级错误,可能是因为过于相信自己的直觉和经验.
生2:仅由几个特例归纳得出的结论可能是错误的.
生3:我们应当向欧拉学习,敢于向权威质疑;同时学习他对待科学的严谨态度.
生4:我发现可以用举反例的方法验证结论.
……
师:说得很好,希望同学们不要再出现这样的问题.同时,这个故事告诉我们:要说明一个结论是错误的,举
反例就是一种常用方法.
[设计意图] 了解数学小知识的目的是进一步让学生理解凭几个例子得出的结论未必是正确的,也让学
生体会反例在数学中的重要作用;同时,让学生理解数学家也会犯错,也是凡人,使学生提高学习数学的自信心.
思路二
【问题】 代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5,试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数
n,n2-n+11的值都是质数?与同伴进行交流.
【学生活动】 让学生先独立思考,再以小组为单位进行讨论交流,最后通过计算回答.其中第1小题当
n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10时,n2-n+11的值分别是11,11,13,17,23,31,41,53,67,83,101,全是质数.只要其他学生没有
质疑就继续提问.但当n=11时,n2-n+11=121=112,就不是质数了.
[设计意图] 让学生进一步对归纳所得的结论产生怀疑,并且体验举反例是判断错误结论的方法.通过该
题的计算,可知用归纳的方法,仍不能判断数学结论是正确的,同时培养了学生的合作竞争意识.
四、实验得到的结论未必可靠
师:请大家接着解决下面的问题.如图7 - 4所示,在ΔABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE.DE与BC有怎样的位置关系和数量
关系?请你先猜一猜,再设法验证你的结论对所有的ΔABC都成立吗?与同伴进行交流.
【师生活动】 学生先观察、猜一猜,再动手、作图验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回
答的同时,教师利用多媒体进行成果展示.
师:你认为DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?
1
生:我认为位置关系是DE∥BC;数量关系是DE= BC.
2
师:你是如何验证你的结论的?
生:我是利用刻度尺、量角器进行测量验证的.
师:大家认同这个做法吗?
生:(大部分学生)认同.
师:那么你还能肯定这个结论对所有的ΔABC都成立吗?
(部分学生说肯定,部分学生不能确定)
师:同学们,我们知道测量是有误差的,误差是难免的,通过猜测,实验验证得出的结论,也不能作为判断某
些问题的结论,要想得到图形的性质是需要进行推理的.
[设计意图] 让学生感受由观察、猜想、实验得出的结论仍有不确定性,需要更合适的方法来解决问题.
[知识拓展] 认识事物不能“想当然”,要想取得令人信服的结论,必须经过严格的数学证明,证明的依
据一般有数学定义、定理、公式和性质等.
实验—|
观察— 可能正确,也可能不正确 证明
归纳—
1.通过 得到的结论往往是不可靠的,甚至是错误的.
答案:观察、实验或归纳
2.只有通过 才能检验数学结论.
答案:举出反例或推理
3.下列判断正确吗?说明理由.
(1)如果有一条线段AB=5 cm,另一条线段BC=2 cm,那么线段AC长为7 cm;
(2)当n=0,1,2,3时,代数式n2+n+5的值分别是5,7,11,17,它们都是质数,由此判断,对所有自然数n,n2+n+5
的值都是质数.
解:(1)不正确,因为A,B,C三点不一定在一条直线上,即使在一条直线上,也不一定能得出AC=7 cm,如点C
在AB之间. (2)不正确,如当n=4时,n2+n+5=25,是合数.
4.有一张厚0.01 mm的纸(设它有无限大),重复折叠20次,大约有多高?会有3层楼房那么高吗?(每层楼
房的高按3米计算)
提示:大约10米高;会有3层楼房那么高.1 为什么要证明
问题探索
猜想结论:不一定正确
一、教材作业
【必做题】
教材第163页随堂练习第1,2题.
【选做题】
教材第164页习题7.1第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.小刚和小明在手工制作课上,用同种小铁丝制作的楼梯模型如图所示.那么他们用的材料长度( )
小刚
A.一样多 B.小刚的多
C.小明的多 D.无法判断
2.骑自行车的速度是每小时15千米,骑摩托车的速度是每小时40千米,则下列结论中你能肯定的是( )
A.从A地到B地,骑摩托车的人一定比骑自行车的人先到达
B.从A地到B地,骑自行车的人一定比骑摩托车的人先到达
C.从A地到B地,骑自行车的人和骑摩托车的人不可能同时到达
D.从A地到B地,骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达
3.下列说法正确的是 ( )
A.通过观察完全可以判断一个数学结论的正确与否
B.推理是科学家的事,与我们没有多大的关系
C.对于自然数n,n2+n+37一定是质数
D.有10个苹果,将它们放进9个筐中,则至少有一个筐中的苹果数不少于2个
【能力提升】
4.为庆祝“六一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示,按照下面的规律,摆第n个图需
要火柴棒的根数为 .【拓展探究】
5.数学家迪布凡尔在1590年曾注意到,在形如6n-1和6n+1的数对5,7;11,13;17,19;23,25;29,31;35,37;41,43;…中,
当“n”在取前几个自然数时,都至少有一个质数,由此他提出猜想:“对于任何自然数n(n≠0),6n-1和6n+1这
两个数中至少有一个质数.”你认为这个猜想正确吗?验证一下:n=8时,结论成立吗?n=9呢?n=10呢?n=20呢?
这说明了什么?
【答案与解析】
1.A
2.D
3.D
4.6n+2
5.解:不正确.当n=8,9,10时结论都成立,当n=20时结论不成立.说明观察、归纳和猜想是重要的,但仅凭此得
出的结论不一定可信,还必须经过严格的推理证明.
帮助学生认识到由观察和猜想得到的结论不一定是正确的,这是本课时的教学的核心.解决好这个问题,
也就为学生理解证明的必要性奠定了基础.本课时通过教材的情景事例,通过学生的观察、测量、交流等探
究活动,让学生体验到由观察和猜想得到的结论有时候是靠不住的,要想让人信服,必须给出“证明”,这是本
课时的最大成功之处.
由于有些问题是无法一一验证的,这就需要为学生提供一定的方法或者提示.在处理教材图7 - 3的相
关问题的时候,学生在计算的过程中难度比较大,教师应该提供给学生必要的数据,让学生通过计算的结果更
深刻地领会想象和猜测不一定是正确的.
在处理教材图7 - 3及其相关问题的过程中,因为无法直接验证,就需要学生进行计算后才能得出正确
的结论.多数学生都会认为是不可能放下一个拳头的,此时教师应该让学生更多地议论,不要急于把结果告诉
学生,这样更有利于强化学生对证明必要性的认识.
随堂练习(教材第163页)
1.解:(1)线段b与线段d在同一条直线上. (2)图中线段a与b的长度是相等的.
2.解:n2+3n+1的值不一定是质数,如当n=6时,n2+3n+1=36+18+1=55,是合数.习题7.1(教材第164页)
1.解:猜想不正确,当n=40时,n2+n+41=402+40+41=412,412不是质数.
2.解:对于所有奇数,都可以表示为两个自然数的平方差.如2n-1=n2-(n-1)2.对于偶数,由于两个连续自然数的平
方差必为奇数,因此,对于偶数不能表示为两个自然数的平方差.
3.解:∠ABC=∠DEF.小颖得出的结论不正确,正确的结论是:如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或
互补.
视幻觉
如图所示的是物理学家和心理学家研究视幻觉的一张图.其中纵向的直线是平行的;但加入一些干扰线
后,这些直线看起来并不直,像是弯曲着的,且平行线看起来也不平行.
物理学家与心理学家对这种视幻觉给出了以下几种可能的解释:
(1)是由画在平行线上不同方向的锐角之间的差异造成的;
(2)是由眼睛里视网膜的弯曲程度造成的;
(3)有层次的线段使我们的眼睛集中和分散,它们造成了平行线视觉上的弯曲.人们发现在当斜的线段与
平行线成45°角时,造成的幻觉尤为强烈.
视幻觉是由人们的注意力、眼睛构造或两者的结合而产生的,所以我们看到什么并不意味着它真的就
是那样.因此,遇到这种情况要凭推理论证来确定,而不应仅仅依赖感觉作出结论.
2 定义与命题
1.理解定义与命题的概念.
2.分清命题的条件和结论,会把命题改写成“如果……那么……”的形式,并能判断命题的真假.
3.了解公理和证明的概念,通过实例感受证明的过程与格式.
在实例中体会定义、命题的含义,通过举反例判断一个命题是假命题,使学生学会从反面思考问题的方
法.
通过从具体例子中提炼数学概念,使学生体会数学与实践的联系;通过举反例的方法来判断一个命题是
假命题,说明任何事物都是正反两方面的对立统一体;通过了解数学知识,拓展学生的视野,从而激发学生学习
的兴趣.【重点】 理解命题的概念,找出命题的条件和结论.
【难点】 证明的概念及演绎推理和语言表达能力.
第 课时
1.理解定义与命题的概念.
2.分清命题的条件和结论,并能判断命题的真假.
在实例中体会定义、命题的含义,通过举反例判断一个命题是假命题.
通过举反例的方法来判断一个命题是假命题,说明任何事物都是正反两方面的对立统一体.
【重点】 理解命题的概念,找出命题的条件和结论.
【难点】 正确找出命题的条件和结论.
【教师准备】 预想学生在学习本课时中会遇到的困难.
【学生准备】 复习最近学过的几个重要概念.
导入一:
课前播放歌曲《爸爸去哪儿》.
[过渡语] 这首歌的名字叫《爸爸去哪儿》.下面我们来听一段关于“爸爸”的对话.
小亮:我得马上回家,看《爸爸去哪儿》.
小明:快给你爸打电话.
小亮:给我爸打电话干什么?
小明:你不是想知道你爸爸去哪儿么?
(学生听后,大笑)
师:同学们为什么笑呢?
生:小亮说的《爸爸去哪儿》是电视节目,不是真找自己的爸爸,小明搞错了.
师:由此可见,人与人之间的交流必须得对某些名称和术语有共同的认识.生活中如此,在严谨的数学王国
中更应该如此.我们今天就走进:定义与命题.(教师板书课题)
[设计意图] 通过聆听故事,让学生体会到在生活中,我们常需要对事物有共同的认识,这既能激发学生
的兴趣,又能唤起他们的好奇心.在引出课题的同时,又利用生活实例,说明定义的重要性.
导入二:
大家对春节联欢晚会上的小品《昨天,今天,明天》还记忆犹新吧?其中大叔、大妈对“秋波”一词的不
同理解给我们带来了开怀的笑声,尤其是大叔的理解——秋天的菠菜,更是让人忍俊不禁.笑声之余也让我们
感到,人和人的交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行,也就是对名称或术语下定义.今天我们就
来学习“定义与命题”.
一、定义与命题
[过渡语] 任何学科知识的构建,都离不开用概念表述相关的内容.本课时我们就要从数学的角度认识定
义、命题等相关的概念.
1.认识定义
师:刚才,小亮如果给《爸爸去哪儿》一个准确的定义,相信两人的交流肯定可以继续进行.怎样才能“给
出定义”呢?
【学生活动】 独立思考,仔细品味教材第165页议一议上面的内容,理解什么是定义.
生:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,就是给出它们的定义.
[设计意图] 通过关于爸爸的对话,让学生体会下定义的重要性,意识到在交流的过程中对术语和名称下
定义的意义.
师:很好,同学们能举出学过的一些定义吗?
生1:“含有未知数的等式叫做方程”是“方程”的定义.
生2:“有两边相等的三角形叫做等腰三角形”是“等腰三角形”的定义.
生3:“在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,这样的整式方程叫做一元一次方程”
是“一元一次方程”的定义.
生4:“具有中华人民共和国国籍的人叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义.
师:看来同学们对定义已经有了认识,你能发现“定义”的基本形式是怎样的吗?
生:定义的基本形式都是:“……叫做……”.
[设计意图] 通过学生对定义的举例,加强学生对“什么是定义”的理解.让学生从句子特点与形式上观
察,认识定义.
2.认识命题
思路一
[处理方式] 独立思考,仔细品味教材第165页议一议的内容,理解什么是命题.
下面的语句中,哪些语句对事情作出了判断?哪些没有?(多媒体出示)
(1)任何一个三角形一定有一个角是直角;
(2)对顶角相等;
(3)无论n为怎样的自然数,式子n2-n+11的值都是质数;
(4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;
(5)你喜欢数学吗?
(6)作线段AB=CD.
生:(1)(2)(3)(4)四个句子作出了判断,(5)(6)两个句子没有作出判断.
师:是的,前四个句子作出了判断.像这样的句子,叫做命题.你能否给“命题”下个定义呢?
生:判断一件事情的句子,叫做命题.
(教师板书:判断一件事情的句子,叫做命题)[设计意图] 让学生初步认识命题,再引导学生以回答问题的形式对命题的定义进行总结,从感性思维上
升到理性思维,培养学生自我学习的能力.
思路二
师:给出命题的定义:命题是判断一件事情的句子.你能举出几个命题的例子吗?
出示问题:
(1)三条边对应相等的两个三角形一定全等;
(2)锐角都小于直角;
(3)美丽的天空;
(4)所有的质数都是奇数;
(5)过直线l外一点P作l的平行线;
(6)如果明天是星期五,那么后天是星期六;
(7)若a2=4,求a的值;
(8)熊猫有翅膀.
【学生活动】 小组交流,对提出的问题作出判断,哪些是命题?哪些不是命题?
展示交流:
生1:(1)(2)(4)(6)都是命题,其余不是.
生2:不对,(8)“熊猫有翅膀”也是命题.
师:(质疑)你能说一说为什么吗?
生:虽然这句话错了,但它作出了判断.只要是判断一件事情的句子就是命题,不论判断得对错.
师:(给出肯定)说得好,谁还能列举出一些命题吗?
生1:如果两条平行线被第三条直线所截,那么同位角相等.
生2:我是一名学生.
师:(作出判断)很好!想一想,定义是命题吗?任何一个命题都是定义吗?
(学生思考一会儿,交流后回答)
生:定义一定是命题,但命题不一定是定义.
[设计意图] 通过对命题与非命题的辨析,让学生理解命题的特点,进一步培养学生的能力.教师强化对
命题特点的掌握,也为真、假命题的判断打下基础.最后老师提出的问题让学生将本课时所学的两个知识点
进行联系与拓广.
二、条件与结论
[过渡语] 观察下列命题,这些命题有什么共同的结构特征?
(1)如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等;
(2)如果a=b,那么a2=b2;
(3)如果两个三角形中有两边和一角分别相等,那么这两个三角形全等.
【学生活动】 先独立思考,再结合教材第166页想一想的内容,小组内开展交流讨论“命题有什么结
构特征”.
展示交流成果:
生1:都是用“如果……那么……”的形式叙述的.
生2:每个命题都是由条件和结论两部分组成的.
生3:条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.
生4:“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.
(教师板书:条件和结论)
师:上题的条件、结论分别是什么?
生1:(1)题的条件是一个三角形是等腰三角形,结论是这个三角形的两个底角相等.
生2:(2)题的条件是a=b,结论是a2=b2.生3:(3)题的条件是两个三角形中有两边和一角分别相等,结论是这两个三角形全等.
一般地,命题都可以写成“如果……那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的
部分是结论.
有些命题没有写成“如果……那么……”的形式,条件和结论不明显,如“同角的余角相等”.对于这样的
命题,要经过分析才能找出条件和结论,也可以将它们改写成“如果……那么……”的形式.
[设计意图] 对命题的结构进行分析,让学生会区分一个命题的条件和结论.引导学生,当一个命题不好
区分条件和结论时,可以先改写成“如果……那么……”的形式;但改写时不要机械地添上“如果”和“那
么”,应适当地调整顺序或补充修饰词语,使改写后的语句通顺、完整.
三、真命题与假命题
[过渡语] 命题的结论都是正确的吗?
教师给出以下四个命题,并提问:
(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角;
(2)如果a≠b,b≠c,那么a≠c;
(3)全等三角形的面积相等;
(4)三角形三个内角的和等于180°.
【学生活动】 (1)指出命题的条件和结论;
(2)命题中哪些是正确的?哪些是不正确的?你怎么知道它们是不正确的?在学生回答的基础上进行总结,
给出真命题、假命题的概念,以及如何判断一个命题是假命题的方法——举出反例.
总结:正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是一个假命题,通常可以举出一
个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.
(教师板书:真命题、假命题、反例)
[设计意图] 学生在判断命题的正误时主要依据过去的经验,教师可进一步追问,对于一个不正确的命题,
还能怎样判断其错误呢?教师应让学生充分表达自己的判断方法,进而引导学生体会:要说明一个命题是假命
题,通常举出一个反例就可以了.
[知识拓展] 1.在定义中,要提示该事物与其他事物的本质属性的区别.
2.根据命题的定义可知只要是对一件事情作出判断的句子都是命题,而不论这个判断正确与否.
3.很多情况下,命题的形式并不是“如果……那么……”的形式,在把命题改写成“如果……那么……”的
形式时,为保证语句的通畅和不改变原意,应对原句进行适当的修改或调整.
—定义—对名称或术语的含义进行描述,作出明确的规定
|
组成
| 每个命题都由条件和结论组成
❑
形式
都能写成“如果……那么……”的形式
— —命题—— ❑
真假
命题可分为真命题和假命题
❑
判断
要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可
❑
1.下列命题中,属于定义的是( )
A.两点确定一条直线
B.同角或等角的余角相等C.两直线平行,内错角相等
D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
解析:A,B,C分别是一个命题,但不是定义;D是一个定义.故选D.
2.下列语句中,是命题的是 ( )
A.高高的山
B.你好吗
C.同位角相等
D.在直线AB上取一点C
解析:A,B,D只是对一件事情的叙述或询问,不是命题.故选C.
3.下列语句中,不是命题的是( )
A.直角都相等
B.如果ab=0,那么a=0
C.不是对顶角的两个角相等
D.连接两点A,B
解析:A,B,C分别是命题;D不是命题,是描述性语言.故选D.
4.下列命题是假命题的是 ( )
A.锐角小于90° B.平角等于两直角
C.若a>b,则a2>b2D.若a2≠b2,则a≠b
解析:A.根据锐角的定义,锐角小于90°,正确;B.平角等于180°,直角等于90°,因此平角等于两直角,正确;C.
例如a=1,b=-3,1>-3,但12=1<(-3)2=9,错误;D.两个数的平方相等,则两个数相等或互为相反数,因此两个数的平
方不相等,则这两个数既不相等也不互为相反数,正确.故选C.
5.下列选项中,可以用来说明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是 ( )
A.a=-2 B.a=-1
C.a=1D.a=2
解析:选项A,a=-2满足a2>1,而a=-2不满足a>1的要求,是原命题的反例;选项B和选项C,a=±1不满足
a2>1,即不满足题设的条件,不是特例,故不是反例;选项D既满足a2>1,也满足a>1,不是反例.故选A.
第1课时
1.定义与命题
2.条件和结论
3.真命题、假命题、反例
一、教材作业
【必做题】
教材第166页随堂练习第2题.
【选做题】
教材第167页习题7.2第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列语句中,是命题的为 ( )
A.延长线段CD B.相等的角是对顶角C.作平行线 D.取线段AB的中点M
2.命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”是( )
A.条件部分 B.是条件,也是结论
C.结论部分 D.不是条件,也不是结论
3.下列说法不正确的是 ( )
A.“不等式2x>4的解集是x>2”的条件是“不等式2x>4”
B.“如果x2=y2,那么x=y”的结论是“x=y”
C.“平行四边形的对角线互相平分”的条件是“平行四边形”
D.“对顶角相等”的条件是“对顶角相等”
4.下列语句中:①平角都相等;②等于同一个角的两个角相等吗?③画两条相等的线段;④邻补角的平分线互
相垂直;⑤两直线平行,同位角相等;⑥等腰三角形的两底角相等.其中是命题的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
5.下列命题错误的是 ( )
A.所有的实数都可用数轴上的点表示
B.等角的补角相等
C.无理数包括正无理数,0,负无理数
D.两点之间,线段最短
6.要说明命题“绝对值相等的两个实数相等”是假命题,你举的反例是 .
【能力提升】
7.指出下列命题的条件和结论.
(1)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点;
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行;
(3)等角的补角相等;
(4)平行四边形的对边相等.
【拓展探究】
8.如图所示,下面有四个条件:(1)AE=AD,(2)AB=AC,(3)OB=OC,(4)∠B=∠C.请你写出一个由其中两个作为已知
条件,另外两个中的一个作为结论的命题,并判断其真假.
【答案与解析】
1.B(解析:A.延长线段CD,是描述性语言,它不是命题,错误;B.相等的角是对顶角是命题,正确;C.作平行线,是描
述性语言,它不是命题,错误;D.取线段AB的中点M,是描述性语言,它不是命题,错误.故选B.)
2.A(解析:把命题“等角的补角相等”改写成“如果两个角是等角的补角,那么这两个角相等”.“等角的补
角”是条件部分.故选A.)
3.D(解析:“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”,而不是“对顶角相等”,故D选项错误.故选D.)
4.B(解析:①④⑤⑥是命题;②③不是命题.所以命题有4个.故选B.)
5.C
6.|-3|=|3|,但-3≠3(答案不唯一)7.解析:对于条件和结论不十分分明的命题,我们可以先把其改写成“如果……那么……”的形式,再找出条件
和结论.由于命题的改法不唯一,所以它的条件和结论也不唯一,如命题(3),还可以改写成“如果两个角相等,
那么这两个角的补角相等”.解:(1)条件:两条直线相交;结论:它们只有一个交点. (2)条件:两条直线被第三条
直线所截,同旁内角互补;结论:两直线平行. (3)这个命题可以改写成“如果两个角是等角的补角,那么这两
个角相等”.条件:两个角是等角的补角;结论:这两个角相等. (4)这个命题可以改写成“如果一个四边形是
平行四边形,那么它的对边相等”.条件:一个四边形是平行四边形;结论:它的对边相等.
8.解析:如果AE=AD,AB=AC,那么∠B=∠C.根据SAS得ΔABE≌ΔACD,推出∠B=∠C即可.解:如果
{
AE=AD,
AE=AD,AB=AC,那么∠B=∠C.在ΔABE和ΔACD中, ∠A=∠A,所以ΔABE≌ΔACD,所以∠B=∠C.所以这是
AB=AC,
真命题.(答案不唯一)
教学中以学生自主探索为主,通过回忆以前学过的知识,了解定义的含义.通过学生的自主探索、合作交
流,归纳出命题的条件和结论,加深了学生对命题结构的理解与记忆.整个教学过程中以学生讨论为主,极大地
调动了学生学习的积极性,激发了学生学习的兴趣,在集体和小组的争辩中理解和掌握了知识,在教学中教师
要加强对已经学过的相关知识的梳理,加深对新知识的认识,逐渐形成对知识的迁移与应用.
一个命题的表述方式有多种,不能在教学的过程中死板地强调“条件和结论”这种格式.同时还应该强
调,一个命题是否正确,与这个命题的表述方式无关,应该看这个命题是否得到证明或者公认.
本课时的重点不是让学生深刻领会某些概念,而是帮助学生认识到理解概念的重要性.本课时的重点就
要放在理解命题及其真假方面,而不是判断一些命题的真假.
随堂练习(教材第166页)
1.解:答案不唯一.(1)例如:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的整式方程,叫做一元一次方程. (2)判
断一件事情的句子叫做命题.是命题的语句:自然数不是负数;不是命题的语句:延长线段AB.
2.解:(1)条件:5月4日是星期一;结论:5月11日也是星期一. (2)条件:一个三角形的三个内角都相等;结论:这
x-5 3-x
=
个三角形是等边三角形. (3)条件: ;结论:x=4. (4)条件:有两个锐角;结论:这两个锐角的和是钝
2 3
角. (5)条件:x2>0;结论:x>0. (6)条件:两个三角形的两边及其中一组等边的对角相等;结论:这两个三角形全
21 2 2
等. (1)(2)是真命题,(3)(4)(5)(6)都是假命题. 举反例:(3)把x= 代入原方程,左边=- ,右边=- ,左边=右边,
5 5 5
所以x≠4.(4)两个锐角分别为30°和40°,其和为70°,是锐角.(5)当x=-2时,x2=4>0,而-2<0.(6)如图所示,在ΔABC
和ΔABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但ΔABC与ΔABD不全等.习题7.2(教材第167页)
2.解:(1)是. (2)是. (3)是. (4)不是. (5)是. (6)是. (7)不是. (8)是. (9)不是.
(10)是.
3.解:(1)条件:两个三角形的两边及其夹角分别相等;结论:这两个三角形全等. (2)条件:一个三角形中有两个
角相等;结论:这个三角形是等腰三角形. (3)条件:两个角分别是一个直角三角形的两个锐角;结论:这两个角
互余. (4)条件:两个角是两条平行线被第三条直线所截得到的同位角;结论:这两个角相等.
“命题”教学的重点是让学生分清命题的条件和结论,通过大量的例子让学生逐步熟悉命题的表达方
式.教学中应注意培养学生通过举反例判断假命题的能力.另外应注重培养学生熟悉知识间的联系与应用,培
养学生综合运用所学知识解决问题的能力.
第 课时
1.理解公理、证明、定理的概念.
2.掌握公理、证明、定理的联系与区别.
1.通过对公理的认识,明确证明需要公理和定理.
2.经历实际情境,初步体会公理化的思想和方法.
1.通过从具体例子中提炼数学概念,培养学生思维的严密性和逻辑性.
2.结合实例让学生意识到证明的必要性,培养学生做到有理有据,有条理地表达自己的想法的良好意识,
培养学生的语言表达能力.
【重点】 理解公理、证明和定理的概念.
【难点】 准确找出命题的条件和结论,公理与定理的区别,写出步步有理有据的证明过程.
【教师准备】 教材第168页情景图和第169页例题的投影图片.
【学生准备】 复习命题等相关概念.导入一:
举一个反例就可以说明一个命题是假命题,那么如何证实一个命题是真命题呢?
要说明一个命题是正确的,无论验证多少个特例,也无法保证命题的正确性.如何验证命题的正确性,其实
在数学发展史上,数学家们也遇到过类似的问题.今天我们就来共同学习.
(板书课题)
[处理方式] 此处教师讲,学生听,在听故事的过程中抓住学生的质疑与好奇,引出新课内容,揭示课题.
[设计意图] 通过引人入胜的数学故事,方便与学生活动交流,拉近与学生之间的距离.同时结合故事内
容调动学生学习的兴趣,激发学生学习的热情,吊足学生胃口,引入新课,揭示课题.
导入二:
师:(出示投影)王老师、李老师、范老师三名教师分别来自我市的薛城、峄城、市中三个地方,在学校分
别教语文、数学和英语,已知:(1)王老师不是薛城人,李老师不是峄城人;(2)薛城人不教英语,峄城人教语文;(3)
李老师不教数学.
师:同学们,这三位老师分别是什么地方的教师?分别教什么课程?
生1:李老师不是峄城人,所以李老师可能是市中人或薛城人;李老师不教数学,所以李老师可能教语文或
英语;因为峄城人教语文,所以李老师只能教英语;而薛城人不教英语,所以李老师是市中人.
生2:(补充)因为王老师不是薛城人,所以王老师可能是市中人或峄城人;李老师已经判断是市中人了,所
以王老师只能是峄城人,范老师就是薛城人了.
生3:(接着说)王老师是峄城人,所以王老师教语文,而范老师教的课程是数学.
师:三位同学推理非常合理,我们为他们鼓掌.(学生鼓掌)解决这样的逻辑推理题目的关键是:根据条件,进
行依次判断,进而得出正确结论.那么,如何证实一个命题是真命题呢?我们今天继续来探究.
(板书课题)
[设计意图] 加深学生对逻辑推理的理解,可激发学生学习本课时的兴趣,从而引出本课时的问题.
[过渡语] 怎样判断一个命题是真命题还是假命题?你判断的依据是什么?
一、公理、证明、定理的有关概念
思路一
(多媒体出示)公理、证明、定理的有关概念.
问题1
【课件1】 公理的概念是什么?证明、定理的概念是什么?完成下列填空:
(1) 叫做公理.除了公理外,其他命题的真假都需要通过 的方法进行判断.
(2) 的过程称为证明.经过证明的 称为定理.每个定理都只能用 、 和
已经证明为 的命题来证明.
问题2【课件2】 本套教科书选用的公理有哪些?
本套教科书选用九条基本事实(公理)作为证明的出发点和依据,我们已经认识了其中的八条:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8) .
思路二
师: (投影出示)公元前3世纪,人们已经积累了大量的数学知识,在此基础上,古希腊数学家欧几里得编写
了一本书,书名叫《原本》,为了说明每一结论的正确性,他在编写这本书时进行了大胆创造:挑选了一部分数
学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据,其中的数学名词称为原名,公认的真命题
称为公理.除了公理外,其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.演绎推理的过程称为证明.经过
证明的真命题称为定理,而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面.《原本》
问世之前,世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排,因此,《原本》是一部具有划时代意义的著作.
欧几里得
生:老师,我知道了,除公理、定义外,其他的真命题必须通过证明才能证实.
师:(投影出示)我们这套教材中已经认识了有如下命题作为基本事实:
1.两点确定一条直线.
2.两点之间线段最短.
3.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
8.三边分别相等的两个三角形全等.
[设计意图] 让学生明确有哪些公理,给学生留出一定的思维空间,让他们思考如何证实真命题的问题,
在此基础上,引出数学家欧几里得《原本》的编写思路.
另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它.
等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理,在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代
替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”.
问题3
【课件3】 还有哪些有关性质可以作为证明的依据?
[处理方式] (1)让学生自学3分钟(要求根据多媒体出示的问题逐一回答),并独立思考.
(2)对于未完成的问题,小组内交流自己的想法并完善,教师巡视,检查完成情况.
(3)完成多媒体出示的内容,借助多媒体展示正确答案,学生完成后及时点评,让学生对出现的问题进行矫
正.(教师可以根据学生回答问题的情况给予适时点拨)二、公理、定理、定义及它们之间的关系
(多媒体出示)
问题1
【课件1】 公理的来源是什么?
问题2
【课件2】 定理是怎么得到的?证明定理的依据是什么?
问题3
【课件3】 最初的定理是怎么得到的?
问题4
【课件4】 你能否通过图表把这个关系画出来?
[处理方式] 首先学生自主思考,挨个回答上面的问题,然后学生交流合作试画图表,此时教师给予必要
的指导.巡视同时注意看有没有同学能够画出较为合理的图表,有的话就给予全班展示.最后再多媒体展示,出
示答案.
[设计意图] 通过自主学习、合作交流、优秀图表展示等环节,既可以锻炼学生的自主学习能力,又发展
了学生的合作交流能力、有条理思考的能力和语言表达能力.
三、定理的证明
[过渡语] 从这些基本事实出发,我们就可以证明已经探索过的结论了,我们已经知道:同角的补角相等.
怎么利用你刚才整理的公理进行证明呢?
问题1
【课件1】 你能书写证明下面这个定理的规范步骤吗?(多媒体出示)
证明:同角的补角相等.
已知:∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°.
求证:∠2=∠3.
证明:∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°(已知),
∴∠2=180°-∠1,∠3=180°-∠1(等式的性质),
∴∠2=∠3(等量代换).
注意:符号“∵”读作“因为”,“∴”读作“所以”.
[处理方式] 先让学生独立思考,然后学生试着写出证明过程,最后老师在黑板上板书.说明符号“∵”读
作“因为”,“∴”读作“所以”.强调“刚开始学习证明,最好在每一步的后面注明依据”.
[设计意图] 证明已经探索过的结论,目的是引导学生了解证明要有理有据,规范证明的步骤,发展推理
能力;培养学生的合作探究意识.
巩固训练1:证明等角的补角相等.
[处理方式] 教师先让学生独立完成,并请学生板演,其他学生在练习本上完成.做完后小组之间开展互
评.教师巡视,适时点拨.学生完成后及时点评,借助多媒体展示正确答案,让学生对出现的问题进行矫正.(多媒
体出示下面答案)
参考答案:已知:∠1=∠2,∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°.
求证:∠3=∠4.
证明:∵∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°(已知),
∴∠3=180°-∠1,∠4=180°-∠2(等式的性质).又∠1=∠2(已知),∴∠3=∠4(等量代换).
[设计意图] 在解决这个问题的过程中,帮助学生进一步理解和巩固证明的含义,引导学生利用公理、定
义、已经证明的真命题解决实际问题,训练思维的严谨性、逻辑性,强化证明步骤的规范性.
为了使我们的解答更为规范和有条理,请同学们根据此题总结一下证明一个命题的一般步骤.
证明一个命题的一般步骤:
1.已知:写出命题的条件(必要时结合图形).
2.求证:写出命题的结论.
3.证明:写出演绎推理的过程.
[处理方式] 在小组交流的基础上,在教师的引导下,首先归纳总结出证明一个命题的一般步骤,然后让
学生对照步骤,完善各自的解题过程.
[设计意图] 出示“证明一个命题的一般步骤”,使学生进一步验证并熟悉“证明一个命题的一般步
骤”,然后通过自己观察、思考、争辩,发现规律、归纳总结,加深对“证明一个命题的一般步骤”的认识与
理解,培养学生的分析和归纳概括的能力.
证明:对顶角相等.已知:如图所示,直线AB与直线CD相交于点O,∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证:∠AOC=∠BOD.
证明:∵∠AOC+∠AOD=180°,∠BOD+∠AOD=180°(平角的定义),
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义),
∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等).
定理:对顶角相等.
[处理方式] 先找一名学生到黑板板演做题步骤,其余同学在练习本上完成,此时教师在下边巡视、指导.
然后师生一起规范做题步骤,并在课件上展示例题的规范步骤.
[设计意图] 教师先引导学生回想命题的一般证明步骤,再由教师示范,写出例题的过程,理由依据要强
调.再找一个同学,到黑板上板演,其余同学在练习本上完成,教师巡视,适时点拨,再次向学生强调证明步骤
“三步走”:已知、求证和证明,并强调证明的“三依据”:公理、定义和已经证明的真命题.
你还能证明下面定理吗?
定理:同角(等角)的余角相等.
定理:三角形的任意两边之和大于第三边.
[知识拓展] 1.对于公理:①公理是不需要推理证实的真命题,②公理可以作为判断其他命题真假的根据.
2.对于定理:①定理都是真命题,但真命题不一定都是定理;②定理可以作为推证其他命题的依据.
3.证明的一般步骤:①根据题意,画出图形;②根据条件和结论,结合图形写出已知和求证;③经过分析,找
出由已知推出求证的途径,写出证明过程.
4.假命题的判断:判断一个命题是假命题,只要举出反例来说明即可.
—定义、公理
|
—定理
证明的依据—
—运算和运算法则
—反映大小关系的有关性质1. 称为公理; 真命题称为定理; 称为证明.
答案:公认的真命题 经过证明的 演绎推理的过程
2.写出两个公理: ; .
答案:两点确定一条直线 两点之间线段最短(答案不唯一)
3.“平行于同一条直线的两条直线平行”可以写成:如果 ,那么 .
答案:两条直线平行于同一条直线 这两条直线平行
4.判断“对应角相等的三角形是全等三角形”这一命题的真假性,并给出证明.
解析:先判断出这一命题的真假,再举例证明即可.
解:对应角相等的三角形是全等三角形,是假命题.
举例证明:如图所示,DE∥BC,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A,但ΔADE与ΔABC不全等.
第2课时
1.公理、证明和定理
2.证明的基本依据
3.定理的证明
一、教材作业
【必做题】
教材第170页随堂练习.
【选做题】
教材第171页习题7.3第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列叙述错误的是 ( )
A.所有的命题都有条件和结论
B.所有的命题都是定理
C.所有的定理都是命题
D.所有的公理都是真命题
2.下列命题为假命题的是 ( )
A.三角形三个内角的和等于180°
B.三角形两边之和大于第三边
C.三角形两边的平方和等于第三边的平方
D.三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半3.已知命题:等底等高的两个三角形面积相等,则这个命题的结论是 ( )
A.两个三角形
B.两个三角形的面积
C.两个三角形的面积相等
D.两个三角形等底等高
4.命题“对顶角相等”的“条件”是 .
【能力提升】
5.如图所示,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.求证ΔABC≌ΔAED.
【思维拓展】
6.如图所示,已知∠AOC与∠BOD都是直角,∠BOC=65°.
(1)求∠AOD的度数;
(2)求证∠AOB=∠DOC;
(3)若不知道∠BOC的具体度数,其他条件不变,(2)的关系仍成立吗?若成立,说明理由.
【答案与解析】
1.B
2.C(解析:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,所以C选项为假命题.)
3.C
4.两个角是对顶角(解析:改写成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”就容易找到命题的条件和结论
了.)
5.证明:因为∠1=∠2,所以∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,即∠BAC=∠EAD,在ΔABC和ΔAED中,
{
∠C=∠D,
∠BAC=∠EAD,所以ΔABC≌ΔAED(AAS).
AB=AE,
6.解析:(1)先求出∠DOC,继而得出∠AOD.(2)分别求出∠AOB和∠DOC的度数,可得∠AOB=∠DOC.(3)(2)的关系
依然成立,根据同角的余角相等可得.
(1)解:因为∠DOC=∠DOB-∠BOC=90°-65°=25°,所以∠AOD=∠AOC+∠DOC=90°+25°=115°. (2)证明:因为
∠DOC=25°,∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-65°=25°,所以∠AOB=∠DOC. (3)解:成立.因为∠AOB=∠AOC-
∠BOC=90°-∠BOC,∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-∠BOC,所以∠AOB=∠COD.本课时是学习“证明”的重要起始课之一.因此,指导学生用什么去证明、怎样去证明就成了本课时的
教学重点.本课时在教学的过程中,以教师的指导为辅,以学生的演练为主,较为详细地让学生演练了证明的过
程,突出了本课时教学活动的中心.
在例题教学的证明过程中,要给学生更多的思考时间,帮助学生明确要证明什么,利用什么去证明,每一步
的证明依据是什么.在这一点上,本课时对学生的开放度不足.
本课时教学看似简单,其实对学生是有较大难度的,因为这是一种全新的数学思维方式,所以有必要再增
加一道或两道的例题,对学生理解证明的过程加强示范作用.
随堂练习(教材第170页)
已知:如图所示的ΔABC.
求证:AB+AC>BC,AC+BC>AB,AB+BC>AC.
证明:因为BC是以点B,点C为端点的线段,所以AB+AC>BC(两点之间线段最短),同理,
AC+BC>AB,AB+BC>AC.
习题7.3(教材第171页)
1.已知:∠α,∠β都是∠θ的补角.求证:∠α=∠β.证明:因为∠α与∠θ互补,所以∠α+∠θ=180°,因为∠β与∠θ互补,所以
∠β+∠θ=180°.所以∠α=∠β.(等角的补角相等的证明略)
2.已知:∠α,∠β都是∠θ的余角.求证:∠α=∠β.证明:因为∠α是∠θ的余角,所以∠α+∠θ=90°.因为∠β是∠θ的余角,
所以∠β+∠θ=90°,所以∠α=∠β.(等角的余角相等的证明略).
根据本课时的教学目标、教材内容以及学生的认知特点,通过学生的阅读与预习,意在帮助学生自己明
确公理、定理、证明的概念,了解证明的书写步骤和形式,并通过讨论来深化对知识的理解.
华英中学开田径运动会,其中一个项目是由5名运动员进行100米短跑比赛,赛后5名观众介绍
了这场比赛的结果:
甲说:A是第二名,B是第三名;
乙说:C是第三名,D是第五名;
丙说:D是第一名,C是第二名;
丁说:A是第二名,E是第四名;
戊说:B是第一名,E是第四名.
他们最后都声明:“我的话只有一半靠得住!”则这5名运动员的名次究竟各是多少?〔解析〕 本题采用列表法推理比较直观易懂,将5名观众介绍的结果列成表,用打“”和打“✕”来
表示他们说真话和假话.可从甲、乙、丙、丁、戊中任一人的介绍入手讨论,本题是从甲的介绍入手讨论的.
解:我们将5位观众介绍的结果列成表,用打“”和打“✕”来表示他们说真话和说假话.由于他们每
人的介绍一半真一半假.故表中每行都应打上一个“”和一个“✕”,从甲的介绍入手讨论,有两种情况:(分
别见表1,表2)
①若甲认为A为第二名是真的,则B为第三名是假的,这样可依次推出:丙认为D为第一名是真的,丁
认为E是第四名是假的,戊认为B是第一名是真的(见表1).这样B,D都是第一名.从而产生了矛盾,这种情况
应舍去.
②若甲认为A为第二名是假的,则B为第三名是真的,这样可依次推出:乙认为D为第5名是真的,丙认为
C为第二名是真的,丁认为E为第四名是真的,戊认为B为第一名是假的(见表2).所以A,B,C,D,E的名次分别
为1,3,2,5,4.
3 平行线的判定
会根据基本事实“同位角相等,两直线平行”证明平行线的两个判定定理,并能简单应用这些结论.
经历证明的基本步骤,熟悉正确的书写格式,感受几何中推理的严谨性,发展初步的演绎推理能力.
培养简单分析推理的能力,关注证明意识,积极地参与合作,体会几何学的应用价值.【重点】 理解和掌握由“同位角相等,两直线平行”来证明“同旁内角互补,两直线平行”及“内错
角相等,两直线平行”,并进行简单应用.
【难点】 对公理和定理的理解和应用.
【教师准备】 预想学生学习过程中可能出现的困难.
【学生准备】 复习公理、证明、定理等概念的含义.
导入一:
师:同学们,通过上一节课的学习,你能说一说我们如何判断一个命题是真命题吗?
生:用演绎推理的方法进行判断,也就是证明.
师:如何进行证明?与同伴交流.
生:用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.
师:前面我们探索过两条直线平行的哪些判别条件?与同伴交流一下.
生1:同位角相等,两直线平行.
生2:内错角相等,两直线平行.
生3:同旁内角互补,两直线平行.
师:其中哪一个条件可以作为基本事实,也就是作为证明的出发点和依据?
生:同位角相等,两直线平行.
师:这一基本事实的条件和结论分别是什么?
生:条件是同位角相等,结论是两直线平行.
师:你能用数学符号表示这一基本事实吗?(多媒体出示图)
生:∵∠1=∠2,∴a∥b.
师:如何根据基本事实“同位角相等,两直线平行”来证明“内错角相等,两直线平行”“同旁内角互补,
两直线平行”,以及如何应用这些结论呢?本节课让我们共同探讨“平行线的判定”.(教师板书:3 平行线的
判定)
[设计意图] 复习引入,设置悬念把学生的心带回课堂,激发学生的学习热情,顺利引入新课.问题引入为
本节课的学习奠定基础.
导入二:
1.以前我们学过平行线的画法,用三角板和直尺画出.(学生动手完成)【问题】 (1)上面画图的依据是什么?
(2)判断两直线平行还有哪些方法?画出图形,并用符号语言表示几种判断方法.
【课件展示】
公理:同位角相等,两直线平行.
数学符号表示:
∵∠1=∠2,
∴a∥b.
[处理方式] 学生先动手画图,再回答,同时书写符号语言,体会文字、图形、符号三者之间的紧密关系,
对比课件的书写纠正,教师强调书写格式的规范性.
[设计意图] 通过动手操作画图,符号的书写,回顾学生比较熟悉的平行线的判定方法,既复习了证明的
相关知识,又引起了学生对两直线平行的判定的思考.
2.上节课我们学到了要证明一个命题是真命题,除公理、定义外,其他真命题都需要通过推理的方法证
实.下面我们就用“同位角相等,两直线平行”这个基本事实,来证明两直线平行的两个判定定理.(板书课题)
一、证明“内错角相等,两直线平行”
思路一
(多媒体出示)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简述为:内错角相等,两
直线平行.
师:同学们,请根据题意画出符合题意的图形.
[处理方式] 学生理解题意,并画出符合题意的图形.教师让一名学生在黑板上画图,如图所示,同时借助
实物投影展示其他学生的画图情况.
师:这个命题的条件与结论分别是什么?
生:条件是内错角相等,结论是两直线平行.
师:如何证明这一命题是真命题?与同伴交流.
生:利用基本事实“同位角相等,两直线平行”来证明.
师:要想证明一个命题是真命题,我们首先应该结合图形、命题的条件和结论写出已知与求证.
【多媒体展示】已知:如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2.
求证:a∥b.
[处理方式] 一名学生板演证明过程,其他学生在练习本上完成.教师巡视指导学习有困难的学生.学生
完成后,借助实物投影展示学生的证明过程,及时给予评价,同时强调解题书写格式.
证明过程展示:
证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠3(对顶角相等),
∴∠2=∠3(等量代换).
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
师:由以上证明你能得到什么结论?
生:“内错角相等,两直线平行”是真命题.
师:既然是真命题,我们就称它为定理,因此“内错角相等,两直线平行”就可以作为证明其他命题是真命
题的依据.你能用数学符号来表示这个定理吗?
生:若∠1,∠2是直线a,b被直线c所截出的内错角,且∠1=∠2,则a∥b.
思路二
活动内容1:证明的准备.
1.根据文字画出图形;
2.这个命题的条件是 ,结论是 ;
3.根据图形用符号语言表示出这个命题.
[处理方式] 学生对于命题中条件与结论能准确回答,然后尝试画图,小组内互相交流纠正,教师巡视发
现,在用符号写出条件和结论时,大部分学生会写出∠1=∠2,但却漏掉说明∠1,∠2是直线a,b被直线c所截出的
内错角,结合七年级学习的内错角、同位角、同旁内角的定义进行复习说明,指出把文字转换成符号时,要根
据图形进行完整的描述,引导学生正确地用符号书写条件和结论,过渡到“已知”和“求证”的书写格式.
【课件展示】 已知:如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c所截出的内错角,且∠1=∠2.
求证:a∥b.
[设计意图] 通过学生自己动手画图,符号的书写、纠错,结合教师的引导,体会文字、图形、符号的转
换方法以及把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言的重要性.
活动内容2:证明的实践:你能写出证明过程吗?
[处理方式] 留出足够的时间让学生思考交流,并尝试书写证明过程,教师巡视检查,找两名学生板演,暴
露学生中出现的普遍问题:(1)不写“∴”“∵”号;(2)不注明理由;(3)理由不正确.下面的学生帮助纠正之后,对
比教材上的证明过程进行纠正,教师强调书写的规范格式.【课件展示】 证明:∵∠1=∠2(已知),∠3=∠1(对顶角相等),
∴∠3=∠2(等量代换),
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
[设计意图] 通过学生的独立书写,暴露学生普遍存在的问题,再让学生帮助纠正,能引起所有学生的注
意,然后与教材上的证明过程进行对比纠错,教师加以强调,强化学生证明过程书写的规范性.
二、证明“同旁内角互补,两直线平行”
师:同学们,你能根据证明“内错角相等,两直线平行”是真命题的过程来证明(多媒体出示)“两条直线
被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行”(简述为:同旁内角互补,两直线平行)是真命题
吗?试一试,并与同伴交流.
思路一
探究提示:(多媒体出示)
(1)画出符合题意的图形.
(2)写出已知、求证.
(3)写出证明过程.
[处理方式] 学生根据提示完成命题的证明,一名同学板演,其他学生在练习本上完成.教师巡视,适时引
导、点拨学习有困难的学生.学生板演完成后,教师组织学生进行评价,及时给予表扬及鼓励.同时借助实物投
影展示学生的不同证明过程.
【板演过程展示】
已知:如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角,且∠1与∠2互补.
求证:a∥b.
证明:∵∠1与∠2互补(已知),
∴∠1+∠2=180°(互补的定义),
∴∠1=180°-∠2(等式的性质).
∵∠3+∠2=180°(平角的定义),
∴∠3=180°-∠2(等式的性质),
∴∠1=∠3(等量代换),
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
师:哪位同学还有不同的证法?
生:我是用定理“内错角相等,两直线平行”来证明“同旁内角互补,两直线平行”是真命题的.
师:请展示你的证明过程.(实物投影)
证明:∵∠1与∠2互补(已知),
∴∠1+∠2=180°(互补的定义),
∴∠1=180°-∠2(等式的性质).
∵∠3+∠2=180°(平角的定义),
∴∠3=180°-∠2(等式的性质),
∴∠1=∠3(等量代换),
∴a∥b(内错角相等,两直线平行).
师:你同意他的做法吗?
生:(齐答)同意.
师:这位同学表现很棒!通过以上两位同学的证明过程我们可以看出“同旁内角互补,两直线平行”也是
真命题,因此也可以作为证明其他命题是真命题的依据.请用数学符号来表示这个定理.
生:∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角,且∠1+∠2=180°,则a∥b.
[设计意图] 让学生经历利用基本事实来证明命题是真命题的过程,使学生体会数学证明书写的规范性,
并能够结合图形正确地用数学符号表示证明的过程.在证明过程中,发展初步的演绎推理能力.
思路二
活动内容1:证明的准备.
(1)根据文字画出图形;
(2)这个命题的条件是 ,结论是 ;
(3)根据图形用符号语言表示出这个命题.
[处理方式] 学生回答命题的条件与结论,然后尝试独立画图,之后小组内互相交流纠正,教师帮助检查
纠正,再对比课件展示,规范从“已知”和“求证”到“证明”的书写格式,强调书写的完整性.
【课件展示】
已知:如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c所截出的同旁内角,且∠1与∠2互补.
求证:a∥b.
证明:∵∠1与∠2互补(已知),
∴∠1+∠2=180°(互补的定义),
∴∠1=180°-∠2(等式的性质).
∵∠3+∠2=180°(平角的定义),
∴∠3=180°-∠2(等式的性质),
∴∠1=∠3(等量代换),
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
活动内容2:证明的实践:尝试书写证明过程.[处理方式] 尝试书写证明过程,然后相互交流各自的做法,教师巡视检查,适时点拨,帮助后进学生完成,
学生完成后及时点评,再把学生中典型的问题收集投影展示:(1)漏掉“∵”“∴”号;(2)不注明理由;(3)理由不
正确;(4)步骤不完整,漏掉相关步骤.教师用红笔在投影处纠正,强调书写格式的规范性,学生对比教材上的证
明过程进行对比纠正.教师再把出现的不同的证明方法:(1)利用“同位角”证明;(2)利用“内错角”证明,进行
投影展示,对学生的不同表现给予点评和肯定.
【课件展示】
已知:如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c所截出的同旁内角,且∠1与∠2互补.
求证:a∥b.
证明:∵∠1与∠2互补(已知),
∴∠1+∠2=180°(互补的定义),
∴∠1=180°-∠2(等式的性质).
∵∠3+∠2=180°(平角的定义),
∴∠3=180°-∠2(等式的性质).
∴∠1=∠3(等量代换),
∴a∥b(内错角相等,两直线平行).
[设计意图] 通过学生对平行线判定的证明,使学生逐步掌握证明的一般步骤,并能规范书写推理步骤和
格式.证明过程展示了定理证明的思考过程和思路,在解决问题的过程中,教师参与到学生中,能及时发现问题、
解决问题,同时能对后进生进行辅导,有利于分层教学;放手让学生去思考、独立完成,并且展示多种方法,有利
于培养学生学习的主动性和发散思维,充分体现了学生是学习主体的教学思路.
[知识拓展] 应用该定理判定两直线平行时;其关键是识别哪两个角是同旁内角,因此一定要抓住同旁内
角“在两条直线的内部且在截线的同旁”的特点.
三、总结证明平行线的方法和证明命题的步骤
1.通过学习,我们知道了证明平行线的多种方法,你来总结一下.
(1)平行线的定义(一般很少用).
(2)同位角相等,两直线平行.
(3)同旁内角互补,两直线平行.
(4)内错角相等,两直线平行.
(5)同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线相互平行.
(6)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行.
[处理方式] 学生稍微整理思考后,老师指名回答,其余学生补充,教师利用课件进行归纳.
2.证明命题的一般步骤:
(1)根据题意画出图形(若已给出图形,则可省略);
(2)根据题设和结论,结合图形,写出已知和求证;
(3)经过分析,找出已知推出求证的途径,写出证明过程;
(4)检查证明过程是否正确完善.
[设计意图] 让学生对所学的知识进行归纳整理,形成系统,提升其思维层次,使数学方法系统化,并培养
学生及时总结、归纳知识的好习惯.【小试身手】
1.既然我们已经学习了平行线的证明方法,那我们一定会有更多的得到平行线的方法,那就利用你手上
现有的三角板和直尺等工具,看谁能快速作出平行线.
[处理方式] 学生独立思考后,小组内展示交流,然后小组代表到讲台前展示不同的方法,同时利用平行
线的不同的判定方法解释作图的道理.
[设计意图] 在这里尽可能地关注不同学生的解答方法,更好地展示学生的个性、多样性和创造性,给学
生以鼓励,形成开放性的学习氛围,同时学生在互助学习中,彼此间互相帮助、互相启发,培养互相合作的学习
习惯.
2.如图所示,下列条件中能判定直线l∥l 的是 ( )
1 2
A.∠1=∠2
B.∠1=∠5
C.∠1+∠3=180°
D.∠3=∠5
〔解析〕 根据同旁内角互补,两直线平行即可判断.故选C.
[解题策略] 平行线的一些判定方法:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角
互补,两直线平行.
1.两条直线被第三条直线所截,若同位角相等,则这两条直线 ;若内错角相等,则这两条直线
.
答案:平行 平行2.如图所示,已知∠1=70°,∠5=70°,在括号内注上适当理由.
(1)∵∠1=70°,∠5=70°,
∴∠1=∠5( ).
∵∠5=∠2( ),
∴∠1=∠2( ).
∴AB∥CD( ).
(2)∵∠1=70°,∠5=70°,
∴∠1=∠5( ).
∵∠1=∠3,∠5=∠2( ),
∴∠3=∠2( ),
∴AB∥CD( ).
答案:(1)等量代换 对顶角相等 等量代换 同位角相等,两直线平行 (2)等量代换 对顶角相等 等
量代换 内错角相等,两直线平行
3.如图所示,不能使AD∥BC的是 ( )
A.∠1=∠D
B.∠A+∠B=180°
C.∠B=∠1
D.∠2+∠D=180°
解析:∠B=∠1,只能判定AB∥CD.故选C.
4.如图所示,若∠1=∠2,则给出下列结论:①∠3=∠4;②AB∥CD;③AD∥BC.下列说法正确的是( )
A.三个都正确
B.只有一个正确
C.三个都不正确
D.只有一个不正确
解析:由∠1=∠2,可得②正确.故选B.3 平行线的判定
同位角相等
}
内错角相等 ⇒两直线平行
同旁内角互补
一、教材作业
【必做题】
教材第173页随堂练习.
【选做题】
教材第173页习题7.4第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,点E在AC的延长线上,下列条件中能判断AB∥CD的是 ( )
A.∠3=∠4 B.∠D=∠DCE
C.∠1=∠2 D.∠D+∠ACD=180°
2.如图所示,已知∠1=70°,要使AB∥CD,则需具备另一个条件 ( )
A.∠2=70° B.∠2=100°
C.∠2=110°D.∠3=110°
3.如图所示,用直尺和三角尺作直线AB,CD,从图中可知直线AB与直线CD的位置关系为 .4.如图所示.
(1)如果∠B=∠1,那么根据 ,可得AD∥BC.
(2)如果∠D=∠1,那么根据 ,可得AB∥CD.
(3)如果∠D+∠C=180°,那么根据 ,可得AD∥BC.
5.如图所示,已知直线CE,∠1=130°,∠A=50°,求证AB∥CD.
证明:∵CE是一条直线(已知),
∴∠1+∠2=180°( ).
∵∠1=130°( ),
∴∠2=50°( ).
又∵∠A=50°( ),
∴∠2=∠A( ).
∴AB∥CD( ).
【能力提升】
6.如图所示的是由五个同样的三角形组成的图案,三角形的三个角分别为36°,72°,72°,则图中共有 对
平行线.
7.如图所示的是平面内一个弯形管道ABCD的拐角,∠ABC=120°,∠BCD=60°,这时说管道AB∥CD对吗?为什
么?
【拓展探究】
8.如图所示,AC平分∠BAD,∠1=∠2.求证DC∥AB.⊥
9.如图所示,∠1和∠D互余,CF DF于F,则AB与CD平行吗?说明理由.
【答案与解析】
1.C
2.C
3.平行(解析:根据同位角相等,两直线平行判断.)
4.(1)同位角相等,两直线平行 (2)内错角相等,两直线平行 (3)同旁内角互补,两直线平行
5.平角的定义 已知 等式的性质 已知 等量代换 内错角相等,两直线平行
6.5(解析:如图所示,
∵∠BAG=∠AHE=72°,∴AB∥EI;∵∠BFC=∠FCD=72°,∴BG∥CD;∵∠CBF=∠BGA=72°,∴BC∥AH;∵∠EDI=∠CKD=7
2°,∴DE∥CF;∵∠AEH=∠EID=72°,∴AE∥DK.故共有5对平行线.)
7.解:对.因为同旁内角互补,两直线平行.
8.证明:∵AC平分∠BAD(已知),∴∠1=∠3(角平分线的定义).又∵∠1=∠2(已知),∴∠2=∠3(等量代换),∴DC∥AB(内
错角相等,两直线平行).
⊥
9.解:AB∥CD.理由如下:∵CF DF,∴∠CFD=90°.∵∠1+∠CFD+∠2=180°,∴∠1+∠2=90°,∵∠1与∠D互余,
∴∠1+∠D=90°,∴∠2=∠D,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
本课时是学生刚接触证明的起始课,虽然学生学习了公理、证明、定理等概念,但要从过去的以计算为
主的思维转向证明的思维,还是存在一定难度的.因此本课时采取的不是以学生探究活动为主,而是以老师的
引导和提示为主,通过引导、提示逐渐让学生领会证明的过程和证明的依据,这一点是本课时的最大成功之
处.
本课时学习了证明平行线的两个判定定理,对于在证明的过程中,定理适合使用的情形没有给出具体的
说明,对于定理之间的内在联系也说明不够,没有有效地帮助学生建立起判定定理整合在一起的知识框架.受教材设计意图的局限,本课时并没有给出基本事实的证明过程,这里应该先让学生接受这个基本事实,
理解这个基本事实,把教学的重点放在定理的应用上,帮助学生体会已经证明的定理是证明的重要依据.
随堂练习(教材第173页)
解:这个四边形的对边互相平行.证明如下:如图所示,
∵∠α=109°28',∠β=70°32',∴∠α+∠β=180°,∴AB∥CD,AD∥BC,即四边形ABCD的两组对边分别平行.
习题7.4(教材第173页)
1.提示:(1)(3)(4)正确,(2)不正确.
2.证明:∵CD平分∠ACB,∴∠ACB=2∠DCB.∵∠DCB=40°,∴∠ACB=80°.∵∠AED=80°,∴∠AED=∠ACB,∴DE∥BC.
3.提示:方法多样,利用“同位角相等,两直线平行”“内错角相等,两直线平行”“同旁内角互补,两直线平
行”都可以证明.
4.提示:同位角相等,两直线平行(或同旁内角互补,两直线平行).
如图所示,若∠5=∠6,能否确定l∥l?为什么?能否确定l∥l?为什么?
1 2 3 4
〔解析〕 利用平行线的判定定理的关键是分清同位角是哪两条直线被哪一条直线所截构成的.
解:能确定l∥l.
1 2
理由:同位角相等,两直线平行.
不能确定l∥l,
3 4
因为∠5和∠6不是l,l 被第三条直线所截构成的相关角.
3 4
如图所示,AE,CE分别平分∠BAC和∠ACD,∠1和∠2互余,求证AB∥CD.1 1
〔解析〕 欲证AB∥CD,必须证明∠CAB+∠ACD=180°,由题意可知∠1= ∠CAB,∠2= ∠ACD,只需
2 2
证明∠1+∠2=90°即可,这根据已知条件可以得出,反之即为证明过程.
证明:因为AE,CE分别平分∠BAC和∠ACD(已知),
1 1
所以∠1= ∠CAB,∠2= ∠ACD(角平分线的定义).
2 2
又因为∠1和∠2互余,
所以∠1+∠2=90°(互余的定义).
1 1
所以 ∠CAB+ ∠ACD=90°(等量代换),
2 2
所以∠CAB+∠ACD=180°(等式的性质).
所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
[方法归纳] 当已知条件中出现两角互余时,一般我们应考虑用“同旁内角互补,两直线平行”来证明.
4 平行线的性质
会根据“两直线平行,同位角相等”证明“两直线平行,内错角相等”和“两直线平行,同旁内角互补”,
并能简单地应用这些结论.
了解性质定理与判定定理的联系,初步感受互逆的思维过程.
进一步理解证明的步骤、格式和方法,发展演绎
推理能力.
【重点】 理解和简单应用平行线的性质定理.
【难点】 运用公理、定理进行简单的推理,以及用几何语言进行表述.
【教师准备】 问题探索和例题的教学用图.
【学生准备】 复习平行线的判定定理.导入一:
师:同学们,上课前,老师在纸上画了一个∠A,准备用量角器测量它的度数时,因不小心将纸片撕破,只剩下
如图所示的一部分,如果不能同时反向延长CD,EF的话,你能否利用所学的数学知识测出∠A的度数?(多媒体
展示)
(学生思考,互相交流解决方法)
生1:根据两直线平行,同位角相等的知识,可以过C点作FE的平行线,构造∠A的同位角,则可以测出∠A
的度数.
生2:根据两直线平行,内错角相等的知识,也可以过C点作FE的平行线,构造∠A的内错角.
师:同学们利用平行线的性质解决这个问题的想法太棒了!那么,你知道这些性质是如何证明的吗?这节
课就让我们来探究这个问题.
(板书课题:4 平行线的性质)
[设计意图] 通过趣味题导入,激发学生的探究知识的欲望,点燃学生思维的火花,使其进入最佳的学习
状态.
导入二:如图所示,工人在修一条高速公路时在前方遇到一座高山,为了降低施工难度,工程师决定绕过这座
山,如果第一个弯是左拐30°,那么第二个弯应朝什么方向,才能不改变原来的方向?
[处理方式] 先给学生2分钟的时间自己探究,得出结论后小组讨论,最后选代表发言.学生观察,小组讨
论,交流问题并发表见解,教师进一步引导学生分析,引导学生将这个问题如何转化成数学问题.在学生探究讨
论的过程中,少部分学生可能对题意理解不透彻,此时教师可以结合实际问题加以引导,引导性语言如下:(1)不
改变方向,在数学中的理解应是什么;(2)在这个问题中包含了什么问题;(3)如何将它转化为数学问题.
[设计意图] 通过实例,让学生从具体的实例中发现数学问题,进而寻求解决问题的方法,使学生懂得数
学来源于现实生活,服务于现实生活,同时也调动了学生的积极性,提高了学生的兴趣.
[过渡语] 上节课我们通过推理证得了平行线的判定定理,知道它们的条件是角的大小关系,其结论是两
直线平行.如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换,那么得到的命题是真命题吗?
一、两直线平行,同位角相等
思路一活动内容:画出直线a的平行线b,结合画图过程思考:画出的平行线被第三条直线c所截的同位角的关系
是怎样的?
[处理方式] 本节证明平行线的性质定理,将性质定理“两直线平行,同位角相等”的证明作为选学内容,
因此,第一部分以自学阅读的形式呈现,自学教材第175页内容(包括证明过程),学有余力的学生可以思考探
究:应用平行线的性质定理“两直线平行,同位角相等”可以得出什么?
[设计意图] 学生在自学的过程中,理解平行线的性质,并明确两直线平行的性质定理“两直线平行,同
位角相等”是推理论证后面两个性质定理的基础;“同位角相等”是在“两直线平行”的前提下才成立的,
是平行线特有的性质.要避免一提到同位角就以为其相等的错误.
思路二
师:我们先来证明定理:两直线平行,同位角相等.你能否发现定理的条件是什么?
生:两条平行直线被第三条直线所截.
师:结论是什么?
生:同位角相等.
师:证明命题,要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意,可以把这个文字证明题
转化为下列形式.
【课件展示】
已知:如图所示,直线a∥b,∠1和∠2是直线a,b被直线c所截出的同位角.
求证:∠1=∠2.
请同学们自主学习教材第175页“两直线平行,同位角相等”的证明过程.
(学生阅读思考,互相交流心得)
师:利用这个定理,你能证明哪些熟悉的结论?
思路三
【问题】
已知:如图所示,直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角.
求证:∠1=∠2.【思考】 (1)∠1和∠2在数量关系上有哪两种情况?
(2)过直线外一点有几条直线与这条直线平行?
[设计意图] 为接下来用反证法证明上述定理作准备.
证明:
假设∠1≠∠2,那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2,如图所示.
根据“同位角相等,两直线平行”,可知GH∥CD.
又因为AB∥CD,所以此时经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立,所以∠1=∠2.
【思考】 为什么不能按如下方法证明上述定理?
∵AB∥CD,
∴∠2=∠AMN.
又∵∠1=∠AMN,
∴∠1=∠2.
二、两直线平行,内错角相等;同旁内角互补
(多媒体出示)根据同位角相等可以判定两直线平行,反过来,如果两直线平行,同位角之间有什么关系呢?
内错角、同旁内角之间又有什么关系呢?
1.两条平行直线被第三条直线所截,同位角是相等的,那么内错角、同旁内角之间有什么关系呢?
∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两条直线平行,同位角相等).
∵∠1=∠3(对顶角相等),
∴∠2=∠3(等量代换).
师:由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢?
【学生活动】 同学们积极举手回答问题.教师根据学生叙述,给出板书:两条平行直线被第三条直线所
截,内错角相等.
2.下面请同学们自己推导同旁内角是互补的,并归纳总结出平行线的第三条性质.请一名同学到黑板上
板演,其他同学在练习本上完成.师生共同订正推导过程并写出第三条性质,形成正确板书.∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
∵∠1+∠4=180°(邻补角的定义),
∴∠2+∠4=180°(等量代换),
即两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补,简单说成“两直线平行,同旁内角互补”.
师:我们知道了平行线的性质,在今后我们经常要用它们去解决、论述一些问题,所需要知道的条件是两
条直线平行,才有同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,即它们的符号语言分别为:
∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
∵a∥b(已知),
∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等).
∵a∥b(已知),
∴∠2+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补).
(板书在三条性质的对应位置上)
[处理方式] 在完成“两直线平行,同位角相等”的证明后,要求学生自主证明“两直线平行,内错角相
等”“两直线平行,同旁内角互补”,然后将学生的证明过程整理出来,与教材中的进行对比,感受证明的过程
和规范格式.通过对平行线性质的探索,使学生对证明的步骤、格式有更进一步的认识,认识证明的必要性.引
导学生使用符号语言,充分调动学生的主动性和积极性,发展学生的符号感.
[设计意图] 在前面复习引入的基础上,通过学生的观察、分析、讨论,此时学生已能够进行推理,在这
里教师不必包办代替,而应充分调动学生的主动性和积极性,进而培养学生分析问题的能力,在学生有成就感
的同时也激励了学生的学习兴趣.
三、两类定理的比较
两条直线被第三条直线所截.
平行线的判定 平行线的性质
条件 结论 条件 结论
同位角相等 两直线平行 两直线平行 同位角相等
内错角相等 两直线平行 两直线平行 内错角相等
同旁内角互 同旁内角互
两直线平行 两直线平行
补 补
[处理方式] 引导学生分组探究,并明确平行线的性质定理和判定定理的条件和结论正好相反.性质
是由条件“平行”得到结论“角的关系”;判定是由条件“角的关系”得到结论“平行”.
[设计意图] 初步建立平行线的性质定理和判定定理之间的联系,初步感受互逆的思维过程.具体为:在
判定中,把角相等或互补作为判断两直线是否平行的前提,角相等或互补是已知,结论是两直线平行,则判定是
由“角相等或互补”推理论证“两直线平行”.在性质中,两直线平行是条件,结论是角相等或互补,性质是用
来说明两个角相等或互补的,即由“两直线平行”推理论证“角相等或互补”.
四、平行线的传递性
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.已知:直线a,b,c被直线d所截,且a∥b,c∥b.
求证:a∥c.
[处理方式] 学生自行尝试解答,小组合作探究后,对比不同的解法,并推荐一人回答问题,这样的氛围,激
发了学生强烈的学习兴趣.
[设计意图] 对学生中出现的不同解法给予肯定,培养学生的解题能力.
议一议:完成一个定理的证明,需要哪些环节?与同伴进行交流.
[处理方式] 引导学生回顾证明过程,梳理证明活动中的经验,小组尝试整理证明的步骤.
教师强调:(1)证明的一般步骤:①理解题意;②根据题意正确画出图形;③结合图形,写出“已知”和“求
证”;④分析题意,探索证明的思路;⑤依据寻求的思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;
⑥检查表达过程是否正确、完善.
(2)证明的思路:①可以从求证出发向已知追溯,也可以由已知向结论探索,还可以从已知和结论两个方向
同时出发,互相接近.②对于用文字叙述的命题的证明,要先分清命题的条件和结论,然后根据题意画出图形,
写出已知和求证,证明即可.
[设计意图] 使学生明确证明的步骤与思路,能更好地完成几何证明题.
[知识拓展] 该定理的主要作用是判断两个角相等,即由两条直线之间的“位置关系”转化为两角之间
的“数量关系”,能正确找到内错角是证明该定理的重点.
如图所示,AB∥CD,∠CDE=140°,则∠A的度数为 ( )
A.140° B.60°
C.50° D.40°
〔解析〕 ∵∠CDE=140°,∴∠ADC=180°-140°=40°,∵AB∥CD(已知),∴∠A=∠ADC=40°(两直线平行,内错角
相等).故选D.
1.平行线的性质定理有: , , .答案:两直线平行,同位角相等 两直线平行,内错角相等 两直线平行,同旁内角互补
2.如图所示,∠4=∠C,∠1=∠2,求证BD平分∠ABC.
证明:∵∠4=∠C,∴AD∥BC,∴∠2=∠3.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,即BD平分∠ABC.
3.如图所示,CD∥OB,EF∥AO,求证∠1=∠O.
证明:∵CD∥OB,∴∠1=∠2,又∵EF∥AO,∴∠2=∠O,∴∠1=∠O.
4 平行线的性质
探索1 两直线平行,同位角相等
探索2 两直线平行,内错角相等
探索3 两直线平行,同旁内角互补
探索4 平行于同一条直线的两条直线平行
一、教材作业
【必做题】
教材第177页随堂练习.
【选做题】
教材第177页习题7.5第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,由AB∥CD能得到∠1=∠2的是 ( )2.如图所示,已知AB∥CD,E是AB上一点,ED平分∠BEC交CD于D,∠BEC=100°,则∠D的度数是 ( )
A.100° B.80°C.60°D.50°
⊥
3.如图所示,AB∥CD,DB BC于B,∠2=50°,则∠1的度数是 ( )
A.40° B.50°C.60°D.140°
4.如图所示,AB∥CD,EF分别交AB,CD于M,N,∠EMB=50°,MG平分∠BMF,MG交CD于G,则∠1等于 (
)
A.65° B.50°C.115° D.120°5.如图所示,AB∥EF∥DC,EG∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)有 ( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.2个
【能力提升】
6.如图所示,已知∠1与∠2互补,∠3=100°,求∠4的度数.
7.如图所示,直线AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于P.求证
∠P=90°.
8.如图所示,C,P,D在一条直线上,∠BAP与∠APD互补,∠1=∠2.求证∠E=∠F.
【拓展探究】
9.如图所示,AB∥ED,∠CAB=135°,∠ACD=80°.求∠CDE的度数.
【答案与解析】
1. B
2.D(解析:根据角平分线的定义可得∠BED=50°,再根据平行线的性质可得∠D=∠BED=50°.)3.A
4.A(解析:综合运用平行线的性质和三角形内角和定理求出∠1的度数.)
5.B
6.解:∵∠1+∠2=180°,∠2=∠5,∴∠1+∠5=180°,∴a∥b,∴∠3=∠4,∴∠4=100°.
7.证明:∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.又∵EP,FP分别平分
∠BEF,∠DFE,∴∠BEF=2∠PEF,∠DFE=2∠PFE.∴∠PEF+∠PFE=90°,∴∠P=90°.
8.证明:∵∠BAP+∠APD=180°,∴AB∥CD.∴∠BAP=∠CPA.∵∠1=∠2,∴∠EAP=∠FPA,∴AE∥FP,∴∠E=∠F.
9.解:如图所示,过点C作CF∥AB,∵CF∥AB,∴∠A+∠ACF=180°(两直线平行,同旁内角互补).而∠A=135°,则
∠ACF=45°,∴∠FCD=∠ACD-∠ACF=80°-45°=35°.又∵CF∥AB,AB∥ED,∴CF∥DE,∴∠FCD=∠CDE(两直线平行,
内错角相等),∴∠CDE=35°.
学生在学习了平行线判定定理之后,接着学习平行线的性质定理.学生容易出现混淆判定定理和性质定
理的情况.帮助学生区分平行线判定定理和平行线性质定理,有利于学生今后学习有关证明的问题.在本节课
的教学过程中,暗含了定理的条件和结论,无论是例题还是习题,都对定理的条件和结论进行说明和强调,这既
能帮助学生建立知识之间的联系,也能帮助学生准确应用平行线的判定定理和性质定理.
在证明平行线性质定理的过程中,对学生的活动放手度不够,压制了学生探索交流的活动,没有让学生自
己进行尝试,通过交流和研讨尝试去证明问题.
平行线的判定定理和性质定理是互逆的.再次教学的过程中,首先要利用一定的时间复习平行线的判定
定理,帮助学生从条件和结论两个方面去认识平行线的判定定理.然后从条件和结论的角度去研究平行线的
性质定理,这样通过对命题的理解,就建立起平行线判定定理和性质定理之间的联系.
随堂练习(教材第177页)
已知:如图所示,l∥l,∠1与∠2是直线l,l 被直线l截出的同旁内角.求证:∠1+∠2=180°.证明:
1 2 1 2
∵l∥l,∴∠2=∠3,∵∠1+∠3=180°,∴∠1+∠2=180°.
1 2
习题7.5(教材第177页)1.提示:∠ABO=45°,∠DCO=92°.
2.证明:∵AD∥BC,∴∠D=∠DBC.∵∠ABD=∠D,∴∠ABD=∠DBC,即BD平分∠ABC.
3.证明:∵AB∥CD,AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°,∴∠A=∠C,同理∠B=∠D.
4.(1)解:EC∥BF,AB∥CD.理由如下:∵∠1=∠2,∴EC∥BF(同位角相等,两直线平行),∴∠C=∠BFD(两直线平行,同位
角相等),∵∠B=∠C,∴∠B=∠BFD.∴AB∥CD. (2)证明:由(1)知AB∥CD,∴∠A=∠D(两直线平行,内错角相等).
如图所示,在ΔABC中,D,E,F分别为AB,AC,BC上的点,且DE∥BC,EF∥AB,求证∠ADE=∠EFC.
〔解析〕 分析可发现∠ADE与∠EFC都等于∠B,由此作为突破口.
证明:因为DE∥BC(已知),
所以∠ADE=∠B(两直线平行,同位角相等).
因为EF∥AB(已知),
所以∠B=∠EFC(两直线平行,同位角相等).
所以∠ADE=∠EFC(等量代换).
如图所示,已知DE∥BC,DF,BE分别平分∠ADE,∠ABC.求证∠FDE=∠DEB.
〔解析〕 ∠FDE与∠DEB是一组内错角,欲证其相等,只需证DF
∥BE.由DE∥BC,得∠ADE=∠ABC,进而得∠ADF=∠ABE,由平行线的判定定理可得DF∥BE,再由平行线的
性质可得∠FDE=∠DEB.
证明:因为DE∥BC(已知),
所以∠ADE=∠ABC(两直线平行,同位角相等).
因为DF平分∠ADE,BE平分∠ABC(已知),
1 1
所以∠ADF= ∠ADE,∠ABE= ∠ABC(角平分线的定义).
2 2
所以∠ADF=∠ABE(等量代换).
所以DF∥BE(同位角相等,两直线平行).所以∠FDE=∠DEB(两直线平行,内错角相等).
[方法归纳] “两直线平行,内错角相等”是平行线的又一个重要性质,是证明两角相等的常用方法之一,
在应用时不要忽略其前提条件为“两直线平行”,另外还要掌握好内错角的位置特点.
5 三角形内角和定理
证明三角形内角和定理,掌握它的两个推论,并能运用这些定理解决简单的问题.
经历探索与证明的过程,进一步发展推理能力.
在一题多解、一题多变中,积累解决几何问题的经验,提升解决问题的能力.
【重点】 三角形内角和定理及推论.
【难点】 运用三角形内角和定理及推论解决相关问题.
第 课时
掌握“三角形内角和定理”的证明及简单的应用.
通过一题多变,建立思考情境,形成独立思考、合作交流的学习模式,培养理性说理能力.
培养学生创造性,弘扬个性发展,体验解决问题的成就感,使学生感悟逻辑推理的数学价值.
【重点】 理解三角形内角和定理及其简单的应用.
【难点】 三角形内角和定理的证明方法.【教师准备】 教学导入图片和例题图片.
【学生准备】 量角器、三角板等作图工具.
导入一:
师:我们知道,三角形内角和等于多少度?
生:(齐声)三角形的内角和是180°.
师:你们还记得这个结论的探索过程吗?
请看试验:将三角形纸片的三个角剪下,随意将它们拼凑在一起.
生:由试验可知三角形的内角和正好为一个平角.
师:但观察与试验得到的结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢?这节课
我们一起探究一下三角形内角和定理的证明.(教师板书课题)
[设计意图] 对比过去撕纸等探索过程,体会思维试验和符号化的理性作用.将自己的操作转化为符号语
言对于学生来说还存在一定困难,因此需要一个台阶,使学生逐步过渡到严格的证明.
导入二:
课件出示《三角形家族的“官司”风波》.
故事导入:很久很久以前的一天,数学国际法庭来了三位告状者,它们是锐角三角形、直角三角形和钝角
三角形.“它们干什么来了?”“是来打官司的.”这不它们在法庭外刚一见面又争吵起来:
锐角三角形说:“我们锐角三角形的内角和度数最大!”
直角三角形说:“不对!是我们直角三角形的内角和最大!”
钝角三角形说:“你们别吵了!还是我们钝角三角形的内角和最大!”
问题1
【课件1】 如果你是法庭庭长,你认为该怎样对它们宣判?为什么?
问题2
【课件2】 你们还记得小学是怎样探索三角形内角和的吗?谁能给大家说一说或者展示一下吗?
问题3
【课件3】 小学的证明方法固然好,但是这些方法可靠吗?现在有更加科学严密、更有说服力的证明
方法吗?
[处理方式] 学生观察并读出对话及问题.问题1学生能够顺利解决;问题2学生一次回答出全部答案会
有困难,根据学生已有的知识经验,学生间互相补充能够解决,学生边说边在讲台上演示测量法、折拼法、剪拼法(撕拼法).学生回答时语言可能不准确,教师及时引导纠正.教师根据学生回答利用课件展示三种方法.对
于问题3,学生通过思考、联想前面所学,应该能够解决.学生只要能够回答出用推理的方法证明三角形内角
和即可,不要求作出具体回答.
1.测量法.
2.折拼法:
3.剪拼法(撕拼法):
[设计意图] 通过学生动手测量、折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验,为下面探究推理证明提供直
接经验.
导入三:
出示下面的投影片
工人师傅将凹型零件(图(1))加工成斜面EC与槽底CD成55°角的燕尾槽(图(2))的程序是:将垂直的铣刀
倾斜偏转35°角(图(3)),就能得到55°的燕尾槽底角.为什么铣刀偏转35°角就能得到55°的燕尾槽底角呢?
[设计意图] 通过问题的解答,再现所学知识,为新知识的接纳做心理和知识上的准备,引出新课内容.
一、探索三角形内角和定理
[过渡语] 我们已经知道三角形内角和等于180°,这个定理是怎样证明的呢?
思路一
[活动内容1] 证明思路的探索分析.
(多媒体出示)剪拼法图示(动态):问题1
【课件1】 如图所示,当∠A移到∠1的位置时,残边CD和边AB有何位置关系?为什么?
问题2
【课件2】 在剪拼法中,通过移动角拼成了一个平角;如果不实际移动角,那么你还有其他方法可以达
到同样的效果吗?
[处理方式] 教师先出示图,学生读题回答.对于问题1可让学生到黑板前指图回答,注意语言表达及学
生指图的准确性,发现不当处,及时强调.问题2可以让学生合作完成.如果有困惑,教师可作引导.利用课件图
形,结合问题1引导学生进行逆向思考:“如果先移动角,那么可以得到平行线;反过来,如果我们先画出平行线,
会得到什么呢?”此时教师在空白ΔABC上规范作出射线CD,使CD∥AB,学生自然推出∠1=∠A.教师追问:
“你还可以得到哪些角相等?说说理由.”学生得出∠2=∠B后,一个平角自然就摆放在学生眼前了,达到了移
角的效果.此时教师顺势引出辅助线:为了证明的需要,在原来的图形上添作的线叫做辅助线.(教师板书:辅助
线)在平面几何里,辅助线通常画成虚线.
[设计意图] 利用剪撕纸得来的直接经验和逆向思维的方式,引导学生初步感悟辅助线的来源和作用,提
高学生分析问题的能力.
[活动内容2] 说一说,写一写.
问题1
【课件1】 你能用简洁的语言完整地说一说分析思路吗?
问题2
【课件2】 你能用数学推理的方法证明它吗?
问题3
【课件3】 证明的关键是什么?说说你的想法.
[处理方式] 问题1小组交流后学生代表发言,展示交流成果.学生发言时,教师注意提示学生文字命题
的证明步骤以及数学语言表达的规范性.对于问题2,教师引导学生再次明确辅助线的作法及其相关要求:(1)
这里的CD称为辅助线;(2)辅助线通常画成虚线.师生合作,教师规范完成辅助线的添加后,余下的证明过程由
一名学生在黑板上独立完成,其余学生在练习本上写出完整的证明过程.教师巡视,帮助、鼓励困难学生解决
问题.学生板演完成后师生共同评价,评价时重点强调辅助线的作法及证明过程的规范性.对于问题3,学生回
答时,可能语言不准确,教师及时引导,让学生自主感悟体会到证明的关键是添加辅助线,把三角形内角和转化
成一个平角.
【多媒体展示】 已知:如图所示,ΔABC.
求证:∠A+∠B+∠ACB=180°.
证明:如图所示,延长BC至D,过点C作射线CE∥AB,则∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),
∠2=∠B(两直线平行,同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义),
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
师:命题“三角形的内角和等于180°”经过了我们严密地推理证明,它是真命题.此时我们可以理直气壮
地称之为三角形内角和定理.
【课件展示】 三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.[设计意图] 用平行线的性质定理来推导出三角形内角和定理,让学生再次体会推理证明的严密性和数
学的严谨.同时让学生初步理解添加辅助线的原因及添加辅助线的注意事项,培养学生的分析能力和逻辑推
理能力.
思路二
[过渡语] 根据上面给出的基本事实和三角形内角和定理,你能用自己的语言说一说这一结论的证明思
路吗?你能用较为简洁的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.
接下来同学们来证明:三角形的内角和等于180°这个真命题.这是一个文字命题,证明时需要先干什么呢?
生:需要先画出图形,根据命题的条件和结论,结合图形写出已知、求证.
师:对,下面大家来证明,哪位同学上黑板给大家板演呢?
生1:已知:如图所示,ΔABC.
求证:∠A+∠B+∠ACB=180°.
证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB,
则∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等),∠ECD=∠B(两直线平行,同位角相等).
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定义),
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
生2:老师,我的证明过程是这样的:
证明:作BC的延长线CD,作∠ECD=∠B,则EC∥AB(同位角相等,两直线平行),
∴∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等).
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180°),
∴∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代换).
师:同学们写的证明过程都很好,在证明过程中,我们仅仅添画了一条射线CE,使处于原三角形中不同位
置的三个角,巧妙地拼“凑”到了一起.为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里,
辅助线通常画成虚线.
我们通过推理的过程,得证了命题:三角形的内角和等于180°是真命题,这时称它为定理,即三角形内角和
定理.
二、想一想,做一做
【问题】 你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗?
[处理方式] 学生先尝试独立完成,教师巡视引导.绝大多数学生会想到图形(1)的方法.对于图形(2),可能
只有少数学生想到或者全体学生都想不到.当只有少数学生想到时,教师指名学生说说方法和理由.如果全体
学生都想不到,教师可以追问:“我们移动其中一块,能否得到平行线呢?”并引导学生摆出图形(2).结合图形
(2),学生会恍然大悟:应该如何添加辅助线,进而解决图形(2)的证明过程.教师巡视时,有意识寻找证明过程正
确规范的作业,全班展示、评价.【参考答案】
证法1:过点A作DE∥BC.
∵DE∥BC,
∴∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).
∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).
证法2:过点A作AD∥BC.
∵AD∥BC,
∴∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),∠DAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又∵∠DAC=∠1+∠2,
∴∠1+∠2+∠C=180°(等量代换),
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).
[设计意图] 通过学生独立运用较简单的方法证明三角形内角和定理,感受体会“辅助线”的作法和作
用,提高一题多解的能力,体会思维的多样性和基本的转化思想.
三、议一议
【问题】 综上所述,添加辅助线的目的是什么?你是怎样理解辅助线的?
[处理方式] 教师先快速地展示三种辅助线的添加图形,学生结合图片先在小组内讨论交流,形成小组成
果,然后全班交流、随时互评.学生讨论时,教师参与其中,倾听学生的讨论,引导学生从辅助线的作用、作法、
要求去交流.学生通过观察图形得出:添加辅助线的目的是构造180°的平角或同旁内角.
【课件展示】 添加辅助线的目的:
三角形内角和 平角、同旁内角
【教师总结】 (1)辅助线通常画成虚线;(2)辅助线要正确、规范地写出作法,并标明字母,便于书写证明
过程;(3)辅助线能把题目中可利用的隐藏条件显露出来,化难为易.
为便于学生掌握,总结四句话:小小辅助线,作时画虚线,写清其来源,隐藏条件见.[设计意图] 添加辅助线是教学中的一个难点,学生通过思考、讨论、交流对辅助线的认识,展示思维过
程,然后在老师的引导下达成共识,进一步加深了对辅助线的理解,易于突破教学难点,提高学生解决问题的能
力.
四、探究活动
刚才同学们对辅助线掌握得很好.接下来,我将平角或同旁内角的位置移动或者改造一下,使它再有一些
难度,看谁还能攻克它?
[处理方式] 教师先出示图(1),思考:怎样添加辅助线?学生思考讨论,由于图形较直观,学生能够解决辅助
线的添加问题;学生完成后教师出示图(2);为便于学生叙述证明过程,教师再出示图(3).学生根据图(3)口述证
明过程.学生在口述证明过程时,教师注意数学语言表达的规范性和推理证明的逻辑性.
(1)
(2)[设计意图] 用多种方法证明三角形内角和定理,培养一题多解的能力,同时提高学生添加辅助线的技
能、技巧,提高解决问题的能力.
五、典例解析,应用新知
[活动内容1] 通过刚才的学习,同学们不仅知道了辅助线,而且利用它用多种方法证明了三角形内角和
定理,你们觉得学了这些知识,能解决哪些问题呢?
【课件展示】
如图所示,在ΔABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是ΔABC的角平分线,求∠ADB的度数.
[处理方式] 学生先结合图形读题,指图说出已知条件和要解决的问题,然后说说分析思路及求解过程,
最后学生板演,师生共同评价.如果学生有困难,可以先在小组内讨论交流.
在学生板演时,教师巡视指导,帮助、鼓励学困生完成任务.集体评价时,教师强调证明过程的规范性和严
谨性.
解:在ΔABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).
∵∠B=38°,∠C=62°(已知),
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性质).
∵AD平分∠BAC(已知),
1 1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×80°=40°(角平分线的定义).
2 2
在ΔADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).
∵∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已证),
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性质).
[设计意图] 学生通过三角形内角和定理的简单应用,及时加深了对所学知识的理解,规范学生的证明过
程,培养了学生良好的学习数学的习惯.
1.三角形三个内角的和等于 .
答案:180°
2.如下图所示的是三角形内角和定理的几种证明方法,可分别记作 法, 法, 法.答案:拼凑 作平行线 折叠
3.如图所示,AD是∠BAC的平分线,若∠ADC=110°,且∠DAC=∠C,求ΔABC的三个内角的度数.
180°-110°
解:∵∠ADC=110°,∠DAC=∠C,∴∠C= =35°,∴∠BAC=2∠DAC=2∠C=70°,∴∠B=180°-70°-
2
35°=75°.
4.在ΔABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5,求∠A,∠B,∠C的度数.
解:设∠A,∠B,∠C的度数分别为x,3x,5x,
则x+3x+5x=180°,
解得x=20°,
∴∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°.
第1课时
1.探索三角形内角和定理
2.想一想,做一做
3.议一议
4.探索活动
5.典例解析,应用新知
一、教材作业
【必做题】
教材第179页随堂练习第2,3题.
【选做题】
教材第180页习题7.6第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列叙述正确的是 ( )
A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和
B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角
C.三角形中至少有两个锐角D.三角形中至少有一个锐角
2.若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4,则这个三角形是 ( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
3.如图所示,在ΔABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是ΔABC的角平分线,则∠CAD的度数为 ( )
A.40° B.45°C.50°D.55°
4.小明在证明“三角形内角和等于180°”时用了如图所示的辅助线,即延长BC到D,延长AC到E,过点C作
CF∥AB,你能接着他的辅助线的作法证明出来吗?
【能力提升】
⊥
5.在ΔABC中,∠ABC=∠C,BD AC,∠ABD=30°,则∠C的度数是多少?
1
6.如图所示,在ΔABC中,∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF交于点I,求证∠BIC=90°+ ∠A.
2
【拓展探究】
7.如图所示,已知∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于点O,∠A=60°,求∠BOC的度数.
【答案与解析】
1.C
2.C(解析:由3个内角度数比为2∶3∶4,设3个内角度数分别为2x,3x,4x,有2x+3x+4x=180°,解得x=20°,∴3个角分
别为40°,60°,80°,故为锐角三角形.)1
3.A(解析:∵∠B=67°,∠C=33°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°.∵AD是ΔABC的角平分线,∴∠CAD=
2
1
∠BAC= ×80°=40°.)
2
4.解:∵AB∥CF,∴∠A=∠ACF,∠B=∠FCD.又∵∠ACB=∠DCE,∴∠A+∠B+∠C=∠ACF+∠FCD+∠DCE=180°.
⊥
5.解:①当ΔABC为锐角三角形时,如图(1)所示,在ΔABD中,∵BD AC(已知),∴∠ADB=90°(垂直的定义).又
∵∠ABD=30°(已知),∴∠A=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-30°=60°.又∵∠A+∠ABC+∠C=180°(三角形内角和定理),
∴∠ABC+∠C=120°.又∵∠ABC=∠C(已知),∴∠C=60°.②当ΔABC是钝角三角形时,如图(2)所示,在直角三角形
ABD中,∵∠ABD=30°(已知),∴∠BAD=60°,∴∠BAC=120°,又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°(三角形内角和定理),
∴∠ABC+∠C=60°.又∵∠ABC=∠C(已知),∴∠C=30°.综上,∠C的度数应为60°或30°.
6.解析:欲证∠BIC与∠A之间的关系,发现它们之间的关系不直接,而∠BIC与∠IBC,∠ICB在同一个三角形中,
故有∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB),而∠A与∠ABC,∠ACB在同一个三角形中,故有∠A=180°-(∠ABC+∠ACB),又因为
1 1
BE,CF是角平分线,所以∠IBC与∠ABC有关系:∠IBC= ∠ABC,同理,∠ICB= ∠ACB.从而可以通过中间量
2 2
∠ABC,∠ACB或∠IBC,∠ICB,找到∠BIC与∠A之间的关系.
证明:∵在ΔABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°(三角形内角和定理),∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A(等式性质).∵BE,CF
1 1
分别平分∠ABC和∠ACB(已知),∴∠EBC= ∠ABC,∠FCB= ∠ACB(角平分线的定义).在ΔBIC中,
2 2
1
∠BIC+∠EBC+∠FCB=180°(三角形内角和定理),∴∠BIC=180°-(∠EBC+∠FCB)(等式的性质),∴∠BIC=180°-
2
1
(180°-∠A)=90°+ ∠A.
2
7.解:在ΔABC中,∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∴∠ABC+∠ACB的一半等于60°.∴在ΔBOC中,∠BOC=120°.
三角形内角和是学生早在小学的时候就接受的知识,以往是接受现成的知识,现在是通过证明,验证知识.
本课时的成功之处不仅在于给出学生证明的几种思路,更重要的是向学生渗透了两种基本思想:一是几何证
明的思路是多种的;二是可以人为地“构造”条件(添加辅助线)为证明服务.这就渗透了数学思想中的转化思
想.
本课时对三角形内角和定理的证明,教师可以只示范其中一种证明方法,其他的方法可以通过老师的提示由学生自己来完成.这样既有利于培养学生
的探索精神,也能够增强学生学习的热情.
本课时的个别习题设置难度比较大,比如课后作业的第5题和第6题.难度大的习题会降低学生的学习
信心和兴趣,也不利于本课时知识的掌握和运用,尤其是刚开始学习证明的时候,习题的难度应控制在中等程
度为宜.
随堂练习(教材第179页)
1.提示:直角三角形的两锐角之和是90°.
2.提示:正三角形的一个内角是60°.
3.证明:在ΔABC中,∵∠A=60°,∠C=70°,∴∠B=180°-∠A-∠C=50°,又DE∥BC,∴∠ADE=∠B=50°.
习题7.6(教材第180页)
1.解:(1)∠A=40°,∠B=70°,∠C=70°. (2)∠A=90°,∠B=58°,∠C=32°. (3)∠A=80°,∠B=60°,∠C=40°.
⊥
2.证明:∵CD AB,垂足为
D,∴∠ADC=90°.∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°,∴∠A+∠ACD=90°.∵∠ACB=90°,∴∠DCB+∠ACD=90°,
∴∠A=∠DCB.
3.证明:∵AB∥CD,∴∠A+∠C=180°.∵∠C+∠D+∠CED=180°,∴∠A=∠CED+∠D.
4.解:在ΔABC中,∵∠A=65°(已知),∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=115°(三角形内角和定理).∵BF平分∠ABC,CF平分
1 1
∠ACB(已知),∴∠FBC= ∠ABC,∠FCB= ∠ACB(角平分线的定义).在ΔFBC中,∵∠F+∠FBC+∠FCB=180°(三角
2 2
(1 1 ) 1
形内角和定理),∴∠F=180°-(∠FBC+∠FCB)=180°- ∠ABC+ ∠ACB =180°- (∠ABC+∠ACB)=180°-
2 2 2
1
×115°=122.5°.
2
根据课程的特点,创设问题情境,引导学生以探索、运用为主线来展开.坚持以学生为本的原则,引导学生
动手操作、探索、讨论、归纳,使学生感受到添加辅助线的思想,更好地掌握三角形内角和定理的证明及简
单的应用,从而实现教师是引导者、学生是主体的课堂教学理念.⊥
如图所示,已知ΔABC中,AE BC于E,AD平分∠BAC,∠B=50°,∠C=70°,求∠DAE的度数.
〔解析〕 找寻三角形中角与角之间的关系,通常利用三角形内角和定理,通过中间量建立角与角之间
的关系.
⊥
解:∵AE BC(已知),∴∠AEC=90°(垂直定义).又∵∠C=70°(已知),∴∠EAC=20°(直角三角形中两锐角互余),
又∵∠B=50°,∠C=70°(已知),∴∠BAC=180°-(50°+70°)=60°(三角形内角和定理).又∵AD平分∠BAC(已知),
1
∴∠CAD= ∠BAC(角平分线的定义),∴∠CAD=30°,∴∠DAE=30°-20°=10°.
2
第 课时
掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.
体会几何中不等关系的简单证明过程,引导学生从内和外、相等和不相等的不同角度对三角形做更全
面的思考.
通过积极参与课堂练习,培养学生积极思考及与他人交流合作的学习习惯,同时培养学生大胆猜想、勇
于探索数学问题的兴趣和信心.
【重点】 掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.
【难点】 灵活应用三角形内角和定理的推论解决简单的问题.
【教师准备】 教材引例和例题的投影图片.
【学生准备】 复习、总结三角形内角和定理的证明过程.导入一:
【问题】 三角形有几个内角?
把ΔABC的内角∠ACB的一边BC延长得到∠ACD,这个角叫做ΔABC的外角.这节课我们就来研究它的
性质.(多媒体出示三角形的外角定义)
三角形的外角定义:三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外角.(板书课题)
[处理方式] 教师先提出问题.学生都知道有三个内角,直接问,学生一起回答就可以了.教师讲解外角,展
示外角定义,这样教师就可以很自然地引入到本课.
[设计意图] 利用问题一问一答,让学生自然而然地认识三角形的外角.激发学生学习的热情,提起学生
的学习兴趣.
导入二:
(播放视频,学生观看思考)
师:足球天才梅西在E处射门时受到多人阻挡,可不知是将球传给在B处还是在C处的队友,才能使进球
的希望更大,需要大家的帮助.
生1:传给在B处的队友.
生2:传给在C处的队友.
(学生的意见不统一)
师:究竟应该传给哪位队友?你想知道理由吗?本节课让我们继续学习三角形内角和定理.(教师板书课题)
[设计意图] 通过现实情境的展示,调动学生的情绪,激发学生的求知欲,吸引学生的注意力,为新知的学
习做铺垫.
一、外角的定义[过渡语] 同学们,我们知道三角形有三个内角,除了内角以外,三角形还有外角,那么什么是三角形的外
角,它又有什么性质呢?
[处理方式] 请自主学习教材第181页议一议前的内容,然后在小组内交流什么样的角是三角形的外角,
并举例说明.学生自主学习外角的定义,教师巡视指导.学生在小组内交流后,学生代表展示.
【展示交流】
生:ΔABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,称为ΔABC的外角.如右图所示,∠1是ΔABC
的外角.(教师多媒体出示图,同时板书外角的定义)
师:根据外角的定义,你能说出∠1是ΔABC哪条边与哪条边的反向延长线组成的外角吗?
生:(思考后)∠1是ΔABC的边BA与边BC的反向延长线组成的外角.
师:三角形还有其他外角吗?
生:有.
师:你能在图中画出ΔABC的其他外角吗?与同伴交流一下.
学生画图展示:
师:对以上两个同学所画的图你有什么看法?
生:学生2画得比较全面.
师:你说得很好,一个三角形有几个外角?一个顶点处有几个外角?
生:一个三角形有6个外角,一个顶点处有2个外角.
二、三角形外角的性质
思路一
师:如图所示(多媒体出示),我们知道∠1是ΔABC的一个外角,猜一猜∠1与ΔABC的内角之间有什么等量
关系,理由是什么?在小组内交流.
[处理方式] 学生在小组内合作探究,教师巡视,及时点拨引导.学生探究完成后,让学生代表展示.
【展示交流】
生1:我们小组同学发现∠1+∠4=180°,依据是平角的定义.生2:我们小组同学发现∠1=∠2+∠3.理由是:∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理),∠1+∠4=180°(平角的
定义),∴∠1=∠2+∠3.
师:这两位同学表现得非常棒!由以上内容你们能得出什么结论?
生:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.(板书)
师:你能确定∠1与∠4的大小关系吗?与同伴交流.
生1:∠1>∠4.
生2:∠1与∠4的大小关系不能确定.
师:你的理由是什么?
生2:因为当∠4是锐角时,∠1>∠4;当∠4是直角时,∠1=∠4;当∠4是钝角时,∠1<∠4.所以∠1与∠4的大小关系
不能确定.
师:你们同意他的说法吗?
生:(若有所悟)同意.
师:那么∠1与∠2,∠3的大小关系呢?
生:∠1>∠2,∠1>∠3.
师:理由是什么?
生:由前面我们知道∠1=∠2+∠3,所以∠1>∠2,∠1>∠3.
师:由此你能得到什么结论?
生:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(板书)
师:以上两个结论的推导过程中,我们主要依据的是哪个定理?
生:三角形内角和定理.
师总结:在这里,我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个基本事实或定理直
接推出的定理,叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.
师:现在能告诉梅西将球传给谁了吧?
生:能,传给C处的队友.
师:为什么呢?
生:因为∠DCA是ΔABC的外角,所以∠DCA>∠B,因此应传给C处队友.
师:真不错,你可以给梅西做教练了哦!我们运用三角形内角和定理的推论解决了梅西的问题,接下来就看
同学们能否运用所学知识解决问题,请看例题.
[设计意图] 学生主动探索、积极思考、踊跃交流,通过交流,让学生用自己的语言清楚地表达解决问题
的过程,通过学生思考、探索、交流来培养学生解决问题的能力.
思路二
问题1【课件1】 如图所示,ΔABC中,∠A=70°,∠B=60°,∠ACD是ΔABC的一个外角,能由∠A,∠B求出∠ACD吗?
如果能,∠ACD与∠A,∠B有什么关系?
问题2
【课件2】 任意一个ΔABC的一个外角∠ACD与∠A,∠B的大小是否还有上面的关系呢?
[处理方式] 留时间让学生分析这些问题,这里可以相互讨论,然后找学生回答,问题1学生能计算出
∠ACD的度数,从而得到∠ACD=∠A+∠B,∠ACD>∠A,∠ACD>∠B的关系.问题2中引导学生用与问题1类似的
方法及三角形内角和定理、平角的定义得到相同的结论.
[设计意图] 让学生感受三角形外角与内角之间的关系.
归纳三角形外角的性质:
推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
[处理方式] 在老师的引导下对三角形外角与内角之间的关系加以归纳,从而得到推论.
[设计意图] 让学生明确三角形外角与内角之间的关系.
问题3
【课件3】 证明三角形外角的性质.
推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
已知:如图所示,∠1是ΔABC的一个外角.
求证:∠1=∠2+∠3.
推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
已知:如右图所示,∠1是ΔABC的一个外角.
求证:∠1>∠2,∠1>∠3.
[处理方式] 留时间让学生分析这些问题,这里可以相互讨论,然后找学生回答并通过多媒体展示过程.
[设计意图] 在理论上明确三角形外角与内角之间的关系.
三、例题解析,应用新知
(教材例2)已知:如图所示,在ΔABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC.
求证:AD∥BC.
〔解析〕 要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.
学生证明过程展示:
①证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∠B=∠C(已知),
1
∴∠B= ∠EAC(等式的性质).
2
∵AD平分∠EAC(已知),
1
∴∠EAD= ∠EAC(角平分线的定义),
2
∴∠EAD=∠B(等量代换),
∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行).
②证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∠B=∠C(已知),
1
∴∠C= ∠EAC(等式的性质).
2
∵AD平分∠EAC(已知),
1
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义),
2
∴∠DAC=∠C(等量代换).
∵∠B+∠BAC+∠C=180°(三角形的内角和定理),
∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°(等量代换),
即∠B+∠DAB=180°.
∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
师:大家对于三角形的外角与内角之间的等量关系基本掌握.那么你知道不等关系有什么应用吗?我们继
续看例3.
【课件展示】
(教材例3)已知:如图所示,P是ΔABC内一点,连接PB,PC.
求证:∠BPC>∠A.
(教师板演示范)
证明:如图所示,延长BP,交AC于点D.
∵∠BPC是ΔPDC的一个外角(外角的定义),∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∵∠PDC是ΔABD的一个外角(外角的定义),
∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∴∠BPC>∠A.
师:你还有其他的证明方法吗?与同伴进行交流.
学生证明过程展示:
①证明:延长CP,交AB于点D.(过程同上)
②证明:如图,连接AP,并延长AP,交BC于点D.
∵∠3是ΔABP的一个外角(外角的定义),
∴∠3>∠1(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∵∠4是ΔACP的一个外角(外角的定义),
∴∠4>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∴∠3+∠4>∠2+∠1,
∴∠BPC>∠BAC.
[设计意图] 通过学生的探索活动,使学生进一步了解辅助线的作法及重要性,理解并掌握三角形的内角
和定理及推论.教师引导学生分析解题思路,师生共同完成.在解题的同时,要明确每题用到的知识点,只有明
确问题考查的知识点,才能正确运用知识解决问题.本例题可以巩固多边形的内角和定理,培养学生灵活运用
知识的能力,同时要规范学生解题步骤的规范性.
[知识拓展] 三角形的外角实质上就是三角形一个内角的邻补角.三角形外角的顶点是三角形的顶点,一
条边是三角形内角的一边,另一条边是该内角另一条边的反向延长线.1.三角形的一个外角等于 的两个内角的和.
答案:和它不相邻
2.三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角.
答案:大于
3.如下图,在∠1至∠9中,ΔABC的外角共有 ( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
答案:B
4.如图,∠1是ΔABC的一个外角,则下列说法正确的是 ( )
A.∠1大于ΔABC中的任一内角
B.∠1大于∠B+∠C
C.∠1大于∠A+∠B
D.∠1等于∠A+∠B
答案:D
5.如图,在ΔABC中,∠1是它的一个外角,E为AC边上一点,延长BC到D,连接DE.求证∠1>∠2.
证明:∵∠1>∠3,∠3>∠2,∴∠1>∠2.
第2课时
1.外角的定义
2.三角形外角的性质
3.例题解析,应用新知一、教材作业
【必做题】
教材第183页随堂练习第1,2题.
【选做题】
教材第183页习题7.7第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下面四个图形中,能判断∠1>∠2的是( )
2.如图所示,已知直线AB∥CD,∠C=125°,∠A=45°,则∠E的度数为 ( )
A.70° B.80°C.90°D.100°
3.如图所示,点B是ΔADC的边AD的延长线上一点,DE∥AC,若∠C=50°,∠BDE=60°,则∠CDB的度数等于 (
)
A.70° B.100° C.110° D.120°4.如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是 ( )
A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A
C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1
【能力提升】
5.如图所示,在ΔABC中,∠C=70°,若沿图中虚线截去∠C,则∠1+∠2的度数是 ( )
A.360° B.250° C.130° D.140°
6.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2的度数是 ( )
A.90° B.100° C.130° D.180°
【拓展探究】
7.如图所示,在ΔABC中,∠ABC的平分线和∠ACD的平分线相交于点E.
(1)如果∠A=60°,∠ABC=50°,求∠E的大小;
(2)如果∠A=70°,∠ABC=60°,求∠E的大小;
(3)根据(1)和(2)的结论,试猜测一般情况下,∠E和∠A的大小关系,并说明理由.
【答案与解析】1.D(解析:A.∠1与∠2是对顶角,相等,故本选项错误;B.由图可知,∠1<∠2,故本选项错误;C.∠1是锐角,∠2是直角,
∠1<∠2,故本选项错误;D.∠1是三角形的一个外角,∠2是这个三角形中与它不相邻的一个内角,所以∠1>∠2,故
本选项正确.故选D.)
2.B(解析:∵AB∥CD,∠C=125°,∴∠BFE=125°,∴∠E=∠BFE-∠A=125°-45°=80°.故选B.)
3.C(解析:∵DE∥AC,∠BDE=60°,∴∠BDE=∠A=60°,又∵∠C=50°,∴∠BDC=∠A+∠C=60°+50°=110°.故选C.)
4.B(解析:∵∠1是ΔACD的外角,∴∠1>∠A.∵∠2是ΔCDE的外角,∴∠2>∠1,∴∠2>∠1>∠A.故选B.)
5.B(解析:先利用三角形内角与外角的关系,得出∠1+∠2=(∠C+∠4)+(∠3+∠C),再根据三角形内角和定理即可得
出结果.∵∠1,∠2是ΔCDE的外角,∴∠1=∠4+∠C,∠2=∠3+∠C,即∠1+∠2=(∠C+∠4)+(∠3+∠C)=∠C+
(∠C+∠3+∠4)=70°+180°=250°.故选B.)
6.B(解析:设围成的小三角形为ΔABC,分别用∠1,∠2,∠3表示出ΔABC的三个内角,再利用三角形的内角和等
于180°列式整理即可得解.∠BAC=180°-90°-∠1=90°-∠1,∠ABC=180°-60°-∠3=120°-∠3,∠ACB=180°-60°-
∠2=120°-∠2,在ΔABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∴90°-∠1+120°-∠3+120°-∠2=180°,∴∠1+∠2=150°-
∠3,∵∠3=50°,∴∠1+∠2=150°-50°=100°.故选B.)
1
7.解:(1)∵∠A=60°,∠ABC=50°,∴∠ACD=∠A+∠ABC=110°,∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠EBC=
2
1
∠ABC=25°,∠ECD= ∠ACD=55°.∴∠E=∠ECD-∠EBC=55°-25°=30°.
2
1
(2)∵∠A=70°,∠ABC=60°,∴∠ACD=∠A+∠ABC=70°+60°=130°.∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠EBC=
2
1 1
∠ABC=30°,∠ECD= ∠ACD=65°,∴∠E=∠ECD-∠EBC=65°-30°=35°. (3)猜测∠E= ∠A.理由如下:∵BE平分
2 2
1 1 1 1 1
∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠EBC= ∠ABC,∠ECD= ∠ACD.由题意得∠E=∠ECD-∠EBC= ∠ACD- ∠ABC=
2 2 2 2 2
∠A.
三角形的外角的推论是上一课时的延伸和拓展,本课时继续秉承上一课时的教学理念,启发学生从多角
度去证明一个问题.转换证明的角度不仅增强学生对知识的灵活运用,更是渗透着不同的数学思想,对今后证
明问题的解决也起着思路先导的作用.
三角形的外角的推论是对三角形内角和定理的延伸,在教学过程中应该借鉴上一课时的思路,对学生既
要给予细心的指导,又要放手让学生进行探究,发挥学生交流和合作的作用,既要让学生掌握本课时的知识,更
要把知识串联在一起.
在三角形的研究过程中,三边关系存在不等量的关系,三个内角之间同样存在不等量的关系.这两种不等
量关系是今后数形结合思想的集中体现,在今后的教学中要把这两个不等量关系穿插起来.
随堂练习(教材第183页)
1.解:∵∠A=45°,∠DCA=100°,∴∠B=∠ACD-∠A=100°-45°=55°,∠ACB=180°-∠ACD=180°-100°=80°.2.解:由题意知
∠1=∠ABC+∠ACB,∠2=∠BAC+∠ACB,∠3=∠ABC+∠BAC,∴∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠B
AC=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)=2×180°=360°.
习题7.7(教材第183页)
1.提示:(1).
2.证明:∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∠DAC+∠ADC+∠C=180°,∠DAC=∠B,∴∠ADC=∠BAC.
3.证明:(1)如右图所示,延长BD交AC于E,在ΔABE中,∠BEC=∠A+∠B,在ΔCDE中,
∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C,所以∠BDC>∠A. (2)证明过程同(1)∠BDC=∠B+∠C+∠A.
复习题(教材第184页)
1.解:能.证明如下:在正方形ABCD中,∠DAB=90°,∴∠DAE=30°,∴∠BAE=90°-
30°=60°,∠AEF=120°,∴∠BAE+∠AEF=180°,∴AB∥EF.
2.证明:如图所示,∵a∥b,∴∠1+∠3=180°,∵∠2=∠3,∴∠1+∠2=180°.
3.提示:由∠1+∠2=180°,易证得DC∥EF,∴∠3=∠4.
4.解:∠ABP=90°-α,∠PCD=α.
5.提示:由DE∥BC可证得∠B=∠ADE,易知∠EGH>∠ECG>∠B,故∠EGH>∠ADE.
6.提示:∠BDE=125°.
7.提示:∠AOC=120°,∠BAC=60°.
8.解:(1)三角形的一个内角一定小于180°,不一定小于90°. (2)一个三角形中最多有一个直角,最多有一个钝
角. (3)三角形中的最大角不会小于60°.理由如下:如果最大角小于60°,那么三角形的三个内角的和就小于
180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.类似地,三角形中最小角不会大于60°.
1
⊥
9.解:∵∠ABC=40°,∠ACB=60°,∴∠BAC=80°.∵AD平分∠BAC,∴∠DAC= ∠BAC=40°.∵AE BC,∴∠EAC=90°-
2
∠ACB=30°,∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=10°.
10.提示:∠1=∠3或∠1=∠5或∠2=∠4或∠2=∠6或∠2+∠3=180°或∠1+∠6=180°.(答案不唯一)
11.证明:由题意知∠1>∠3,∠3>∠2,∴∠1>∠2.
12.解:由题意知∠1=45°,∠2=45°,所以∠3=∠4=90°,所以a∥b.
13.提示:AB∥CD.
14.提示:∠C=22.5°.
15.提示:(1)本题有多种作辅助线的方法,如下图所示. (2)∠BCD=∠ABC-∠CDE.1 1 1
16.解:(1)∠BDC=90°+ ∠A.理由如下:∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-
2 2 2
1 1 1 1
∠A)=90°+ ∠A. (2)∠BEC= ∠A.理由如下:∠BEC=∠ECM-∠EBC= (∠ACM-∠ABC)= ∠A. (3)∠BFC=90°-
2 2 2 2
1 1 1 1
∠A.理由如下:∠BFC=180°-(∠FBC+∠FCB)=180°- (∠PBC+∠QCB)=180°- [360°-(180°-∠A)]=90°- ∠A.
2 2 2 2
1
17.解:∵∠A=75°,∴∠ABC+∠ACB=105°.∵BE,BF三等分∠ABC,CE,CF三等分∠ACB,∴∠FBC+∠FCB=
3
2
(∠ABC+∠ACB)=35°,∠EBC+∠ECB= (∠ABC+∠ACB)=70°.∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=110°,∠BFC=180°-
3
(∠FBC+∠FCB)=145°.
总复习(教材第193页)
1.解:❑√6002+8002=1000(m).
· ·· 11
2.解:(1)有理数:
-3.14159,2.5,√3 -1,-3.75,
,… . (2)无理数:{
❑√0.9
,2π,-3.747747774…(相邻两个4之间
5
· 11 ··
7的个数逐次加1),…}. (3)正实数: 2.5,
❑√0.9
, ,2π,… .
(4)负实数:{-3.14159,√3 -1,-3.75,-
5
3.747747774…(相邻两个4之间7的个数逐次加1),…}.
3 3
3.解:(1)±0.2,0.2. (2)± , . (3)±❑√7,❑√7. (4)±10-4,10-4.
16 16
5
4.解:(1)√3 -2. (2)0.8. (3)- . (4)103.
2
5.解:(1)4.4或4.5. (2)9或10. (3)5.7或5.8.
(4)5或6.
6.解:(1)-8.41. (2)8.21.
5❑√2×4❑√2 40
7.解:(1)原式= -4= -4=10❑√2-4.
2❑√2 2❑√2
2❑√6×6❑√6 ❑√2
(2)原式= +5=12❑√6+5. (3)原式=❑√18-2❑√45-6× =3❑√2-6❑√5-3❑√2=-6❑√5.
❑√6 2
❑√6 ❑√6 ❑√6 50❑√6
(4)原式= -24❑√6+42× = -24❑√6+7❑√6=- .
3 6 3 3
8.解:根据题意,得v=❑√gR=❑√0.0098×6370≈7.9(km/s).所以第一宇宙的速度约为7.9 km/s.
9.解:哨所1(5,9);哨所2(1,6);码头(4,3);小广场(5,6);营房(6,2);雷达(9,6).
10.解:A(-3,-2),B(-5,0),C(-3,2),D(0,2),E(2,0),F(4,0),G(2,-2),H(-1,-2),I(-3,0),A(-3,-2).11.解:(1)“四角星”. (2)所得图形与原图形关于x轴对称. (3)得到原图案关于y轴的轴对称图案.
12.解:两个图形关于x轴对称.举例:(-3,-2)与(-3,2),(3,3)与(3,-3),(-2,4)与(-2,-4).对应点的坐标关系:横坐标相同,纵
坐标互为相反数.
13.解:不能将y看成x的一次函数.
14.解:v能看成t的一次函数;h不能看成t的一次函数.
{18x-9 y=-9,①
15.解:(1)原方程组可化为 ①-②得13x=26,解得x=2,代入①得y=5.所以原方程组的
5x-9 y=-35,②
{x=2, { 4x-10 y=-6,①
解为 (2)原方程组可化为 ①-②得-21x=84,解得x=-4,代入①得y=-1.
y=5. 25x-10 y=-90,②
{x=-4, {10x-5 y=-20,①
所以原方程组的解为 (3)原方程组可化为
y=-1. 4x-5 y=-23,②
{ 1
1 x= ,
①-②得6x=3,解得x= ,代入①得y=5.所以原方程组的解为 2 (4)原方程组可化为
2
y=5.
{3m-2n=7,① {m=1,
②-①得3m=3,解得m=1,代入①得n=-2.所以原方程组的解为 (5)原方
6m-2n=10,② n=-2.
{8x-2y=60,①
程组可化为 ①-②得7x=70,解得x=10,代入①得y=10.所以原方程组的解为
x-2y=-10,②
{x=10, {0.15x-0.5 y=0.5,①
(6)原方程组可化为 ②-①得0.05x=18.5,解得x=370,代入①
y=10. 0.2x-0.5 y=19,②
{x=370, {16x-12y=48,①
得y=110.所以原方程组的解为 (7)原方程组可化为
y=110. 9x-12y=6,②
{x=6,
①-②得7x=42,解得x=6,代入①得y=4.所以原方程组的解为 (8)原方程组可化为
y=4.
{12x-45 y=9,① {x=-3,
①-②得5y=-5,解得y=-1,代入①得x=-3.所以原方程组的解为 (9)
12x-50 y=14,② y=-1.
{
x+ y+z=4,①
{3x+2z=7,④
2x- y+z=3,② ①+②得3x+2z=7,④ ②×2-③得x+5z=11,⑤解方程组 得
x+5z=11,⑤
3x-2y-3z=-5,③
{x=1, {2x-3 y+4z=11,①
{x=1,
代入①得y=1.所以原方程组的解为 y=1, (10) 3x+ y-2z=3,② 把③分别代入①②
z=2,
z=2. z=x+ y,③
{6x+ y=11,④ { x=2,
得6x+y=11,④ x-y=3,⑤ 解方程组 得 代入③得z=1.所以原方程组的解为
x- y=3,⑤ y=-1,
{
x=2,
y=-1,
z=1.
1
16.解:x=
(6000×1+5000×2+3000×5+2000×12+1800×24+1500×6)≈2144(元).中位数
1+2+5+12+24+6
和众数均为1800元.1 1
17.解:小赵的测试成绩= (70×4+50×3+80×2)≈65.6(元),小钱的测试成绩= (90×4+75×3+35×2)≈72.8(元),小孙
9 9
1
的测试成绩= (65×4+55×3+80×2)=65(元),小钱的测试成绩高,所以小钱将被录用.
9
1 1
18.解:甲的平均数是 (4800+5200+4600+…+5200)=5200(kg/hm2),乙的平均数是 (5200+5400+4800+…
8 8
1
+5300)=5200(kg/hm2),两个品种的平均数相同,甲的方差是 [(4800-5200)2+(5200-5200)2+…+(5200-
8
1
5200)2]=462500,乙的方差是 [(5200-5200)2+(5400-5200)2+…+(5300-5200)2]=50000,甲的方差大于乙的方差,所
8
以乙品种的小麦对气候等条件的适应性较强.
19.证明:如下图所示,∵∠1=∠4,∠2=∠3,而∠3+∠5=∠4,∠2+∠6=∠1,∴∠2+∠6=∠3+∠5,∴∠5=∠6,∴c∥d.
1
20.证明:∵AB∥CD,∴∠BPQ=∠DQF,∵射线PR和QS分别平分∠BPF和∠DQF,∴∠BPR=∠RPQ=
2
1
∠BPQ,∠DQS=∠SQF= ∠DQF,∴∠BPR=∠DQS.
2
21.证明:∵AB∥CD,∴∠AEF=∠CFM.又∵∠PEA=∠QFC,∴∠AEF+∠PEA=∠CFM+∠QFC,即
∠PEM=∠QFM.∴PE∥QF,∴∠EPM=∠FQM.
22.解:没有最小的实数,有绝对值最小的实数(0).
23.解:如果以“上北下南,左西右东”来表示,那么A,B,C,D,E的位置分别表示为:A“正北方向,距O点2个单
位长度”;B“北偏东60°,距O点5个单位长度”;C“南偏西30°,距O点4个单位长度”;D“南偏东30°,距O
点3个单位长度”;E“北偏西30°,距O点6个单位长度”.
{x=1,
( 3)
24.提示:图象略.交点是 1, ;方程组的解是 3
2 y= .
2⊥
25.解:如图所示,作DE AB交AB与E点,则四边形CDEB为长方形,三角形AED为直角三角形,已知
AB=6,BC=5,CD=2,∴BE=2,DE=5,∴AE=AB-BE=4,在直角三角形AED中,由勾股定理可得AD2=AE2+ED2,∴AD=
❑√42+52=❑√41
≈6.4(m).答:至少飞了约6.4 m.
26.解:设旗杆的高为x m,则绳子长为(x+2)m,由勾股定理,得(x+2)2=x2+62,解得x=8.答:旗杆的高度是8 m.
⊥
27.解:如图所示,设半圆O的半径为R,则R=2 m,作弦EF∥AD,且EF=2.8 m,OH EF于H,连接OF,由
OH
⊥
EF,得HF=1.4 m,在RtΔOHF中,OH=
❑√OF2-H F2=❑√22-1.42
≈1.43(m),∵1.43+2.6=4.03>4,∴
卡车能通过此隧道.
√ d3 d 6 ❑√6
28.解:(1)t= ❑ = ❑√d= ×❑√6= ≈0.5(h).这场雷雨区域大约能持续0.5 h. (2)d=
900 30 30 5
√3 900t2=√3 900≈9.65(km).这场雷雨区域的直径大约是9.65 km.
{6=4k+b,
30.解:(1)设y=kx+b(k≠0).由图可知:当x=4时,y=6;当x=7时,y=9.把它们分别代入上式,得 解得
9=7k+b,
{k=1,
所以一次函数的解析式是y=x+2(x是正整数). (2)当x=10时,y=10+2=12(cm).10个这种盘子摞在一
b=2.
起的高度为12 cm.
31.解:(1)1 1.5 -0.5 (2)2 (3)y=x (4)设销售x件时的利润为p万元,则p与x的函数表达式为p=0.5x-1.
{ x+ y=30, {x=16,
32.解:设有大宿舍x间,小宿舍y间,根据题意得 解得 答:有大宿舍16间,小宿舍
8x+5 y=198, y=14.
14间.
33.解:设甲商品原价x元,乙商品原价y元,根据题意得:
{ x+ y=100,
(1-10%)x+(1+40%)y=(1+20%)×100,
{x=40,
解得 答:甲商品原价40元,乙商品原价60元.
y=60.
{y-10=6(x-10), {x=15,
34.解:设现在小明的年龄为x岁,妈妈的年龄为y岁,根据题意得 解得 答:
y+10=2(x+10), y=40.
现在小明的年龄为15岁,妈妈的年龄为40岁.35.证明:在ΔAGF中,
∠AGC=∠F+∠GAF=2∠F,∵∠ACG=∠AGC,∴∠ACG=2∠F,∵AD∥BC,∴∠ECB=∠F,∴∠ACB=∠ACG+∠BCE=3∠F,故
1
∠ACB=3∠ECB,即∠ECB= ∠ACB.
3
36.解:(1)勾股数的规律:三个数可以表示成:2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1. (2)满足这个规律的数都是勾股数. 证
明:(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2.
37.解:如图所示,∵∠BDC=∠B+∠C+∠A,∠BDC=∠EDF,∴∠EDF=∠B+∠C+∠A,又∵在ΔEDF中,
∠E+∠F+∠EDF=180°,∴∠E+∠F+∠B+∠C+∠A=180°.∴五角星的五个“星”的和为180°.
平行与折叠的创新探索题
如图所示,四边形ABCD中,其中∠C=70°,∠A=100°,点M,N分别在AB,BC上,将ΔBMN沿MN翻折,
得ΔFMN,若MF∥AD,FN∥DC,则∠B= .
〔解析〕 根据两直线平行,同位角相等求出∠BMF,∠BNF,再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM,然后
利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.∵MF∥AD,FN∥DC,∴∠BMF=∠A=100°,∠BNF=∠C=70°,∵ΔBMN
1 1 1 1
沿MN翻折得ΔFMN,∴∠BMN= ∠BMF= ×100°=50°.∠BNM= ∠BNF= ×70°=35°,在ΔBMN中,∠B=180°-
2 2 2 2
(∠BMN+∠BNM)=180°-(50°+35°)=180°-85°=95°.故填95°.
综合掌握平行线的判定定理和性质定理、三角形内角和定理及其推论.通过对知识的系统复习和整合,提升运用知识解决相关问题的能力.
培养学生养成良好的学习习惯,增强数学学习意识.
【重点】
1.平行线的性质定理和判定定理的运用.
2.三角形内角和定理的推论.
【难点】
三角形内角和定理和其推论的综合运用.
—定义
|
|
—概念
|
|—条件
—构成—
— —结论
—命题—
| |—公理
—真命题—
—分类— —定理
—假命题—反例
— | 平行线 |—同位角相等——| 两直线
— — ——内错角相等— —
的判定 平行
—同旁内角互补—
—
|—同位角相等
平行线
— —两直线平行— —内错角相等
的性质
—同旁内角互补
—三角形的内角和定理
|
— |—推论1
—三角形的内角和定理的推论—
—推论2
专题一 定义与命题
一、定义
对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定.如“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是
“两点之间的距离”的定义.
二、命题
判断一件事情的句子叫做命题.反之,如果一个句子没有对一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.每
个命题都是由条件和结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题一般都可以
写成“如果……那么……”的形式,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.三、真命题、假命题与反例
真命题:正确的命题称为真命题.
假命题:不正确的命题称为假命题.
反例:要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种
例子称为反例.
四、公理、定理、证明
公理:公认的真命题称为公理.
定理:经过证明的真命题称为定理.
证明:演绎推理的过程称为证明.
【专题分析】
本专题知识是学习证明问题的开始,对于今后的问题证明具有十分重要的基础地位.重点要领会证明的
方法和证明过程的严谨性.
将下列命题改成“如果……那么……”的形式,并指出条件和结论.
(1)等角的余角相等;
(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形.
〔解析〕 命题的改写要注意下列三点:①改写前后内容要保持一致;②改写后的命题要是一个完整的
语句;③改写后的条件和结论要表达清楚,有时要补上原命题省略的部分.
解:(1)改为:如果两个角相等,那么它们的余角相等.条件为“两个角相等”.结论为“它们的余角相等”.
(2)如果一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形,那么该四边形是梯形.条件为“一个四边形是一
组对边平行且不相等的四边形”.结论为“该四边形是梯形”.
[规律方法] 判断是不是命题,关键是看它能否说明一件事情有何结果.一般的陈述句(包括肯定句和否
定句)都为命题,疑问句和感叹句及祈使句都不是命题.找命题的条件和结论,一般先把它化成“如果……那
么……”的形式.
【针对训练1】 下列语句哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题,请指出命题的条件和结论,并判断命
题的真假.
(1)画线段AB=5 cm;
(2)你吃饭了吗?
(3)相等的角是直角;
(4)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.
〔解析〕 严格按照命题的定义判断.
解:是命题的有(3)(4),不是命题的有(1)(2).命题(3):条件:两个角相等;结论:这两个角是直角,是假命题.命题
(4):条件:两个角不相等;结论:这两个角不是对顶角,是真命题.
专题二 平行线的判定定理和性质定理的应用
一、判定两条直线平行的方法
(1)同位角相等,两直线平行.
(2)同旁内角互补,两直线平行.
(3)内错角相等,两直线平行.
(4)平行于同一直线的两直线平行.
(5)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.
二、平行线的性质
(1)两直线平行,同位角相等.
(2)两直线平行,内错角相等.
(3)两直线平行,同旁内角互补.
【专题分析】平行线的判定和性质的应用,是研究三角形的角、四边形、多边形相似等知识的重要基础.
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
如图所示,已知AB BC于B,DG AC于D,BE AC于E,∠1=∠2,求证EF AB.
⊥ ⊥
证明:∵DG AC,BE AC,
∴DG∥BE(平面内,垂直于同一直线的两直线平行),
∴∠2=∠EBC(两直线平行,同位角相等).
∵∠1=∠2,∴∠EBC=∠1,
∴EF∥BC(内错角相等,两直线平行),
∴∠EFB+∠CBA=180°(两直线平行,同旁内角互补).
⊥
∵AB BC,
∴∠CBA=90°(垂直的定义),
∴∠EFB=90°,
⊥
∴EF AB(垂直的定义).
[规律方法] 平行线的性质和判定往往在同一个题目中交替使用,当题目中出现角相等或角之间有互补
(互余)关系时,往往要用到判定方法;当题中出现平行时,往往利用性质得到角之间的关系.在今后我们学习多
边形时,平行线的性质和判定将起到工具性的作用.
【针对训练2】 如图,已知AB∥CD,BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,若∠A=45°,∠C=55°,求∠BED的度
数.
1 1 1 1
〔解析〕 由AB∥CD,可得∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,从而求得∠ABE= ∠ABC= ∠C,∠CDE= ∠CDA=
2 2 2 2
∠A,然后过点E作AB的平行线,从而易得∠BED的度数.
解:过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF,
∴∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE.
∴∠CDA=∠A=45°,∠ABC=∠C=55°.∵BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,
1 1
∴∠CDE= ∠A= ×45°=22.5°,
2 2
1 1
∠ABE= ∠C= ×55°=27.5°.
2 2
∵∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE,
∴∠BED=22.5°+27.5°=50°.
专题三 三角形内角和定理及有关三角形外角的两个推论
1.三角形的内角和等于180°.
2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
【专题分析】
本专题三角形角的相关知识是研究几何问题中角的相关知识的基础,它和平行线的知识一起构成了几
何问题的两大基点.
⊥
如图,已知BC DE于O,∠A=27°,∠D=20°,求∠B与∠ACB.
〔解析〕 ∠B在ΔBEO中,已知另外两个角即可,所以问题转化为求∠BEO,而∠BEO是ΔAED的外角,求
∠ACB的方法有两种:一种是看做ΔBAC的内角,另外也可看做ΔDCO的外角.
⊥
解:∵BC DE(已知),
∴∠B+∠BEO=90°.
∵∠BEO=∠A+∠D=27°+20°=47°,
∴∠B=90°-∠BEO=90°-47°=43°.
∵在ΔBAC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180-27°-43°=110°.
[易错提示] 1.借助三角形求角,一般是把所求的角看成是某一个三角形的内角,图上出现外角时,则要考
虑用外角的性质.
2.三角形的外角一般为图上条件,在已知条件下并不出现,我们称三角形外角为图上隐含条件,所以在审
题时要确认图上已知条件,还要认真审阅图上隐含条件.
【针对训练3】 如图所示,AB∥CD,AD∥BC,∠B=50°,∠EDA=60°,求∠CDF的度数.〔解析〕 本题要充分运用AB∥CD,AD∥BC这两个条件,利用平行线进行转化,转化为三角形的外角.
解:因为AD∥BC(已知),
所以∠F=∠EDA=60°(两直线平行,同位角相等).
因为AB∥CD(已知),
所以∠BCD+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补).
所以∠BCD=180°-∠B=180°-50°=130°(等式的性质).
又因为∠BCD=∠F+∠CDF(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
所以∠CDF=∠BCD-∠F=130°-60°=70°(等式的性质).
专题四 方程思想
【专题分析】
本章中,经常遇到利用三角形内角和定理求角度的问题,当题目中有关各角之间的数量关系比较复杂时,
可灵活运用方程(组)求解.
如图,在ΔABC中,AB=AC,D,E分别在AC,AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.
〔解析〕 根据同一个三角形中等边对等角的性质,设∠ABD=x,结合三角形外角的性质,则可用含x的代
数式表示∠A,∠ABC,∠C,再在ΔABC中,运用三角形的内角和为180°,可求∠A的度数.
解:∵DE=EB,∴设∠BDE=∠ABD=x,
∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x.
∵AD=DE,∴∠AED=∠A=2x,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x.
∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=3x.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=3x.
在ΔABC中,3x+3x+2x=180°,
解得x=22.5°.
∴∠A=2x=22.5°×2=45°.
[规律方法] (1)几何计算题中,依据题设和相关的几何图形的性质列出方程(或方程组)求解的方法叫做
方程思想;(2)求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;(3)三角形的外角通常情况
下是转化为内角来解决.
【针对训练4】 如图所示,在ΔABC中,P,Q是BC边上的两点,若∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∠BAC=130°,求
∠PAQ的度数.
〔解析〕 由∠PAB=∠B,∠QAC=∠C与三角形内角和定理相结合,可列出关于∠PAQ的方程组,解方程组
即可求得∠PAQ的度数.
解:∵∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,
∴设∠PAB=∠B=x,∠QAC=∠C=y,∠PAQ=θ,{ θ+x+ y=130°,
则得方程组
θ+2x+2y=180°,
解方程组,得θ=80°,
即∠PAQ=80°.
[解题策略] 本题中列出的方程组由两个方程组成,但未知数却有3个,显然用常规方法不能解得θ.观察
{θ+x+ y=130°①,
方程组 的特点,用①×2-②即可求得θ=80°.
θ+2x+2y=180°②
专题五 转化思想
【专题分析】
在证明角的不等问题时,如果难以找到所证各角之间的关系,那么可设法把问题转化,从而使有关各角之
间的关系由隐蔽化为明显,由复杂化为简单,由抽象化为直观.
如图所示,CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线,BF是∠ABC的平分线,CE交BF的延长线于点E,请
你判断∠ACE与∠ABE的大小关系,并证明.
〔解析〕 由题意可知∠ACE=∠DCE,∠ABE=∠CBE,则问题转化为判断∠DCE与∠CBE的大小关系.
解:∠ACE>∠ABE.
证明如下:∵CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线(已知),
∴∠DCE=∠ACE(角平分线的定义).
∵∠DCE是ΔEBC的一个外角,
∴∠DCE>∠CBE(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∵BE是∠ABC的平分线(已知),
∴∠ABE=∠CBE(角平分线的定义).
∴∠ACE>∠ABE(等量代换).
[解题策略] 在利用有关三角形外角的定理证明角的不等关系时,如果所要证明的两角没有直接联系,那
么可发挥某些角(如本题中的∠DCE与∠CBE)的桥梁作用,从而将问题转化.
【针对训练5】 如图所示,试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
〔解析〕 求多个角的度数和问题,可以联想到三角形的内角和等于180°和外角的性质,将所求角转化
到一个或几个三角形中去,从而求得多个角的和.因为∠A,∠B,∠C,∠D,∠E每个角的度数都不确定,且较分散,所
以必须把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E看成一个整体求它的度数,故考虑将其转化到一个三角形中去.
解:因为∠AGE是ΔCGE的外角,
所以∠AGE=∠C+∠E.
同理∠AFG=∠B+∠D.
因为∠AGE+∠AFG+∠A=180°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
专题六 构造思想
【专题分析】
在几何证明中,如果仅靠图中的线段难以说明问题时,那么可通过作辅助线构造某个基本图形,从而使问
题的条件或结论发生转化.
一大门的栏杆如图(1)所示,BA垂直地面AE于A,CD平行于地面AE,则∠ABC+∠BCD= .
⊥
〔解析〕 过点B作BG∥CD,易证得AB BG,如图(2)所示.根据两直线平行,同旁内角互补,得
∠BCD+∠CBG=180°.由题意得∠ABG=90°,所以∠ABC+∠BCD=180°+90°=270°.故填270°.
【针对训练6】 某校的校园平面图如图(1)所示,已知AB=470 m,BC=560 m.则这个校园的周长是多少
米?(图中的每一个角都是直角)
〔解析〕 将GF沿GH方向平移到HP,ED沿EF方向平移到PQ,GH沿GF方向平移到RQ,EF沿ED
方向平移到DR,如图(2)所示,则校园的周长就等于长方形ABCQ的周长.
解:将图(1)的部分线段经过平移,使图形变为如图(2)所示的长方形.
由平移的特征知GF=HP,ED=PQ,GH=RQ,EF=RD,
所以校园的周长为
AB+BC+AH+GF+ED+GH+EF+CD=AB+BC+AH+HP+PQ+RQ+RD+CD=AB+BC+AQ+CQ=2(AB+BC)=2×(470+5
60)=2060(m).
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列语句不是命题的是 ( )
A.三角形的内角和是180°
B.角是几何图形
C.对顶角相等吗
D.两个锐角的和是一个直角
2.下列各命题中,属于假命题的是( )
A.若a-b=0,则a=b=0
B.若a-b>0,则a>b
C.若a-b<0,则a∠3
B.∠1+∠2=∠3
C.∠1+∠2<∠3
D.∠1+∠2与∠3大小无法确定
9.如果一个三角形的两个外角的和是270°,那么这个三角形一定是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形10.如图,把ΔABC纸片沿DE折叠,点A落在四边形BCDE的内部,则 ( )
A.∠A=∠1+∠2
B.2∠A=∠1+∠2
C.3∠A=2∠1+∠2
D.3∠A=2(∠1+∠2)
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.如果一个三角形的三个外角的度数比为5∶6∶7,那么这个三角形的三个内角的度数比为 ,最小内角
的度数为 .
12.如右图所示,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= 度.
13.直角三角形两锐角的平分线相交所成的钝角等于 度.
14.如图所示,A,B之间有一座山,一条笔直的铁路要通过A,B两地,在A地测得铁路的走向是北偏东68°20',如
果A,B两地同时开工,那么在B地按 方向施工才能使铁路在山中准确接通.
15.如图所示,∠1+∠2+∠3+∠4= 度.⊥
16.如图所示,点D在ΔABC的边BC的延长线上,DE AB于E,交AC于F,∠B=50°,∠CFD=60°,则∠ACB=
.
17.(2014·吉林中考)如图,将三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=65°,则∠2的度数为 .
18.某机器零件的横截面如图所示,按要求线段AB和DC的延长线相交成直角才算合格,一工人测得
∠A=23°,∠D=31°,∠AED=143°,请你帮他判断该零件是否合格: .(填“合格”或“不合格”)
三、解答题(共58分)
19.(9分)如图所示,在ΔABC中,延长CA到E,延长BC到F,D是AB上的一点.求证∠ACF>∠ADE.
⊥ ⊥
20.(9分)如图所示,AD BC,EF BC,∠4=∠C.求证∠1=∠2.⊥
21.(10分)如图所示,在ΔABC中,∠BAC=4∠ABC=4∠C,BD AC,垂足为D,求∠ABD的度数.
22.(10分)如图所示,已知C,P,D在同一条直线上,∠BAP与∠APD互补,∠1=∠2,∠E与∠F相等吗?试说明理由.
⊥ ⊥
23.(10分)如图所示,F是ΔABC中BC延长线上一点,EF AB于点E,CD AB于点D,∠CGF=∠CFG,求证
CD平分∠ACB.
⊥ ⊥ ⊥
24.(10分)如右图所示,在ΔABC中,AC BC于C,DE BC于E,FG AB于G,∠1=∠2,求证∠2与∠3互余.
【答案与解析】
1.C(解析:此题易误选为D.)
2.A(解析:若a-b=0,则a=b.)
3.C
4.A(解析:解此类问题时,可画图帮助我们解决.)
5.B(解析:由2∠B=75°,得∠B=37.5°.)6.B
7.C(解析:过点E作AB的平行线.)
8.B(解析:∵AB∥CD,∴∠1=∠BDC,又AD∥BC,∴∠2=∠CBD,∠3是ΔBCD的外角,故∠3=∠CBD+∠BDC,即
∠3=∠1+∠2.)
9.B(解析:三角形的外角和是360°.)
10.B(解析:根据题意得∠FED=∠AED,∠FDE=∠ADE,由三角形内角和定理,可得∠FED+∠EDF=180°-∠F=180°-
∠A,∴∠AEF+∠ADF=2(180°-∠A),∴∠1+∠2=360°-(∠AEF+∠ADF)=360°-2(180°-∠A)=2∠A.∴2∠A=∠1+∠2.故选B.)
11.4∶3∶2 40°
12.360
13.135
14.南偏西68°20'
15.540
16.100°
17.25°
18.不合格(解析:延长AE交CD于F,延长AB,DC相交于点G.因为∠AED是ΔDEF的一个外角,所以
∠AED=∠DFE+∠D.同理∠DFE=∠A+∠G.所以∠AED=∠A+∠G+∠D,所以∠G=∠AED-∠A-∠D=143°-23°-31°=89°.
而按要求线段AB和DC的延长线相交成直角才算合格,但89°<90°,所以该零件不合格.)
19.证明:∵在ΔABC中,∠ACF=∠CAB+∠B,在ΔADE中,∠CAB=∠E+∠ADE,∴∠ACF>∠ADE.
⊥ ⊥
20.证明:∵AD BC,EF BC(已知),∴AD∥EF(垂直于同一条直线的两直线平行).∴∠2=∠CAD(两直线平行,同
位角相等).∵∠4=∠C(已知),∴DG∥AC(同位角相等,两直线平行).∴∠1=∠CAD(两直线平行,内错角相等).
∴∠1=∠2(等量代换).
⊥
21.解:设∠C=x,则在ΔABC中,有x+x+4x=180°,解得x=30°,所以∠BAC=120°.因为BD AC,所以∠D=90°,所以
∠ABD=∠BAC-∠D=120°-90°=30°.
22.解:∠E与∠F相等.理由如下:因为∠BAP和∠APD互补,所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),所以
∠BAP=∠CPA(两直线平行,内错角相等).因为∠1=∠2,所以∠PAE=∠APF,所以AE∥PF(内错角相等,两直线平行),
所以∠E=∠F(两直线平行,内错角相等).
⊥ ⊥
23.证明:因为EF AB,CD AB,所以CD∥EF,所以∠BCD=∠CFG,∠DCG=∠CGF.因为∠CGF=∠CFG,所以
∠BCD=∠DCA,所以CD平分∠ACB.
⊥ ⊥
24.证明:因为AC BC于C,所以∠BCA=90°.因为DE BC,所以∠BED=90°,所以DE∥AC,所以∠2=∠DCA.因
⊥
为∠1=∠2,所以∠1=∠DCA,所以FG∥CD,所以∠BGF=∠BDC.因为FG AB于G,所以
∠BGF=90°,∠BDC=∠2+∠3=90°.所以∠2与∠3互余.
综合与实践 计算器运用与功能探索1.能借助计算器探求简单的数学规律.
2.培养学生观察、归纳、概括、推理的数学能力,培养学生学习数学的兴趣和探索意识.
让学生在探索规律的过程中,感受到信息化时代,计算器是探索数学知识的有力工具.
进一步认识数学来源于生活又服务于生活的道
理,让学生在探索规律的过程中培养学生合作学习的能力和积极的学习态度.
【重点】 探索规律.
【难点】 探索规律的过程.
【教师准备】 计算器、问题计算结果表格等.
【学生准备】 根据自身实际准备计算器.
提起计算器,人们现在想到最多的已经不是古代的算盘,而是今天非常普及的各种计算器,包括日常生活
中经常使用的手机、电脑等,都带有计算器的功能.计算器为数学计算提供了极大的方便,也为人们探索科学
提供了强有力的依据,今天就让我们一同感受下计算器的魅力.
问题1
任选一个三位数(要求:百位数比个位数至少大2),将这个数的百位、十位、个位数字顺序完全颠倒,得到
另一个三位数,用其中较大的那个三位数减去较小的三位数,再将所得差的各位数字的顺序完全颠倒,又得到
一个三位数,将这个三位数再加上差本身,你得到的结果是多少?再换几个数试试,你发现了什么?
活动示例
(1)“任选一个三位数(要求:百位数比个位数至少大2)”,比如321.
(2)百位、十位、个位数字顺序完全颠倒,如123.
(3)“用其中较大的那个三位数减去较小的三位数”,比如321-123=198.
(4)“将所得差的各位数字的顺序完全颠倒”得到的新三位数是891.
(5)“将这个三位数再加上差本身”得:891+198=1089.
按照上述方法,任意选一个这样的三位数,都有1089这个结果吗?
学生按照各自选取的数字,利用计算器进行计算.
计算后老师让学生汇报计算结果,肯定大家计算的结果都是1089.
注意:教师要强调运算的顺序,任何一步的错误都会影响结果和规律的探索.是不是所有符合条件的三位数都有这样的结果呢?我们仅凭几个数字的验证,还不能得出令人信服的结
论.怎么证明这个结果呢?
教师出示证明的过程:设三位数为abc,其中a≥c+2,颠倒数位并相减.
a b c
- c b a
(a-1-c) (10+b-1-b) (10+c-a)
其中,10+b-1-b=9,现在把上数颠倒数位后再与差相加,得
(a-1-c) 9 (10+c-a)
+ (10+c-a) 9 (a-1-c)
(a-1-c+10+c-a) (18) (10+c-a+a-1-c)
问题2
任选一个正数,执行下列操作:加1,再取倒数.将所得到的结果不断执行上述操作……你发现了什么?
(探究结果提示:所得结果取三位小数始终是0.618)
如果改变操作规则(如“加2,再取倒数”“平方加1,再开方、取倒数”……),还会发现类似的规律吗?
(探究结果提示:不断重复操作,得出所得的结果取三位小数都是0.414)
问题3
1 1 1 1 1 1
借助你的计算器分别得出 , , , 的循环节. 的循环节是076923; 的循环节为
13 17 23 29 13 17
1 1
0588235294117647; 的循环节为0434782608695652173913; 的循环节为
23 29
0344827586206896551724137931
问题4
如果计算器上的某个数字按键(比如3)坏了,怎样计算含有这个数字的算式呢?(如2+3,34-
12,3×49,325,413,…)
出示情境:
小丁、小红和小刚是好朋友.一天,小丁在练习纸上看见了一道题:请用计算器算出375÷25.可是,小丁的
计算器按键3坏了,这可怎么办呀?于是,小丁让小红和小刚来出主意.小红说:“你笔算吧!”“这方法不行,要
是算错了怎么办?”小刚反驳道.但他又说:“我想到了,我们老师好像教过我们一种商不变性质.也就是被除
数和除数同时乘或除以一个不是0的数,商是不会变的,不就是现在的情况吗?”小丁马上说:“那我就让被除
数和除数同时乘2吧!”改好后是这样一个算式:750÷50.小丁拿来计算器算出了得数,连声说:“谢谢你小刚,
又让我获得了一个知识,而且,我知道了,原来很平常的除法算式也是很神奇的.”
通过这一情境,如果计算器上的按键3坏了,怎样计算有这个数字的算式呢?(如2+3,34-12,3×49…)说说你
的想法.
学生小组讨论交流想法.
进行数学探索活动,首先需要严谨认真的精神,这样才能避免探索过程不走弯路.科学的工具和有效的方
法也是成功探索的重要保证.
综合与实践 计算器运用与功能探索
问题1
问题2
问题3问题4
综合与实践 哪一款手机资费套餐更合适
1.培养学生合作交流的能力,能根据具体问题选择可行的方案.
2.了解函数在生活中的广泛应用.能利用函数的知识解决有关的实际问题.
在小组合作学习的过程中,提高学生的决策能力,体会数学与生活的密切联系.
通过认识的升华和对问题的探讨,使学生进一步理解数学、热爱数学.
【重点】 对问题的探讨.
【难点】 问题的探讨过程与决策.
手机是人与人沟通的重要工具,也是时尚的体现,随着人们生活水平的提高,手机已成为现代人生活的一
个重要组成部分,它给人们的生活带来了许多方便.人们在使用手机的过程中,话费也是人们所关注的问题,选
用哪款手机套餐,这里还有不少的学问.
出示教材189页手机资费宣传单:
套餐名称 A B C
月租 0月租 0月租 0月租
本地主叫 0.2元/min 0.18元/min 0.15元/min
长途主叫 0.28元/min 0.3元/min 0.3元/min
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长途被叫
2元来话宝 3元来电显
+3元来电 示+3元来话
基础定制
显示+5元 宝或新闻早
炫铃 晚报
市话最低 市话最低消 市话、国内
消费40元; 费60元;套 长途月最低
备注
套餐最低 餐最低月消 消费66元;
月消费50 费70元 套餐最低月元 消费72元
问题1
宣传单中每月的资费受哪些因素影响?影响资费的通话时间有哪些?
问题提示:每月的资费情况由两方面因素决定,一是基础定制业务费用,二是主叫时间的影响.影响资费的
通话时间由本地主叫时间和长途主叫时间决定.
问题2
哪一款手机资费套餐更合适?
(1)三款套餐中,哪款本地主叫最便宜,哪款长途主叫最便宜?
问题提示:套餐C本地主叫最便宜,套餐A长途主叫最便宜.)
(2)按照三款套餐的最低消费标准,每月的本地主叫和长途主叫的时间最低是多少?
问题提示:
套餐 本地主叫最低时间 长途主叫最低时间
A 200分钟 不定
B 约334分钟 约234分钟
C 440分钟(全本地) 220分钟(全长途)
(3)如果一个人本地主叫通话时间全部约为300分钟(无长途),选取哪种套餐合适?
提示:y =0.2x+10=0.2×300+10=70(元);因为套餐B的本地主叫通话时间最低约为334分钟,所以使用套餐
A
B,而每月的通话费是70元.而套餐C本地主叫通话时间最低为440分钟,每月的通话费用是72元.故选取套
餐B或套餐C.
(4)如果一个人的通话时间本地主叫时间约为200分钟,长途主叫时间约为100分钟,选择哪种套餐合适?
提示:首先要注意是否超过套餐的最低消费,如果没超过最低通话时间,也会按照最低消费计费.
套餐A:y =0.2×200+0.28×100+10=40+28+10=78(元);套餐B:y =60+0.3×100=90(元);套餐
A B
C:y =0.15×200+0.3×100+6=30+30+6=66(元).套餐C因为没有达到最低消费标准,所以实际月话费依然是72
C
元.
通过上述分析,选择套餐C便宜.
选择哪种套餐方式,与本地主叫和长途主叫的多少,以及套餐的最低消费等限定密切相关.选择手机套餐
问题,是一次函数在实际中应用的重要体现.
综合与实践 哪一款手机资费套餐更合适
问题1
问题2
综合与实践 哪个城市夏天更热
能收集数据,并对数据进行正确的分析,提高学生分析问题、解决问题的能力.在收集数据的过程中,体会数据收集与整理的重要性,学会数据收集的方法.
体会数学与生活的密切联系,认识数学学科知识的重要性.
【重点】 对数据的正确分析.
【难点】 能设计适当的标准分析数据.
夏天,是四季中的第二个季节,是北半球一年最热的季节.夏天的一个中午,我来到池塘边的一棵大树下,听
到了夏天的声音,知了弟弟“知了知了”的声音是夏天走来的脚步声,小歌星青蛙“呱呱”的声音是夏天快
乐的歌声,水珠妹妹“滴答滴答”的声音是夏天美妙的音符……夏天到了,我们知道夏天天气炎热,但你们知
道哪个城市夏天更热吗?
出示教材191页图片和表格,观察表格思考:
××××年7月××城市
日期温度 平均温度/℃ 最高温度/℃
1 25
2 26
3 26
4 28
5 27
6 29
7 27
8 30
9 32
10 28
… …
问题1
影响人体冷热感觉的因素有哪些?我们可以在上述小明设计的表格中增补哪些数据?
学生讨论后老师总结:可以增加湿度和风力两个数据.
人体冷热感觉属于触觉问题.许多人习惯只以气温的高低作为推断人体冷热感觉(感觉温度)的唯一标准,
其实,人体的感觉温度和实际气温有时相差甚远.如:人们常说:“热在三伏”,但翻开气象资料一看,多数地区
的最高气温并不出现在三伏,而是在三伏前后,人们之所以感到三伏天最热,是因为这时的“热”加进了
“湿”,是闷热.人们还有这样的体会,在旋转的电风扇下,往往感觉到电风扇的风是凉爽的,但拿一根温度计放
在电风扇前吹,就会发现温度计的示数并不下降,人感到凉爽是因为风改变了空气湿度的缘故.夏天游泳后刚
从水中上岸时感到凉爽,如果有风,甚至会冷得打颤.这些都说明大气环境对人体的影响是综合的.决定人体冷
热感觉的主要因素除外,还有湿度和风力,这三者都不可忽略.
问题2
如何制订适当的标准进行比较?注意:对于标准的确定只要学生说的有道理就要予以肯定,不是唯一的.
师:为作出客观的判断,我们应该收集哪个时间段内这两个城市的相关数据?
生:根据实际情况和气候的特点确定相应的时间段,得出:七、八月份的数据最具代表性,可以作出客观的
判断.
师:根据课前对几个城市的数据的收集,以小组为单位合作完成下列任务:
(1)制订适当的比较标准;(利用平均数、加权平均数、极差、方差等知识)
(2)收集某段时间内几个城市的相关数据;
(3)对调查数据进行处理并完成调查报告;
(4)进行全班交流.
师:选择不同的标准,比较的结果会相同吗?
学生合作完成,呈现一个小组的研究过程,全班交流、讲评、补充、弥补自己小组内的不足.
让学生讨论比较:各组的结果是否一致?如果不一致,原因是什么?
交流得出:数据和标准的不同对结果会产生不同的影响.
因为人体对温度的感觉与空气的温度、湿度、风速等因素密切相关,因此我们比较两地哪个地方热,就
要兼顾考虑这些因素的影响,制订出一个比较科学的比较标准.
综合与实践 哪个城市夏天更热
问题1
问题2
期中综合检测
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.若❑√3-m为二次根式,则m的取值范围为( )
A.m≤3 B.m<3 C.m≥3 D.m>3
2.下列说法正确的是 ( )
①0是绝对值最小的有理数;②相反数大于本身的数是负数;③数轴上原点两侧的数互为相反数;④❑√2是有
理数.
A.①② B.①③ C.①②③ D.②③④
3.下列四个实数中,绝对值最小的数是 ( )
A.-5 B.-❑√2 C.1 D.4
4.已知直角三角形的两边长分别为3和4,则此三角形的周长为 ( )
A.12 B.7+❑√7
C.12或7+❑√7 D.以上都不对
5.将一根24 cm长的筷子置于底面直径为15 cm,高为8 cm的圆柱形水杯中,如右图所示.设筷子露在杯子外
面的长度为h cm,则h的取值范围是 ( )
A.h≤17 B.h≥8
C.15≤h≤16 D.7≤h≤166.已知❑√12-n是正整数,则实数n的最大值是 ( )
A.12 B.11 C.8 D.3
7.已知❑√a+2+(b-1)2=0,则(a+b)2013的值是 ( )
A.1 B.-1 C.2013 D.-2013
8.在平面直角坐标系中,点P(n,1-n)一定不在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能是 ( )
10.在平面直角坐标系中,ΔABC的三个顶点坐标分别为A(4,5),B(1,2),C(4,2),将ΔABC向左平移5个单位长度
后,A的对应点A 的坐标是 ( )
1
A.(0,5) B.(-1,5) C.(9,5) D.(-1,0)
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.❑√16的平方根是 .
12.点P(a,a-3)在第四象限,则a的取值范围是 .
13.已知点P(3,-1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,1-b),则ab的值为 .
14.已知小岛A在灯塔B的北偏东30°的方向上,则灯塔B在小岛A的 的方向上.
15.在ΔABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,a=3,b=7,c2=58,则ΔABC是 .
16.已知直角三角形的两直角边长分别为6 cm和8 cm,则斜边上的高为 cm.
17.若点A(a,b)在第二、四象限的角平分线上,则a与b的关系是 .
18.点P(3,-5)关于x轴对称的点的坐标是 .
三、解答题(共58分)
( √1 )
19.(10分)(1)计算 3❑√12-2❑ +❑√48 ÷2❑√3.
3
(2)先化简,再求值.
(a+b)2+(a-b)(2a+b)-3a2,其中a=2+❑√3,b=❑√3-2.
16
20.(8分)如右图所示,有一个圆柱,底面圆的直径为 cm,高BC=12 cm,P为BC的中点,求蚂蚁从A点爬到P
π
点的最短距离.
21.(8分)已知❑√1-3a和|8b-3|互为相反数,求(ab)-2-27的值.22.(10分)如右图所示,直线y=-2x+3和直线y=mx-1分别交y轴于点A,B,两直线交于点C(1,n).
1 2
(1)求m,n的值;
(2)求ΔABC的面积;
(3)请根据图象直接写出:当y0,即n<12,所以(12-n)是一个完全平方数,且不为0,所以最小为1,此时n
最大,为11.)
7.B(解析:∵❑√a+2+(b-1)2=0,∴❑√a+2=0,(b-1)2=0,可知a=-2,b=1.a+b=-1,即(a+b)2013=-1.故选B.)8.C(解析:点P横、纵坐标满足x+y=1,即点P(n,1-n)在直线y=1-x上,而y=1-x过第一、二、四象限,故P(n,1-n)
一定不在第三象限.故选C.)
9.C(解析:令x=0,则函数y=kx+k2+1的图象与y轴交于点(0,k2+1),∵k2+1>0,∴图象与y轴的交点在y轴的正半轴
上.故选C.)
10.B(解析:∵ΔABC向左平移5个单位长度,A(4,5),4-5=-1,∴点A 的坐标为(-1,5).故选B.)
1
11.±2(解析:❑√16=4,4的平方根为±2.故填±2.)
12.00,a-3<0,解得01.
{ 5x(0≤x≤3),
23.解:(1)方案一的函数关系式是y=4x,方案二的函数关系式是y= (2)当
1 2 15+3.5(x-3)(x>3).
x≤3时,选择方案一;当x>3时,4x>15+3.5(x-3),解得x>9;4x=15+3.5(x-3),解得x=9;4x<15+3.5(x-3),解得39时,选择方案二.❑√n
24.解:(1)结合已知数据,可得OA2 =n;S= . (2)∵OA2 =n,∴OA =❑√10. (3)S2+S2+S2 +…+
n n 2 n 10 1 2 3
1 2 3 100 1+2+3+…+100 5050 2525
S2 = + +
+…+
= = =
.
100 4 4 4 4 4 4 2
期末综合检测
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.已知直角三角形的斜边长为10,两直角边长的比为3∶4,则较短直角边的长为 ( )
A.3 B.6 C.8 D.5
22
2.在给出的一组数据0,π,❑√5,3.14,√3 9, 中,无理数有 ( )
7
A.1个 B.2个
C.3个 D.5个
3.某一次函数的图象经过点(1,2),且y随x的增大而减小,则这个函数的表达式可能是 ( )
A.y=2x+4 B.y=3x-1
C.y=-3x+1 D.y=-2x+4
4.为了让人们感受丢弃废旧电池对环境造成的影响,某班环保小组的6名同学记录了自己家中一个月内丢弃
废电池的数量,结果如下(单位:个):7,5,6,4,8,6,如果该班有45名学生,那么根据提供的数据估计该月全班同学
各家总共丢弃废旧电池的数量为 ( )
A.180 B.225
C.270 D.315
2
5.下列四个点中,在正比例函数y=- x的图象上的点是( )
5
A.(2,5) B.(5,2)
C.(2,-5) D.(5,-2)
6.估算❑√24+3的值是 ( )
A.在5与6之间B.在6与7之间
C.在7与8之间D.在8与9之间
7.将三角形三个顶点的横坐标都减2,纵坐标不变,则所得三角形与原三角形的关系是 ( )
A.将原图向左平移两个单位长度
B.关于原点对称
C.将原图向右平移两个单位长度
D.关于y轴对称
8.对于一次函数y=x+6,下列结论错误的是( )
A.函数图象与x轴交点坐标是(0,6)
B.函数值随自变量的增大而增大
C.函数图象与x轴正方向成45°角
D.函数图象不经过第四象限9.如图,点O是矩形ABCD的对称中心,E是AB边上的点,沿CE折叠后,点B恰好与点O重合,若BC=3,则折痕
CE的长为( )
3❑√3
A.2❑√3 B. C.❑√3 D.6
2
10.如图,正方形网格中的ΔABC,若每个小方格边长都为1,则ΔABC的形状为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.以上答案都不对
二、填空题(每小题4分,共32分)
{ax- y+b=0,
11.如图,已知直线y=ax+b和直线y=kx交于点P(-4,-2),则关于x,y的二元一次方程组 的解
kx- y=0
是 .
12.若样本1,2,3,x的平均数为5,又知样本1,2,3,x,y的平均数为6,则样本1,2,3,x,y的方差是 .
13.已知O(0,0),A(-3,0),B(-1,-2),则ΔAOB的面积为 .
14.小明家准备春节前举行80人的聚餐,需要去某餐馆订餐.据了解餐馆有10人座和8人座两种餐桌,要使所
订的每个餐桌刚好坐满,则订餐方案共有 种.
1
15.若一次函数y=kx+b(b≠0)与函数y= x+1的图象关于x轴对称,且交点在x轴上,则这个一次函数的表达式
2
为 .
16.若直线y=ax+7经过一次函数y=4-3x和y=2x-1的图象的交点,则a的值是 .
{x+ y=3k,
17.若关于x,y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程x+2y=8的解,则k的值为 .
x- y=k18.如图(1),在矩形MNPQ中,动点R从点N出发,沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程
为x,ΔMNR的面积为y,若y关于x的函数图象如图(2)所示,则当x=9时,点R应运动到 .
三、解答题(共58分)
❑√2×❑√6 √4
19.(10分)(1)计算 -❑ +❑√27×❑√8.
❑√8 3
{2x+3 y=0,
(2)解方程组
3x- y=11.
❑√a2-1+❑√1-a2+a
20.(8分)若a,b为实数,且b= ,求-❑√a+b-3的值.
a+1
21.(8分)某校教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导,对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行
了调查统计,并绘制了下表.
零花钱数额/元 5 10 15 20
学生人数 10 15 20 5
(1)求出这50名学生每人一周内的零花钱数额的平均数、众数和中位数;
(2)你认为(1)中的哪个数据代表这50名学生每人一周零花钱数额的一般水平较为合适?简要说明理由.
22.(10分)如右图所示,直线PA是一次函数y=x+1的图象,直线PB是一次函数y=-2x+2的图象.
(1)求A,B,P三点的坐标;
(2)求四边形PQOB的面积.
23.(10分)小明从家骑自行车出发,沿一条直路到相距2400 m的邮局办事,小明出发的同时,他的爸爸以96
m/min速度从邮局沿同一条道路步行回家,小明在邮局停留2 min后沿原路以原速返回,设他们出发后经过t
min时,小明与家之间的距离为s m,小明的爸爸与家之间的距离为s m,图中折线OABD、线段EF分别表
1 2
示s,s 与t之间的函数关系的图象.
1 2(1)求s 与t之间的函数关系式;
2
(2)小明从家出发,经过多长时间在返回途中追上爸爸?这时他们距离家还有多远?
24.(12分)某大酒店客房部有三人间、双人间和单人间客房,收费数据如下表(例如三人间普通间客房每人每
天收费50元).为吸引客源,在“十一黄金周”期间进行优惠大酬宾,凡团体入住一律五折优惠.一个50人的旅
游团在十月二号到该酒店住宿,租住了一些三人间、双人间普通客房,并且每个客房正好住满,一天一共花去
住宿费1510元.
普通间/ 豪华间/ 贵宾间/
(元/人/天) (元/人/天) (元/人/天)
三人间 50 100 500
双人间 70 150 800
单人间 100 200 1500
(1)三人间、双人间普通客房各租了多少间?
(2)设三人间共住了x人,则双人间住了 人,一天一共花去住宿费用y元表示,写出y与x的函数关系式;
(3)如果你作为旅游团团长,你认为上面这种住宿方式是不是费用最少?为什么?
【答案与解析】
1.B(解析:设两条直角边长分别为3x,4x.根据题意得(3x)2+(4x)2=102,解方程得x=2或x=-2(舍去),所以3x=6.故选
B.)
2.C(解析:由无理数的定义,可知无理数有π,❑√5,√3 9,共3个.故选C.)
3.D(解析:∵y随x的增大而减小,∴一次函数y=kx+b(k≠0)中k<0,故A,B不正确,又∵一次函数的图象中经过点
(1,2),∴把点(1,2)分别带入C,D中,只有D符合题意.故选D.)
7+5+6+4+8+6
4.C(解析:估计本月全班同学各家总共丢弃废旧电池的数量为 ×45=270.故选C.)
6
2 4 2 2
5.D(解析:A.当x=2时,y=- ×2=- ≠5,本选项错误;B.当x=5时,y=- ×5=-2≠2,本选项错误;C.当x=2时,y=-
5 5 5 5
4 2
×2=- ≠-5,本选项错误;D.当x=5时,y=- ×5=-2,本选项正确.故选D.)
5 5
6.C(解析:∵❑√16<❑√24<❑√25,∴4<❑√24<5,故7<❑√24+3<8.故选C.)
7.A(解析:∵将三角形三个顶点的横坐标都减2,纵坐标不变,∴所得三角形与原三角形的关系是:将原图向左平
移两个单位长度.故选A.)
8.A(解析:当x=0时,y=6,则函数图象与y轴交点坐标是(0,6),故A选项错误;B.y=x+6中,k=1>0,则函数值随自变
量的增大而增大,故B选项正确;C.函数图象与x轴正方向成45°角,故C选项正确;D.函数经过第一、二、三
象限,不经过第四象限,故D选项正确.故选A.)
9.A(解析:∵ΔCEO由ΔCEB翻折而成,∴BC=OC,BE=OE,∵O是矩形ABCD的对称中心,∴OE是AC的垂直平分
线,AC=2BC=2×3=6,∴AE=CE,在RtΔABC中,AC2=AB2+BC2,即62=AB2+32,解得AB=3❑√3,在RtΔAOE中,设
OE=x,则AE=3❑√3-x,AE2=AO2+OE2,即(3❑√3-x)2=32+x2,解得x=❑√3,∴AE=EC=3❑√3-❑√3=2❑√3.故选A.)
10.B(解析:由图可知AC2=13,AB2=52,BC2=65,AC2+AB2=13+52=65=BC2,所以AC2+AB2=BC2,所以ΔABC是直角
三角形.故选B.)
{x=-4,
11. (解析:由图形可知:函数y=ax+b和y=kx的图象的交点为点P(-4,-2),则x=-4,y=-2同时满足两个
y=-2
{x=-4, {y=ax+b, {ax- y+b=0, {x=-4,
函数的解析式,所以 是 即二元一次方程组 的解.故填 )
y=-2 y=kx, kx- y=0 y=-2.
12.26(解析:依题意得:1+2+3+x=5×4,① 解得x=14,② 1+2+3+x+y=6×5,即x+y=24.③ 将②代入③中,解得
y=10.样本的方差s2=[(1-6)2+(2-6)2+(3-6)2+(14-6)2+(10-6)2]÷5=26.故填26.)
13.3(解析:由题意知OA=3,三角形AOB的面积=3×2÷2=3.故填3.)14.3(解析:设订10人桌x张,8人桌y张,根据题意得10x+8y=80,∵x,y均为整数,∴
{ x=0, {x=4,{x=8,
共3种方案.故填3.)
y=10, y=5, y=0,
1 1 1
15.y=- x-1(解析:∵两函数图象交于x轴,∴0= x+1,解得x=-2,∴0=-2k+b,∵y=kx+b与y= x+1关于x轴对称,
2 2 2
1 1 1
∴b=-1,∴k=- ,∴y=- x-1.故填y=- x-1.)
2 2 2
16.-6(解析:根据题意,得4-3x=2x-1,解得x=1,∴y=1.把(1,1)代入y=ax+7,解得a=-6.故填-6.)
{x+ y=3k, {x=2k, {x=2k,
17.2(解析:解二元一次方程组 得 将 代入x+2y=8中,解得k=2.故填2.)
x- y=k, y=k, y=k
18.Q处(解析:当点R运动到PQ上时,ΔMNR的面积y达到最大,且保持一段时间不变;到Q点以后,ΔMNR的面
积y开始减小.故当x=9时,点R应运动到Q处.故填Q处.)
❑√6 2 13 2
19.解:(1)原式= -
❑√3+3❑√3×2 ❑√2= ❑√6- ❑√3.
(2)由3x-y=11,可得y=3x-11,再将y=3x-11代入
2 3 2 3
{ x=3,
2x+3y=0,得x=3,将x=3代入y=3x-11,得y=-2,所以原方程组的解为
y=-2.
20.解:因为a,b为实数,且a2-1≥0,1-a2≥0,所以a2-1=1-a2=0.所以a=±1.又因为a+1≠0,所以a=1.代入原式,得b=
1
,所以-❑√a+b-3=-3.
2
21.解:(1)平均数是12元,众数是15元,中位数是12.5元. (2)用众数代表这50名学生一周零花钱数额的一般
水平较为合适,因为15元出现的次数最多,所以能代表一周零花钱的一般水平.
22.解:(1)在y=x+1中,当y=0时,则有x+1=0,解得x=-1,∴A(-1,0),在y=-2x+2中,当y=0时,则有-2x+2=0,解得
1
{x= ,
{ y=x+1, 3 1 4 (1 4)
⊥ ,
x=1,∴B(1,0),由 得 ∴P , (2)过点P作PC x轴于点C,由P 得:PC=
y=-2x+2 4 3 3 3 3
y= .
3
|4| 4 1 1 4 4
= =
,由A(-1,0),B(1,0)可得OA=|-1|=1,OB=|1|=1,∴AB=OA+OB=2,∴S = AB·PC= ×2× ,在y=x+1
3 3 ΔABP 2 2 3 3
1 1 1 4 1 5
=
中,当x=0时,则有y=1,∴Q(0,1),∴OQ=|1|=1,∴S = OA·OQ= ×1×1= ,∴S =S -S = - .
ΔAOQ 2 2 2 四边形PQOB ΔABP ΔAOQ 3 2 6
2400
23.解:(1)∵小明的爸爸以96 m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家,∴小明的爸爸所用的时间为
96
=25(min),即OF=25,如下图所示,设s 与t之间的函数关系式为s=kt+b(k≠0),∵E(0,2400),F(25,0),∴
2 2
{ b=2400, {b=2400,
解得 ∴s 与t之间的函数关系式为s=-96t+2400. (2)如图所示,小明用了10
25k+b=0, k=-96, 2 2
{12a+c=2400,
min到邮局,∴D点坐标为(22,0),设直线BD,即s 与t之间的函数关系式为s=at+c(a≠0),∴
1 1 22a+c=0,
{a=-240,
解得 ∴s 与t之间的函数关系式为s=-240t+5280,当s=s 时,小明在返回途中追上爸爸,
c=5280, 1 1 1 2即-96t+2400=-240t+5280,解得t=20,∴s=s=480,∴小明从家出发,经过20 min在返回途中追上爸爸,这时他们
1 2
距离家还有480 m.
24.解:(1)设三人间普通客房租了x间,双人间普通客房租了y间.根据题意得
{ 3x+2y=50, { x=8,
解得 因此,三人间普通客房租了8间,双人间普
50×50%×3x+70×50%×2y=1510, y=13.
通客房租了13间. (2)(50-x) 根据题意得:y=25x+35(50-x),即y=-10x+1750. (3)不是,由上述一次函数可知,y
随x的增大而减小,当三人间住的人数大于24人时,所需费用将少于1510元.
