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2024 届高三五校联盟 10 月学情调查测试
数学试题
试卷满分：150分 考试时长：120分钟
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式化简集合 ，即可由交集运算求解.
【详解】由 可得 又
，所以 ，
故选：A
2. 已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数除法的运算法则进行求解即可.
【详解】由 ，
故选：D
3. 已知 ，命题 ，命题 ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解 ，利用集合间的关系即可求解.
【详解】 为真命题，则 ，故 ，
由于 ，所以 是 的必要不充分条件，
故选：B
4. 数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中
二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列 从第二项起，每一项与前一项的差组成的
新数列 是等差数列，则称数列 为二阶等差数列.现有二阶等差数列 ，其前六项分
别为 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先得出递推公式，叠加法求通项公式，再用基本不等式求最小值即可.
【详解】数列 前六项分别为 ，
依题知 ，
叠加可得： ，
得 ，
当 时， ，满足 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
又 ，所以等号取不了，所以最小值在 取得，
当 时， ，
所以最小值为 .
故选：C
5. 已知 为锐角， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.
【详解】由于 ，所以 ，
，
故选：D
6. 已知函数 ，则使不等式 成立的 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可列不等式求解.
【详解】由于 的定义域为 ，关于原点对称，
且 故 为偶函数，
而当 为单调递增函数，故当 ， 单调递减，
由 可得 ，平方得 ，解得 或 ，
故 的取值范围是 ，
故选：C
7. 已知等差数列 和等差数列 的前 项和分别为 和 ，且 ，则使得 为整数的
正整数 的个数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列前 项和公式以及等差数列的性质可得 ，进而可求解.
【详解】由于
所以 ，
要使 为整数，则 为24的因数，由于 ，故 可以为 ，故满足条件的正
整数 的个数为7个，
故选：B
8. 已知 ，则 的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数和指数的互化关系可得 均满足方程 ，进而根据一元二次方程
的解，即可结合 的单调性求解.
【详解】令 ，则 ，
由 可得 ，
进而可得 故 ，同理可得 ，
令 或 ，
故 均为方程 的实数根，
故 ， ，
由于函数 为单调递增函数，所以 ，
，
故选:B
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
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学科网（北京）股份有限公司9. 已知 为等比数列， 是其前 项和.若 与 的等差中项为20，则（ ）
A. B. 公比
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比和首项，进而由求和公式以及通项公式即可求解.
【详解】由 得 ，
又 与 的等差中项为20，则 ，所以公比为 ，
故 ，故 ，
故ACD正确，B错误，
故选:ACD
10. 已知正数 满足 ，则（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为9
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】运用基本不等式逐一判断即可.
【详解】A：因为 是正数，
所以 ，当且仅当 时取等号，
即当 时， 有最大值为 ，因此本选项不正确；
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学科网（北京）股份有限公司B：因为 是正数， ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，即当 取等号，故本选项正确；
C：因为 是正数， ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，即当 时， 有最小值 ，因此本选项不正确；
D：因为 是正数， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，即当 时， 的
最小值为
因此本选项正确，
故选：BD
11. 已知函数 ，则（ ）
A. 的图象关于原点中心对称
B. 在区间 上的最小值为
C. 过点 有且仅有1条直线与曲线 相切
D. 若过点 存在3条直线与曲线 相切，则实数 的取值范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据奇函数的定义即可判断A，求导得函数的单调性，即可求解函数的最值，进而判断 B，求解
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学科网（北京）股份有限公司切点处的切线方程，将经过的点代入，利用方程的根即可判断DC.
【详解】 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确，
，令 得 或 ，
故 在 单调递增，在 单调递减，
故 在区间 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，
又 ，最小值为 ，故B错误，
设切点为 ，则切点处切线方程为 ，
若切线经过 ，则将 代入可得 ，
所以 或 ，故经过 会有两条切线，C错误，
若切线经过 ，则将 代入 得 ，
令 ，
则当 因此 在 单调递增，在 和 单调递减，
作出 的图象如下： ，
要使过点 存在3条直线与曲线 相切，则直线过点 与 的图象有三个不同的交点，
故 ，D正确，
故选：AD
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知函数 ，则（ ）
A. 是方程 的两个不等实根，且 最小值为 ，则
B. 若 在 上有且仅有4个零点，则
C. 若 在 上单调递增，则 在 上的零点最多有3个
D. 若 的图象与直线 连续的三个公共点从左到右依次为 ，若
，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正弦函数性质和周期公式可判断A；函数 由小到大的第4个零点在区间 内，第
5个零点大于 求解可判断B；根据单调性和第3个零点在区间 内分别求出 范围即可判断C；
数形结合可得 ，然后可得 ，即可求出m，可判断D.
【详解】A选项：由题可知 ，所以 ，A正确；
B选项：若 ，令 得 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以，函数 由小到大的第4个零点为 ，第5个零点为 ，
由题知， ，解得 ，B正确；
C选项：由 得 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，解得 ，
若 在 上有3个零点，则 ，解得 ，
因 为，所以C错误；
D选项：由图可知， ，
又 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，D正确.
故选：ABD.
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学科网（北京）股份有限公司三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 数列 满足 ，则 __________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项.
【详解】由题设 ，
所以 是周期为3的数列，则 .
故答案为：
14. 已知函数 ，若 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是
__________.
【答案】
【解析】
【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 得 ，
由于函数 的定义域为 ，故令 ,解得 ，故 的单调递增区间为 ，
若 在区间 上单调递增，则 ，解得 ，
故答案 ：
为
15. 在 中，角 的对边分别为 为 边中点，若 ，则 面
积 的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量模长公式即可 ，结合基本不等式即可求解 ，进而根据三角函数
的单调性，结合面积公式即可求解.
【详解】由于 为 边中点,所以 ,平方
,
因此 ,
由于 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，
由于 在 单调递减，故当 时， 最小，且为钝角，
,
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学科网（北京）股份有限公司由于 在 单调递增，故当 取最小值时，此时面积最大，故当 时，此时
最小，进而 最小，故面积最大，
由 可得 ，故面积的最大值为 ，
故答案为：
16. 已知函数 ，若 恒成立，则满足条件的所有整数 的取值集合为
__________.（参考数据： ）
【答案】
【解析】
【分析】对函数求导，讨论 、 研究单调性，转化为极小值 恒成立，构造中间函数
研究使 对应a的区间，即得答案.
【详解】由题意 且 ，
当 时 ，即 在 上递减，又 ，
所以，定义域内存在 ，不符合题意；
当 时， 时 ， 递减； 时 ， 递增；
所以 ，要使 恒成立，只需 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 且 ，则 ，
所以， 时 ， 递增； 时 ， 递减；
由 ，
所以 在 各有一个零点，且 取两个零点之间的值（含零点）时 ，
故整数 时 恒成立.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用导数研究 单调性，特殊值判断 是否能使 恒成立，对于
求 的极小值，构造中间函数研究极小值恒大于等于0的情况.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知函数 ，且 的最大值为3，最小正周期为 .
（1）求 的解析式；
（2）求 在 上的值域，并指出 取得最大值时自变量 的值.
【答案】（1）
（2）值域为 ， 取最大值时自变量 的值为
【解析】
【分析】（1）由辅助角公式化简 ，即可由周期公式求解 ，根据最值可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司（2）由 得 ，即可结合三角函数的性质求解.
【小问1详解】
，
所以 的最小正周期 ，则 ；且 的最大值 ，则 .
所以 .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，则 ，
则 ，所以 的值域为 .
当 取得最大值时， ，所以自变量 的值为 .
18. 已知 是等差数列 的前 项和，且 .
（1）求数列 的通项公式与前 项和 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，进而根据公式即可求解，
（2）根据当 时， ， ；当 时， ， ，即可分类求解，
结合等差数列求和公式即可.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 .
所以数列 的通项公式为 ，
数列 的前 项和 .
【小问2详解】
由 得 ，所以当 时， ， ；
由 得 ，所以当 时， ， .
所以，当 时， ；
当 时，
.
所以， .
19. 已知函数 .
（1）若 在 处取得极值，求 的极值；
（2）若 在 上的最小值为 ，求 的取值范围.
【答案】（1）极大值为 ，极小值为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据极值点可得 ，进而可得 ，利用导数即可求解函数的单调区间，进而可
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学科网（北京）股份有限公司求解极值，
（2）根据导数确定函数单调性，结合分类讨论即可求解.
【小问1详解】
， ， .
因为 在 处取得极值，所以 ，则 .
所以 ， ，
令 得 或1，列表得
1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 的极大值为 ，极小值为 .
【小问2详解】
.
①当 时， ，所以 在 上单调递增， 的最小值为 ，满足题
意；
②当 时，令 ，则 或 ，所以 上单调递减，在 上单调递增，
在
此时， 的最小值为 ，不满足题意；
③当 时， 在 上单调递减， 的最小值为 ，不满足题意.
综上可知，实数 的取值范围时 .
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学科网（北京）股份有限公司20. 已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求证：数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据 的关系可得 ，进而可得 为等比数列，即可求解，
（2）利用放缩法，结合等比数列求和公式即可求证.
【小问1详解】
因为 ，所以 ①
当 时， ，所以 ；
当 时， ②
①-②得 ，即 ，
则 ，所以数列 构成以 为首项，3为公比的等比数列，
则 ，所以 .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
所以
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学科网（北京）股份有限公司.
21. 中，角 的对边为 .
（1）求角 的大小；
（2）若 内切圆的半径 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理的角边化及降幂公式，结合余弦定理的推论及三角函数的特殊值对应的特殊
角即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理得 ，
因为
，
所以 ，则 ，即 ，
由余弦定理得 ，
又 ，
所以 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（1）知 ，
因为 ，所以 （*）.
又 的面积 ，
即 ，则 ，
代入（*）式得 ，即 ，
所以 ，则 ，
所以 的面积 .
22. 已知函数 .
（1）若函数 在点 处的切线与函数 的图象有公共点，求实数 的取值范围；
（2）若函数 和函数 的图象没有公共点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程，联立方程转化为一元二次方程，利用判别式即可求
解,
（2）将问题转化为 没有实数根，求导，利用导数确定函数的单调性,分类讨论，进
而结合零点存在性定理即可求解.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 在点 处的切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 .
由 得 ，即 .
因为函数定义域为 ，所以方程 有非零实数根，
当 时， ，符合题意，当 时，则 ，即 ，且 ，
所以实数a的取值范围是 .
【小问2详解】
因为函数 和函数 的图象没有公共点，所以 ，即 无实根，
所以当 时， 无实根，
因为 ，即 是偶函数，所以 在 上无实根.
，
记 则 ， .
①当 时， ，又 ，则 ，所以 ，满足
在 上无实根.
②当 时， 在 上有实根，不合题意，舍去.
③当 时， ，所以 在 单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，满足 在 上无实根.
④当 时，因为 在 单调递增，且 ， ，
则存在唯一的 ，使 ，列表得
- 0 +
↘ 极小值 ↗
所以当 时， ，则 在 单调递减，则 ，
又因为 ，且 在 上连续，
所以 在 上有实根，不合题意.
综上可知，实数 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．
注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨
论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这
种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
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学科网（北京）股份有限公司
