文档内容
2022年贵州省黔西南州中考数学试卷
一、选择题（本题10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣3的绝对值是（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．
2．（4分）如图，是由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）据央视6月初报道，电信5G技术赋能千行百业，打造数字经济底座．5G牌照发放
三年来，三大电信运营商共投资4772亿元．把数字4772亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.772×109 B．4.772×1010 C．4.772×1011 D．4.772×1012
4．（4分）计算（﹣3x）2•2x正确的是（ ）
A．6x3 B．12x3 C．18x3 D．﹣12x3
5．（4分）小明解方程 ﹣1＝ 的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝
kx+2的图象经过的象限是（ ）A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
7．（4分）在△ABC中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，
两弧相交于点M和N．作直线MN交AC于点D，交BC于点E，连接AE．则下列结论不一
定正确的是（ ）
A．AB＝AE B．AD＝CD C．AE＝CE D．∠ADE＝∠CDE
8．（4分）在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD
折叠，点B到点E的位置，连接AE．若AE∥DC，∠B＝ ，则∠EAC等于（ ）
α
A． B．90°﹣ C． D．90°﹣2
α α α α
9．（4分）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水
田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每
天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（ ）
A． ＝2× B． ＝2×C． ＝2× D． ＝2×
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，
AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE＝3，EF＝1．以下结论正确的个数是（ ）
①OA＝3AF；
②AE平分∠OAF；
③点C的坐标为（﹣4，﹣ ）；
④BD＝6 ；
⑤矩形ABCD的面积为24 ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本题10小题，每小题3分，共30分）
11．（3分）计算： ＝ ．
12．（3分）已知点（2，y ），（3，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，则y 与y 的大小关系是
1 2 1 2
．
13．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，AC与
DE相交于点F．若BC∥AE，则∠AFE的度数为 ．
14．（3分）某校九（1）班10名同学进行“引体向上”训练，将他们做的次数进行统计，制成
下表，则这10名同学做的次数组成的一组数据中，中位数为 ．次数 4 5 6 7 8
人数 2 3 2 2 1
15．（3分）已知ab＝2，a+b＝3，求a2b+ab2的值是 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点
A（4，0），点C（2，0），则△OAB与△OCD周长的比值是 ．
17．（3分）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面
直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣
x2+ x+ ，则铅球推出的水平距离OA的长是 m．
18．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角
∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是 ．
19．（3分）如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直
线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为
80nmile，则C岛到航线AB的最短距离约是 nmile．（参考数据： ≈1.4，≈1.7，保留整数结果）
20．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），A B 的中点为C ；A（0，3），B
1 1 1 1 1 2 2
（﹣2，0），A B 的中点为C ；A（﹣4，0），B（0，﹣3），A B 的中点为C ；A（0，﹣5），B
2 2 2 3 3 3 3 3 4 4
（4，0），A B 的中点为C ；…；按此做法进行下去，则点C 的坐标为 ．
4 4 4 2022
三、解答题（本题6小题，共80分）
21．（12分）（1）计算：﹣22+ × +（ ）﹣1﹣（ ﹣3）0；
π
（2）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
22．（14分）神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我
的航天梦”科技活动周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，A：航模制
作；B：航天资料收集；C：航天知识竞赛；D：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参
与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的m名学生（每名学生必选一项且只能选择一项），
并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；并补全条形统计图；
（2）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；
（3）在选择A项活动的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这10名学生平均分
成两组进行培训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作 O，分别交BC于点D，交AC于点
E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长⊙线于点F．
（1）求证：DH是 O的切线；
⊙
（2）若E为AH的中点，求 的值．
24．（12分）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花
卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花
卉的种植费用为300元．
（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活
率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年
共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费
用最低？并求出最低费用．
25．（14分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），
且∠EAF＝45°．
（1）当BE＝DF时，求证：AE＝AF；
（2）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH＝AE．若
DF＝a，CH＝b，请用含a，b的代数式表示EF的长．
26．（16分）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经
过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点
的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2022年贵州省黔西南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣3的绝对值是（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．
【分析】根据绝对值的性质：|a|＝ 即可得出答案．
【解答】解：﹣3的绝对值：|﹣3|＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的相关概念，解题关键在于熟记绝对值的定义．
2．（4分）如图，是由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看，底层左边是两个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．
3．（4分）据央视6月初报道，电信5G技术赋能千行百业，打造数字经济底座．5G牌照发放
三年来，三大电信运营商共投资4772亿元．把数字4772亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.772×109 B．4.772×1010 C．4.772×1011 D．4.772×1012
【分析】科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．
【解答】解：1亿＝100000000，
∴4772亿＝477200000000＝4.772×1011，
故选：C．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较大的数，解题关键在于正确换算单位．
4．（4分）计算（﹣3x）2•2x正确的是（ ）
A．6x3 B．12x3 C．18x3 D．﹣12x3
【分析】先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可．
【解答】解：（﹣3x）2•2x
＝9x2•2x
＝18x3．
故选：C．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌
握．
5．（4分）小明解方程 ﹣1＝ 的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】对题目的解题过程逐步分析，即可找出出错的步骤．
【解答】解：方程两边同乘6应为：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出错的步骤为：①，
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次方程，解题关键在于能准确观察出出错的步骤．
6．（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝
kx+2的图象经过的象限是（ ）A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【分析】先根据反比例函数的图象位于二，四象限，可得k＜0，由一次函数y＝kx+2中，k＜
0，2＞0，可知它的图象经过的象限．
【解答】解：由图可知：k＜0，
∴一次函数y＝kx+2的图象经过的象限是一、二、四．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的性质，掌握反比例函数与一次函数系数与图
象的位置是解本题的关键．
7．（4分）在△ABC中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，
两弧相交于点M和N．作直线MN交AC于点D，交BC于点E，连接AE．则下列结论不一
定正确的是（ ）
A．AB＝AE B．AD＝CD C．AE＝CE D．∠ADE＝∠CDE
【分析】利用线段的垂直平分线的性质判断即可．
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴AD＝DC，EA＝EC，∠ADE＝∠CDE＝90°，
故选项B，C，D正确，
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解
题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（4分）在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD
折叠，点B到点E的位置，连接AE．若AE∥DC，∠B＝ ，则∠EAC等于（ ）
α
A． B．90°﹣ C． D．90°﹣2
α α α α
【分析】由直角三角形斜边上的中线性质和折叠的性质得出CD＝BD＝AD＝ED，∠B＝
∠DCB＝∠DCE＝∠CED＝ ，求出∠EAD＝∠AED＝180°﹣2 ，∠CAD＝90°﹣ ，即可得
出答案． α α α
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，
∴CD＝BD＝AD，
由折叠的性质得：BD＝ED，∠B＝∠CED，
∴CD＝BD＝AD＝ED，
∴∠B＝∠DCB＝∠DCE＝∠CED＝ ，
∴∠EDC＝180°﹣∠DCE﹣∠CED＝α180°﹣ ﹣ ＝180°﹣2 ，
∵AE∥DC， α α α
∴∠AED＝∠EDC＝180°﹣2 ，
∵ED＝AD， α
∴∠EAD＝∠AED＝180°﹣2 ，
∵∠B＝ ，∠ACB＝90°， α
∴∠CADα＝90°﹣ ，
∴∠EAC＝∠EADα﹣∠CAD＝180°﹣2 ﹣（90°﹣ ）＝90°﹣ ，
故选：B． α α α
【点评】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的
性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
9．（4分）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水
田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（ ）
A． ＝2× B． ＝2×
C． ＝2× D． ＝2×
【分析】根据该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半列出方程即可．
【解答】解：根据题意得： ＝2× ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中
的等量关系，列出方程．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，
AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE＝3，EF＝1．以下结论正确的个数是（ ）
①OA＝3AF；
②AE平分∠OAF；
③点C的坐标为（﹣4，﹣ ）；
④BD＝6 ；
⑤矩形ABCD的面积为24 ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】通过证明△AEF∽△BEO，可得BO＝3AF，由矩形的性质可得OA＝OB＝3AF，故
①正确；由等腰三角形的性质和相似三角形的性质可得∠OBA＝∠OAB＝∠EAF，可得
AE平分∠OAF，故②正确；由勾股定理可求AF的长，即可求点A坐标，由矩形是中心对
称图形，可得点C（﹣4，﹣ ），故③正确；由BD＝2AO＝6 ，故④错误，由面积公式
可求矩形ABCD的面积＝2×S△ABD ＝24 ，故⑤正确，即可求解．【解答】解：∵∠OEB＝∠AEF，∠AFE＝∠BOE＝90°，
∴△AEF∽△BEO，
∴ ＝ ＝3，∠EAF＝∠OBE，
∴BO＝3AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝OB，
∴AO＝3AF，∠OBA＝∠OAB，故①正确；
∴∠OAB＝∠EAF，
∴AE平分∠OAF，故②正确；
∵OE＝3，EF＝1，
∴OF＝4，
∵OA2﹣AF2＝OF2，
∴8AF2＝16，
∴AF＝ （负值舍去），
∴点A坐标为（4， ），
∵点A，点C关于原点对称，
∴点C（﹣4，﹣ ），故③正确；
∵AF＝ ，OA＝3AF，
∴AO＝3 ，
∴BO＝DO＝3 ，
∴BD＝6 ，故④错误；
∵S△ABD ＝ ×6 ×4＝12 ，
∴矩形ABCD的面积＝2×S△ABD ＝24 ，故⑤正确，
故选：C．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等
知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二、填空题（本题10小题，每小题3分，共30分）
11．（3分）计算： ＝ 1 ．【分析】利用分式的减法法则，化简得结论．
【解答】解：原式＝
＝
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的减法，题目比较简单，掌握分式的减法法则是解决本题的关键．
12．（3分）已知点（2，y ），（3，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，则y 与y 的大小关系是
1 2 1 2
y ＞ y ．
1 2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据0＜x ＜x ，判断
1 2
出两点所在的象限，根据该函数在此象限内的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 中，k＝6＞0，
∴此函数图象的两个分支在一、三象限，
∵0＜2＜3，
∴两点都在第一象限，
∵在第一象限内y的值随x的增大而减小，
∴y ＞y ．
1 2
故答案为：y ＞y ．
1 2
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在
的象限及两点所在的象限是解答此题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，AC与
DE相交于点F．若BC∥AE，则∠AFE的度数为 105 ° ．
【分析】由三角形内角和定理可知，∠C＝30°，∠E＝45°，再利用平行线的性质可知∠CAE
＝30°，最后利用三角形内角和定理可得结论．
【解答】解：在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝30°，∠E＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°，∵BC∥AE，
∴∠CAE＝∠C＝30°，
在△AEF中，∠AFE＝180°﹣∠CAE﹣∠E＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质等相关知识，熟知相关性质是
解题关键．
14．（3分）某校九（1）班10名同学进行“引体向上”训练，将他们做的次数进行统计，制成
下表，则这10名同学做的次数组成的一组数据中，中位数为 5. 5 ．
次数 4 5 6 7 8
人数 2 3 2 2 1
【分析】根据将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，
则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数
据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．
【解答】解：10名同学做的次数的中位数是 ＝5.5，
故答案为：5.5．
【点评】本题考查了中位数，掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如
果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数
是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
15．（3分）已知ab＝2，a+b＝3，求a2b+ab2的值是 6 ．
【分析】将a2b+ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．
【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b），
∵ab＝2，a+b＝3，
∴原式＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点
A（4，0），点C（2，0），则△OAB与△OCD周长的比值是 2 ．【分析】利用关于原点为位似中心的对应点的坐标变换规律得到相似比为2：1，然后根据
相似三角形的性质解决问题．
【解答】解：∵△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O，
而点A（4，0），点C（2，0），
∴相似比为4：2＝2：1，
∴△OAB与△OCD周长的比值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
17．（3分）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面
直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣
x2+ x+ ，则铅球推出的水平距离OA的长是 1 0 m．
【分析】根据题目中的函数解析式和图象可知，OA的长就是抛物线与x轴正半轴的交点的
横坐标的值，然后令y＝0求出相应的x的值，即可得到OA的长．
【解答】解：∵y＝﹣ x2+ x+ ，
∴当y＝0时，0＝﹣ x2+ x+ ，解得x ＝﹣2，x ＝10，
1 2
∴OA＝10m，
故答案为：10．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确OA的长就是抛物线与x轴正
半轴的交点的横坐标的值．
18．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角
∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是 2 ﹣ 4 ．
π
【分析】证明△OBE≌△OCG（SAS），推出S△OBE ＝S△OCG ，推出S四边形OECG ＝S△OBC ＝4，再
根据S阴 ＝S扇形OFH ﹣S四边形OECG ，求解即可．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBE＝∠OCG＝45°，S△OBC ＝ S四边形ABCD ＝4，
∵∠BOC＝∠EOG＝90°，
∴∠BOE＝∠COG，
在△BOE和△COG中，
，
∴△OBE≌△OCG（SAS），
∴S△OBE ＝S△OCG ，
∴S四边形OECG ＝S△OBC ＝4，
∵△OBC是等腰直角三角形，BC＝4，
∴OB＝OC＝2 ，
∴S阴 ＝S扇形OFH ﹣S四边形OECG
＝ ﹣4
＝2 ﹣4，
π故答案为：2 ﹣4．
【点评】本题考π查扇形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关
键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．（3分）如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直
线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为
80nmile，则C岛到航线AB的最短距离约是 3 4 nmile．（参考数据： ≈1.4，
≈1.7，保留整数结果）
【分析】过点C作CF⊥AB于F，设CF＝xnmile．先求出∠CAB＝∠DAB﹣∠DAC＝30°，
∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE＝60°．再解Rt△ACF，得出AF＝ CF＝ x，解Rt△CFB，得
出BF＝ CF＝ x．根据AF+BF＝AB列出方程 x+ x＝80，求出x即可．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于F，设CF＝xnmile．
由题意，得∠DAC＝50°，∠DAB＝80°，
∠CBE＝40°，AD∥BE，
则∠CAB＝∠DAB﹣∠DAC＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠DAB＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE＝100°﹣40°＝60°．
在Rt△ACF中，∵∠CAF＝30°，
∴AF＝ CF＝ x．
在Rt△CFB中，∵∠FBC＝60°，
∴BF＝ CF＝ x．
∵AF+BF＝AB，∴ x+ x＝80，
解得x＝20 ≈34．
即C岛到航线AB的最短距离约为34nmile．
故答案为：34．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转
化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
20．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），A B 的中点为C ；A（0，3），B
1 1 1 1 1 2 2
（﹣2，0），A B 的中点为C ；A（﹣4，0），B（0，﹣3），A B 的中点为C ；A（0，﹣5），B
2 2 2 3 3 3 3 3 4 4
（4，0），A B 的中点为C ；…；按此做法进行下去，则点C 的坐标为 （﹣ 101 1 ，
4 4 4 2022
） ．
【分析】根据题意得点 的位置按4次一周期的规律循环出现，可求得点C 在第二象限，
n 2022
从而可求得该题结果．∁
【解答】解：由题意可得，点 的位置按4次一周期的规律循环出现，
n
∵2022÷4＝505……2， ∁
∴点C 在第二象限，
2022∵位于第二象限内的点C 的坐标为（﹣1， ），
2
点C 的坐标为（﹣3， ），
6
点C 的坐标为（﹣5， ），
10
……
∴点 的坐标为（﹣ ， ），
n
∁
∴当n＝2022时，﹣ ＝﹣ ＝﹣1011， ＝ ＝ ，
∴点C 的坐标为（﹣1011， ），
2022
故答案为：（﹣1011， ）．
【点评】此题考查了点的坐标方面规律性问题的解决能力，关键是能根据题意确定出该点
的出现规律．
三、解答题（本题6小题，共80分）
21．（12分）（1）计算：﹣22+ × +（ ）﹣1﹣（ ﹣3）0；
π
（2）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）先算乘方，二次根式的乘法，负整数指数幂，零指数幂，再算加减即可；
（2）先利用解不等式组的方法进行求解，再把其解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：（1）﹣22+ × +（ ）﹣1﹣（ ﹣3）0
π
＝﹣4+6+2﹣1
＝3；
（2） ，解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
在数轴上表示为：
故不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，实数的运算，解答的关键是对相应的知识的
掌握与运用．
22．（14分）神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我
的航天梦”科技活动周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，A：航模制
作；B：航天资料收集；C：航天知识竞赛；D：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参
与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的m名学生（每名学生必选一项且只能选择一项），
并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝ 10 0 ，n＝ 3 5 ；并补全条形统计图；
（2）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；
（3）在选择A项活动的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这10名学生平均分
成两组进行培训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？
【分析】（1）用航模制作的人数和所占的百分比，求出m的值，再分别求出B、C的人数及
B所占的百分比，然后补全统计图即可；
（2）用总人数乘以选择参观科学馆的人数所占的百分比即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙被分在同一组的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）m＝10÷10%＝100；
航天知识竞赛的人数有：100×15%＝15（人），
航天资料收集的人数有：100﹣10﹣40﹣15＝35（人），
n%＝ ×100%＝35%，即n＝35，
补全统计图如下：
故答案为：100，35；
（2）根据题意得：
1800×40%＝720（人），
答：大约有720人选择参观科学馆；
（3）由题意列表得：
甲 乙 丙 丁
甲 δ 甲丙 甲丁
乙 乙甲 乙丙 乙丁
丙 丙甲 丙乙 丙丁
丁 丁甲 丁乙 丁丙
共有12种等可能的结果数，其中甲、乙被分在同一组的有4种，
则甲、乙被分在同一组的概率是 ＝ ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作 O，分别交BC于点D，交AC于点
E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长⊙线于点F．
（1）求证：DH是 O的切线；
⊙
（2）若E为AH的中点，求 的值．
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，由DH⊥AC，可得DH⊥OD，则结论得证；
（2）连接AD，由圆周角定理得∠ADB＝90°，再由等腰三角形的性质得BD＝CD，则OD＝
AC，OD∥AC，进而得到△AEF∽△ODF，由等腰三角形的性质得CH＝EH，根据相似三
角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∵OD是 O的半径，
∴DH是⊙O的切线；
（2）解：⊙连接AD，如图所示：
∵AB为 O的直径，
∴OA＝O⊙B，∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴OD＝ AC，OD∥AC，
∴△AEF∽△ODF，
∴ ＝ ，
∵∠CED+∠DEA＝180°，∠B+∠DEA＝180°，
∴∠CED＝∠B＝∠C，
∴CD＝ED，
∵DH⊥AC，
∴CH＝EH，
∵E为AH的中点，
∴AE＝EH＝CH，∴ ＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形中
位线定理，平行线的判定与性质，三角形相似的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定、
圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
24．（12分）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花
卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花
卉的种植费用为300元．
（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？
（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活
率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年
共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费
用最低？并求出最低费用．
【分析】（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意列
出关于x、y的二元一次方程组，求解即可；
（2）设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为（400﹣m）盆，种植两种花
卉的总费用为w元，由题意：这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，列出一元一次不
等式，解得m≤200，再由题意得w＝﹣30m+24000，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题
意，
得： ，
解得： ，
答：每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元；
（2）设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为（400﹣m）盆，种植两种花
卉的总费用为w元，
根据题意，得：（1﹣70%）m+（1﹣90%）（400﹣m）≤80，
解得：m≤200，
w＝30m+60（400﹣m）＝﹣30m+24000，∵﹣30＜0，
∴w随m的增大而减小，
当m＝200时，w的最小值＝﹣30×200+24000＝18000，
答：种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不
等式．
25．（14分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），
且∠EAF＝45°．
（1）当BE＝DF时，求证：AE＝AF；
（2）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH＝AE．若
DF＝a，CH＝b，请用含a，b的代数式表示EF的长．
【分析】（1）证明△ABE≌△ADF，从而得出结论；
（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，类比（1）可证得△ABE≌△ADG，进而证明
△GAF≌△EAF，进一步得出结论；
（3）作HR⊥BC于R，证明△ABE≌△GRH，从而BE＝HR，在Rt△CRH中可得出HR＝
b•sin45°＝ ，进而BE＝ ，根据（2）可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
（2）解：如图1，
BE+DF＝EF，理由如下：
在CD的延长线上截取DG＝BE，
同理（1）可得：△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即：∠GAF＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴FG＝EF，
∴DG+DF＝EF，
∴BE+DF＝EF；
（3）如图2，作HR⊥BC于R，
∴∠HRG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠ABE＝∠HRG，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵GH⊥AE，
∴∠EKG＝90°，
∴∠G+∠AEB＝90°，
∴∠G＝∠BAE，
在△ABE和△GRH中，
，
∴△ABE≌△GRH（AAS），
∴BE＝HR，
在Rt△CRH中，∠ACB＝45°，CH＝b，
∴HR＝b•sin45°＝ b，
∴BE＝ ，
∴EF＝BE+DF＝ ．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，
解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
26．（16分）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经
过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点
的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、O的坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根
据MN＝2解方程可得答案；
（3）分AC为边和对角线两种情况进行讨论：根据平移的性质，三角形相似的性质和判定，
两点的距离公式可得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0）和O（0，0），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）∵直线AB经过点A（4，0）和B（0，4），
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，
∵MN∥y轴，
设M（t，﹣t+4），N（t，﹣t2+4t），其中0≤t≤4，当M在N点的上方时，
MN＝﹣t+4﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣5t+4＝2，
解得：t ＝ ，t ＝ （舍），
1 2
∴M （ ， ），
1
当M在N点下方时，
MN＝﹣t2+4t﹣（﹣t+4）＝﹣t2+5t﹣4＝2，
解得：t ＝2，t ＝3，
1 2
∴M （2，2），M （3，1），
2 3
综上，满足条件的点M的坐标有三个（ ， ）或（2，2）或（3，1）；
（3）存在，
①如图2，若AC是矩形的边，设抛物线的对称轴与直线AB交于点R，且R（2，2），
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P ，P ，
1 2
∵C（1，3），D（2，4），
∴CD＝ ＝ ，
同理得：CR＝ ，RD＝2，
∴CD2+CR2＝DR2，
∴∠RCD＝90°，
∴点P 与点D重合，
1
当CP ∥AQ ，CP ＝AQ 时，四边形ACP Q 是矩形，
1 1 1 1 1 1
∵C（1，3）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P （2，4），
1
∴A（4，0）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到Q （5，1），
1
此时直线P C的解析式为：y＝x+2，
1
∵直线P A与P C平行且过点A（4，0），
2 1
∴直线P A的解析式为：y＝x﹣4，
2
∵点P 是直线y＝x﹣4与抛物线y＝﹣x2+4x的交点，
2
∴﹣x2+4x＝x﹣4，
解得：x ＝﹣1，x ＝4（舍），
1 2
∴P （﹣1，﹣5），
2
当AC∥P Q 时，四边形ACQ P 是矩形，
2 2 2 2∵A（4，0）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到C（1，3），
∴P （﹣1，﹣5）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到Q （﹣4，﹣2）；
2 2
②如图3，若AC是矩形的对角线，
设P （m，﹣m2+4m）
3
当∠AP C＝90°时，过点P 作P H⊥x轴于H，过点C作CK⊥P H于K，
3 3 3 3
∴∠P KC＝∠AHP ＝90°，∠P CK＝∠AP H，
3 3 3 3
∴△P CK∽△AP H，
3 3
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵点P不与点A，C重合，
∴m≠1或m≠4，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m＝ ，
∴如图4，满足条件的点P有两个，即P（ ， ），P（ ， ），
3 4当P C∥AQ ，P C＝AQ 时，四边形AP CQ 是矩形，
3 3 3 3 3 3
∵P（ ， ）向左平移 个单位，向下平移 个单位得到C（1，3），
3
∴A（4，0）向左平移 个单位，向下平移 个单位得到Q（ ， ），
3
当P C∥AQ ，P C＝AQ 时，四边形AP CQ 是矩形，
4 4 4 4 4 4
∵P（ ， ）向右平移 个单位，向上平移 个单位得到C（1，3），
4
∴A（4，0）向右平移 个单位，向上平移 个单位得到Q（ ， ）；
4
综上，点Q的坐标为（5，1）或（﹣4，﹣2）或（ ， ）或（ ， ）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析
式，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质等知识，正确画图，并运用分
类讨论的思想是解本题的关键．
