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2022年辽宁省大连市中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项正确）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． ＝2 B． ＝﹣3 C．2 +3 ＝5 D．（ +1）2＝3
4．（3分）如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝70°，则∠EGF的
度数是（ ）
A．35° B．55° C．70° D．110°
5．（3分）六边形内角和的度数是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
6．（3分）不等式4x＜3x+2的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2
7．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋20双，各种尺码鞋的销售量如表所示．则所
销售的女鞋尺码的众数是（ ）尺码/cm 22.5 23 23.5 24 24.5
销售量/双 1 4 6 8 1
A．23.5 B．23.6 C．24 D．24.5
8．（3分）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36 B．9 C．6 D．﹣9
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径
作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝
3，则CD的长是（ ）
A．6 B．3 C．1.5 D．1
10．（3分）汽车油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程
x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤300时，y与x的函数解析式
是（ ）
A．y＝0.1x B．y＝﹣0.1x+30
C．y＝ D．y＝﹣0.1x2+30x
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）方程 ＝1的解是 ．
12．（3分）不透明袋子中装有2个黑球、3个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中
随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位
长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 ．14．（3分）如图，正方形ABCD的边长是 ，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，
点C旋转后的对应点为E，则弧CE的长是 （结果保留 ）．
π
15．（3分）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一
百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每
人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为 ．
16．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一
次折叠纸片，使点A的对应点A'落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，连接MF，
若MF⊥BM，AB＝6cm，则AD的长是 cm．
三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）
17．（9分）计算： ÷ ﹣ ．
18．（10分）为了解某初级中学落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育
的意见》的实施情况，调查组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳
动时间（t 单位：h），并对数据进行整理、描述和分析．以下是根据调查结果绘制的统计图
表的一部分．
平均每周劳动时间频数统计表平均每周劳动时间t/h 频数 频率
1≤t＜2 3
2≤t＜3 a 0.12
3≤t＜4 37 b
4≤t＜5 0.35
5≤t＜6
合计 c
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若该校有1000名学生，请估计平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生人数．
19．（10分）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF．求证：CE＝CF．
20．（10分）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知
购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和
4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密
度 （单位：kg/m3）随之变化．已知密度 与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，
当ρV＝5m3时， ＝1.98kg/m3． ρ
ρ（1）求密度 关于体积V的函数解析式；
（2）若3≤Vρ≤9，求二氧化碳密度 的变化范围．
ρ
22．（10分）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索
道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔
底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用
时间约为5分钟．
（1）索道车从A处运行到B处的距离约为 米；
（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73）
23．（10分）AB是 O的直径，C是 O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作 O的切线，与
DO的延长线相⊙交于点E． ⊙ ⊙
（1）如图1，求证∠B＝∠E；
（2）如图2，连接AD，若 O的半径为2，OE＝3，求AD的长．
⊙五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝
DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交
于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．
（1）求AC的长；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
25．（11分）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC＝∠ACB．求证∠ACD＝∠ABC．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请
你解答．
“如图2，延长CA至点E，使CE＝BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在
BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC＝90°时，
若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出
下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的长．”26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的
左侧），与y轴相交于点C，连接AC．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE＝
OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S ，△BEF的面积为S ，S＝S +S ，当S取最大值
1 2 1 2
时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相
交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．2022年辽宁省大连市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项正确）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．
2．（3分）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
【解答】解：A．圆锥的主视图是等腰三角形，因此选项A不符合题意；
B．三棱柱的主视图是矩形，因此选项B不符合题意；
C．圆柱的主视图是矩形，因此选项C不符合题意；
D．球的主视图是圆，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握各种几何体的三视图的形
状是正确判断的前提．3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． ＝2 B． ＝﹣3 C．2 +3 ＝5 D．（ +1）2＝3
【分析】根据二次根式的加法，算术平方根，立方根，完全平方公式，进行计算逐一判断即
可解答．
【解答】解：A、 ＝﹣2，故A不符合题意；
B、 ＝3，故B不符合题意；
C、2 +3 ＝5 ，故C符合题意；
D、（ +1）2＝3+2 ，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的加法，算术平方根，立方根，准确熟
练地进行计算是解题的关键．
4．（3分）如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝70°，则∠EGF的
度数是（ ）
A．35° B．55° C．70° D．110°
【分析】先根据角平分线的定义求出∠GFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵FG平分∠EFD，∠EFD＝70°，
∴∠GFD＝ ∠EFD＝ ×70°＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠GFD＝35°．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为；两直线平行，内错角相等．
5．（3分）六边形内角和的度数是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】根据多边形的内角和公式可得答案．【解答】解：六边形的内角和的度数是（6﹣2）×180°＝720°．
故选：D．
【点评】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
6．（3分）不等式4x＜3x+2的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2
【分析】根据不等式的计算方法计算即可．
【解答】解：4x＜3x+2，
移项，得x＜2．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法，细心计算即可．
7．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋20双，各种尺码鞋的销售量如表所示．则所
销售的女鞋尺码的众数是（ ）
尺码/cm 22.5 23 23.5 24 24.5
销售量/双 1 4 6 8 1
A．23.5 B．23.6 C．24 D．24.5
【分析】根据众数的意义解答即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【解答】解：∵众数是在一组数据中出现次数最多的数，24cm出现的次数最多，
∴众数是24cm．
故选：C．
【点评】本题考查众数，熟练掌握众数的求法是解题关键．
8．（3分）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36 B．9 C．6 D．﹣9
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4c＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝62﹣4c＝0，
解得c＝9，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞
0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实
数根．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝
3，则CD的长是（ ）
A．6 B．3 C．1.5 D．1
【分析】根据题意可知：MN是线段AC的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D
为AB的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD的长．
【解答】解：由已知可得，
MN是线段AC的垂直平分线，
设AC与MN的交点为E，
∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，
∴ED∥CB，
∴△AED∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴AD＝ AB，
∴点D为AB的中点，
∵AB＝3，∠ACB＝90°，
∴CD＝ AB＝1.5，
故选：C．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定
和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）汽车油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程
x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤300时，y与x的函数解析式
是（ ）
A．y＝0.1x B．y＝﹣0.1x+30
C．y＝ D．y＝﹣0.1x2+30x
【分析】直接利用油箱中的油量y＝总油量﹣耗油量，进而得出函数关系式，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：y＝30﹣0.1x，（0≤x≤300）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，正确得出函数关系式是解题关
键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）方程 ＝1的解是 x ＝ 5 ．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解： ＝1，
2＝x﹣3，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣3≠0，
∴x＝5是原方程的根，
故答案为：x＝5．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
12．（3分）不透明袋子中装有2个黑球、3个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是 ．
【分析】一共有5个球，2黑3白，黑球占总数的 ，因此可求出随机摸出1个球，“摸出黑
球”的概率．
【解答】解：袋子中装有2个黑球、3个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机
摸出1个球，“摸出黑球”的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查概率公式，理解概率的定义是正确解答的关键．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位
长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 （ 5 ， 2 ） ．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．
【解答】解：将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是
（1+4，2），即（5，2），
故答案为：（5，2）．
【点评】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：
横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
14．（3分）如图，正方形ABCD的边长是 ，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，
点C旋转后的对应点为E，则弧CE的长是 （结果保留 ）．
π π【分析】先根据正方形的性质得到∠CAD＝45°，AC＝ AB＝ × ＝2，然后利用弧长
公式计算 的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD＝45°，AC＝ AB＝ × ＝2，
∵对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，
∴ 的长度为 ＝ ．
π
故答案为： ．
π
【点评】本题考查了弧长的计算：l＝ （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也
考查了正方形的性质．
15．（3分）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一
百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每
人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为 10 0 x ﹣ 9 0 x ＝ 10 0 ．
【分析】先根据每人出90钱，恰好合适，用x表示出猪价，再根据“每人出100钱，则会多
出100钱”，即可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论．
【解答】解：∵每人出90钱，恰好合适，
∴猪价为90x钱，
根据题意，可列方程为100x﹣90x＝100．
故答案为：100x﹣90x＝100．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次
方程是解题的关键．
16．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一
次折叠纸片，使点A的对应点A'落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，连接MF，
若MF⊥BM，AB＝6cm，则AD的长是 5 cm．
【分析】由矩形性质和折叠性质可得BE＝3，A′B＝AB＝6cm，∠A＝∠A′EB＝90°，∠ABM＝∠A′BM，可得∠BA′E＝30°，从而可得∠A′BE＝60°，可得∠ABM＝30°，从
而可得AM＝2 cm，∠DMF＝30°，DF＝3cm，即可求解DM，进而求出AD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，
∴∠A＝90°，
由折叠性质可得：
BE＝DF＝3cm，A′B＝AB＝6cm，∠A′EB＝90°，∠ABM＝∠A′BM，
在Rt△A′BE中，A′B＝2BE，
∴∠BA′E＝30°，
∴∠A′BE＝60°，
∴∠ABM＝30°，∠AMB＝60°，
∴AM＝tan30°•AB＝ ＝2 cm，
∵MF⊥BM，
∴∠BMF＝90°，
∴∠DMF＝30°，
∴∠DFM＝60°，
在Rt△DMF中，MD＝tan60°•DF＝ cm，
∴AD＝AM+DM＝2 cm．
故答案为：5 ．
【点评】本题考查折叠性质，长方形的性质，30°角的直角三角形等知识点，解题的关键是
利用边之间的关系推出∠BA′E＝30°．
三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）
17．（9分）计算： ÷ ﹣ ．
【分析】先算除法，后算减法，即可解答．
【解答】解： ÷ ﹣
＝ • ﹣
＝ ﹣＝ ．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
18．（10分）为了解某初级中学落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育
的意见》的实施情况，调查组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳
动时间（t 单位：h），并对数据进行整理、描述和分析．以下是根据调查结果绘制的统计图
表的一部分．
平均每周劳动时间频数统计表
平均每周劳动时间t/h 频数 频率
1≤t＜2 3
2≤t＜3 a 0.12
3≤t＜4 37 b
4≤t＜5 0.35
5≤t＜6
合计 c
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ 1 2 ，b＝ 0.3 7 ，c＝ 10 0 ；
（2）若该校有1000名学生，请估计平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生人数．
【分析】（1）由统计图可知，a＝12，根据频率＝ 可求出调查人数，进而求出相应的频
数或频率，确定a、b、c的值；
（2）求出平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生所占的百分比，即可求出相应的人数．
【解答】解：（1）由频数分布直方图可知，a＝12，调查人数为：12÷0.12＝100（人），即c＝100，
b＝37÷100＝0.37，
故答案为：12，0.37，100；
（2）平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生所占的百分比为0.37+0.35＝0.72，
1000×（0.37+0.35）＝720（名），
答：该校1000名学生中平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的大约有720名．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表，掌握频率＝ 是正确解答的前提．
19．（10分）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF．求证：CE＝CF．
【分析】连接AC，由菱形的性质得∠EAC＝∠FAC，再由SAS证△ACE≌△ACF，即可得出
结论．
【解答】证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SAS）
∴CE＝CF．
【点评】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握菱形的性质，证
得△ACE≌△ACF是解题的关键．
20．（10分）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和
4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？
【分析】设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，由总价＝单价×
数量，结合“购买1个冰墩墩和2个雪容融毛绒玩具需400元；购买3个冰墩墩和4个雪
容融毛绒玩具需1000元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解二元一次方程组即
可得出结果．
【解答】解：设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，
依题意得： ，
解得： ，
答：冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密
度 （单位：kg/m3）随之变化．已知密度 与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，
当ρV＝5m3时， ＝1.98kg/m3． ρ
（1）求密度 关ρ 于体积V的函数解析式；
（2）若3≤Vρ≤9，求二氧化碳密度 的变化范围．
ρ
【分析】（1）设密度 关于体积V的函数解析式为 ＝ （k≠0），利用反比例函数图象上
ρ ρ
点的坐标特征，即可求出k值，进而可得出密度 关于体积V的函数解析式；
（2）由k＝9.9＞0，利用反比例函数的性质可得出ρ当V＞0时 随V的增大而减小，结合V
的取值范围，即可求出二氧化碳密度 的变化范围． ρ
ρ【解答】解：（1）设密度 关于体积V的函数解析式为 ＝ （k≠0）．
ρ ρ
∵当V＝5m3时， ＝1.98kg/m3，
ρ
∴1.98＝ ，
∴k＝9.9，
∴密度 关于体积V的函数解析式为 ＝ （V＞0）．
ρ ρ
（2）∵k＝9.9＞0，
∴当V＞0时， 随V的增大而减小，
ρ
∴当3≤V≤9时， ≤ ≤ ，
ρ
即二氧化碳密度 的变化范围为1.1≤ ≤3.3．
【点评】本题考查ρ了反比例函数图象上ρ点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键
是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出k值；（2）利用反比例函数的性质及反
比例函数图象上点的坐标特征，找出 的变化范围．
22．（10分）如图，莲花山是大连著名的景ρ点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索
道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔
底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用
时间约为5分钟．
（1）索道车从A处运行到B处的距离约为 30 0 米；
（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73）
【分析】（1）根据路程＝速度×时间，进行计算即可解答；
（2）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△ACD中，利用
锐角三角函数的定义求出CD的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：
5分钟＝300秒，
∴1×300＝300（米），
∴索道车从A处运行到B处的距离约为300米，
故答案为：300；
（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BD＝ AB＝150（米），
AD＝ BD＝150 （米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，
∴CD＝AD•tan37°≈150 ×0.75≈194.6（米），
∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣150≈45（米），
∴白塔BC的高度约为45米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义
是解题的关键．
23．（10分）AB是 O的直径，C是 O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作 O的切线，与
DO的延长线相⊙交于点E． ⊙ ⊙
（1）如图1，求证∠B＝∠E；
（2）如图2，连接AD，若 O的半径为2，OE＝3，求AD的长．
⊙
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）利用勾股定理求出AE，再利用相似三角形的性质求BD，根据垂径定理和勾股定理即
可求出AD．
【 解 答 】 （ 1 ） 证 明 ： ∵ AE 与 O 相 切 于 点 A
⊙∴AB⊥AE，
∴∠A＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠BDO＝∠A＝90°，
∵∠BOD＝∠AOE，
∴∠B＝∠E．
（2）如图2，连接AC，
∵OA＝2，OE＝3，
∴根据勾股定理得AE＝ ，
∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠EOA，
∴△BOD∽△EOA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BD＝ ，
∴CD＝BD＝ ，
∵AB是 O的直径，
∴∠C＝⊙90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC＝ ，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得AD＝
＝＝ ．
【点评】本题考查相似三角形，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知
识解决问题，属于中考常考题型．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝
DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交
于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．
（1）求AC的长；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据勾股定理可求出BD，根据AD＝BD进而求出AC，
（2）分两种情况进行解答，即点P在点D的左侧或右侧，分别画出相应的图形，根据相似
三角形的判定和性质分别用含有x的代数式表示PD、PE、PQ，由三角形面积之间的关系
可得答案．
【解答】解：（1）在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝3，
∴BD＝ ＝5，
又∵AD＝BD，
∴AC＝AD+CD＝5+3＝8；
（2）当点P在点D的左侧时，即0＜x＜5，如图1，此时重叠部分的面积就是△PQD的面积，
∵PQ⊥AC，BC⊥AC，
∴PQ∥BC，
∴△ABC∽△AQP，
∴ ＝ ＝ ＝2，设AP＝x，则PQ＝ x，PD＝AD﹣AP＝5﹣x，
∴S重叠部分 ＝S△PQD ＝ （5﹣x）× x
＝﹣ x2+ x；
当点P在点D的右侧时，即5＜x＜8，如图2，
由（1）得，AP＝x，PQ＝ x，则PD＝x﹣5，
∵PQ∥BC，
∴△DPE∽△DCB，
∴ ＝ ＝ ，
∴PE＝ （x﹣5），
∴QE＝PQ﹣PE＝ x﹣ （x﹣5）＝﹣ x+ ，
∴S重叠部分 ＝S△DEQ
＝ （x﹣5）×（﹣ x+ ）
＝﹣ x2+ x﹣ ；
答：S关于x的函数解析式为：当0＜x＜5时，S＝﹣ x2+ x；当5＜x＜8时，S＝﹣ x2+
x﹣ ．
【点评】本题考查勾股定理，函数关系式以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形
的判定和性质，求出相关三角形的边长是解决问题的关键．
25．（11分）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC＝∠ACB．求证∠ACD＝∠ABC．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请
你解答．
“如图2，延长CA至点E，使CE＝BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在
BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC＝90°时，
若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出
下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的长．”
【分析】（1）利用三角形的外角的性质证明即可；
（2）结论：BH＝EF．如图2中，在CB上取一点T，使得GH＝CT．证明△BGH≌△DCT
（SAS），推出BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，再证明△CEF≌△BDT（AAS），推出EF＝DT，可
得结论；
（3）如图3，过点E作EM∥AD交CE的延长线于点M．利用平行线分线段成比例定理解
决问题即可．【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠ADC＝∠ACB，
∴∠B+∠DCB＝∠DCB+∠ACD，
∴∠ACD＝∠B；
（2）解：结论：BH＝EF．
理由：如图2中，在CB上取一点T，使得GH＝CT．
在△BGH和△DCT中，
，
∴△BGH≌△DCT（SAS），
∴BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，
∵∠CDT+∠FDT＝180°，
∴∠GBH+∠FDT＝180°，
∴∠BFD+∠BTD＝180°，
∵∠CFE+∠BFD＝180°，
∴∠CFE＝∠BTD，
在△CEF和△BDT中，
，∴△CEF≌△BDT（AAS），
∴EF＝DT，
∴EF＝BH；
（3）解：如图3，过点E作EM∥AD交CE的延长线于点M．
∵AD∥EM，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ．
∴EM＝ ，
∵ ＝ ＝ ，
∵tan∠ACD＝tan∠ABC＝ ，
∴ ＝ ，
∵AC＝2，AB＝4，
∴AD＝1，BD＝CE＝3，
∴AE＝1，
∴BE＝＝ ＝ ＝ ，
∴EF＝ BE＝ ．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解决问题，属于中考压
轴题．26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的
左侧），与y轴相交于点C，连接AC．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE＝
OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S ，△BEF的面积为S ，S＝S +S ，当S取最大值
1 2 1 2
时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相
交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点B，C的坐标；
（2）由点A，B，C的坐标可得出OA，OB，OC的长度，由点E的坐标及OE＝OF，可得出
OF，BE，CF的长，利用三角形的面积计算公式，即可找出S关于m的函数关系式，再利用
二次函数的性质，即可找出当S取最大值时m的值；
（3）存在，设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），连接BD，过点Q作QM⊥x轴于点M，过点D
作DN∥x轴，过点P作PN∥y轴交DN于点N，通过角的计算，可找出∠DPN＝∠ACO，
结合∠AOC＝∠DNP＝90°，可得出△AOC∽△DNP，利用相似三角形的性质可求出n的
值，进而可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝3，
1 2∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）；
当x＝0时，y＝02﹣2×0﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
（2）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴OA＝1，OB＝OC＝3．
∵点E的坐标为（m，0），OE＝OF，
∴OE＝OF＝m，BE＝CF＝3﹣m，
∴S＝S +S
1 2
＝ •CF•OA+ •BE•OF
＝ ×（3﹣m）×1+ ×（3﹣m）×m
＝﹣ m2+m+
＝﹣ （m﹣1）2+2．
∵﹣ ＜0，
∴当m＝1时，S取得最大值，
即当S取最大值时，m的值为1．
（3）存在，设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3）．
在图（2）中，连接BD，过点Q作QM⊥x轴于点M，过点D作DN∥x轴，过点P作PN∥y
轴交DN于点N．
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，BC＝3 ．
∵抛物线的顶点为D，
∴点D的坐标为（1，﹣4），
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴BD＝ ＝2 ，CD＝ ＝ ，
∵BC2+CD2＝（3 ）2+（ ）2＝20＝BD2，
∴∠BCD＝90°，∴∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝45°+90°＝135°．
∵QM∥OC，
∴∠CQM＝180°﹣∠OCB＝180°﹣45°＝135°．
∵∠PQC＝∠ACD，∠PQC＝∠PQM+∠CQM，∠ACD＝∠ACO+∠OCD，
∴∠PQM＝∠ACO．
又∵QM∥PN，
∴∠DPN＝∠PQM＝∠ACO．
又∵∠AOC＝∠DNP＝90°，
∴△AOC∽△DNP，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：n ＝1（不合题意，舍去），n ＝4，
1 2
∴点P的坐标为（4，5）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定
理的逆定理、两点间的距离公式以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用二次
函数图象上点的坐标特征，求出各点的坐标；（2）利用三角形的面积计算公式，找出S关于m
的函数关系式；（3）构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出点P的横坐标．
