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第七章 平行线的证明（单元测试）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．下列命题是假命题的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．负数没有立方根
C．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】B
【解析】A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题；
B、负数有立方根，原命题是假命题；
C、在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，是真命题；
D、同旁内角互补，两直线平行，是真命题；
故选B．
2．如图，下列条件中不能判断a∥b的是（ ）
A．∠2＝∠6 B．∠1＝∠4 C．∠4+∠6＝180° D．∠3+∠5＝180°
【答案】B
【解析】A、∠2＝∠6可以判定a，b平行，不符合题意；
B、∠1＝∠4，不能判定a，b平行，符合题意；
C、∠4+∠6＝180°，可以判断a、b平行，不符合题意；
D、∠3+∠5＝180°，可以判定a，b平行，不符合题意．
故选B．
3．一个三角形三个内角之比为1：3：5，则最小的角的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
【答案】A1
【解析】三角形的最小的角= ×180°＝20°，故选A．
9
4．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝40° D．∠1＝40°，∠2＝40°
【答案】A
【解析】当∠1＝∠2＝45°时，∠1+∠2＝90°，但∠1＝∠2，
∴命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”是假命题，故选A．
5．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝64°，则∠2＝（ ）
A．116° B．122° C．128° D．142°
【答案】B
【解析】∵∠1＝64°，∴∠3+∠4＝180°﹣64°＝116°，
∵AE平分∠BAC，∴∠3＝∠4＝116°÷2＝58°，
∵AC∥BD，∴∠2+∠4＝180°，∴∠2＝180°﹣58°＝122°．故选B．
6．在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线 ，
．这样操作的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行
【答案】D
【解析】如图，由题意得 ，根据内错角相等，两直线平行可得 ．故选D．
7．如图，点E、F分别是AB、CD上的点，点G是BC的延长线上一点，且∠B＝∠DCG＝∠D，则下列判
断不一定成立的是（ ）
A．AB∥CD B．AD∥BG
C．∠B＝∠AEF D．∠BEF+∠EFC＝180°
【答案】C
【解析】A、∵∠B＝∠DCG＝∠D，∴AB∥DC，AD∥BG，正确，故本选项不符合题意；
B、∵∠B＝∠DCG＝∠D，∴AB∥DC，AD∥BG，正确，故本选项不符合题意；
C、根据AB∥DC，AD∥BG不能推出EF∥BC，所以不能推出∠B＝∠AEF，错误，故本选项符合题意；
D、∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFC＝180°，正确，故本选项不符合题意；
故选C．
8．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（
）
A．40° B．60° C．80° D．140°
【答案】C
【解析】连接AA′．
∵∠B＝60°，∠C＝80°，∴∠A＝40°
∵∠1＝∠EA′A+∠EAA′，∠2＝∠DA′A+∠DAA′，∠BCA＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD＝80°，故选C．
9．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF⊥DE垂足为F，则∠ABE与∠EDC的数量关系是（ ）1
A．∠ABE= ∠EDC B．∠ABE+∠EDC＝180°
4
1 1
C．∠EDC− ∠ABE＝90° D．∠ABE+ ∠EDC＝90°
2 2
【答案】C
【解析】过F点作FG∥AB，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠BFG＝∠ABF，∠DFG+∠CDF＝180°，
∵BF⊥DE，∴∠BFD＝90°，
∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABF，∴∠BFG+∠DFG+∠CDF＝∠ABF+180°，
1 1
∴90°+∠CDE= ∠ABE+180°，即∠EDC− ∠ABE＝90°．故选C．
2 2
10．将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，得到下列结论：
①∠2=∠3；
②如果∠3=60°，则AC∥DE；
③如果BC∥AD，则∠2=45°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【解析】①由题知：∠DAE=∠2+∠3=90°，但∠2=∠3无法得证，故①不正确；
②由题意知：∠E=60°，∠CAB=∠1+∠2=90°，∠EAD=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3=60°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，故②正确；
③由题意知：∠B=45°，∠EAD=∠2+∠3=90°，
∵BC∥AD，∴∠B=∠3=45°，∴∠2=45°，故③正确；
④∵∠CAD=∠EAD+∠1=150°，∠EAD=90°，∠E=60°，
∴∠1=60°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，∴∠C=∠4，故④正确；
综上：正确的有②③④，共3个．故选C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．下列命题中，是真命题的是 ．（填序号）
①对顶角相等；
②内错角相等；
③三条直线两两相交，总有三个交点；
④若a∥b，b∥c，则a∥c．
【答案】①④
【解析】①对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；
②两直线平行，内错角相等，故原命题错误，不符合题意；
③三条直线两两相交，总有三个或一个交点，故原命题错误，不符合题意；
④若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，是真命题，符合题意，
正确的有①④．故答案为：①④．
12．如图，写出一个能判定AD∥BC的条件： ．
【答案】∠A＝∠CBE（答案不唯一）
【解析】∠A＝∠CBE，
∵∠A＝∠CBE，∴AD∥BC，故答案为：∠A＝∠CBE（答案不唯一）．
13．如图，AB∥CD，CB平分∠ABD，若∠ABC＝40°，则∠D的度数为 ．【答案】100°
【解析】∵CB平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABC＝80°，
∵AB∥CD，∴∠ABD+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣80°＝100°，则∠D的度数为100°．故答案为：100°．
14．如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是___________．
【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】由作图可知，
， （内错角相等两直线平行），故答案为：内错角相等，两直线平行．
15．已知△ABC中，∠ABC＝30°，AD是BC边上的高，∠CAD＝20°，则∠BAC＝ °．
【答案】80或40
【解析】分为两种情况：①如图1，
∵AD为BC边上的高，∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝30°，∴∠BAD＝60°，
∵∠CAD＝20°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；
②如图2，
∵AD为BC边上的高，∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝30°，∴∠BAD＝60°，
∵∠CAD＝20°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°；故答案为：80或40．
16．某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是
.
①第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
②第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
③第一次向左拐70°，第二次向右拐110°
④第一次向左拐70°，第二次向左拐110°
【答案】④
【解析】如图：
第一次向左拐70°，∠1＝180°﹣70°＝110°，第二次向左拐110°，∠2＝110°，
所以，∠1＝∠2，
所以，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反．故答案为：④．
17．如图，已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM
上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则
∠EBC的度数为 ．
【答案】105°
【解析】过点B作BG∥DM，如图：∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）可得∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①
△由AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝15°，
∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．故答案为：105°．
18．如图，在直角三角形ABC中，点P、Q分别是AC、BC边上的两个动点，MP、NQ分别平分∠APQ和
∠BQP，交AB于点M、N，MR、NR又分别平分∠BMP和∠ANQ，两条角平分线交于点R，则∠R＝
°．
【答案】67.5
【解析】∵∠C+∠A+∠B＝180°，∠C+∠CPQ+∠CQP＝180°，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠CPQ+∠CQP＝90°，∴∠APQ+∠BQP+∠CPQ+∠CQP＝360°，
∴∠APQ+∠BQP＝270°，
∵MP、NQ分别平分∠APQ和∠BQP，∴∠MPQ+∠NQP＝∠APM+∠BQN＝135°，
∵∠MPQ+∠NQP+∠PMN+∠QNM＝360°，∴∠PMN+∠QNM＝225°，
∵MR、NR又分别平分∠BMP和∠ANQ，∴∠NMR+∠MNR＝112.5°，
∵∠NMR+∠MNR+∠R＝180°，∴∠R＝67.5°．故答案为67.5．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠DEF＝∠A，求证：∠ACB＝∠DEB．
【解析】证明：∵∠2＋∠BDC＝180°，∠1＋∠2＝180°，
∴∠1＝∠BDC，
∴EF∥AB，
∴∠DEF＝∠BDE，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠BDE＝∠A，
∴DE∥AC，
∴∠ACB＝∠DEB．
20．（6分）如图，直线 ， 被直线 ， 所截， ，直线 分别交 和 于点 ，
．点 在直线 上， ，求证： ．
请在下列括号中填上理由：
证明：因为 （已知），所以 （_______）．
又因为 （已知），所以 ，即 ，
所以_______（同位角相等，两直线平行），所以 （_______）．
【解析】证明：因为 （已知），
所以 两直线平行，同位角相等）．又因为 （已知），
所以 ，
即 ，
所以 （同位角相等，两直线平行），
所以 （两直线平行，同旁内角互补 ．
故答案为：两直线平行，同位角相等； ；两直线平行，同旁内角互补．
21．（6分）如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交
BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．
【解析】∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝38°，∠C＝74°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°．
∵AE平分∠BAC，
1 1
∴∠BAE= ∠BAC= ×68°＝34°．
2 2
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝52°﹣34°＝18°．
∵DF⊥AE，
∴∠ADF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣18°＝72°．
22．（6分）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，
连结BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．（1）求证：∠DEF＝∠EBG；
（2）若∠EBG＝∠A，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．
【解答】证明：（1）∵EB⊥EF，
∴∠FEB＝90°，
又∵∠DEF+∠BEG＝180°﹣90°＝90°，∠EBG+∠BEG＝90°，
∴∠DEF＝∠EBG，
（2）AB∥EF，理由如下：
∵EF平分∠AED，
1
∴∠AEF＝∠DEF= ∠AED，
2
∵∠EBG＝∠A，∠DEF＝∠EBG，
∴∠A＝∠DEF，
又∵∠DEF＝∠AEF
∴∠A＝∠AEF，
∴AB∥EF．
23．（8分）如图，在△ABC中， ， ，CF平分 交AB于点E．
（1）求 的度数：
（2）若 于点D， ．判断△CFD的形状，并说明理由．
【解析】（1） 中， ， ，
，
又 平分 ，，
即 ；
（2） 是直角三角形，
理由： 于点D， ，
，
又 ，
，
又 ，
，
是直角三角形．
24．（10分）如图，点 ， 分别在 ， 上， ，垂足为点 ．已知 ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求点 到直线 的距离．
【解析】（1）证明：因为 （已知），
所以 （同位角相等，两直线平行），
因为 （已知），
所以 （垂直的性质），
所以 （垂直的定义），
又因为 （平角的定义）．
即 ，
又因为 ，
所以 （同角的余角相等），
所以 （内错角相等，两直线平行）；
（2）解：因为 （已证），且 ， ， ．
设点 到直线 的距离为 ．所以 ，
所以 ，
即 ，
所以点 到直线 的距离为 ．
25．（12分）如图，在△ABC，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）若∠DAE＝10°，∠AEF＝50°，求∠B，∠C的度数；
（2）若∠DAE＝α，∠AEF＝β，请直接用含α，β的式子表示∠B，∠C．
【解析】（1）∵AD⊥BC，∠DAE＝10°，
∴∠AED＝∠ADE﹣∠DAE＝80°，
∵∠AEF＝50°，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AED＝50°，
∵EF⊥AC，
∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝40°，∠C＝90°﹣∠FEC＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC＝80°，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣40°＝60°；
（2）∵AD⊥BC，∠DAE＝α，
∴∠AED＝∠ADE﹣∠DAE＝90﹣α，
∵∠AEF＝β，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AED＝180﹣β﹣（90﹣α）＝90+α﹣β，
∵EF⊥AC，
∴∠EAF＝90﹣β，∠C＝90°﹣∠FEC＝β﹣α，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC＝180﹣2β，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝α+β．
26．（12分）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，
∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．
【解析】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠CEA，
∴∠CEA＝∠BAE，
∴AB∥CD；
（2）证明：过F作FM∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴AB∥FM∥CD，
∴∠BAF+∠AFE＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，
∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，
即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）解：设∠GEF＝∠C＝x°，∵∠GEF＝∠C，∠GED＝2∠GEF，
∴∠GED＝2x°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣x°，
∵AE平分∠BAC，
1 1 1
∴∠BAE= ∠BAC= （180°﹣x°）＝90°− x°，
2 2 2
由（1）知：AB∥CD，
∴∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AEF＝35°，
1
∴90− x+x﹣35+2x＝180，
2
解得：x＝50，
即∠C＝50°．
